专题08 向量的内积 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题08 向量的内积 一、知识梳理 （1）两个向量的夹角 两个向量的夹角记作⟨a,b ⟩．0≤ ⟨a,b ⟩ ≤π ． 当a、b同向时， ⟨a,b ⟩=0；当a、b反向时， ⟨a,b ⟩=π ． 当⟨a,b⟩= π/2时，称向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b． （2）向量的内积 两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a与b的内积(或数量积)，记作a · b，即 a·b=|a||b|cos ⟨a,b⟩ ． 对于非零向量a、b，当a、b同向时，a·b=|a||b|；当a、b反向时，a·b= - |a||b| ． 对于两个非零向量a、b，由内积的定义有： （1）a⊥b，则a·b=0； （2）|a|=； （3）cos ⟨a,b⟩= ． 向量的内积满足下面的运算规律： a·b= b·a； (λ a)·b = λ (a·b) = a·(λb)； (a+b)·c = a·c+b·c ． 二、题型精练 题型1 向量的内积 【典例1】．已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】因为两个非零向量与的夹角为锐角，所以， 即， 故选：A. 【典例2】．已知，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．0 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义即可代入求解． 【详解】， . 故选：B． 【典例3】．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用向量的内积即可求解. 【详解】因为，， 所以， 解得， 又的取值范围是，所以. 故选：. 【典例4】．已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】直接利用平面向量数量积的定义与运算法则求解即可. 【详解】. 故选：C． 【典例5】．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 题型2 两向量垂直 【典例1】．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 【典例2】．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，所以， 是直角三角形． 故选：B. 【典例3】．已知，当m为何值时，向量与互相垂直. 【答案】 【分析】根据根据向量垂直的性质列方程，再由向量内积的运算法则求解即可. 【详解】已知向量与互相垂直， 则， 即，整理得， 因为， 所以，即， 解得， 所以当时，向量与互相垂直. 三、知识检测 1．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据向量内积与模的关系计算即可. 【详解】. 故选：C. 2．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量内积及相关的运算律，结合向量概念逐项判断即可. 【详解】①，错误； ②，，由可得： ，则与不一定相等，错误； ③与不共线时，等式不一定相等，错误； ④向量大小相等时，方向不定，不能确定是相等或相反向量，错误． 故真命题的个数是0. 故选：A. 3．设均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的内积公式求模即可. 【详解】 . 故选：B. 4．已知，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积定义计算即可. 【详解】. 故选：B. 5．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的夹角，然后利用内积公式可求. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以， 向量的夹角为，向量的夹角为， 因为，所以的夹角为， 所以； 故选：D. 6．已知向量满足，且，则的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知条件结合内积的运算律化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 7．中，设，若，则的形状是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得，再由向量的数量积可得答案. 【详解】因为，所以， 即， 即，可得， 又因为，所以， 所以为钝角，则是钝角三角形. 故选：A． 8．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 9．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分、必要条件的判定方法，结合向量内积的运算法则即可得解. 【详解】因为为非零的平面向量， 当时，取，，则，满足要求， 但此时不成立，即充分性不成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 10．已知向量，则___________． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：. 11．已知向量，且，则________． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则及垂直的性质即可得解. 【详解】向量，且， 则， 故答案为：. 12．已知向量与的夹角为，，，则____________． 【答案】 【分析】先求解向量的值，再由向量的模长公式计算即可. 【详解】向量与的夹角为，，， ， 所以， 所以． 故答案为：. 13．在边长为2的正三角形中，____ 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 14．已知单位向量，的夹角为，且与垂直，则__________. 【答案】 【分析】由已知求得，再由与垂直，可得，展开即可求得的值. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 又与垂直， 所以， 即，则. 故答案为：. 15．已知，当①，②，③与的夹角是时，分别求． 【答案】①；②0；③9 【分析】根据内积的定义可求解，注意确定两向量的夹角，当时，有或两种可能，当时，夹角为. 【详解】①当时，若与同向，则它们的夹角， ； 若与反向，则它们的夹角， ． 综上所述，； ②当时，它们的夹角， ； ③当与的夹角是时， 有． 16．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内积公式求夹角即可； （2）利用内积公式求模即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， ， 解得，因为， 所以. （2）因为，，与的夹角， 所以 ． 17．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 向量的内积 一、知识梳理 （1）两个向量的夹角 两个向量的夹角记作⟨a,b ⟩．0≤ ⟨a,b ⟩ ≤π ． 当a、b同向时， ⟨a,b ⟩=0；当a、b反向时， ⟨a,b ⟩=π ． 当⟨a,b⟩= π/2时，称向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b． （2）向量的内积 两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a与b的内积(或数量积)，记作a · b，即 a·b=|a||b|cos ⟨a,b⟩ ． 对于非零向量a、b，当a、b同向时，a·b=|a||b|；当a、b反向时，a·b= - |a||b| ． 对于两个非零向量a、b，由内积的定义有： （1）a⊥b，则a·b=0； （2）|a|=； （3）cos ⟨a,b⟩= ． 向量的内积满足下面的运算规律： a·b= b·a； (λ a)·b = λ (a·b) = a·(λb)； (a+b)·c = a·c+b·c ． 二、题型精练 题型1 向量的内积 【典例1】．已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（　　） A． B． C． D． 【典例2】．已知，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．0 【典例3】．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】．已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【典例5】．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 题型2 两向量垂直 【典例1】．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【典例2】．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【典例3】．已知，当m为何值时，向量与互相垂直. 三、知识检测 1．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A．6 B．3 C． D． 5．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．中，设，若，则的形状是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 8．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 10．已知向量，则___________． 11．已知向量，且，则________． 12．已知向量与的夹角为，，，则____________． 13．在边长为2的正三角形中，____ 14．已知单位向量，的夹角为，且与垂直，则__________. 15．已知，当①，②，③与的夹角是时，分别求． 16．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 17．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $