第6章圆和扇形章节复习提升 【精英班课程】 2025-2026学年六年级数学下学期同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章圆和扇形章节复习提升 1.圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长除以直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 2.弧长 ①弧和圆心角的概念 圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；顶点在圆心的角称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 3.圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 4.扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 5.重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 题型01：圆的周长 1. 一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是_______________厘米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查求圆的周长，根据弧长和圆周长之间的关系，用12除以弧所对的圆心角所占周角的比例，计算即可． 【详解】解：； 故答案为：40． 2. 一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的________倍 【答案】3倍 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，圆的周长与直径成正比，直接利用周长公式计算变化前后的比值即可. 【详解】解：当直径为4厘米时，周长厘米， 当直径增加到12厘米时，周长厘米， ∴周长变化的倍数为， 因此，周长变为原来的，对应选项B， 3.（24-25普陀区六年级期中）下列说法中错误的是（ ） A. 的值等于3.14 B. 的值是圆周长与直径的比值 C. 的值与圆的大小无关 D. 是一个无限小数 【答案】A 【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，它是一个定值，不随圆的大小的改变而改变，圆周率是一个无限不循环小数，它的近似值是3.14；据此判断． 【详解】解：由圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，它是一个定值，不随圆的大小的改变而改变，圆周率是一个无限不循环小数，它的近似值是3.14；可知： A、π的值等于3.14，说法错误； B、π的值是圆周长与直径的比值，说法正确； C、π的值与圆的大小无关，说法正确； D、π是一个无限小数，说法正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数，明确圆周率的含义，是解答此题的关键． 4. 如右图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 __厘米． 【答案】3 【解析】 【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径，所以长方形的周长比原来增加了圆的两个半径的长度，即周长是增加了6厘米． 【详解】解：因为圆片切拼成长方形后，周长比原来增加了2条半径的长度， 所以圆的半径为（厘米）． 答：这个圆的半径是3厘米． 故答案为：3． 【点睛】本题的关键根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍，求出圆的半径． 5. （24-25普陀区六年级期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（ ） A. 变化前后，图形的面积和周长都不变 B. 变化前后，图形的面积和周长都增加了 C. 变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D. 变化前后，图形的面积不变，周长增加了 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的面积和周长等知识，根据题意得到变化前后，图形的面积不变，周长增加了，即可得到答案． 【详解】解：将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．变化前后，图形的面积不变，周长增加了， 故选：D 6. 下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与圆有关的图形的周长，根据图形分别计算各选项中阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：以下计算中，取 A. 阴影部分周长为： B. 阴影部分周长为： C. 阴影部分周长为： D. 阴影部分周长为： 阴影部分周长最长的是D选项 故选：D 题型02：圆的弧长 7.在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据弧长公式直接解答即可． 【详解】解：由弧长公式得：， 故答案为：． 8. 已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为________厘米．（结果保留π） 【答案】6π 【分析】分针针尖经过20分钟时转过的圆心角为120°，代入弧长公式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为：=6π（厘米）． 故答案为：6π． 【点睛】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转6°是解题的关键． 9. 把一个直径为4厘米的圆等分为8个扇形，每个扇形的周长是________厘米． 【答案】 【分析】首先求出圆的周长，然后再除以8，再加上2个半径长即可． 【详解】解：∵圆的直径为4厘米， ∴圆的周长为厘米， ∵把圆等分为8个扇形， ∴每个扇形的周长是：（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的周长，解题的关键是掌握扇形的构成部分． 10. （24-25普陀区六年级期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形弧长的计算、比例关系的计算，由题意可得较大扇形圆心角为，再结合弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵把一个圆剪成两个扇形，其中较小扇形的圆心角为120度， ∴较大扇形圆心角为， ∵弧长公式为（为圆心角度数）， ∴较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为， 故答案为：． 11.一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 【答案】339.12 【分析】根据圆的周长所对的圆心角是360°，可得圆周长是这条弧长的倍数关系，进而可得答案． 【详解】(cm)． 故答案为：339.12 【点睛】本题考查圆的周长与弧长，熟记圆的周长所对的圆心角是360°是解题关键． 12.（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 【答案】（1）所求的弧长是厘米；（2）这个弧所在圆的半径是18厘米． 【分析】(1)(2)代入弧长公式即可求解． 【详解】解：(1)由题意知，厘米，， 所以（厘米）． 答：所求的弧长是厘米， (2)设圆的半径为r，已知厘米，， 因为，所以， 解得厘米． 答：这个弧所在圆的半径是18厘米． 题型03：求圆心角 13.. 一个圆被分为弧长之比为的四个扇形，则最长的弧所对的圆心角的大小为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了按比例分配与圆心角的计算，根据题意可得最长的弧长占，则最长的弧所对的圆心角的大小为，即可求解． 【详解】解：依题意，最长的弧所对的圆心角的大小为 故答案为：． 14. 在半径为60的圆上有一段弧，弧长是157，则该弧所对的圆心角为___________度． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，， 即这弧所对的圆心角为150度． 故答案为：150． 15. 若圆的半径是，那么弧长为的弧所对的圆心角是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心角为，然后利用弧长公式求解即可得到答案． 【详解】解：设圆心角为． 由题意，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式． 16. 如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ） A. 15度 B. 16度 C. 20度 D. 24度 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案 【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的， ∴ ∴ ∴这条弧长所对的圆心角为 故选：C 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 17. 如图，若，求圆心角x的度数． 【答案】57.6° 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接列等式即可的得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵， ∴， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查求扇形的面积，解题关键是根据扇形面积公式列等式． 题型04：圆的面积 18.半圆形鸡舍的周长为25.7米，则鸡舍的面积是（   ）平方米． A．31.4 B．314 C．39.25 D．78.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的面积公式，先利用鸡舍的周长为25.7米求出圆的半径，再根据圆面积的即可求出鸡舍的面积． 【解析】解：设鸡舍的半径为r，则半圆形鸡舍的周长为， 则， 则鸡舍的面积为：（平方米）， 故选：C． 19.圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，用现在圆的面积减去原来圆的面积，得出答案即可． 【解析】解：圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了： ， 故选：C． 20.如果两个圆的直径之比是1∶4，那么这两个圆的面积之比是（　　） A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 【答案】C 【分析】设小圆的直径为，则大圆的直径为，求出半径代入圆的面积公式表示出面积，即可求解． 【解析】解：设小圆的直径为，则大圆的直径为， 所以小圆的半径为，则大圆的半径为， 小圆的面积， 大圆的面积， ， 答：这两个圆的面积之比是． 故选：C． 21.甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比的应用，解本题的关键在得出甲和乙两个圆的半径的比． 根据题意，得出甲圆的半径为，乙圆的半径为，再根据圆的面积公式，得出甲和乙两个圆的面积，再根据比的性质，化简比即可得出答案． 【解析】解：设甲和乙两个圆的周长的， ∴甲和乙两个圆的半径之比是， ∴可设甲圆的半径为，乙圆的半径为， ∴甲圆的面积为：，乙圆的面积为：， ∴甲和乙两个圆的面积之比为：． 故选：D． 22. 一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 23. 如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为___________平方厘米．（保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，先根据环宽和“平等圆环”的定义求出内圆的半径，再求出外圆的半径，再根据圆环的面积公式，求出答案即可． 【详解】解：设圆环内圆的半径为r厘米，则内圆的直径为厘米， 所以圆环的外圆的半径为厘米， ∵环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米， ∴， 解得：， ∴圆环的内圆的半径为5厘米，外圆的半径为10厘米， ∴这个“平等圆环”面积为（平方厘米）， 故答案为：． 24.周长相等的圆、正方形和长方形，它们的面积比较（     ）． A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．长方形的面积大 D．一样大 【答案】B 【分析】我们采用假设的方法解答这道题，假设周长是16厘米，进而求得长方形和正方形的面积、圆的面积，进行比较得出结论． 【解析】解：假设正方形、长方形、圆的周长都是16厘米，则： （1）正方形的边长：16÷4=4（厘米）， 面积：4×4=16（平方厘米）； （2）假设长方形的长为6厘米，宽为2厘米， 面积：2×6=12（平方厘米）； （3）圆的半径：16÷3.14÷2=（厘米）， 面积：3.14××=（平方厘米）； 因为12平方厘米＜16平方厘米＜平方厘米， 所以圆的面积大， 故选：B． 题型05：扇形面积 25. 一个扇形半径为，所对弧长为，则扇形面积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据扇形的弧长求出扇形圆心角倒数，再根据扇形面积公式求出扇形面积即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 则， 所以 所以这个扇形的圆心角度数为， 所以这个扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，正确求出扇形圆心角度数是解题的关键． 26. 扇形的弧长是米，半径是10米，则扇形的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式．直接根据计算即可． 【详解】解：∵扇形的弧长是米，半径是10米， ∴扇形的面积， 故答案为：． 27. 如果用一根长的铁丝做成一个半径是的扇形，接口处不计损耗且无剩余，扇形的面积是______． 【答案】400 【解析】 【分析】此题主要考查扇形的周长和面积的计算方法的灵活应用，得出的值是解题关键． 因为扇形的周长弧长半径，据此即可得出，进而依据扇形的面积公式，即，代入数据即可求解． 【详解】解：设扇形的弧长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 这个扇形的面积为（平方厘米）； 故答案为：400． 28. 小丽家闹钟的时针长6厘米，那么经过5小时的时间，时针扫过的面积为______________平方厘米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，求出时针走5个小时转过的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：平方厘米； 故答案为：． 29. 如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，设原来的圆心角的度数为，半径为，根据扇形的面积公式，进行判断即可． 【详解】解：设原来的圆心角的度数为，半径为， 由题意，得：新的扇形面积为：； 故新的扇形面积与原扇形面积的比值为8； 故选D． 30. 若一个扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么变化后的扇形的面积和原来的扇形面积相比较（　　） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的4倍 D. 没有变化 【答案】A 【解析】 【详解】解：设原来扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积， 将扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积为， 面积扩大为原来的2倍， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题． 题型06：圆的周长与弧长、圆与扇形间的关系 31. 一个圆的半径为r，圆周长为，面积为； 一个半圆的半径为，半圆弧长为，面积为，则以下结论成立的是 （ ） A. B. C. D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出圆的周长和面积，半圆的弧长和面积，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 因此，故B错误，不符合题意；A正确，符合题意； 又，， 故，因此C、D均错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了圆的周长和面积公式；熟记公式是解决问题的关键． 32. 一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的半径为，则正方形边长为，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，得出，，然后进行比较即可． 【详解】解：设圆的半径为，则正方形边长为， ∴可得：，， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了圆的面积、正方形的面积，解本题的关键在熟练掌握圆和正方形的面积公式． 33. （24-25普陀区六年级期中）如果扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角的度数缩小为原来的，那么这个扇形的面积（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设原来扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为，再表示出变化后的扇形的面积，比较即可得解． 【详解】解：设原来扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为， 将扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角的度数缩小为原来的，那么扇形的面积为， 故扩大为原来的2倍， 故选：A． 34. 已知扇形的圆心角小于90度，如果将这个扇形的圆心角度数扩大为原来的两倍，半径也扩大为原来的两倍，那么下列说法正确的是（　　） A. 扇形的周长扩大为原来的4倍 B. 弧长扩大为原来的4倍 C. 扇形的面积扩大为原来的4倍 D. 弧长和扇形的面积都扩大为原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以分别表示出原来和后来扇形的面积或周长，从而可以计算出这个扇形的面积或周长扩大的倍数． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为n，半径为r， 则原来扇形的面积为∶；弧长为，周长为， 后来扇形面积为∶，弧长为，周长为， ∴，， 扇形的面积扩大为原来的8倍，弧长扩大为原来的4倍，周长没有扩大4倍， 故选∶B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积计算公式解答． 题型07：组合图形的面积 35. 下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形． 借助割补法，将不规则图形转化为规则图形，对比选项分析判断即可． 【详解】解： 根据观察，结合割补法可知， 选项中阴影部分面积不等于正方形面积的，选项、、中阴影部分面积等于正方形面积的， ∴只有选项符合题意，   故选：． 36. 如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，不规则图形的面积，设每个阴影的面积为，求出，根据，求出结果结果即可． 【详解】解：如图所示， 设每个阴影的面积为， ∵两个圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 37. 如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、．则阴影部分的面积为______． 【答案】平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了与扇形的面积计算；连接，根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米， 阴影部分的面积为平方厘米 故答案为：平方厘米． 38. （24-25普陀区六年级期中）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_______(结果保留π). 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为一个900角的扇形面积与一个450角的扇形面积的和：． 39. 如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是______________平方厘米（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，用各自阴影部分所在的扇形面积减去直角三角形的面积，再相加即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的边长是1厘米， ∴， 由题意，得：， ∴阴影部分面积之和为： （平方厘米）； 故答案为：． 40. 求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了阴影部分周长和面积的计算，熟练掌握扇形面积公式和圆的周长计算，是解题的关键．根据弧长和圆的面积和周长计算公式进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长：， 上部空白面积； 阴影部分的面积． 41. 如图所示，求阴影部分的周长和面积（取，保留2位小数）． 【答案】周长为27.98；面积为23.55 【解析】 【分析】根据阴影部分的周长代数求解即可；根据阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示， 阴影部分的周长 ； 阴影部分的面积 ． ∴阴影部分周长为27.98，面积为23.55． 【点睛】此题考查了扇形的弧长和面积，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长和面积公式． 42. 如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． （1）求此阴影部分的周长：（取3.14） （2）求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积公式，比的应用，正确理解图形是解题的关键． （1）阴影部分周长为，以及弧和弧长度和； （2）先由长方形面积公式求出长方形面积，阴影部分面积为长方形的面积加上扇形的面积，再减去扇形的面积，根据扇形面积公式求解扇形面积，再求比． 【小问1详解】 解：阴影部分的周长为：， 答：阴影部分的周长为； 【小问2详解】 解：长方形的面积， 阴影部分的面积为：， ∴阴影部分面积与长方形面积的比为：， 答：阴影部分面积与长方形面积的比为． 43. 求下列阴影部分的周长和面积（结果保留）； （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，熟练掌握分割法求阴影部分的面积，是解题的关键： （1）观察可知，阴影部分的周长为两个半圆和一个扇形的弧长之和，面积为以正方形的边长为半径的扇形的面积，进行计算即可； （2）阴影部分的周长等于两个扇形的弧长加上两条线段的长，面积为小扇形的面积减去矩形与大扇形的面积差，加上大扇形的面积减去矩形与小扇形的面积差，进行计算即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的周长为：； 面积为：； 【小问2详解】 阴影部分的周长为：； 面积为： ． 44. 如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，正方形面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 利用分割法，扇形的面积公式计算即可解决问题． 【详解】解： ． 45. 如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、和． （1）请你直接写出__________．（结果保留） （2）请你直接将和的数量关系填在横线上：__________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得__________．（结果保留） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）用半径是4圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是4的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是2圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是2的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得S甲和S乙的数量关系，进而可知阴影部分面积； （3）用半径是1圆心角是90°的扇形面积减去直角边长是1的等腰角三角形的面积可得阴影部分面积的十六分之一，进而可知丙的面积． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）∵ ， 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解本题的关键是能够熟练掌握扇形面积公式． 题型08：图形运动问题 46. 已知一个扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，此时，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是______m． 【答案】18.84 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，难度较大，解答本题的关键是正确理解经过的路线． 经过的路线是两个半径是3，圆心角的的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解： ，， 旋转的长度是：， 移动的距离是：， 则圆心所经过的路线长是：． 故答案为：18.84． 47. 如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为___________厘米．（保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，画出图形，结合弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由弧长公式可得． ∴三角形沿长方形边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为． 故答案为：． 48. （24-25普陀区六年级期中）如图，一个半径为的圆绕着一个三条边分别为、、的直角三角形的外侧滚动一周，那么这个圆滚动过程中覆盖的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，圆在每条边上滚动时，会形成一个宽度为的矩形区域，圆在每个角处滚动时，总共滚动的角度为，由此列式计算即可得解． 【详解】解：圆在每条边上滚动时，会形成一个宽度为的矩形区域， 因此三条边对应的矩形的面积分别为：，，， 总矩形面积为， 圆在每个角处滚动时，总共滚动的角度为， 故总扇形面积为， 这个圆滚动过程中覆盖的面积为， 故答案为：． 49. 如图，长方形的长厘米，宽厘米． （1）如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； （2）如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，圆滚过的面积长方形的面积中间白色长方形的面积四个直角处的面积和；四个直角处的面积和边长为厘米的正方形的面积半径为的圆的面积，据此解答即可； （2）如图把圆滚过的面积分为部分，个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【小问1详解】 解：如图中， 空白部分的长（），宽（）， ∴阴影部分的面积= 【小问2详解】 如图2中， 由题意，， ∴圆滚过的面积为． 50. （24-25普陀区六年级期中）如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动，到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的周长，先求出到的位置叫做“滚动了一周” 点经过的路程长，再乘以即可得解． 【详解】解：由题意可得：到的位置叫做“滚动了一周” 点经过的路程长为， ∴这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为， 故选：D． 题型09：综合探究题 51. 上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） （1）求摩天轮的半径是多少米？ （2）摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ （3）在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 【答案】（1）摩天轮的半径是米 （2）大悦城摩天轮上共有个轿厢 （3）元 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长公式、比例关系的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆的周长公式计算即可得解； （2）求出轿厢形成的圆的半径为米，从而可得周长为（米），结合每隔5米安装一个轿厢，列式计算即可得解； （3）设总圈数为，初始时刻已经转了圈，未转圈，则，结合题意得出经过小时后，转动的圈数为圈，列出方程，求得，从而得出总载客量为人，即可得解． 【小问1详解】 解：∵摩天轮的主体是圆形，其周长为126米，取3， ∴摩天轮的半径是米， 故摩天轮的半径是米； 【小问2详解】 解：轿厢形成的圆的半径为米， 周长为（米）， ∵每隔5米安装一个轿厢， ∴大悦城摩天轮上轿厢的个数为（个）， 即大悦城摩天轮上共有个轿厢； 【小问3详解】 解：设总圈数为，初始时刻已经转了圈，未转圈，则， ∵转动一圈所需时长为20分钟， ∴经过小时后，转动的圈数为圈， ∵经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了． ∴， 解得：， 检验，当时，且符合题意， ∴， ∴总载客量为（人）， ∴总收入为：（元）． 52. 综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 【答案】[操作观察] 逆时针；[计算思考]（1）加速；（2）350；（3）36，顺时针；[拓展应用] ，5024 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，圆的周长的计算，正确理解题意是解题的关键． [操作观察]根据大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮B转动方向； [计算思考]（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，即可确定加速； （2）根据齿数与转速的关系求解； （3）根据齿数与转速的关系求解； [拓展应用]根据圆的周长公式即可求解 【详解】[操作观察] 解：大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，故小齿轮B按逆时针方向旋转， 故答案为：逆时针； [计算思考] 解：（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，故属于加速， 故答案为：加速； （2）小齿轮B每分钟转动（圈）， 故答案为：350； （3）齿轮C的齿数：（圈），齿轮C的方向与齿轮B的方向相反，因此C的方向为顺时针， 故答案为：36，顺时针； [拓展应用] 解：后齿轮相应的转动：（圈）， 后轮前进路程为：， 故答案：5.024． 53. 在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推导出公式： ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ②，得出扇形面积的另一种计算方法 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径 ；它所对的圆心角的度数为 ． 【答案】（1）；（2）正确，理由见解析；（3）；（4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r,圆心角度数为n,则由得 ∴花坛的面积 ； （3）∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为； （4）∵，， ∴， 由∵，即， 解得： ∴即 故答案为：，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章圆和扇形章节复习提升 1.圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长除以直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 2.弧长 ①弧和圆心角的概念 圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；顶点在圆心的角称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 3.圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 4.扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 5.重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 题型01：圆的周长 1. 一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是_______________厘米． 2. 一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的________倍 3.（24-25普陀区六年级期中）下列说法中错误的是（ ） A. 的值等于3.14 B. 的值是圆周长与直径的比值 C. 的值与圆的大小无关 D. 是一个无限小数 4. 如右图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 __厘米． 5. （24-25普陀区六年级期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（ ） A. 变化前后，图形的面积和周长都不变 B. 变化前后，图形的面积和周长都增加了 C. 变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D. 变化前后，图形的面积不变，周长增加了 6. 下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A B. C. D. 题型02：圆的弧长 7.在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 8. 已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为________厘米．（结果保留π） 9. 把一个直径为4厘米的圆等分为8个扇形，每个扇形的周长是________厘米． 10. （24-25普陀区六年级期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为_____． 11.一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 12.（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 题型03：求圆心角 13.. 一个圆被分为弧长之比为的四个扇形，则最长的弧所对的圆心角的大小为_______． 14. 在半径为60的圆上有一段弧，弧长是157，则该弧所对的圆心角为___________度． 15. 若圆的半径是，那么弧长为的弧所对的圆心角是__________． 16. 如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ） A. 15度 B. 16度 C. 20度 D. 24度 17. 如图，若，求圆心角x的度数． 题型04：圆的面积 18.半圆形鸡舍的周长为25.7米，则鸡舍的面积是（   ）平方米． A．31.4 B．314 C．39.25 D．78.5 19.圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了（   ） A． B． C． D． 20.如果两个圆的直径之比是1∶4，那么这两个圆的面积之比是（　　） A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 21.甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是（   ） A． B． C． D． 22. 一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 23. 如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为___________平方厘米．（保留） 24.周长相等的圆、正方形和长方形，它们的面积比较（     ）． A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．长方形的面积大 D．一样大 题型05：扇形面积 25. 一个扇形半径为，所对弧长为，则扇形面积为_______ 26. 扇形的弧长是米，半径是10米，则扇形的面积是______平方米．（结果保留） 27. 如果用一根长的铁丝做成一个半径是的扇形，接口处不计损耗且无剩余，扇形的面积是______． 28. 小丽家闹钟的时针长6厘米，那么经过5小时的时间，时针扫过的面积为______________平方厘米．（结果保留） 29. 如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 30. 若一个扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么变化后的扇形的面积和原来的扇形面积相比较（　　） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的4倍 D. 没有变化 题型06：圆的周长与弧长、圆与扇形间的关系 31. 一个圆的半径为r，圆周长为，面积为； 一个半圆的半径为，半圆弧长为，面积为，则以下结论成立的是 （ ） A. B. C. D. ． 32. 一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能比较 33. （24-25普陀区六年级期中）如果扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角的度数缩小为原来的，那么这个扇形的面积（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 保持不变 34. 已知扇形的圆心角小于90度，如果将这个扇形的圆心角度数扩大为原来的两倍，半径也扩大为原来的两倍，那么下列说法正确的是（　　） A. 扇形的周长扩大为原来的4倍 B. 弧长扩大为原来的4倍 C. 扇形的面积扩大为原来的4倍 D. 弧长和扇形的面积都扩大为原来的4倍 题型07：组合图形的面积 35. 下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（ ） A. B. C. D. 36. 如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 37. 如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、．则阴影部分的面积为______． 38. （24-25普陀区六年级期中）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_______(结果保留π). 39. 如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是______________平方厘米（结果保留） 40. 求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 41. 如图所示，求阴影部分的周长和面积（取，保留2位小数）． 42. 如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． （1）求此阴影部分的周长：（取3.14） （2）求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 43. 求下列阴影部分的周长和面积（结果保留）； （1） （2） 44. 如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积． 45. 如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、和． （1）请你直接写出__________．（结果保留） （2）请你直接将和的数量关系填在横线上：__________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得__________．（结果保留） 题型08：图形运动问题 46. 已知一个扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，此时，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是______m． 47. 如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为___________厘米．（保留） 48. （24-25普陀区六年级期中）如图，一个半径为的圆绕着一个三条边分别为、、的直角三角形的外侧滚动一周，那么这个圆滚动过程中覆盖的面积为_____．（结果保留） 49. 如图，长方形的长厘米，宽厘米． （1）如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； （2）如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 50. （24-25普陀区六年级期中）如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动，到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为（ ） A. B. C. D. 题型09：综合探究题 51. 上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） （1）求摩天轮的半径是多少米？ （2）摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ （3）在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 52. 综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 53. 在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推导出公式： ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ②，得出扇形面积的另一种计算方法 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径 ；它所对的圆心角的度数为 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $