专题10 向量线性运算的坐标表示 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题10 向量线性运算的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量线性运算的坐标表示 两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝ (x1－x2，y1－y2) λa＝ (λx1，λy1) |a|＝. （2）向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0 . 二、题型精练 题型1 向量线性运算的坐标表示 【典例1】．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知向量，， 则， 故选：D. 【典例2】．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 【典例3】．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 则. 故选：A. 【典例4】．已知,则=（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：. 题型2 向量共线的坐标表示 【典例1】．已知向量，，若，则的值是（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示进行运算. 【详解】由题可知：，所以. 故选：D 【典例2】．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件判断即可． 【详解】当时，向量，， ∵，， ∴，∴，故充分性成立， 当时，，即，解得，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故选:A. 【典例3】．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】B，C，D三点共线,即，即可. 【详解】，因为B，C，D三点共线,即， . 故选：D 【典例4】．已知，且与平行，求实数k的值. 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标表示及向量平行的坐标表示列方程求解. 【详解】， 则有， . ∴由，得， ，实数k的值为 三、知识检测 1．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．设向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且， 所以，所以. 故选：A. 3．已知向量，且，则（    ） A．9 B．117 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示求的值，再求. 【详解】∵， ∴， 解得：， 所以， 故, 故选:D. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，， 则. 故选：C. 5．已知，，，若，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示得出与，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，. 又，所以，解得. 故选：A. 6．已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先确定各点坐标，再求向量坐标，最后相加即可. 【详解】因为正方形ABCD边长为， 所以， 可得点，，， 所以，， 所以. 故选：A. 7．已知，且，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算表示出，再利用向量的平行的坐标表示求出的值即可. 【详解】∵， ∴ ， ∵， ∴，即. 故选：A. 8．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 又因为三点共线，. . 故选：B. 9．已知向量，向量，向量，则__________． 【答案】5 【分析】由向量的坐标的线性运算即可解得. 【详解】解： ． 故答案为：5 10．已知向量，存在数，使得，则__________． 【答案】 【分析】先表示出，再由求出的值. 【详解】， ∴， ∴，． 故答案为：. 11．已知平面向量，且，则___________. 【答案】4 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且， ∴，解得. 故答案为：4. 12．若，，则_____． 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故答案为：. 13．已知点，，若，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为点，， 所以， 设，则． ∵， ∴， 解得，， ∴点的坐标为． 故答案为：. 14．已知点，，，设，，，求． 【答案】 【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示得出答案. 【详解】因为，，， 可得. 15．已知，且，求x，y的值． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示列式求解即可. 【详解】， . 16．已知点，且，求点C的坐标. 【答案】 【分析】设点C的坐标为，根据向量线性运算的坐标表示可求解. 【详解】设点C的坐标为， 由，得 ， 又因为， 所以. 故，解得. 即点C的坐标为. 17．已知向量，. (1)若，求向量的坐标； (2)若，，且A，，三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算计算即可. （2）根据向量共线定理列式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，， 所以. （2）因为A，，三点共线，所以， 所以存在实数，使得， 即， 又与不共线，所以， 解得. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 向量线性运算的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量线性运算的坐标表示 两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝ (x1－x2，y1－y2) λa＝ (λx1，λy1) |a|＝. （2）向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0 . 二、题型精练 题型1 向量线性运算的坐标表示 【典例1】．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【典例3】．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】．已知,则=（  　） A． B． C． D． 题型2 向量共线的坐标表示 【典例1】．已知向量，，若，则的值是（   ） A． B． C． D．6 【典例2】．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【典例4】．已知，且与平行，求实数k的值. 三、知识检测 1．如果，那么（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，且，则（    ） A．9 B．117 C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，则（   ） A．2 B． C． D．5 6．已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．已知，且，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 8．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 9． 已知向量，向量，向量，则__________． 10． 已知向量，存在数，使得，则__________． 11． 已知平面向量，且，则___________. 12． 若，，则_____． 13． 已知点，，若，则点的坐标为__________． 14． 已知点，，，设，，，求． 15． 已知，且，求x，y的值． 16． 已知点，且，求点C的坐标. 17．已知向量，. (1)若，求向量的坐标； (2)若，，且A，，三点共线，求的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $