专题2 充要条件（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解命题中条件和结论的关系. 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考点1 命题】 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为 ． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为 ． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为 ． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题． (6)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【即时训练】 1．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 2．下列四个命题中，为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列命题为假命题的是（       ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 4．命题“若，则且”的逆命题是（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若或，则 D．若且，则 5．对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是（       ） A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 6．已知命题“若，则且”，下列哪一个是该命题的逆否命题（ ） A．若或，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则且 7．命题“若，则”的否命题为（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若，则且 D．若，则或 8．在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【考点2 充要条件】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．是的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 6．“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．是 的（  ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点3 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 6．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 8．已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 1．（2025年·河南对口升学高考第8题）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 2．（2024年·河南对口升学高考第8题）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3．（2022年·河南对口升学高考第1题）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解命题中条件和结论的关系. 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考点1 命题】 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． (6)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【即时训练】 1．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：若，则必成立； 对于B：若，则必成立； 对于C：若，则必成立； 对于D：由不能得出，所以不可能是， 故选：D． 2．下列四个命题中，为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】当时，A不成立； ∵，∴，又，∴，故B不成立； 当时，D不成立； 由不等式基本性质：可得，C选项正确， 故选：C. 3．下列命题为假命题的是（       ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，则，故选项A正确； 对于B：若，，则，所以，故选项B正确； 对于C：将两边同时乘以可得：，将两边同时乘以可得，所以，故选项C正确； 对于D：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D不正确；所以选项D是假命题， 故选：D. 4．命题“若，则且”的逆命题是（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若或，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】命题“若，则且”的逆命题是“若且，则”，故选：D. 5．对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是（       ） A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 【答案】C 【解析】全等三角形的面积相等，命题p为真命题；面积相等的三角形不一定全等，所以命题q为假命题. 故选：C. 6．已知命题“若，则且”，下列哪一个是该命题的逆否命题（ ） A．若或，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则且 【答案】A 【解析】逆否命题的定义： 设“若p，则q”为原命题，则若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题， 由逆否命题的定义知， 命题“若，则且”的逆否命题是： “若或，则” 故选：A. 7．命题“若，则”的否命题为（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【解析】命题“若，则”即为“若，则且”， 所以否命题为：若，则或， 故选：D. 8．在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【答案】②③ 【解析】①因为时，，则对任意实数x，均有为假命题． ②因为时，，则存在实数x，使得为真命题． ③由三角形的外角的性质可知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和为真命题． ④因为满足为偶数，但a、b均不为偶数，因此如果为偶数，那么a、b均为偶数为假命题， 故答案为：②③. 【考点2 充要条件】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据范围的大小，结合充分、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，不一定有，如，即“”是“”的不充分条件； 当时，一定有，即“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．是的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次方程，再根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】方程即，解得或， 故推不出，不是的充分条件， 可以推出，是的必要条件， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，即可求解. 【详解】已知，若，则，充分性成立； 已知，若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义即可得解. 【详解】若，则，所以成立； 若，则，因为，，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的解法及充分条件、必要条件的概念判断. 【详解】由可得， 若“”，则一定有“”，故充分性成立； 若“”，则不一定有“”，如时，故必要性不成立， 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：A． 6．“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若方程有实根，则，解得， 则当，则方程有实根，故充分性成立； 当方程有实根时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“方程有实根”的充分不必要条件， 故选：. 7．是 的（  ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】若，则一定成立，即充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以是 的充分而不必要条件. 故选：A. 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数的定义及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，； 当时，， 所以“”是“”的充要条件， 故选：. 【考点3 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含关系及充分性和必要性的定义即可得解. 【详解】因为，所以能推出，但不能推出， 所以“”是“”的必要条件. 故选：. 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分、必要条件结合一元二次不等式解法判断即可. 【详解】由，可解得， 因为，不能推出， 而，可以推出， 所以设，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【解析】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】由可以推出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【解析】因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 6．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件， 故选：A. 7．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】是的必要条件，， ，解得：，即的取值范围为， 故答案为：. 8．已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】根据充要条件的定义求解. 【解析】解：不存在. ∵， ∴若p是q的充要条件，则， 解得且，故此方程组无解. 所以，不存在实数m，使p是q的充要条件． 1．（2025年·河南对口升学高考第8题）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（2024年·河南对口升学高考第8题）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【解析】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 3．（2022年·河南对口升学高考第1题）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据小范围能够推出大范围，大范围推不出小范围可知， 能推出，但推不出，所以“”是“”的充分条件， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $