专题09 向量的坐标表示 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题09 向量的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量的坐标表示 对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=xi+yj ．我们把有序实数对称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y) ． （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ (x2－x1，y2－y1) 二、题型精练 题型1 向量的坐标表示 【典例1】．若，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．向量 为原点）的终点位于第二象限，则有（    ） A． ， B．， C．， D．， 【典例3】．若用、分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型2 向量坐标的求法 【典例1】．若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】．在如图所示的平角坐标系中，向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．已知，点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例4】．已知平行四边形的三个顶点，求顶点的坐标. 三、知识检测 1．下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，向量（    ） A． B． C． D． 3．设分别为x轴、y轴的单位向量，若，则向量的坐标是（    ）. A． B． C． D． 4．下列向量为的相反向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，，下列说法错误的是 （   ） A． B． C． D． 6．如图所示的平角坐标系中，向量的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 7．设点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则的坐标是______． 11．已知分别为与轴，轴正方向同向的单位向量，向量，则点的坐标是__________. 12．若向量且点P的坐标为，则点Q的坐标为______________． 13．，，的坐标是________，线段的中点坐标是________． 14．已知点，向量，则向量______． 15．如图，已知，，，，求向量，，，的坐标．    16．如图，边长为的正方形中心在原点，四个顶点都在坐标轴上，求向量、、、、、的坐标．    17．已知平面上，，三点的坐标分别为，，． (1)写出向量，的坐标. (2)如果四边形是平行四边形，求点的坐标． 18．已知，且，如果，则x的值是多少？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 向量的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量的坐标表示 对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=xi+yj ．我们把有序实数对称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y) ． （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ (x2－x1，y2－y1) 二、题型精练 题型1 向量的坐标表示 【典例1】．若，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用基底向量表示，进而确定坐标. 【详解】已知，并且， 因此向量的坐标是， 故选：D. 【典例2】．向量 为原点）的终点位于第二象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示，求出终点的坐标即可判断. 【详解】向量，，所以， 又点位于第二象限， ，． 故选：C． 【典例3】．若用、分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】因为、分别表示轴和轴正方向上的单位向量且. 所以令. 故选：. 题型2 向量坐标的求法 【典例1】．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示即可求解. 【详解】因为若，， 所以. 故选：C. 【典例2】．在如图所示的平角坐标系中，向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据图形得出A，B的坐标，再根据向量坐标表示写出. 【详解】由图知，， 所以. 故选：D. 【典例3】．已知，点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的定义求解即可. 【详解】设点， 因为点，， 即,解得， 所以点坐标为. 故选：A. 【典例4】．已知平行四边形的三个顶点，求顶点的坐标. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质，结合相等向量的坐标表示，即可求解. 【详解】    因为平行四边形的三个顶点， 设，则， 因为,所以，解得， 所以顶点的坐标为. 三、知识检测 1．下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示方法，逐项判断即可. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C. 2．如图，在平面直角坐标系中，向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示求值即可. 【详解】如图可知，， 所以. 故选：C. 3．设分别为x轴、y轴的单位向量，若，则向量的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的坐标表示的定义求解即可. 【详解】因为分别为x轴、y轴的单位向量，且， 则向量的坐标是. 故选：B. 4．下列向量为的相反向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合相反向量的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量的相反向量是. 故选：D. 5．已知点，，，下列说法错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标表示即可解答. 【详解】因为点，，， 即，故A正确； ，故B正确； ，故C正确，D错误， 故选：D. 6．如图所示的平角坐标系中，向量的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求解． 【详解】由图可知，, 所以．　 故选：D． 7．设点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】 ，， . 故选：C. 8．已知点，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由向量的坐标表示可求解. 【详解】设点. 由题意知，， 所以， 求得. 故选：A 9．已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，然后根据列方程组求出点的坐标，再根据向量的坐标表示即可求出向量. 【详解】已知点，点， 则， 即，解得，所以点的坐标为， 则向量. 故选：D. 10．已知，，则的坐标是______． 【答案】 【分析】由终点坐标减起点坐标即可求出的坐标. 【详解】已知，， ， 的坐标是. 故答案为：. 11．已知分别为与轴，轴正方向同向的单位向量，向量，则点的坐标是__________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示及向量正交分解即可得解. 【详解】由题意得，向量，则点的坐标是. 故答案为：. 12．若向量且点P的坐标为，则点Q的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算进行计算即可得解. 【详解】设Q的坐标为，已知点P的坐标为，则， 故有，解得；，解得， 所以点Q的坐标为. 故答案为：. 13．，，的坐标是________，线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示计算即可. 【详解】∵，， ∴的坐标是， 线段的中点坐标是，即． 故答案为：，． 14．已知点，向量，则向量______． 【答案】 【分析】利用向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】设点，因为点，向量， 即，解得， 所以点，因为，则 故答案为：. 15．如图，已知，，，，求向量，，，的坐标．    【答案】，，， 【分析】根据向量的坐标表示方法直接得解. 【详解】，， ， ． 16．如图，边长为的正方形中心在原点，四个顶点都在坐标轴上，求向量、、、、、的坐标．    【答案】答案见解析 【分析】根据向量坐标的定义，求出点、、、的坐标，然后利用向量的坐标公式求解． 【详解】因为边长为，所以，所以， 所以可知、、、， 利用向量的坐标公式得， ， ， ， ， . 17．已知平面上，，三点的坐标分别为，，． (1)写出向量，的坐标. (2)如果四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）由向量的坐标表示即可得解. （）由向量的坐标表示即可得解. 【详解】（1），，. ，． （2）设点的坐标为. ∴． ∵四边形是平行四边形. ∴. ∴ 解得 点的坐标为． 18．已知，且，如果，则x的值是多少？ 【答案】 【分析】先根据向量坐标的定义得到向量的坐标，再根据向量相等列方程求解参数即可. 【详解】∵，∴. 而题目已知， 故，. 由得， 由得，即或. 综上，. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $