专题4 区间及一元二次不等式（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 区间及一元二次不等式 【复习目标】 1. 熟练掌握一元一次不等式及一元二次不等式的解法. 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式来解决实际问题. 【考点1 区间】 1. 区间的表示 （1）设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 【即时训练】 1．集合且用区间表示为（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．区间可用集合表示为（    ） A．且 B． C．或 D． 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 5．医护专业在配置某种药剂，已知药剂浓度满足，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则 . 7．已知，且，则的取值范围为 . 8．已知区间，求． 【考点2 一元一次不等式】 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 ． 【即时训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解是 . 4．已知不等式组的解集是，则= . 5．解不等式， (1) (2). 6．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 【考点3 一元二次不等式】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 1．不等式的解集是（　　） A．或 B． C．或 D． 2．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 3．的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 6．关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．若方程无实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知二次方程的两个根是和3，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．不等式的解集为，则的取值范围是 . 10．已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 1．（2026年·河南对口升学高考第14题）不等式 的解集是 . 2．（2025年·河南对口升学高考第19题）求函数的定义域. 3．（2024年·河南对口升学高考第19题）求函数的定义域． 4．（2022年·河南对口升学高考第2题）数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 区间及一元二次不等式 【复习目标】 1. 熟练掌握一元一次不等式及一元二次不等式的解法. 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式来解决实际问题. 【考点1 区间】 1. 区间的表示 （1）设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 【即时训练】 1．集合且用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合与区间的转换即可求解. 【详解】由集合且或， 集合且用区间表示为. 故选：C. 2．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用区间的运算即可得解. 【解析】】因为，， 所以. 故选：B. 3．区间可用集合表示为（    ） A．且 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义与运算及集合的表示求解. 【详解】区间可用集合表示为且. 故选：A. 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元一次不等式组的解法即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以的解集为. 故选：A. 5．医护专业在配置某种药剂，已知药剂浓度满足，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】解不等式，移项得，即， 两边同时除以，不等号变向得， 用区间表示为. 故选：A. 6．已知集合，，则 . 【答案】 【解析】集合，则， 又，所以， 故答案为：. 7．已知，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，又， 如图，结合数轴分析知，故的取值范围为. 8．已知区间，求． 【答案】 【分析】根据交集和并集的概念，以及区间的含义，求解即可. 【解析】解：∵， ∴，． 【考点2 一元一次不等式】 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 【即时训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质解不等式. 【详解】根据不等式的性质，不等式可化为，解得. 故选：A. 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式组分别得到解集，求得交集得到答案. 【详解】对于不等式，解得的范围是， 对于不等式，解得的范围是， 因此不等式组的解集是， 故选：D. 3．不等式组的整数解是 . 【答案】 【解析】，由①得：，由②得：， ∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：， 故答案为：． 4．已知不等式组的解集是，则= . 【答案】4 【解析】由的解集是可知，，， 则， 故答案为：4． 5．解不等式， (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元一次不等式即可解得. （2）解一元一次不等式组即可解得. 【详解】（1）由题，， 可化为， 解得. （2）由题，， 解得，则. 6．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 【答案】(1)70元 (2) 【分析】（1）根据利润与售价的关系，列出等式，再求解即可. （2）根据利润公式，再结合题目中的数量限制条件列不等式组求解. 【详解】（1）因为利润=(售价-进价)×销售量，可列方程，解得. 所以售价为 70 元. （2）设销售量为，则 可列不等式组， 因为，所以根据第一个不等式. 因为，所以，解不等式，解得. 又因为，所以的取值范围是. 【考点3 一元二次不等式】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 1．不等式的解集是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】∵不等式， ∴或， ∴不等式的解集为或． 故选：A． 2．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合一元二次不等式的解法即可解出不等式. 【解析】因为二次函数开口向上，两根为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3．的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式解法求解即可. 【详解】由于的两根， 故不等式解得：或． 解集为：. 故选：C. 4．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式得， 所以，所以可以求得， 故选：B. 5．不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，无解， 故选：D． 6．关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为，所以不等式的解集为， 故选：A. 7．若方程无实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程无实数时判别式小于零，列式即可得解. 【解析】因为方程无实数解， 即，，解得， 可得的取值范围是. 故选：B. 8．已知二次方程的两个根是和3，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系求解即可. 【详解】因为两根和3， 所以解集是． 故选：B. 9．不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是， 故答案为：. 10．已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【答案】2 【解析】因为关于x的不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个根， 所以，解得， 故答案为：2. 1．（2026年·河南对口升学高考第14题）不等式 的解集是 . 【答案】 【解析】 解集为 ． 故答案为：． 2．（2025年·河南对口升学高考第19题）求函数的定义域. 【答案】 【分析】利用偶次根号下大于等于零和对数函数真数大于零，结合一元二次不等式的解法可求. 【详解】要使函数有意义，则， 不等式可化为， 解得或， 解不等式得到， 综上， 所以函数的定义域为. 3．（2024年·河南对口升学高考第19题）求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据算术平方根底数非负，且分母不为零求解. 【详解】要使函数有意义需满足，， 可化为，，得到 解得，. ∴函数的定义域为. 4．（2022年·河南对口升学高考第2题）数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据区间的符号可知，数集，用区间表示为：， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $