专题04 二元一次方程组（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题04 二元一次方程组 二元一次方程与解 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 二元一次方程组的概念与解 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法与加减消元法 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 二元一次方程的定义与解 【典例】（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，根据等式的基本性质， 把方程变形，移项，系数化为后得到答案． 【详解】解：已知二元一次方程， 移项，整理得：， 则用关于的代数式表示为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知关于、的二元一次方程，当取每一个不同值时，都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，则这个公共解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的定义，根据题意先给值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出、的值，然后把、的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法． 【详解】解：当每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解， 值随便取两个值， ，方程为， ，方程为， 解得，， 把，代入方程得， 这个公共解是． 故答案为：． 二元一次方程组的定义与解 【典例】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是一次方程），逐一判断各选项． 【详解】解：选项A中第一个方程含有项，为二次方程，不符合一次方程定义； 选项B中第一个方程左边为二次，不符合一次方程定义； 选项C中含有三个未知数a、b、c，不符合两个未知数的定义； 选项D中只含两个未知数m、n，且每个方程均为一次方程； 故选：D． 【变式1】（2024七年级下·江苏·期中）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（2025七年级下·江苏无锡·期中）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，准确理解方程组的定义是解题的关键． 根据方程组的解得定义，应该满足方程组的每一个方程，即可得解 【详解】∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴多项式A可以是； 故答案是：(答案不唯一)． 已知二元一次方程组的解求参数 【典例】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知是方程的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入原方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 化简得：， 移项得：， 即：， 两边同时除以， 解得：， 因此，k的值为4， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知是关于，的二元一次方程组的解，那么，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解：使方程组中每一个方程成立的一组未知数的值，是解题的关键；把代入中，即可求解． 【详解】解：由于是关于，的二元一次方程组的解， 所以，解得：； 即，； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）方程的解是，则_______，_______． 【答案】 1 0 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴ 解得． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，互为相反数，通过计算求的值． 【答案】 【分析】根据，互为相反数，得出，联立，求得，代入，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 代入， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，相反数的应用，求得的值是解题的关键． 解二元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解题方法是关键； 对于（1），根据加减法解二元一次方程组； 对于（2），将①整理，再根据代入法求出解即可. 【详解】（1）解： ①+②，得； 解得，； 把代入①，得； 解得，； 所以原方程组的解为：； （2）解：， 方程①可化为； 把代入②得，； 解得； 把代入得； 所以原方程组的解为： 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法即可求出方程组的解； （2）方程组整理后，然后利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由，得，解得：， 将代入①得， 故方程组得解为； （2）解：， 将②化简得③， 由得， 将代入①得， 故方程组得解为． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先变形，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法即可解答； （2）直接运用加减消元法即可解答． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 所以方程组的解是． （2）解：原方程整理得， 得， 把代入②得：， 解得：， ． 二元一次方程组的错解还原问题 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【答案】0 【分析】把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：将代入方程组中的， 得：，即；        将代入方程组中的， 得：，即，                则． 故答案为：0 【点睛】此题考查了二元一次方程组的错解问题，乘方运算的含义，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 【答案】 【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出的值． 【详解】解：依题意得，， 解得 将代入，解得 则， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【变式2】（2024七年级下·江苏·期中）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出即可． 【详解】 解：， 把 代入(2)，得， 解得：， 把代入(1)，得， 解得：， 所以． 【变式3】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6 (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 方程组相同解问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，将两个不含参数的方程重新组成方程组，求出的值，再代入含参数的方程中，求出的值即可． 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴的解与的解相同， 解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·重庆渝中·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】把看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值． 【详解】解： ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 代入得：， 去分母得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 _____ 【答案】 【分析】把，-y看作整体，则，从而得到方程组的解． 【详解】根据题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的方程组与方程组的解相同，试确定的值． 【答案】 【分析】首先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，联立关于m、n的方程组，解方程组得m、n的值，代入求得答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得，代入原方程组得， ， 解得， 把，代入得 ． 【点睛】此题考查方程组解的意义以及单项式乘多项式求代数式的值，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题，熟练求解二元一次方程组是解题的关键． 三元一次方程组的解与应用 【典例】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知x、y、z满足，则的值为______. 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则______． 1 a b c 8 … 【答案】1516 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意推出，进而得出表格中数据按照1，8，的顺序循环，是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 由表可知，表格中数据有1，8，， ∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴表格中数据按照1，8，的顺序循环， ∵，， ∴前n个格子一共有个数，则， 故答案为：1516． 【变式2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等．求，，的值． 【答案】 【分析】将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①    －②，得2b=－22，解得b=－11          ④ 将④代入③得，解得a=6         ⑤ 将④⑤代入①，得－5＋c=－2，解得c=3 ∴． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键． 根据问题列二元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦只，树棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据题意，设乌鸦有只，树有棵．分别根据两种栖息方式建立方程，联立方程组即可． 【详解】解：设乌鸦有只，树有棵，根据题意得， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据苹果的个数为定值，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）红圆珠笔每支0.7元，蓝圆珠笔每支1.2元，两种圆珠笔共买了15支，共花了19元，如果设买红圆珠笔x支，蓝圆珠笔y支，列出的关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，注意审题，根据题中的数量关系式可列出两个方程． 红色圆珠笔数量+蓝色圆珠笔数量总的15支圆珠笔，红色圆珠笔的钱数+蓝圆珠笔的钱数总钱数19元，根据这两个数量关系式可列出两个方程． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 用二元一次方程组解决问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）为提高垃圾分类意识，某社区决定采购两种型号的新型垃圾桶.若购买个型垃圾桶和4个型垃圾桶共需要元，购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要元. (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若社区同时采购，两种型号的新型垃圾桶若干个，恰好花费元，则采购的方案共有 种. 【答案】(1)型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元，根据题意可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设采购个型垃圾桶，个型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，再结合均为正整数，即可得出采购的方案共有种． 【详解】（1）解：设型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是元． （2）设采购个型垃圾桶，个型垃圾桶， 根据题意得：， ∴， 又∵均为正整数， ∴或或， 采购的方案共有种， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 小明：     小华 （1）根据两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x表示的意义． 小明：x表示_____________； 小华：x表示_____________． （2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？ 【答案】（1）甲工程队修建的长度；甲工程队修建的天数；（2）甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米 【分析】（1）根据甲修建的米数除以甲每天修的加上乙修建的米数除以乙每天修建的，可得小明的x表示何意；根据甲每天修的米数乘以天数加上乙每天修的米数乘以天数相加等于总米数可得小华的x表示何意； （2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，根据修建总长度36千米及两工程队共需修建500天，可列方程组求解． 【详解】解：（1）小明：x表示甲工程队修建的长度；小华：x表示甲工程队修建的天数． 故答案为：甲工程队修建的长度；甲工程队修建的天数． （2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，由题意得： ， 解得：， 答：甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米． 【点睛】本题考查了设不同的未知数，从而列不同的方程组，来解决同一个问题的方法，这需要明确不同变量之间的数量关系才能解决． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； (2)①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． (3)n的最小值是35． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系是解本题的关键； （1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，利用有A型板材162张，B型板材340张，做这两种箱子共100个，建立不等式组求解即可； （3）设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，再利用剩余的A板与B板之比为建立二元一次方程，再利用方程的正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，设竖式做个，横式做个，则 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有三种方案： ①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个， ②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个， ③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． （3）∵竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板， 且一张的C型板可以切成张A型板或3张B型板， ∴板有张，板有张， 竖式箱子制作20只后剩余板张，剩余板张， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴， ∵，都为正整数， ∴的最小值为，则的最小值为； ∴n的最小值是35．【变式13 （24-25七年级下·江苏无锡·期中）某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 1200 1350 1000 1200 (1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？ 【答案】(1)商场第1次购进A商品200件，B商品150件 (2)B种商品打九折销售的 【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件． 根据题意得：， 解得：． 答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件． （2）设B商品打m折出售． 根据题意得：， 解得：． 答：B种商品打九折销售的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案． 【详解】解：关于的方程组可变形为， 由题意得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知、满足方程组，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意可把方程组里的两个方程相加求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ①+②得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 【变式3】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：，； （2） 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 构造二元一次方程组求解 【典例】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，则，的值分别是（    ） A．8，11 B． C．8，15 D．，11 【答案】B 【分析】先等号左边的式子利用多项式的乘法展开，然后左右两边对比系数列出并求解二元一次方程组，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法、二元一次方程组，熟练掌握多项式与多项式乘法的运算法则、二元一次方程组的求解是解答此题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ） A．2，3 B．2， C．，3 D．， 【答案】C 【分析】利用新运算列出二元一次方程组，进行解方程即可． 【详解】解：由题意列方程组为：， ①×2+②得：5b=15， 解得：b=3， 将b=3代入①得：a=-2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方法解方程组即可． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__________． 【答案】3 【分析】根据多项式乘多项式法则计算，即得出，解出m和n的值，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解二元一次方程组．掌握多项式乘多项式法则是解题关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1） 当时，， （2） ， ， 解得：， ∴a和b的值分别为，； （3） ， ， ， 化简得：， 解得：， ∴a和b的值分别为，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程求出的值即可判断①；把代入方程组，两方程相加求出的值可判断②；把两方程相加求出，进而代入求出的值即可判断③；解方程组求出方程组的解，再求出的值即可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①把代入，得， ∴，故①正确； ②当时，方程组为， ，得， ∴，即的值互为相反数，故②正确； ③， ，得， ∴， 若，则， ∴，故③正确； ④解方程组，得， ∴， ∴的值与的值无关，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）方程组的解满足是的倍少，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为是的倍，所以代入方程组，根据①②用分别表示根据相等得到关于的方程，求出即可． 【详解】解：是的倍少， ， 代入方程组得：， 由得：， 由得：， ， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，本题一般的解决方法是根据方程组求得，，然后根据列方程求出的值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】题干已知的解，得到，然后将代入第二个方程组，再求解第二个方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 即， 所以可变形为， 得，， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读与思考 对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：， 满足，故具有“邻好关系”； （2）解： 解方程组得：， ∵方程组的解与具有“邻好关系”， ∴， 解得：或． 方案问题中的分情况讨论 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？ (2)现有14吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请求出所有的运输方案． 【答案】(1)每辆大货车一次可以运货3吨，每辆小货车一次可以运货2吨 (2)租2辆大货车和4辆小货车，或租4辆大货车和1辆小货车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出方程组或方程． （1）设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）设租辆大货车，辆小货车，根据（1）求得的结果可列二元一次方程， 然后在讨论其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆大货车一次可以运货3吨，每辆小货车一次可以运货2吨； （2）解：设租辆大货车，辆小货车，依题意得： ， ∵欲租用这两种货车运送， ∴、都是整数， ∴，， 答：租2辆大货车和4辆小货车，或租4辆大货车和1辆小货车． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得 解得 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 55 4 220 B 18 C 12 D 9 12 合计 - 32 556 (1)购买 D种奖品的金额为 元； (2)求购买的 B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，该校七年级以上面的价格再购进 B，C，D三种奖品共20件，共花费210元，请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)108元 (2)购买 B种奖品6件，购买C种奖品12件 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的实际问题； （1）根据单价×数量即可求解； （2）设购买 B种奖品x件，则购买C种奖品件，根据表格列一元一次方程即可； （3）设购买 B种奖品m件，购买 C种奖品n件，则购买D种奖品件，根据题意列方程，再讨论即可 【详解】（1）解：由表格可得：购买 D种奖品的金额为（元）； （2）解：由表格可得：设购买 B种奖品x件，则购买C种奖品件， ∴， 解得：， ∴， ∴购买 B种奖品6件，购买C种奖品12件； （3）解：设购买 B种奖品m件，购买 C种奖品n件，则购买D种奖品件， 由题意得：， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴共三种购买方案． 销售问题中的利润最值问题 【典例】（24-25七年级下·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元， (2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可； （2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可； （3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 (3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； （3）解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问题． 问题背景 某汽车店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆． 素材1 从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元． 素材2 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元． 问题解决 任务（1） 求A，B两款新能源汽车每辆的进价： 任务（2） 要使这240万元正好用完（两种汽车都要购买），请列出购进方案． 任务（3） 在任务（2）的条件下，A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，将购进的A，B两款新能源汽车全部售出，直接写出最大利润为_____万元． 【答案】任务（1）：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元；任务（2）：一共有三种方案：方案一、购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆；任务（3）：35 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和算式是解题的关键． （1）设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元，根据从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元，从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元建立方程组求解即可； （2）设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆，根据总费用为240万元列出方程，求出方程的正整数解即可得到答案； （3）根据题意可得一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大，则在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大，据此求解即可． 【详解】解：任务（1）：设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元； 任务（2）：设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆， 由题意得，， ∴， ∴， ∵两种汽车都要购买， ∴m、n都为正整数， ∴是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）； ∴一共有三种方案：方案一、购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆； 任务（3）：∵A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖， ∴一辆A款新能源汽车的利润为3万元，一辆B款新能源汽车的利润为2万元， ∴一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大， ∴在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大， ∴当购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆时，获得的利润最多，最多为万元． 二元一次方程组的新定义问题 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 【变式3】定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 二元一次方程与解 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 二元一次方程组的概念与解 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法与加减消元法 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 二元一次方程的定义与解 【典例】（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知关于、的二元一次方程，当取每一个不同值时，都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，则这个公共解是______． 二元一次方程组的定义与解 【典例】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级下·江苏·期中）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·江苏无锡·期中）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是________． 已知二元一次方程组的解求参数 【典例】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知是方程的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知是关于，的二元一次方程组的解，那么，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）方程的解是，则_______，_______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，互为相反数，通过计算求的值． 解二元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组； (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 二元一次方程组的错解还原问题 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 【变式2】（2024七年级下·江苏·期中）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 方程组相同解问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（24-25七年级下·重庆渝中·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 _____ 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的方程组与方程组的解相同，试确定的值． 三元一次方程组的解与应用 【典例】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知x、y、z满足，则的值为______. 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则______． 1 a b c 8 … 【变式2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等．求，，的值． 根据问题列二元一次方程组 【典例】（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦只，树棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）红圆珠笔每支0.7元，蓝圆珠笔每支1.2元，两种圆珠笔共买了15支，共花了19元，如果设买红圆珠笔x支，蓝圆珠笔y支，列出的关于x，y的二元一次方程组是______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 用二元一次方程组解决问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）为提高垃圾分类意识，某社区决定采购两种型号的新型垃圾桶.若购买个型垃圾桶和4个型垃圾桶共需要元，购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要元. (1)求两种型号垃圾桶的单价； (2)若社区同时采购，两种型号的新型垃圾桶若干个，恰好花费元，则采购的方案共有 种. 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 小明：     小华 （1）根据两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x表示的意义． 小明：x表示_____________； 小华：x表示_____________． （2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？ 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 1200 1350 1000 1200 (1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？ 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知、满足方程组，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【变式3】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 构造二元一次方程组求解 【典例】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，则，的值分别是（    ） A．8，11 B． C．8，15 D．，11 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ） A．2，3 B．2， C．，3 D．， 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）方程组的解满足是的倍少，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读与思考 对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 方案问题中的分情况讨论 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？ (2)现有14吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请求出所有的运输方案． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 55 4 220 B 18 C 12 D 9 12 合计 - 32 556 (1)购买 D种奖品的金额为 元； (2)求购买的 B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，该校七年级以上面的价格再购进 B，C，D三种奖品共20件，共花费210元，请确定所有可能的购买方案． 销售问题中的利润最值问题 【典例】（24-25七年级下·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问题． 问题背景 某汽车店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆． 素材1 从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元． 素材2 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元． 问题解决 任务（1） 求A，B两款新能源汽车每辆的进价： 任务（2） 要使这240万元正好用完（两种汽车都要购买），请列出购进方案． 任务（3） 在任务（2）的条件下，A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，将购进的A，B两款新能源汽车全部售出，直接写出最大利润为_____万元． 二元一次方程组的新定义问题 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【变式3】定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $