专题07 向量的数乘运算 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题07 向量的数乘运算 一、知识梳理 （1）向量的数乘运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 数乘 实数λ与向量a的积是一个向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ，向量的数乘运算满足以下法则： (λμ) a =λ(μa) = μ(λa) ； (λ+μ) a = λa +μa； λ(a+b) = λa+λb． （2）共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. （3）向量的线性表示 一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数)，则称向量c可以由向量a、b线性表示． 二、题型精练 题型1 向量的数乘运算 【典例1】．若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数乘向量的定义求解. 【详解】若，则. 故选：B. 【典例2】．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算法则及运算律可求解. 【详解】原式． 故选：B 【典例3】．若为非零向量，则与的方向（   ） A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 【答案】B 【分析】根据数乘向量的定义判断即可. 【详解】为非零向量， ，∴与的方向相反． 故选：B. 【典例4】．实数与向量的乘积是（    ） A．一个实数 B．一个实数或一个向量 C．一个向量 D．一个实数和一个向量 【答案】C 【分析】根据向量数乘的意义即可求解. 【详解】实数与向量的乘积仍是一个向量． 故选：. 题型2 共线向量 【典例1】．设是两个非零且不共线的向量，若与共线，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线列式求解即可. 【详解】依题意设，， 因为是两个非零且不共线的向量，则. 解得或. 故选：D. 【典例2】．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，试判断下列向量、是否共线， (1)，； (2)，. 【答案】(1)与共线． (2)与共线． 【分析】当，与共线⇔存在实数，使得． 【详解】（1），故与共线. （2），故与共线. 题型3 向量的线性表示 【典例1】．在中，D是BC的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可得解. 【详解】因为，，所以. 因为D是BC的中点，所以. 所以. 故选：B. 【典例2】．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 三、知识检测 1．下列四个命题： ①对于实数和向量，恒有； ②对于实数和向量，恒有； ③若且，则； ④若，则 其中正确命题个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量数乘运算的运算律，即可判断求解. 【详解】根据数乘向量的分配律，可知对于实数和向量，恒有，故①正确； 对于实数入和向量，恒有，故②正确； 若且，则，故，故③正确； 若，则，故，故④正确； 故正确命题的个数为4个. 故选：D. 2．向正表示，向南走了100米，则向量表示（   ） A．向南走了100米 B．向南走了200米 C．向西走了100米 D．向东走了200米 【答案】B 【分析】根据向量数乘的几何意义求解. 【详解】已知向量表示向南走了100米，这意味着向量的方向是向南，模长米， 所以向量的方向与相同，即向南，其模长为米， 所以，向量表示向南走了200米. 故选：B. 3．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线的条件求解. 【详解】若向量与向量共线， 则存在实数，使得，即， 因为是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：D. 4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则与共线，可知充分性成立； 若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立； 所以“”是“与共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5．下列说法中正确的是（   ） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的性质逐个分析即可. 【详解】A中，当时，，零向量的方向是任意的，不与同向或反向，故A错误， B中，当，时，不存在实数使， 故B错误， C中，向量的模长关系仅表示长度比例，不决定方向，若，则与可能方向不相同也不相反，故C错误， D中，若，则， 故D正确， 故选：D. 6．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量共线定理，及向量运算，即可判断求解. 【详解】因为，，不存在实数使得， 故、、三点不共线，故A错误； 因为，，不存在实数使得， 故、、三点不共线，故B错误； 因为，，则， 故、、三点共线，故C正确； 因为，， 不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C. 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算性质即可得出答案. 【详解】 故选：B 8．如图，在三角形中，，（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为在三角形中，， 所以, 所以. 故选：A. 9．如图所示，已知，则用、表示为__________．    【答案】 【分析】根据向量加法、减法、及数乘运算法则求解. 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：. 10．_________________. 【答案】 【分析】根据向量的基本运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为： 11．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则______． 【答案】 【分析】根据向量共线定理列式求解即可； 【详解】因为向量与共线， 所以存在，使得， 可化为, 即，解得． 故答案为： 12．已知向量，若，则与的方向_______；若，则与的方向________ 【答案】 相同 相反 【分析】根据平面向量共线定理即可求解. 【详解】根据平面向量共线定理， 因为，且，所以与的方向相同； 在中，，所以与的方向相反. 故答案为：相同，相反 13．已知，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】∵，∴，∴. 故答案为：. 14．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由向量的加法，减法和数乘运算计算即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. 15．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，试判断下列向量、是否共线． (1)，； (2)，． 【答案】(1)与共线． (2)与共线． 【分析】由向量的线性运算结合向量共线定理判断即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以与共线． （2）因为，， 所以， 所以与共线． 16．设、是两个不共线的向量，已知向量，，，若A、、三点共线，求的值． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得，据此可求解. 【详解】由题意得 ． ∵三点共线， ∴，即， ∴，解得． 17．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算表示向量，即可； （2）由向量的线性运算和平行向量基本定理即可得解. 【详解】（1）依题意，是的中点， 是将分成的一个内分点， ∴ ， 即； ． （2）设 ( )， 则， ∵与共线，∴存在实数k，使， 即， 则，解得． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 向量的数乘运算 一、知识梳理 （1）向量的数乘运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 数乘 实数λ与向量a的积是一个向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ，向量的数乘运算满足以下法则： (λμ) a =λ(μa) = μ(λa) ； (λ+μ) a = λa +μa； λ(a+b) = λa+λb． （2）共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. （3）向量的线性表示 一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数)，则称向量c可以由向量a、b线性表示． 二、题型精练 题型1 向量的数乘运算 【典例1】．若，则（   ） A．0 B． C． D． 【典例2】．（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若为非零向量，则与的方向（   ） A． 相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 【典例4】．实数与向量的乘积是（    ） A．一个实数 B．一个实数或一个向量 C．一个向量 D．一个实数和一个向量 题型2 共线向量 【典例1】．设是两个非零且不共线的向量，若与共线，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D． 【典例2】．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，试判断下列向量、是否共线， (1)，； (2)，. 题型3 向量的线性表示 【典例1】．在中，D是BC的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 三、知识检测 1．下列四个命题： ①对于实数和向量，恒有； ②对于实数和向量，恒有； ③若且，则； ④若，则 其中正确命题个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．向正表示，向南走了100米，则向量表示（   ） A．向南走了100米 B．向南走了200米 C．向西走了100米 D．向东走了200米 3．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列说法中正确的是（   ） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 6．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，，（   ）    A． B． C． D． 9．如图所示，已知，则用、表示为__________．    10．_________________. 11． 已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则______． 12． 已知向量，若，则与的方向_______；若，则与的方向________ 13． 已知，则__________. 14．计算． (1)； (2)； (3) ． 15．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，试判断下列向量、是否共线． (1)，； (2)，． 16． 设、是两个不共线的向量，已知向量，，，若A、、三点共线，求的值． 17．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $