7.3 离散型随机变量的数字特征导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 7.3《离散型随机变量的数字特征》 导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月15日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 离散型随机变量的均值 （1） 问题探究 问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示 如何比较他们射箭水平的高低呢? 探究： 类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性. 假设甲射箭次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲次射箭射中的平均环数为 当足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理,乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高. （二）均值（或数学期望）的定义 一般地,若离散型随机变量的分布列如表7.3-2所示, 则称 为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望. 注：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取 值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. （三）均值或数学期望的性质 设离散型随机变量的分布列为 根据随机变量均值的定义, 类似地,可以证明 一般地,下面的结论成立: （四）实例运用 例1．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 【答案】0.8 【难度】0.94 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】先求得X=1和X=0时的概率，求得期望，即可得答案. 【详解】因为，， 所以． 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8． 例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 【答案】3.5 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值. 【详解】由已知随机变量X的取值有，2，3，4，5，6． ，，， ，，， ∴ 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴  随机变量X的期望 例3．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 【答案】X的分布列为 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】写出X的可能取值，再求出每个值所对的概率即可求解 【详解】分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． ， ， ， ． X的分布列如表所示． X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为． 例4．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元． 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由． 【答案】采用方案2，理由见详解. 【难度】0.85 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】分别求出三种分案的平均损失即可求解. 【详解】用分别表示方案1,2,3的损失， 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，即， 采用方案2，遇到大洪水时，损失（元）， 没有大洪水时，损失2000元， 即， 采用方案3，遇到大洪水时，损失60000元， 有小洪水时，损失10000元， 没有洪水时，损失元， 即， 于是（元） . . 采用方案2的平均损失最小，所以采用方案2. 2、 离散型随机变量的方差 （1） 问题探究 问题2从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、 乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示： 如何评价这两名同学的射击水平? 探究： 通过计算可得, 因为两个均值相等,所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平,除要了解击中环数的均值外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.图7.3-2和图7.3-3分别是和的概率分布图. 比较两个图形,可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环,即乙同学的射击成绩更稳定. （2） 离散型随机变量的方差与标准差的定义 设离散型随机变量的分布列如表7.3-8所示. 考虑所有可能取值与的偏差的平方 因为取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量取值与其均值的偏离程度,我们称 为随机变量的方差,有时也记为,并称为随机变量的标准差,记为. 注1：在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化. 注2：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. （3） 离散型随机变量的方差的性质 离散型随机变量加上一个常数,仅仅使的值产生一个平移,不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即 而离散型随机变量乘以一个常数,其方差变为原方差的倍,即 一般地,可以证明下面的结论成立: （4） 实例运用 例1．抛掷一枚质地均匀的骰子，设X表示掷出的点数，求X的方差． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值，再由方差公式求X方差. 【详解】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6， ，，， ，，， ∴ 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴  随机变量X的期望 ∴ 随机变量X的方差 ∴ X的方差为. 例2．投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示． 股票A收益的分布列 收益X/元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 【答案】(1)股票A的期望收益大 (2)投资股票A的风险较高 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】(1)通过计算投资A，B两种股票收益的期望，确定哪种股票的期望收益大，(2)计算计算投资A，B两种股票收益的方差，确定哪种股票的风险高. 【详解】（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ， ． 因为，所以投资股票A的期望收益较大． （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， ． 因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 例3．某种生丝的级别及相应的概率为 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 试求该生丝的级别X的方差与标准差． 【答案】方差为4，标准差为2. 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列直接计算可求出方差和标准差. 【详解】根据分布列可得 ， 则方差 ， 所以标准差为2. 3、 达标检测 练习1．某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【难度】0.62 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 练习2．一个盒子里装有除颜色外大小相同的3个红球、3个黄球，现依次从盒中抽取小球．若抽取出的是红球，则放回盒中；若抽取出的是黄球，则用一个同样大小的红球替换放回盒中． (1)求第2次抽取到的是红球的概率； (2)记3次抽取结束后盒子中黄球的个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ． 【难度】0.64 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）记第次取到红球为事件，第次取到黄球为事件，，利用全概率公式求解； （2）根据概率的乘法公式求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】（1）记第次取到红球为事件，第次取到黄球为事件，． 则． （2）由题意，可以为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3    所以． 练习3．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.53 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. （2）易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册 7.3《离散型随机变量的数字特征》 导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月15日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 离散型随机变量的均值 （1） 问题探究 问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示 如何比较他们射箭水平的高低呢? 探究： 类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性. 假设甲射箭次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲次射箭射中的平均环数为 当足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理,乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高. （二）均值（或数学期望）的定义 一般地,若离散型随机变量的分布列如表7.3-2所示, 则称 为随机变量的 或 ,数学期望简称期望. 注：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取 值的概率,反映了随机变量取值的 . （三）均值或数学期望的性质 设离散型随机变量的分布列为 根据随机变量均值的定义, 类似地,可以证明 一般地,下面的结论成立: （四）实例运用 例1．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 例3．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 例4．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元． 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由． 2、 离散型随机变量的方差 （1） 问题探究 问题2从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、 乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示： 如何评价这两名同学的射击水平? 探究： 通过计算可得, 因为两个均值相等,所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平,除要了解击中环数的均值外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.图7.3-2和图7.3-3分别是和的概率分布图. 比较两个图形,可以发现乙同学的射击成绩更集中于 环,即 同学的射击成绩更稳定. （2） 离散型随机变量的方差与标准差的定义 设离散型随机变量的分布列如表7.3-8所示. 考虑所有可能取值与的偏差的平方 因为取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量取值与其均值的偏离程度,我们称 为随机变量的方差,有时也记为,并称为随机变量的标准差,记为. 注1：在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化. 注2：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越 ;方差或标准差越大，随机变量的取值越 . （3） 离散型随机变量的方差的性质 离散型随机变量加上一个常数,仅仅使的值产生一个平移,不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即 而离散型随机变量乘以一个常数,其方差变为原方差的倍,即 一般地,可以证明下面的结论成立: （4） 实例运用 例1．抛掷一枚质地均匀的骰子，设X表示掷出的点数，求X的方差． 例2．投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示． 股票A收益的分布列 收益X/元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 例3．某种生丝的级别及相应的概率为 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 试求该生丝的级别X的方差与标准差． 3、 达标检测 练习1．某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 练习2．一个盒子里装有除颜色外大小相同的3个红球、3个黄球，现依次从盒中抽取小球．若抽取出的是红球，则放回盒中；若抽取出的是黄球，则用一个同样大小的红球替换放回盒中． (1)求第2次抽取到的是红球的概率； (2)记3次抽取结束后盒子中黄球的个数为，求的分布列与数学期望． 练习3．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $