专题3 不等式的基本性质（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 会比较两个实数的大小. 2. 通过运用不等式的有关内容提高逻辑思辨能力. 3. 会用不等式的性质解决有关实际问题. 【考点1 实数大小的比较】 比较实数大小的一般方法：作差与0比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 【即时训练】 1．已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 2．设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 3．已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 4．若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 5．已知，则（ ） A． B． C． D．无法确定 6．已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 7．设，那么的大小关系是 . 8．与的大小关系为 . 9．设，，则，的大小关系为___________． 10．求证：. 【考点2 不等式的基本性质】 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； （4）不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； （7）同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （8）异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； （9）不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； （10）不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； （11）不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.（1）（6）说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.（7）（8）说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【即时训练】 1．若，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 7．已知a，b，c，d为实数，则“”是“且”的（       ） A．必要不充分条件 B．不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 11．若，，则的取值范围为 . 12．已知,,求的取值范围． 1．（2026年·河南对口升学高考第3题）设a<b，c>d，则下列式子正确的是（ ） A.ac>bd B.ad<bc C.a+c<b+d D.a+d<b+c 2．（2025年·河南对口升学高考第2题）设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3．（2024年·河南对口升学高考第2题）设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 会比较两个实数的大小. 2. 通过运用不等式的有关内容提高逻辑思辨能力. 3. 会用不等式的性质解决有关实际问题. 【考点1 实数大小的比较】 比较实数大小的一般方法：作差与0比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 【即时训练】 1．已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【解析】由题得， 故选：B. 2．设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以， 故选：A. 3．已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，． ，， ， 故选：B． 4．若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【答案】B 【解析】，， 故选：B. 5．已知，则（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】, 故. 故选：A. 6．已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，， 故选：C. 7．设，那么的大小关系是 . 【答案】 【解析】因为，故， 所以，故， 故答案为：. 8．与的大小关系为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：． 9．设，，则，的大小关系为___________． 【答案】 【解析】， 所以. 故答案为： 10．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为， 故，又， 故. 【考点2 不等式的基本性质】 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； （4）不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； （7）同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （8）异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； （9）不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； （10）不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； （11）不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.（1）（6）说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.（7）（8）说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【即时训练】 1．若，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则，故A正确； 当时，，故BC错误； 当时，，故C错误. 故选：A. 2．若，，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，即， 故选：D. 3．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，由，则，故C正确； 对于D，当时，，则，故D错误， 故选：C. 4．已知，下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解即可解得. 【详解】选项A：，则，与大小无法判断，错误. 选项B：，则，正确. 选项C：，则，错误. 选项D：，则与大小无法判断，错误. 故选：B 5．已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若，，，，不等式不成立； 对于B，取，，，，不等式不成立； 对于C，因为且，，所以由不等式的同项可加性，，不等式成立； 对于D，当，时，不等式不成立， 故选：C. 6．已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ，所以. 故选：C. 7．已知a，b，c，d为实数，则“”是“且”的（       ） A．必要不充分条件 B．不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】令，，，，显然由，推不出且， 故“”不是“且”的充分条件， 由且，根据不等式的基本性质得：， 故“”是“且”的必要条件， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故选：A． 8．已知，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质分析判断即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 9．已知，，则下列代数式的范围错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C. 10．下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【解析】对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误； 故答案为：②. 11．若，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以； 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 12．已知,,求的取值范围． 【答案】 【解析】解:,， 又，,， 即的取值范围是． 1．（2026年·河南对口升学高考第3题）设a<b，c>d，则下列式子正确的是（ ） A.ac>bd B.ad<bc C.a+c<b+d D.a+d<b+c 【答案】D 【解析】∵a<b，c>d ∴b>a ∴b+c>a+d（不等式的同向可加性）． 故选：D ． 2．（2025年·河南对口升学高考第2题）设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性，结合反例逐个判断选项. 【详解】指数函数在上单调递增，当时，根据单调性可得，故B正确； 当，时，，，此时，故A错误； 当，时，，，，故C错误； 指数函数在上单调递减，当时，,故D错误. 故选：B. 3．（2024年·河南对口升学高考第2题）设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果. 【解析】， 因为所以， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $