精品解析：四川成都石室东部新区实验学校2026届高三下学期第三次学习效果检测数学试题

成都石室东部新区实验学校高三下期第三次学习效果检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. x<2 D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 5. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调，为实数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 存在常数项 B. 所有项的系数和为0 C. 系数最大的项为第4项和第5项 D. 所有项的二项式系数和为128 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ） A. B. 双曲线C的离心率为2 C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2 11. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（　　） A. B. a的取值范围为 C. 的最大值为2 D. 的取值范围为 三、填空题 12. 函数的定义域为______． 13. 已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则________． 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 四、解答题 15. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 16. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 19. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室东部新区实验学校高三下期第三次学习效果检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】且，当时，；当时，； 当时，；当时，；所以， 所以. 故选：B 2. 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数与虚部的概念求解即可 【详解】则，故的虚部为1 故选：D 3. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. x<2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解. 【详解】由得， 所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误； “”是“”的充分不必要条件，故B正确； “”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误； “”是“”的充要条件，故D错误. 故选：B. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 5. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解. 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 6. 三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先取中点，连接，.通过勾股定理求解，的长度，并利用余弦定理求解的值.然后分别过三角形与的外心作平面的垂线，垂线交于球心，最后求解的长度，进而利用勾股定理求解外接球半径. 【详解】如图，取中点，连接，. 且为中点，， ，同理可得. 又，，，即， 过的外心作平面的垂线为，垂足为， 同理过的外心作平面的垂线为，并设，易知为球心. 连接，，. 为的外心，， 又在中，， 得，即外接球半径， 故外接球表面积. 故选：B 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角比证明点为椭圆短轴端点，然后根据的面积为列式即可得出答案. 【详解】解析：如图， 设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 8. 若函数在上单调，为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数单调的性质得出的特点，进而得到与的关系，再通过构造函数，利用导数研究函数单调性来比较与、与的大小关系. 【详解】， 因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解， 故，即，， 令，则，令，解得， 时，，时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，即；， 令，在上单调递增，无最值，则大小不确定， 故选：D. 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 存在常数项 B. 所有项的系数和为0 C. 系数最大的项为第4项和第5项 D. 所有项的二项式系数和为128 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可． 【详解】解：选项A：二项式的展开式的通项为， 令，解得，故不存在常数项，故A错误； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为0，故B正确； 选项C：二项式的展开式的通项为， 第四项为，第五项为， 显然第五项的系数最大，故C错误； 选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确； 故选：BD． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ） A. B. 双曲线C的离心率为2 C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线性质以及斜率乘积为1可判断A正确，由离心率定义计算可得离心率可知B错误，由双曲线渐近线方程斜率以及直线过原点可知，可判断C错误，利用双曲线定义以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】如下图所示： 依题意可知； 设， 则，作差可得，即； 因此直线与的斜率分别为， 所以可得，即； 又，所以，可得A正确； 对于B，所以离心率，因此B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为， 直线过原点，依题意可知直线与双曲线有两个不同的交点， 因此直线的斜率为，所以直线倾斜角的取值范围为，可知C错误； 对于D，若，则， 根据双曲线定义以及A中的结论可知， 即，又； 可知， 因此三角形的面积为，可知D正确. 故选：AD 11. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（　　） A. B. a的取值范围为 C. 的最大值为2 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：转化已知条件求得，结合，从而求得C；对B：利用正弦定理和角度关系，求得a关于A的函数关系，结合A的范围，求其值域即可；对C：利用余弦定理，求得a、b、c的齐次式，结合基本不等式，即可求解；对D：将转化为关于B的函数，结合B的范围，求其值域即可. 【详解】对A：，即， 整理可得：，可得， 在中，，故， 又为锐角三角形，故，A正确； 对B：由A可知，，可得， 由正弦定理，，即， 则， 又，故，则； 由为锐角三角形可得：， 可得，故，则，则，故B错误； 对C：由余弦定理，可得， 等式两边同除可得：，所以， 解得， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对D：， 故， 故， 由B可知，所以 所以，故， 所以，， 也即的取值范围为，故D错误 故选：AC． 三、填空题 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案. 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用奇偶性和周期性的定义得到的周期为4，再利用赋值法求出前几项的函数值，再求和即可. 【详解】是上的偶函数，且为奇函数， 的图象关于点对称，得到， ，， 故，即的周期为4， 是上的偶函数，的图象关于点对称， ，由已知得， 对于，当时，得到， 当时，得到，当时，， ， . 故答案为： 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为是腰上的两个动点，则，， 所以，又， 则，得到，所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【小问1详解】 因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 【小问2详解】 由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 16. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】（1），可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； （2），6.3亿元； （3）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断相关性，再应用相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归直线方程，进而估计该人工智能公司2025年的利润； （3）由题意“试销年”的个数能取的值为并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． 【小问2详解】 由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； 【小问3详解】 由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明得平面，再由线面垂直的判定定理证明得平面，从而证明得，可得，，，四点共面； （2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算即可. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，连接，， 如图所示： 由，得， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 由平面，平面，得， 又因为四边形是正方形，， 且，平面，平面， 所以平面，得， 故，，，四点共面. 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，， 又四边形是正方形，所以， 则，，两两垂直， 以点为坐标原点，以，，方向分别 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 而平面，且平面平面，故， 由（1）知，，故四边形为平行四边形， 得， 由于，，所以， 又平面，所以平面， 故，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）0；（ii）48 【解析】 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【小问1详解】 设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $