【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-18）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-18） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•碑林区校级二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a≠0）图象的顶点位于第四象限，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．函数有最大值4a C．关于x的方程﹣ax2+2ax﹣1＝0有两个相等的实数根 D．若点（﹣3，y1），（4，y2）在该函数图象上，则y1＞y2 2．（2026•兰州校级一模）如图，⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．下列说法中，不正确的是（　　） A．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数 B．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数 C．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数 D．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数 3．（2026•闻喜县一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，且OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•温江区校级模拟）对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（　　） A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3） B．当 x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．当x＝﹣1时，y有最小值为﹣3 D．图象的对称轴是直线x＝1 5．（2026•合肥校级一模）如图1，在△ABC中，∠ABC＞90°，点P从点A开始沿AC向点C运动，在运动过程中，设线段AP的长为x，线段BP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，点Q是函数图象上的最低点，则此时BP的长为（　　） A．2 B． C．7 D． 6．（2026•海港区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，3），点E（6，5）为正方形ABCD外一点．若将正方形ABCD平移，使点E落在正方形ABCD内部（不含边界），则平移后点A的对应点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 7．（2026•云南模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝4，则tanC的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•丰都县校级模拟）已知整式，其中n为自然数，an，an﹣1，…，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0，满足n+|an|+|an﹣1|+…+|a0|≤4．下列结论： ①满足条件的整式M中只有7个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式一共有22个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025•广元）如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　） A．AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5 10．（2026•雅安校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③8a+c＜0； ④5a+b+2c＞0， 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 11．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 12．（2026•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝5，P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为（　　） A．1 B． C． D．1或 13．（2026•南宁模拟）如图，在矩形ABCD中，点N在AD上，将矩形沿NP折叠，使点B落在顶点D处．若△DNP刚好是等边三角形，则的值为（　　） A．2：1 B． C． D． 14．（2026•西安一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），B（0，﹣1），C（3，m）三点，则4a+2b﹣c的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 15．（2026•长安区一模）如图1是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币（⊙O）与Rt△ABC形成如图2所示状态．其中EF是⊙O内接正九边形的一条边，AC经过点F和圆心O，点D是AB与⊙O的交点，∠EOD＝∠B＝90°，∠C＝50°，AB＝25mm，BC＝21mm． 结论Ⅰ：AB是⊙O的切线． 结论Ⅱ：若BC与⊙O相切于点G，则⊙O的直径为． 下列说法正确的是（　　） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅰ错误，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确 D．结论Ⅰ错误，结论Ⅱ错误 二．填空题（共15小题） 16．（2026•碑林区校级二模）如图，在▱ABCD中，BC＝8，∠B＝60°，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，连接EG，在EG上方作等腰直角三角形EFG，∠F＝90°．当点B，F之间的距离最小时，△EFG的面积为　 　 ． 17．（2026•鹿邑县校级一模）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，AC＝BD＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 　 m2． 18．（2026•青山区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E，F分别是边AB，BC的中点，连接DE，EF，若EF＝1，则DE的长为　 　 ． 19．（2026•温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，y1），B（2a﹣3，y2），C（2a﹣1，y3）是二次函数y＝ax2+a2x+4上的三点，且满足y1＞y2＞y3，则a的取值范围为　 　 ． 20．（2026•合肥校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是边BC上的一个动点，点E在AC上，在点D运动的过程中始终保持∠ADE＝∠B． （1）当BD＝3时，CE＝　 　 ； （2）当点D在BC上运动时，线段CE的最大值为　 　 ． 21．（2026•海港区校级模拟）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　 　 ． （参考数据：） 22．（2026•云南模拟）为弘扬中华优秀传统文化，推动非物质文化遗产的活态传承，近日，某校开展2026年非遗进校园活动，课后开设了“苗族刺绣、傣族剪纸、打陀螺、剑川木雕、普洱茶制作技艺”五个项目供学生参加体验，为了解七年级学生对每个项目的喜欢情况，随机抽取了七年级50名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的项目），将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：若该校七年级共有学生1000人，则该校七年级学生最喜欢“打陀螺”项目的人数大约为　 　 人． 23．（2026•丰都县校级模拟）对于一个四位自然数A（各数位数字均不为0），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数A为“倍差和乐数”．例如：7612，因为7+1＝2×（6﹣2），所以7612是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为m，个位数字与十位数字组成的数记为n，并规定F（A）＝m﹣n+2c．若是一个“倍差和乐数”，则F（4b2d）＝　 　 ，若一个四位数B＝1000p+100q+2s+10t+1210（p，q，s，t均为整数，且0＜p≤8，0＜q≤7，0＜s≤4，0＜t≤8．）是一个“倍差和乐数”，且F（B）与4的差能被7整除，则满足条件的B的最大值与最小值之差为　 　 ． 24．（2026•高新区校级一模）阅读材料：如图1，已知正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，则将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△FBG，则AM+BM+MC的最小值是线段FC的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形ABCD中有任意两个点P、Q，则AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值是　 　 ． 25．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　 　 ． 26．（2026•永寿县校级模拟）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　 　 ． 27．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　 　 ． 28．（2026•南宁模拟）如图，在等腰直角△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC上一点，BP＝AB．若AP＝10，则点C到AP的距离为　 　 ． 29．（2026•西安一模）如图，在梯形ABED中，AD∥BE，AB⊥BE，AB＝8，点C、M分别是边BE、DE上的点，连接AM、CM，MC＝ME，AD＝BC，若△ADM和△CEM的面积之和为12，则BE的长为　 　 ． 30．（2026•长安区一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•碑林区校级二模）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在AC上，点E在AB上，以DE，CD为边作▱DEFC，点F在BC上，若BF＝2DE，则　 　 ； （2）如图②，在矩形ABCD中，BC＝48，E为AD的中点，连接BE，CE，⊙O过点B，C，E，若，求边AB的长； （3）如图③，AB为某市一个大型荷塘边界，该市文旅集团计划依荷塘边界在荷塘外空地上修建一个小型观光公园ABCM，其中CE，CM，ME为三条观光路线，AF附近为荷花集中区，M为最佳观光点．已知点A，E，B共线且F为线段AB的中点，依据设计要求，，∠CEM＝90°，为保证游客最佳观景效果，还需使∠AMF最大，已知AB＝2BC＝480m，∠B＝90°，请你计算此时观光路线CM的长度．（观光路的宽度、观光点的大小均忽略不计） 32．（2026•兰州校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，直线l（点A不在l上）和⊙C，给出如下定义：若点A关于直线l的对称点A′在⊙C上，则称点A是⊙C关于直线l的映像点，称线段AA′的长度为点A与⊙C的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线l1：y＝x+2． ①在点A1（﹣2，2），，A3（﹣2，1）中，点　 　 是⊙O关于直线l1的映像点，该点与⊙O的映像距离为　 　 ； ②点B是⊙O关于直线l1的映像点，当点B与⊙O的映像距离最小时，点B的坐标为　 　 ； （2）已知点E（﹣2，﹣1），F（2，﹣1），点D在y轴的正半轴上且△DEF为等边三角形．点T（t，2），⊙T的半径为1．若△DEF上存在⊙T关于直线l2：y＝（k+1）x﹣2k的映像点，直接写出t的取值范围． 33．（2026•闻喜县一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接CD，BE，交点为F． 猜想证明： （1）如图1，若AD＝CE，求证：∠BFD＝60°； 拓展延伸： （2）如图2，D为AB的中点，连接AF，将AF绕点A逆时针旋转120°得到AM，若BE的延长线恰好经过点M，CF＝2，求AE的长； （3）如图3，若D，E分别为边AB，AC的中点，AB＝4，先将AD绕点A按逆时针旋转120°得到AN，连接EN，再将△AEN沿射线AC方向平移得到△A′E′N′，在△AEN平移的过程中，当以B，E′，N′为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出△AEN平移的距离． 34．（2026•温江区校级模拟）如图，直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线的对称轴交于点C，抛物线C1的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，点P为抛物线上一点，过点P作PQ∥CD，与直线AB相交于点Q，当以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标； （3）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点T，直线AT、BT分别交抛物线C1于点E、F，连接EF，M为EF的中点，试探究M的横坐标是否为定值？若是，请求出M的横坐标；若不是，请说明理由． 35．（2026•合肥校级一模）如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B的左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值． 36．（2026•海港区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5，其图象记为抛物线C1． （1）求出C1的对称轴及a的值； （2）当0≤x≤t时，函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值； （3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2． ①直接写出抛物线C2的解析式； ②点P在x轴的负半轴上，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1，C2分别交于点M，N．当PM＝QN时，直接写出点P的横坐标． 37．（2026•云南模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，连接BD，CD，过点D作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E． （1）求证：∠DBC＝∠DCB； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数m，n，使等式AD2＝mAB•AC+nBD2成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你写出的m的值和n的值，使等式AD2＝mAB•AC+nBD2成立；若不存在，请说明理由． 38．（2026•丰都县校级模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D为AB上一点，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接BF． （1）如图1，若点D在边AB上，延长BA交CF于点E，∠ADC＝45°，，求AE的长； （2）如图2，若点D在AB延长线上，延长CA交DF于点E，BF交CE于点G，求证：； （3）若点D在边AB上，P为边BC上一点，，N为DP上方一点，∠DNP＝120°，DN＝PN，连接BN，H为BN上一点，，当BN取得最大值时，将线段DN绕点D旋转得到线段DQ，连接BQ，线段BQ绕点B逆时针方向旋转75°得到线段BK，直接写出KH的最大值． 39．（2024•郓城县三模）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，在AD上取一点E，使得，以AE为边作正方形AEFG，连接BE，CF． 问题发现： （1）的值是 　 　 ；直线BE，CF所夹锐角的度数是 　 　 ； 拓展探究： （2）如图②，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为时，请直接写出CF的长． 40．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（2026•永寿县校级模拟）【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，sin∠CAD，DE∥AB交AC于点E，AC＝6． ①∠ADE的度数为　 　 °； ②求AB的长； 【问题解决】 （2）如图2，菱形ABCD是某公园的一片花海，对角线BD是一条小路，在AB边的中点E处有一座凉亭，BD上的点F处有一座观景台，EF是从凉亭到观景台的一条小路，再从C向E修一条小路CE，与小路BD交于点M，现要在△MEF区域种植某种鲜花，并用篱笆将△MEF区域围来，已知sin∠ADC°，BD＝480m，求需要篱笆的总长（即△MEF的周长）．（凉亭观景台的大小和小路的宽度均忽略不计） 42．（2026•南京模拟）已知△ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB的角平分线，且CD、BF、AE交于一点G，则称点G为该三角形的“金中点”． （1）求证：； （2）当∠BAC＝45°，求∠ABC度数； （3）若△CEG为等腰三角形时，求的比值k为多少？请在下面直接填写结果： ①当EC＝EG时，k＝　 　 ； ②当CE＝CG时，k＝　 　 ； ③当GC＝GE时，则k的一位小数的近似值≈　 　 ． 43．（2026•南宁模拟）【对等角六边形】定义：在凸六边形ABCDEF中，满足∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． （1）如图1，对等角六边形ABCDEF的对边AB，DE的位置关系是　 　 ； （2）如图2，六边形ABCDEF是对等角六边形，若CD＝AF，求证：BC＝EF； （3）如图3，在对等角六边形ABCDEF中，对角线AD、BE、CF交于点O，已知S六边形ABCDEF＝15，求四边形ADEF的面积． 44．（2026•西安一模）问题提出 （1）如图①，矩形ABCD的对角线AC的长为8，⊙D的半径为2，点E是⊙D上的动点，则点B、E之间的最大距离为　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，点B关于AC的对称点为点D，点G、F在AC上，连接BG并延长到点E，连接DE、DF、BF，若四边形FGED是平行四边形，求证：BF＝BG； 问题解决 （3）如图③，某区计划将△ABC区域建成一个户外健身区，AB＝AC＝500m，BC＝600m．现要在线段BC上找两点D、E（D、E是BC上的动点，点D在点E的左侧），DE＝300m，点F是一个出入口，且点F是AC的中点，连接AD、EF，为方便市民出入，沿四边形ADEF的四边修建人行通道．以DE为直径在BC下方作半圆O（半圆O随着DE移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道．设计人员要求在人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短的条件下，塑胶跑道AP的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度．（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 45．（2026•长安区一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点（0，1）和（1，3）都是“好点”．如图，抛物线L的顶点P是“好点”，并且抛物线L的开口方向和大小都不变．已知当顶点P为时，L与y轴的交点为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，设顶点P的横坐标为k． （1）当k＝0时，求L与x轴交点的坐标； （2）下面是关于L的两个结论： 甲：L与y轴的交点有最高点． 乙：L与y轴的交点会沿y轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由； （3）若点P在△AOB内部（不含边界），则对于L上的点和点，比较m与n的大小； （4）当L与线段AB只有一个公共点（含端点）时，直接写出k的取值范围． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-18） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 D D B A D C A A D B C C B C A 一．选择题（共15小题） 1．（2026•碑林区校级二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a≠0）图象的顶点位于第四象限，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．函数有最大值4a C．关于x的方程﹣ax2+2ax﹣1＝0有两个相等的实数根 D．若点（﹣3，y1），（4，y2）在该函数图象上，则y1＞y2 【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax+3a＝﹣a（x﹣1）2+4a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4a）， ∵抛物线的顶点位于第四象限， ∴4a＜0， 解得a＜0， ∴﹣a＞0， ∴抛物线的开口向上，所以A选项不符合题意； ∴当x＝1时，y有最小值，最小值为4a，所以B选项不符合题意； 对于关于x的方程﹣ax2+2ax﹣1＝0， Δ＝（2a）2﹣4×（﹣a）×（﹣1）＝4a2﹣4a， ∵a＜0， ∴4a2﹣4a＞0，即Δ＞0， ∴关于x的方程﹣ax2+2ax﹣1＝0有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； 当x＝﹣3时，y1＝﹣ax2+2ax+3a＝﹣9a﹣6a+3a＝﹣12a， 当x＝4时，y2＝﹣ax2+2ax+3a＝﹣16a+8a+3a＝﹣5a， ∵a＜0， ∴﹣12a＞﹣5a， ∴y1＞y2，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．（2026•兰州校级一模）如图，⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．下列说法中，不正确的是（　　） A．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数 B．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数 C．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数 D．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数 【解答】解：∵⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm， ∴⊙O与正方形ABCD的周长之和为L＝（2πx+4y）cm， ⊙O与正方形ABCD的面积之积为S1＝πx2y2cm2，阴影部分的面积为S ＝y2﹣πx2cm2， ∴yπx，S，y， ∴若⊙O与正方形ABCD的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为：yπx，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为：S，为二次函数，选项B不符合题意， 若⊙O与正方形ABCD的面积之积即S1为定值时，y关于x的函数关系为：y，为反比例函数，选项C不符合题意， S关于x的函数关系为：Sπx2，不是反比例函数，选项D符合题意． 故选：D． 3．（2026•闻喜县一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，且OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 由题意可得，， ∵OA＝OB． ∴△AOB是等边三角形． ∴∠OAB＝∠OBA＝60°，AB＝OA＝2； ∵点C是△AOB的内心， ∴∠CAB∠OAB＝30°，∠CBA∠OBA＝30°， 在Rt△ACD中，ADAB＝1，∠CAB＝30°， ∴AC，CDAC， ∴S弓形AB＝S扇形CAB﹣S△CAB2， ∴S阴影部分＝6S弓形AB＝6×（）2． 故选：B． 4．（2026•温江区校级模拟）对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（　　） A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3） B．当 x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．当x＝﹣1时，y有最小值为﹣3 D．图象的对称轴是直线x＝1 【解答】解： ∵y＝﹣（x+1）2﹣3， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3）， ∴当x＝﹣1时，y有最大值为﹣3，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴只有A正确． 故选：A． 5．（2026•合肥校级一模）如图1，在△ABC中，∠ABC＞90°，点P从点A开始沿AC向点C运动，在运动过程中，设线段AP的长为x，线段BP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，点Q是函数图象上的最低点，则此时BP的长为（　　） A．2 B． C．7 D． 【解答】解：根据图象信息得，当x＝9时，y＝4，此时运动结束，表示点P运动到了点C处，故AC＝9，BC＝4； 当AP＝x＝7，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为BQ，当P与Q重合时，BP最小， 此时，CQ＝AC﹣AP＝9﹣7＝2， 故． 故选：D． 6．（2026•海港区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，3），点E（6，5）为正方形ABCD外一点．若将正方形ABCD平移，使点E落在正方形ABCD内部（不含边界），则平移后点A的对应点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．如图，点A平移至点，点E没有落在正方形ABCD内部，A不符合题意； B．如下图，点A平移至点，点E没有落在正方形ABCD内部，B不符合题意； C．如下图，点A平移至点，点E落在正方形ABCD内部，C符合题意； D．如下图，点A平移至点，点E没有落在正方形ABCD内部，D不符合题意． 故选：C． 7．（2026•云南模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝4，则tanC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， 则tanC， 故选：A． 8．（2026•丰都县校级模拟）已知整式，其中n为自然数，an，an﹣1，…，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0，满足n+|an|+|an﹣1|+…+|a0|≤4．下列结论： ①满足条件的整式M中只有7个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式一共有22个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵an≠0，n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a0|≤4， ∴n＜4， ∴可分四种情形分析： ①当n＝0时，M＝a0， ∴|a0|≤4， ∵an，an﹣1，⋯，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0， ∴a0＝1或﹣1，即M＝1或M＝﹣1，共2种，即单项式有2个； ②当n＝1时，M＝a1x+a0， ∴|a1|+|a0|≤3， ∵an，an﹣1，⋯，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0， ∴或或或或或， ∴M＝x+1或M＝x或M＝x﹣1或M＝﹣x+1或M＝﹣x或M＝﹣x﹣1，共6种，其中单项式有2个； ③当n＝2时，， ∴|a2|+|a1|+|a0|≤2， ∵an，an﹣1，⋯，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0， ∴或或或或或或或或或， ∴M＝x2+x或M＝x2+1或M＝x2或M＝x2﹣1或M＝x2﹣x或M＝﹣x2+x或M＝﹣x2+1或M＝﹣x2或M＝﹣x2﹣1或M＝﹣x2﹣x，共10种，其中单项式有2个； ④当n＝3时，， ∴|a3|+|a2|+|a1|+|a0|≤1， ∵an，an﹣1，⋯，a0均为绝对值小于2的整数，且an≠0， ∴或， ∴M＝x3或M＝﹣x3，共2种，其中单项式有2个； 综上，满足条件的整式M中，共有8个单项式，故①错误； 当n＝1时，满足条件的整式有且只有6个，故②错误； 满足条件的整式一共有2+6+10+2＝20个，故③错误． 故选：A． 9．（2025•广元）如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　） A．AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5 【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC 与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变．记HE中点为I，由函数图象可得，当t＝2时，y＝2，此时点C落在HE上，如图： 则BI＝2×1＝2，由题意得AB⊥HE， ∵CA＝CB， ∴AB＝2BI＝4，， ∴Cl＝2＝BI， ∴此时△CIB为等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°，故A、B正确，不符合题意； ∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB， 由题意得：BI＝t×1＝t，∠B＝45°，AB⊥HE， ∴△IJB为等腰直角三角形， ∴IJ＝IB＝t，，故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当t＝6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图： ∴DI＝EF＝6， ∵四边形HEFG是正方形， ∴EF＝GF＝6，∠F＝90°， 由题意得：D为BC的中点， ∴DF＝3， ∴， ∴△EFD的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 10．（2026•雅安校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③8a+c＜0； ④5a+b+2c＞0， 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【解答】解：∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即b＞0， ∵函数图象与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； ∵抛物线对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∵当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0， ∴4a+4a+c＜0，即8a+c＜0，故③正确； ∵当x＝2时，4a+2b+c＞0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴（4a+2b+c）+（a﹣b+c）＞0，即5a+b+2c＞0，故④正确； 故选：B． 11．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 【解答】解：由表格可得， ， 解得， ∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x）2（﹣x+3）（x+2）， ∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意； 该抛物线的对称轴是直线x，故选项B正确，不符合题意， ∵当x＝﹣2时，y＝0， ∴当x2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意； 函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 12．（2026•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝5，P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为（　　） A．1 B． C． D．1或 【解答】解：过点D'作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N，如图， 则∠CND'＝∠P'MD'＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCNM、四边形ADNM都是矩形， ∴MN＝BC＝AD＝5，BM＝CN，AM＝DN， ∵∠DCD'＝45°， ∴△CND'是等腰直角三角形， ∴CN＝D'N， 根据旋转的性质，得CD'＝CD＝4， ∵CN2+ND'2＝CD'2， ∴CN2+CN2＝（4） 2， D'N＝CN＝4． ∴AM＝DN＝CD﹣CN＝44，D'M＝MN﹣ND'＝1， 设MP'＝x， 则BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1， ∵BC2+BP'2＝CP'2， CD'2+P'D'2＝CP'2， ∴BC2+BP'2＝CD'2+P'D'2， ∴52+（4﹣x）2＝（4）2+x2+1， 解得：x＝1， ∴P'D'2＝12+1＝2， ∴PD＝P'D'， 故选：C． 13．（2026•南宁模拟）如图，在矩形ABCD中，点N在AD上，将矩形沿NP折叠，使点B落在顶点D处．若△DNP刚好是等边三角形，则的值为（　　） A．2：1 B． C． D． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，△DNP刚好是等边三角形，设边长为a， ∴∠PDN＝60°， ∴∠PDC＝30°， ∴， ∴， 由折叠知，PB＝PD＝a， ∴， ∴：1， 故选：B． 14．（2026•西安一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），B（0，﹣1），C（3，m）三点，则4a+2b﹣c的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），C（3，m）， 所以抛物线的对称轴为直线x， 则， 所以b＝﹣2a． 将点B坐标代入二次函数解析式得， c＝﹣1， 所以4a+2b﹣c＝4a+2×（﹣2a）﹣（﹣1）＝1． 故选：C． 15．（2026•长安区一模）如图1是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币（⊙O）与Rt△ABC形成如图2所示状态．其中EF是⊙O内接正九边形的一条边，AC经过点F和圆心O，点D是AB与⊙O的交点，∠EOD＝∠B＝90°，∠C＝50°，AB＝25mm，BC＝21mm． 结论Ⅰ：AB是⊙O的切线． 结论Ⅱ：若BC与⊙O相切于点G，则⊙O的直径为． 下列说法正确的是（　　） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅰ错误，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确 D．结论Ⅰ错误，结论Ⅱ错误 【解答】解：⊙O内接正九边形， ∴， ∵OF＝OF， ∴， ∵∠EOD＝∠B＝90°， ∴∠FOD＝∠EOD﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°， ∴∠FOD＝∠C＝50°， ∴OD∥BC， ∴∠CDA＝∠B＝90°， 又∵点D是AB与⊙O的交点，则OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线，即结论Ⅰ正确； 若BC与⊙O相切于点G，如图所示，连接OG， ∴OG⊥BC， ∴∠OGB＝∠B＝∠BDO＝90°， ∴四边形BDOG是矩形， ∵OD＝OG， ∴矩形BDOG是正方形，则BD＝DO＝OG＝GB， 设BD＝DO＝OG＝GB＝r， ∴AD＝AB﹣BD＝25﹣r， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ACB， ∴，即， 解得，， ∴⊙O的直径为， 故结论Ⅱ错误， 综上所述，结论l正确，结论Ⅱ错误． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 16．（2026•碑林区校级二模）如图，在▱ABCD中，BC＝8，∠B＝60°，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，连接EG，在EG上方作等腰直角三角形EFG，∠F＝90°．当点B，F之间的距离最小时，△EFG的面积为　24　 ． 【解答】解：如图， 连接AC，交EG于H，作HM⊥CD于M，交AB于N，作CK⊥AB于K，连接EH，作HW⊥MN，截取HW＝HM，作直线WT，交CD于T，交BA的延长线于V， ∴MN∥CK， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴四边形CKNM是平行四边形， ∴MN＝CK＝BC•sinB＝8•sin60°＝4，∠HAE＝∠HCG，∠AEH＝∠HGC， ∵AE＝CG， ∴△HAE≌△HCG（AAS）， ∴AH＝CH， ∵EF＝FM，∠EFM＝90°， ∴FH⊥EG，FH＝HGEG， ∴∠FHG＝∠WHM＝90°， ∴∠FHG﹣∠WHG＝∠WHM﹣∠WHG， ∴∠FHW＝∠MHG， ∴△FHW≌△GHM（SAS）， ∴∠HWF＝∠HMG＝90°， ∵∠WHN+∠HNA＝90°+90°＝180°， ∴WH∥CD， ∴∠BVF＝180°﹣∠HNV＝90°， ∴当点F在V处时，BF最小， ∵HW＝HN＝HW＝2， ∴VHHW＝2， 此时S△EFG24， 故答案为：24． 17．（2026•鹿邑县校级一模）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，AC＝BD＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　　 m2． 【解答】解：由条件可知OA＝OB＝2m， ∴OE＝OA•cos50°≈2×0.64＝1.28（m），OC＝OD＝AC＝BD＝1m， ∴，， ∴花窗的面积为． 故答案为：． 18．（2026•青山区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E，F分别是边AB，BC的中点，连接DE，EF，若EF＝1，则DE的长为　　 ． 【解答】解：如图，连接AC，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于点M． ∵E，F分别是边AB，BC的中点，EF＝1， ∴，AC＝2EF＝2， ∵由菱形ABCD，∠BAD＝120°， ∴AD＝CD，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴AD＝AC＝2，∠ADM＝30°， ∴， ∴，ME＝AE+AM＝1+1＝2， ∴． 19．（2026•温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，y1），B（2a﹣3，y2），C（2a﹣1，y3）是二次函数y＝ax2+a2x+4上的三点，且满足y1＞y2＞y3，则a的取值范围为　a　 ． 【解答】解：由题意，∵点A（a，y1），B（2a﹣3，y2），C（2a﹣1，y3）是二次函数y＝ax2+a2x+4上的三点， ∴y1＝a•a2+a2•a+4＝2a3+4， y2＝a•（2a﹣3）2+a2•（2a﹣3）+4＝6a3﹣15a2+9a+4， y3＝a•（2a﹣1）2+a2•（2a﹣1）+4＝6a3﹣5a2+a+4， 又∵y1＞y2＞y3， ∴y1﹣y2＞0，且y2﹣y3＞0． ∴． ∴a． 故答案为：a． 20．（2026•合肥校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是边BC上的一个动点，点E在AC上，在点D运动的过程中始终保持∠ADE＝∠B． （1）当BD＝3时，CE＝　2.5　 ； （2）当点D在BC上运动时，线段CE的最大值为　　 ． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，ADE＝∠B， ∴∠CDE＝∠BAD， ∵∠C＝∠B， ∴△CDE∽△BAD， ∴CE：BD＝CD：BA， ∵BD＝3时，BC＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝5， ∴CE：3＝5：6， ∴CE＝2.5， 故答案为：2.5； （2）设BD＝x， ∴CD＝8﹣x， 由（1）知△CDE∽△BAD，∴CE：BD＝CD：BA， ∴CE：x＝（8﹣x）：6， ∴CE（x﹣4）2， ∴线段CE的最大值为． 故答案为：． 21．（2026•海港区校级模拟）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　　 ． （参考数据：） 【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，设AC＝x， 则； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°， ∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵BD＝BC﹣CD＝8， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 22．（2026•云南模拟）为弘扬中华优秀传统文化，推动非物质文化遗产的活态传承，近日，某校开展2026年非遗进校园活动，课后开设了“苗族刺绣、傣族剪纸、打陀螺、剑川木雕、普洱茶制作技艺”五个项目供学生参加体验，为了解七年级学生对每个项目的喜欢情况，随机抽取了七年级50名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的项目），将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：若该校七年级共有学生1000人，则该校七年级学生最喜欢“打陀螺”项目的人数大约为　320　 人． 【解答】解：由统计图可知，样本中最喜欢“打陀螺”的人数的占比为， ∴1000×32%＝320（人）， ∴七年级学生最喜欢“打陀螺”的人数约为320人． 故答案为：320． 23．（2026•丰都县校级模拟）对于一个四位自然数A（各数位数字均不为0），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数A为“倍差和乐数”．例如：7612，因为7+1＝2×（6﹣2），所以7612是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为m，个位数字与十位数字组成的数记为n，并规定F（A）＝m﹣n+2c．若是一个“倍差和乐数”，则F（4b2d）＝　36　 ，若一个四位数B＝1000p+100q+2s+10t+1210（p，q，s，t均为整数，且0＜p≤8，0＜q≤7，0＜s≤4，0＜t≤8．）是一个“倍差和乐数”，且F（B）与4的差能被7整除，则满足条件的B的最大值与最小值之差为　6142　 ． 【解答】解：由题意得，4+2＝2（b﹣d），m＝10b+4，n＝10d+2， ∴b﹣d＝3， ∴F（4b2d）＝10b+4﹣（10d+2）+2×2 ＝10（b﹣d）+6 ＝10×3+2+4 ＝36， ∴F（4b2d）＝36， ∵四位数B＝1000p+100q+2s+10t+1210是一个“倍差和乐数”， ∴（p+1）+（t+1）＝2（q+2﹣2s）， ∴2q﹣4s＝p+t﹣2， ∴F（B）＝10（q+2）+p+1﹣（20s+t+1）+2（t+1） ＝10q﹣20s+p+t+22 ＝5（2q﹣4s）+p+t+22 ＝5p+5t﹣10+p+t+22 ＝6p+6t+12， ∴F（B）﹣4＝6p+6t+12﹣4＝6p+6t+8＝7（p+t+1）﹣（p+t﹣1）， 由条件可知p+t﹣1是7的倍数， ∴p+t﹣1＝7或14， 当p+t﹣1＝14时，p+t＝15，此时2q﹣4s＝13，不合，舍去； 当p+t﹣1＝7时，p+t＝8，此时2q﹣4s＝6，即q﹣2s＝3， 当p＝7，t＝1，q＝7，s＝2时，B取最大值，最大值为8924， 当p＝1，t＝7，q＝5，s＝1时，B取最小值，最小值为2782， ∴满足条件的B的最大值与最小值之差为8924﹣2782＝6142， 故答案为：36，6142． 24．（2026•高新区校级一模）阅读材料：如图1，已知正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，则将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△FBG，则AM+BM+MC的最小值是线段FC的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形ABCD中有任意两个点P、Q，则AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值是　22　 ． 【解答】解：将△ABP绕B逆时针旋转60°得到△A'BP'，连接AA'，将△CDQ绕D逆时针旋转60°得到△C'DQ'，连接CC'，连接A'C'与AB，CD分别交于M，N，如图： 由旋转可知，AP＝A'P'，AB＝A'B，∠ABA'＝60°，BP＝BP'，∠PBP'＝60°，CQ＝C'Q'，QD＝Q'D，∠QDQ'＝60°，DC＝DC'，∠CDC'＝60°， ∴△ABA'，△PBP'，△QDQ'，△CDC'都是等边三角形， ∴BP＝PP'，DQ＝QQ'， ∴AP+BP+PQ+DQ+CQ＝A'P'+PP'+PQ+QQ'+C'Q'， ∴AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值即为A'C'的长， ∵AA'＝BA'，DC'＝CC'， ∴A'在AB的垂直平分线上，C'在DC的垂直平分线上， ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴A'C'是AB，CD的垂直平分线， ∴∠BMN＝∠CNM＝90°，BM＝CN＝1， ∴A'MBM，C'NCN，四边形BCNM是长方形， ∴MN＝BC＝2， ∴A'C'＝A'M+MN+C'N＝22， ∴AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值为22； 故答案为：22． 25．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　　 ． 【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图： 设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2， ∵∠ACB＝90°，E为AD中点， ∴CE＝AE＝DEAD， ∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC， ∴∠CED＝2∠CAD， ∵BE＝BC， ∴∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EDC， ∵∠ECD＝∠BCE， ∴△ECD∽△BCE， ∴，∠CED＝∠CBE， ∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝2∠CAD， ∴∠CAB＝∠CED， ∴∠CAB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°＝∠BFE， ∴△ABC∽△BEF， ∴， ∵CE＝DE，EF⊥BC， ∴CF＝DFCD＝1， ∵E为AD中点， ∴AC＝2EF， ∴， ∴2EF2＝（x+1）（x+2）， ∵EF2＝CE2﹣CF2， ∴（2x+4）﹣12， 解得x或x（小于0，舍去）， ∴BD． 故答案为：． 26．（2026•永寿县校级模拟）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　1　 ． 【解答】解：如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≡△CFO（AAS）， ∴OA＝OC， ∵正方形ABC端点面积为8， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝90°， ∴ACAB＝4， ∵AO＝OC， ∴BO平分∠ABC，BOAC＝2， ∴∠ABO＝∠OBC＝45°， ∵BM⊥EF， ∴∠BMO＝90°， ∴JMOB＝1， ∵JH⊥BC， ∴JH＝BHBJ， ∴CH＝2， ∴CJ， ∵CM≥CJ﹣JM1， ∴CM的最小值为1． 故答案为：1． 27．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　3　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， 如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， 由勾股定理得AB， ∵， ∴， ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°， 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴， ∵是定值， ∴EK取最大值时，取最小值， ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上， ∴当点E，K，O共线时，即点E在E'位置时，EK取最大值， ∵∠AK'O＝∠ACB＝90°，∠K'AO＝∠CAB， ∴△K'AO∽△CAB， ∴， 即， 解得， ∴E'K'， 即EK的最大值为， 此时， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 28．（2026•南宁模拟）如图，在等腰直角△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC上一点，BP＝AB．若AP＝10，则点C到AP的距离为　5　 ． 【解答】解：过点C作CF⊥AP，交射线AP于点F，过点B作BD⊥AP于点D，BD的延长线交AC于点E， 则∠PDE＝∠E＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BP＝AB， ∴， ∴∠EAP＝∠BAC﹣∠BAP＝22.5°， ∴∠EAP＝∠EPA＝22.5°， ∴∠PEC＝∠EAP+∠EPA＝45°， ∴PE＝PC，∠CPE＝90°， ∴∠CPF+∠EPD＝90°， ∵∠EPD+∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠CPF， 在△PED和△CPF中， ， ∴△PED≌△CPF（AAS）， ∴CF＝PD， ∵AP＝10， ∴， ∴CF＝5， 故答案为：5． 29．（2026•西安一模）如图，在梯形ABED中，AD∥BE，AB⊥BE，AB＝8，点C、M分别是边BE、DE上的点，连接AM、CM，MC＝ME，AD＝BC，若△ADM和△CEM的面积之和为12，则BE的长为　6　 ． 【解答】解：连接CD，MB，取AB的中点H，连接MH， ∴BHAB8＝4， ∵AD∥BE，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BE， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵MC＝ME， ∴∠MCE＝∠E， ∵AD∥BE， ∴∠ADM+∠E＝180°， ∵∠BCM+∠MCE＝180°， ∴∠ADM＝∠BCM， ∴∠MDC＝∠MCD， ∴MD＝MC， ∵AD＝BC，∠ADM＝∠BCM，MD＝MC， ∴△ADM≌△BCM（SAS）， ∴AM＝MB， ∴△ADM的面积＝△BCM的面积， ∵△ADM和△CEM的面积之和为12， ∴△MBE的面积＝12， ∵MA＝MB，H是AB的中点， ∴MH⊥AB， ∵BE⊥AB， ∴MH∥BE， ∴△MBE的面积BE•BHBE×4＝12， ∴BE＝6． 故答案为：6． 30．（2026•长安区一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　2　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC5， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD， ∵， ∴， ∴DEAD＝4， ∴CP的最小值为4＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•碑林区校级二模）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在AC上，点E在AB上，以DE，CD为边作▱DEFC，点F在BC上，若BF＝2DE，则　　 ； （2）如图②，在矩形ABCD中，BC＝48，E为AD的中点，连接BE，CE，⊙O过点B，C，E，若，求边AB的长； （3）如图③，AB为某市一个大型荷塘边界，该市文旅集团计划依荷塘边界在荷塘外空地上修建一个小型观光公园ABCM，其中CE，CM，ME为三条观光路线，AF附近为荷花集中区，M为最佳观光点．已知点A，E，B共线且F为线段AB的中点，依据设计要求，，∠CEM＝90°，为保证游客最佳观景效果，还需使∠AMF最大，已知AB＝2BC＝480m，∠B＝90°，请你计算此时观光路线CM的长度．（观光路的宽度、观光点的大小均忽略不计） 【解答】解：（1）在▱DEFC中，EF＝CD，EF∥CD，DE∥CF， ∴∠BEF＝∠A，∠B＝∠AED， ∴△AED∽△EBF， ∴， ∵EF＝CD， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点O作BC的垂线交BC于点H，连接OB，OC，OE， ∵OH⊥BC，OB＝OC， ∴，∠BOH＝∠COH． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC， ∵E为AD的中点， ∴， ∴AE＝BH， ∴四边形ABHE为矩形， ∴∠BHE＝90°，AB＝EH， ∴E，O，H三点共线， ∵， ∴∠BOC＝2∠BEC， ∴， ∴OH＝10， 在Rt△OHB中，， ∴OE＝26，则AB＝EH＝OE+OH＝36； （3）∵，∠CEM＝90°， ∴， 如图，在BF上取一点P，使得，连接PM，PC， ∵∠B＝∠CEM＝90°，， ∴△CPB∽△CME， ∴∠MCE＝∠PCB， ∴∠MCP＝∠ECB， ∵， ∴△CMP∽△CEB， ∴∠B＝∠CPM＝90°，即CP⊥MP． ∵点E在AB所在直线上运动， ∴点M在过点P且垂直于CP的直线上运动， 作△AMF的外接圆⊙O，连接OM，当⊙O与直线PM相切时，∠AMF最大， ∴PM⊥OM， ∴∠FMP+∠FMO＝90°， 延长MO交⊙O于点G，连接GF， ∵MG为⊙O的直径， ∴∠MFG＝90°， ∴∠MGF+∠GMF＝90°， ∴∠FMP＝∠MGF， ∵， ∴∠MAP＝∠MGF， ∴∠FMP＝∠MAP， ∵∠MPF＝∠APM， ∴△PMF∽△PAM， ∴， ∴PM2＝AP•PF， ∵BC＝240， ∴BP＝180，CP＝300， ∴AP＝AB﹣BP＝480﹣180＝300， ∵F为AB的中点， ∴， ∴， ∴在Rt△CPM中，． ∴此时观光路线CM的长度为． 32．（2026•兰州校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，直线l（点A不在l上）和⊙C，给出如下定义：若点A关于直线l的对称点A′在⊙C上，则称点A是⊙C关于直线l的映像点，称线段AA′的长度为点A与⊙C的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线l1：y＝x+2． ①在点A1（﹣2，2），，A3（﹣2，1）中，点A3 是⊙O关于直线l1的映像点，该点与⊙O的映像距离为　　 ； ②点B是⊙O关于直线l1的映像点，当点B与⊙O的映像距离最小时，点B的坐标为　（）　 ； （2）已知点E（﹣2，﹣1），F（2，﹣1），点D在y轴的正半轴上且△DEF为等边三角形．点T（t，2），⊙T的半径为1．若△DEF上存在⊙T关于直线l2：y＝（k+1）x﹣2k的映像点，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①如图1， （0，0）关于直线y＝x+2的对称点O′（﹣2，2），作半径为1的⊙O′， 点A1（﹣2，2）不在⊙O′上，不在⊙O′上，A3（﹣2，1）在⊙O′上， ， 故答案为：A3，； ②如图1， ∵OB＝21， ∴OB•sin45°2， ∴B（2，2）； （2）如图2， 设DF交直线y＝2于W，OD交直线y＝2于H，EF交y轴于S， 直线l2：y＝（k+1）x﹣2k＝（x﹣2）k+x，过定点G（2，2）， ∴点T到G的距离等于其关于l2的对称点T′到G的距离相等， 当⊙T′与DF相切时，设切点为I，设以G为圆心，GT′为半径的圆交直线y＝2于P和Q， ∵等边三角形DEF的高DS＝4•sin60°＝2，OS＝1， ∴OD＝DS﹣OS＝2， ∵OH＝2， ∴DH＝OD﹣OH＝2， ∴HWDH＝2， ∴WG＝GH﹣HW＝2﹣（2）， ∴GI＝WG•sin∠GWI， ∴GT′1， ∴PG＝GQ＝GT′． 此时t＝2或t＝2， 延长GE至T″，使ET″＝1，设以G为圆心，GT″为半径的圆交直线y＝2于V和R， ∵EG6， ∴GT″＝EG+ET″＝6， ∴GR＝GV＝GT″＝6， 此时t＝2﹣6＝﹣4，或t＝2+6＝8， ∴﹣4≤t或． 33．（2026•闻喜县一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接CD，BE，交点为F． 猜想证明： （1）如图1，若AD＝CE，求证：∠BFD＝60°； 拓展延伸： （2）如图2，D为AB的中点，连接AF，将AF绕点A逆时针旋转120°得到AM，若BE的延长线恰好经过点M，CF＝2，求AE的长； （3）如图3，若D，E分别为边AB，AC的中点，AB＝4，先将AD绕点A按逆时针旋转120°得到AN，连接EN，再将△AEN沿射线AC方向平移得到△A′E′N′，在△AEN平移的过程中，当以B，E′，N′为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出△AEN平移的距离． 【解答】（1）证明：由等边△ABC知，AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°． 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（SAS）， ∴∠CBE＝∠ACD． ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°， ∴∠BFD＝∠CBF+∠BCF＝∠ACD+∠BCF＝60°； （2）解：如图2，过点F作FP⊥AC于点P，在PF上取一点Q，使得FQ＝EQ． ∵将AF绕点A逆时针旋转120°得到AM， ∴AF＝AM，∠FAM＝120°， ∴∠AFM＝30°． ∵D为AB的中点， ∴AF＝BF，∠ACD＝30°， ∴，， ∴∠FAP＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°， ∴AP＝PF＝1，∠EFP＝15°． ∵FQ＝EQ， ∴∠EFQ＝∠FEQ＝15°， ∴∠EQP＝∠EFQ+∠FEQ＝15°+15°＝30°． 设PE＝x，则FQ＝EQ＝2PE＝2x，， ∴， 解得：， ∴． （3）解：△AEN平移的距离为6或10．理由如下： 由题意可知，△AEN是等边三角形． 由平移的性质可得ABE′N′， 如图3，当∠BE′N′＝90°时， ∴∠ABE′＝∠BE′N′＝90°． ∵∠ABC＝∠A′E′N′＝60°， ∴∠CBE′＝∠BE′C＝30°， ∴CE′＝BC＝4． ∵E是AC的中点， ∴， ∴EE′＝EC+CE′＝2+4＝6； 如图4，当∠BN′E′＝90°时，令BN′与A′C的交点为H． ∴∠ABN′＝∠BN′E′＝90°， ∴∠CBH＝∠BHC＝∠A′HN′＝∠A′N′H＝30°， ∴CH＝BC＝4，A′H＝A′N′＝2， ∴AA′＝AC+CH+A′H＝4+4+2＝10． 综上所述，△AEN平移的距离为6或10． 34．（2026•温江区校级模拟）如图，直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线的对称轴交于点C，抛物线C1的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，点P为抛物线上一点，过点P作PQ∥CD，与直线AB相交于点Q，当以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标； （3）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点T，直线AT、BT分别交抛物线C1于点E、F，连接EF，M为EF的中点，试探究M的横坐标是否为定值？若是，请求出M的横坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c的顶点为D（1，）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2﹣x+1； （2）当k时，直线为yx，令x＝1得y11， ∴C（1，1）， ∵D（1，）， ∴CD＝1， 设P（p，p2﹣p+1），则Q（p，p）， ∴PQ＝|p2﹣p+1﹣（p）|＝|p2p|， ∵PQ∥CD， ∴以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只需PQ＝CD， ∴|p2p|， 当p2p时，解得p＝0或p＝3， 当p2p时，解得p＝2或p＝1（此时P，D重合，舍去）， ∴点P的横坐标为0或3或2； （3）M的横坐标为定值，理由如下： 联立可得kxx2﹣x+1， 化简整理得：x2﹣（2k+2）x+1＝0， 设A（a，a2﹣a+1），B（b，b2﹣b+1），则a，b是x2﹣（2k+2）x+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝2k+2，ab＝1， ∵抛物线yx2﹣x+1的对称轴与x轴交于点T， ∴T（1，0）， 由A（a，a2﹣a+1），T（1，0）可得直线AT的解析式为yx， 联立可得xx2﹣x+1， 整理得：（a﹣1）x2﹣a2x+a2＝0， 解得x＝a或x， ∴点E的横坐标xE， 同理可得xF， ∵M为EF的中点， ∴xM（xE+xF）（）， ∵a+b＝2k+2，ab＝1， ∴xM， ∴M的横坐标为定值． 35．（2026•合肥校级一模）如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B的左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值． 【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1， ∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， 将点B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+3ax+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）令，解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b． 将点A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入， 得，解得， ∴直线AC的解析式为． （3）过点D作DE∥y轴，交AC于点E，如图所示： 由（2）知AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∴， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ∴， ∵， ∴当a＝﹣2时，DE有最大值，最大值为3， ∴S△ADC的最大值为， ∴四边形ABCD面积的最大值为． 36．（2026•海港区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5，其图象记为抛物线C1． （1）求出C1的对称轴及a的值； （2）当0≤x≤t时，函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值； （3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2． ①直接写出抛物线C2的解析式； ②点P在x轴的负半轴上，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1，C2分别交于点M，N．当PM＝QN时，直接写出点P的横坐标． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝a﹣2a+4＝5， 解得a＝﹣1； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4， 当x＝t时，y＝﹣t2﹣2t+4， ∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下， ∴当0≤x≤t时，y随x的增大而减小， ∵当0≤x≤t时，函数的最大值是m，最小值是n， ∴当x＝0时，y取最大值m，当x＝t时，y取最小值n， 即4＝m，﹣t2﹣2t+4＝n， ∵m﹣n＝6， ∴4﹣（﹣t2﹣2t+4）＝6， 解得，（负值舍去）， ∴； （3）①y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5， 则C2：y＝﹣（x+1﹣2）2+5﹣2＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2， ②设点P（m，0）（m＜0），则点Q（m，﹣2m﹣4），M（m，﹣m2﹣2m+4），N（m，﹣m2+2m+2）， ∴PM＝|﹣m2﹣2m+4﹣0|＝|m2+2m﹣4|， QN＝|﹣2m﹣4+m2﹣2m﹣2|＝|m2﹣4m﹣6|， 当PM＝QN时，即|m2+2m﹣4|＝|m2﹣4m﹣6|， 解得或或（不合题意，舍去）， ∴当PM＝QN时，点P的横坐标为或． 37．（2026•云南模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，连接BD，CD，过点D作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E． （1）求证：∠DBC＝∠DCB； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数m，n，使等式AD2＝mAB•AC+nBD2成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你写出的m的值和n的值，使等式AD2＝mAB•AC+nBD2成立；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴∠DBC＝∠DCB． （2）证明：连接OD， ∵， ∴OD⊥BC， 又∵DE∥BC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：当m＝n＝1时，等式AD2＝mAB•AC+nBD2成立．证明如下： 过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点D作DG⊥AC，垂足为G， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴DH＝DG， 又∵AD＝AD， ∴△AHD≌△AGD（HL）， ∴AG＝AH， ∵， ∴BD＝CD， ∴△BHD≌△CGD（HL）， ∴HB＝CG， 设AH＝x，HB＝y，HD＝z， 则AB＝AH﹣HB＝x﹣y，AC＝AG+CG＝x+y， BD2＝HD2+HB2＝z2+y2， AD2＝AH2+HD2＝x2+z2 ∴AB•AC＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2， ∵AD2＝mAB•AC+nBD2， ∴x2+z2＝m（x2﹣y2）+n（z2+y2）， 即：（1﹣m）x2+（1﹣n）z2+（m﹣n）y2＝0， 要使等式成立，取值与x、y、z无关，则1﹣m＝0，1﹣n＝0，m﹣n＝0， ∴m＝n＝1． 38．（2026•丰都县校级模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D为AB上一点，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接BF． （1）如图1，若点D在边AB上，延长BA交CF于点E，∠ADC＝45°，，求AE的长； （2）如图2，若点D在AB延长线上，延长CA交DF于点E，BF交CE于点G，求证：； （3）若点D在边AB上，P为边BC上一点，，N为DP上方一点，∠DNP＝120°，DN＝PN，连接BN，H为BN上一点，，当BN取得最大值时，将线段DN绕点D旋转得到线段DQ，连接BQ，线段BQ绕点B逆时针方向旋转75°得到线段BK，直接写出KH的最大值． 【解答】（1）解：作CG⊥BE于G，设AG＝a， ∵AB＝AC，∠CAB＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∵∠CAG＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴CGAG， ∵∠CDG＝45°， ∴tan∠CDGtan45°＝1， ∴DG＝CG， ∴AD+AG＝CG， ∴a+（， ∴a＝1， ∴AB＝AC＝2a＝2，CG， ∴BC＝2CG＝2， ∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴∠DCF＝60°， ∵∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠DCF＝75°， ∴∠BCE＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝180°﹣30°﹣75°＝75°， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝2， ∴AE＝BE﹣AB＝22； （2）证明：如图2， 以BC为边作等边三角形BCH，连接FH，BH交CE于M， ∴∠BHC＝∠BCH＝60°，CH＝BC， ∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴∠DCF＝60°，CD＝CF， ∴∠BCH＝∠DCF， ∴∠BCH﹣∠BCF＝∠CDF﹣∠BCF， ∴△BCD≌△HCF（SAS）， ∴BD＝FH，∠FHC＝∠DBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠FHB＝∠FHC﹣∠BHC＝150°﹣60°＝90°， ∵∠ACB＝∠HCM， ∴CM⊥BH，BM＝MH，CMCH， ∴GM∥FH， ∴△BMG∽△BHF， ∴， ∴GMFHBD， ∴CG＝GM+CM， ∴； （3）解：如图3， 以DP为边作等边三角形DOP，以O为圆心，DP为半径作圆O， ∵∠B＝30°， ∴点B在⊙O上运动，故当点B在NO的延长线上时（图中B′），BN最大， 设BN交DP于G，此时B′G⊥DP，DG＝PG，OB＝OD＝2，OGDG＝3， ∴B′G＝OB′+OG＝3+2， ∴BD3， 将△B′DQ绕点B逆时针旋转75°至△B′D′Q′， ∴D′Q′＝DQ＝2，∠D′B′D＝75°， ∴点Q′在以D′为圆心，2为半径的圆上，连接HD′并延长，交⊙D与K，则KH最大， ∵∠D′B′H＝∠D′B′D+∠DB′H＝75°+15°＝90°， ∴D′H2， ∴KH最大＝D′H+D′K＝2． 39．（2024•郓城县三模）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，在AD上取一点E，使得，以AE为边作正方形AEFG，连接BE，CF． 问题发现： （1）的值是 　　 ；直线BE，CF所夹锐角的度数是 　45°　 ； 拓展探究： （2）如图②，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为时，请直接写出CF的长． 【解答】解：（1）如图①，连接AF，连接AC交BE于O，延长BE交FC于H， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴ACAB，AFAE，∠BAC＝∠EAF＝45°， ∴∠FAC＝∠EAB，， ∴△AEB∽△AFC， ∴，∠ABE＝∠ACF， 又∵∠AOB＝∠COE， ∴∠BAC＝∠BHC＝45°， 故答案为：，45°； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接AF，连接AC交BE于O，延长BE交FC于H， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴ACAB，AFAE，∠BAC＝∠EAF＝45°， ∴∠FAC＝∠EAB，， ∴△AEB∽△AFC， ∴，∠ABE＝∠ACF， 又∵∠AOB＝∠COE， ∴∠BAC＝∠BHC＝45°； （3）如图③，当点E直线AD的左侧时，过点E作EH⊥AB于H，则EH， ∵AE， ∴AH1， ∴BH＝AB+AH＝5， ∴BE3， ∵， ∴CF＝3； 如图④，当点E直线AD的右侧时，过点E作EH⊥AB于H，则EH， ∵AE， ∴AH1， ∴BH＝AB﹣AH＝3， ∴BE， ∵， ∴CG， ∴CF＝5， 综上所述：CF＝3或5． 40．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， 该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3）， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3， 连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3）， 则S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6）， 同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6）， 解得：m（舍去）或， 即点P（，2）； 则△ABP的面积AB×yP（1+3）×24； （3）存在，理由： 由（2）知，P（，2）； 由点C、P的坐标得，PC＝3； 当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°， 由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2， 过点Q作QH⊥PC于点H， 设CH＝（2）x，则PH＝QH＝x， 则PC＝3（2）x+x， 解得：x， 则QH＝x，CH（2）， 则CQ22， 则OQ＝3+22＝21， 即点Q（0，21）； 当点Q（Q′）在点C下方时， 同理可得：CQ′＝6﹣2， 则点Q′（0，23）； 综上，Q（0，21）或（0，23）． 41．（2026•永寿县校级模拟）【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，sin∠CAD，DE∥AB交AC于点E，AC＝6． ①∠ADE的度数为　45　 °； ②求AB的长； 【问题解决】 （2）如图2，菱形ABCD是某公园的一片花海，对角线BD是一条小路，在AB边的中点E处有一座凉亭，BD上的点F处有一座观景台，EF是从凉亭到观景台的一条小路，再从C向E修一条小路CE，与小路BD交于点M，现要在△MEF区域种植某种鲜花，并用篱笆将△MEF区域围来，已知sin∠ADC°，BD＝480m，求需要篱笆的总长（即△MEF的周长）．（凉亭观景台的大小和小路的宽度均忽略不计） 【解答】解：（1）①∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝45°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝45°， 故答案为：45； ②∵sin∠CAD，AD⊥BC， ∴， ∵AC＝6， ∴CD＝3， ∴AD3， ∵∠B＝∠BAD＝45°， ∴BD＝AD＝3， ∴AB3， 答：AB的长为3； （2）连接AC交BD于O，过F作FG⊥CE于G，如图： ∵sin∠ADC， ∴∠ADC＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB，OB＝ODBD＝240m，∠AOD＝90°，∠ADO∠ADC＝30°＝∠ABO， ∴△ADC是等边三角形，cos∠ADO， ∴AC＝AD＝AB＝BC，cos30°， ∴AD＝160m＝AB， ∵E为AB的中点， ∴CE⊥AB，BE＝AEAB＝80m， 在Rt△BEM中，∠EBM＝30°，BE＝80m， ∴∠BME＝60°＝∠FMG，EM80m， ∴∠MFG＝30°， ∴MF＝2MG，GFMG， 设MG＝xm，则MF＝2xm，GFxm，GE＝（80+x）m， ∵∠BFE＝15°，∠BME＝60°， ∴∠MEF＝∠BME﹣∠BFE＝45°，即∠GEF＝45°， ∴△GEF是等腰直角三角形， ∴EFGF，GE＝GF，即80+xx， 解得x＝4040， ∴MF＝2x＝8080，GFx＝120+40， ∴EFGF＝12040， ∴EM+EF+MF＝80+120408080＝（160+1204080）m， ∴需要篱笆的总长为（160+1204080）m． 42．（2026•南京模拟）已知△ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB的角平分线，且CD、BF、AE交于一点G，则称点G为该三角形的“金中点”． （1）求证：； （2）当∠BAC＝45°，求∠ABC度数； （3）若△CEG为等腰三角形时，求的比值k为多少？请在下面直接填写结果： ①当EC＝EG时，k＝　　 ； ②当CE＝CG时，k＝　　 ； ③当GC＝GE时，则k的一位小数的近似值≈　1.5　 ． 【解答】（1）证明：过点G作GH⊥AC于点H． ∵AE平分∠BAC， ∴GH＝DG， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作FM⊥AB于M， ∵∠BAC＝45°，CD⊥AB， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝DC，， ∵FM⊥AB，CD⊥AB， ∴FM∥CD， 又∵F为AC的中点， ∴FM为△ADC中位线， ∴，DMAD． 设AD＝DC＝a，则，FMa，， 由（1）得， ∴， ∵FM∥CD， ∴△BDG∽△BMF， ∴， ∴BD＝（22）BM＝（22）（BD+DM）＝（22）BD+（22）DM， ∴， ∴， ∴在Rt△CDB中，tan， 在Rt△ADG中， ∴tan∠ABC＝tan∠GAD， ∴∠ABC＝∠GAD， ∵AE是∠CAB的角平分线，∠BAC＝45°， ∴； （3）解：如图，延长GF至点M，使得FM＝FG， ∵BF是AC边上的中线， ∴AF＝FC， ∴四边形AMCG是平行四边形， ∴CG∥AM，AG∥MC， ∴，， ∴， 又∵∠ABC＝∠DBE， ∴△BDE∽△BAC， ∴∠DEB＝∠ACB， ∴DE∥AC， ∵DE∥AC， ∴， ①当EC＝EG时，如图，过点E作EH⊥CG， ∴EH∥AD， ∴△HEG∽△DAG， ∴， 设CH＝HG＝1，DG＝x， ∴， ∵k， ∴， 解得（负值舍去），即； 故答案为：； ②当CE＝CG时，如图，连接DE， ∵AE平分∠CAB， ∴， ∴∠AGD＝∠CGE＝∠CEG＝90°﹣∠EAB＝90°∠CAB， ∴∠CAB+∠AEC＝∠CAE+∠AEC＝∠ACB＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB＝90°， 设DG＝1，CG＝CE＝x， ∴， ∵DE∥AC， ∴△ACG∽△EDG，△ACB∽△DEB， ∴，， ∴， ∴1， ∴∠DEB＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠BCD， ∴△DCE∽△BCD， ∴， ∴CD2＝CE•CB， ∴CB， ∴1， ∴x2﹣x﹣1＝0， 解得：x（负值舍去），即k； 故答案为：； ③当GC＝GE时，设GC＝GE＝x，DG＝1， ∴， ∴AG＝x2， ∴， ∵， ∴， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴x2（x4﹣1）＝x4﹣1+（x+1）2， ∴x5﹣x3﹣2x﹣2＝0， x3（x2﹣1）＝2（x+1）， ∴x3（x﹣1）＝2， ∴x4﹣x3﹣2＝0， 当x＝1时，x4﹣x3﹣2＝﹣2＜0， 当x＝2时，x4﹣x3﹣2＝6＞0， 当x＝1.5，x4﹣x3﹣2＝﹣0.3125＜0， 当x＝1.55，x4﹣x3﹣2＝0.04513125＞0， ∴x≈1.54，即k≈1.54≈1.5． 故答案为：1.5． 43．（2026•南宁模拟）【对等角六边形】定义：在凸六边形ABCDEF中，满足∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． （1）如图1，对等角六边形ABCDEF的对边AB，DE的位置关系是　平行　 ； （2）如图2，六边形ABCDEF是对等角六边形，若CD＝AF，求证：BC＝EF； （3）如图3，在对等角六边形ABCDEF中，对角线AD、BE、CF交于点O，已知S六边形ABCDEF＝15，求四边形ADEF的面积． 【解答】（1）解：平行， 过点F作FG∥AB， 则∠A+∠1＝180°， ∵六边形ABCDEF是对等角六边形， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠A+∠F+∠E＝360°， ∴∠2+∠E＝180°， ∴FG∥DE， ∴AB∥DE， 故答案为：平行； （2）证明：连接AC、DE， 由（1）知，AB∥DE， 同理，AF∥CD， ∵CD＝AF， ∴四边形ACDF是平行四边形． ∴∠CAF＝∠CDF，AC＝DF， ∵∠BAF＝∠EDC． ∴∠BAC＝∠EDF． ∵∠B＝∠E， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF； （3）解：∵对等角六边形ABCDEF的对角线AD、BE、CF交于点O， ∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形， 由（1）知，六边形相对的边平行， ∴相对的两个三角形相似， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴， ∴OA2＝OD2， ∴OA＝OD， 同理，OB＝OE，OC＝OF， ∴点O是六边形的对称中心， ∵S六边形ABCDEF＝15， ∴， 故四边形ADEF的面积为7.5． 44．（2026•西安一模）问题提出 （1）如图①，矩形ABCD的对角线AC的长为8，⊙D的半径为2，点E是⊙D上的动点，则点B、E之间的最大距离为　10　 ； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，点B关于AC的对称点为点D，点G、F在AC上，连接BG并延长到点E，连接DE、DF、BF，若四边形FGED是平行四边形，求证：BF＝BG； 问题解决 （3）如图③，某区计划将△ABC区域建成一个户外健身区，AB＝AC＝500m，BC＝600m．现要在线段BC上找两点D、E（D、E是BC上的动点，点D在点E的左侧），DE＝300m，点F是一个出入口，且点F是AC的中点，连接AD、EF，为方便市民出入，沿四边形ADEF的四边修建人行通道．以DE为直径在BC下方作半圆O（半圆O随着DE移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道．设计人员要求在人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短的条件下，塑胶跑道AP的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度．（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【解答】解：（1）当点E在BD延长线上时BE最大， 即BE＝BD+R＝8+2＝10． 故答案为：10； 证明：（2）∵点B关于AC的对称点为点D， ∴∠BFG＝∠DFG， ∵四边形FGED是平行四边形， ∴GE∥DF，即 BE∥DF， ∴∠BGF＝∠DFG， ∴∠BFG＝∠BGF， ∴BF＝BG． 解：（3）∵AB＝AC＝500m，点F是AC的中点， ∴AF＝CF＝250m， ∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝AD+300+EF+250＝AD+EF+550（m）， ∴当AD+EF的值最小时，此时四边形ADEF的周长最小． 作点A关于BC的对称点G，连接DG，将DG向右平移使点D与点E重合得到线段EH，连接GH，连接FH交BC于点E'， 则四边形DGHE是平行四边形，GH＝DE＝300m，AD＝GD＝EH， ∴AD+EF＝EH+EF≥FH， ∴当点F、E、H三点共线时，四边形ADEF的周长最小，此时点E与点E'重合． 在BE'上截取E'D'＝300m，以E'D'为直径作半圆O'，连接AO'并延长交半圆O'于点P'， AP'的长度即为四边形ADEF的周长最小时AP的最大长度． 连接GD'，分别过点A、F作 AM⊥BC，FN⊥BC，垂足分别为M、N，则四边形D'GHE'是平行四边形， ， ∵AB＝AC＝500m，BC＝600m， ∴BM＝CM＝300m， ∴． ∵AM⊥BC，FN⊥BC， ∴FN∥AM，易得， ∴ ∴FN＝200m，MN＝CN＝150m． ∵点A与点G关于BC对称， ∴∠AD'M＝∠GD'M． ∵四边形D'GHE'是平行四边形， ∴D'G∥E'H，即D'G∥FH， ∴∠FE'N＝∠GD'M ∴∠FE'N＝∠AD'M ∴△AMD'∽△FNE' ∴， ∴MD′＝2NE′， ∵D'E'＝D'M+MN+NE'＝2NE'+150+NE'＝300（m）， ∴NE'＝50m，MD'＝100m， ∵O'D'＝O'E'＝O'P'＝150n， ∴O'M＝O'D'﹣MD'＝50m， ∴． ∴， 综上，当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度为（50150）m． 45．（2026•长安区一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点（0，1）和（1，3）都是“好点”．如图，抛物线L的顶点P是“好点”，并且抛物线L的开口方向和大小都不变．已知当顶点P为时，L与y轴的交点为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，设顶点P的横坐标为k． （1）当k＝0时，求L与x轴交点的坐标； （2）下面是关于L的两个结论： 甲：L与y轴的交点有最高点． 乙：L与y轴的交点会沿y轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由； （3）若点P在△AOB内部（不含边界），则对于L上的点和点，比较m与n的大小； （4）当L与线段AB只有一个公共点（含端点）时，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）当顶点P为时，设抛物线的解析式为y＝a（x）2． 代入（0，）得：a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x）2． 根据“好点”定义，当顶点P的横坐标为k时，纵坐标为2k+1． 令k＝0，此时顶点P的坐标为（0，1） ∵抛物线L的开口方向和大小都不变， ∴此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+1． 令y＝0，x2＝1，则x＝1或﹣1． 故L与x轴交点的坐标为（﹣1，0）和（1，0）． （2）设顶点P坐标为（k，2k+1），则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣k）2+2k+1． 令x＝0，y＝﹣k2+2k+1＝﹣（k﹣1）2+2≤2， 故甲的结论正确． （3）由顶点P坐标为（k，2k+1）可得点P在直线CD：y＝2x+1上，如图． 对于直线l：yx+2，令x＝0，y＝2；令y＝0，x＝4． ∴A（4，0），B（0，2）． 联立直线CD和l的解析式得：2x+1x+2． 解得：x． 设当抛物线沿着顶点P在线段CD上平移时，新抛物线的对称轴为x＝a． ∴a ∵点和点均在x的右侧，此时y随着x的增大而减小． ∴m＞n． （4）联立抛物线y＝﹣（x﹣k）2+2k+1与直线得：﹣（x﹣k）2+2k+1x+2． 整理得：﹣x2+（2k）x﹣k2+2k﹣1＝0， 令Δ＝0，即（2k）2﹣4（k﹣1）2.＝0， 解得：k． 此时x， ∵xBxA． ∴k时符合抛物线与线段AB有一个公共点． 把点B坐标代入y＝﹣（x﹣k）2+2k+1得：k2﹣2k+1＝0， 解得k＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3． 与直线l解析式联立得：﹣（x﹣1）2+3x+2． 整理得：x2x＝0 解得：x＝0或． ∵xA＝4， 由（2）可知L与y轴的交点的最高点为点B（0，2）． ∴抛物线y＝﹣（x﹣k）2+2k+1的左半侧通过点B时，抛物线刚好和线段AB有两个公共点；然后在抛物线沿直线CD继续向右侧移动时，先是抛物线左半侧与线段AB仍旧有一个公共点，右半侧与直线AB也有一个公共点； 接着当抛物线右半侧经过点A后，开始只有抛物线左半侧与与线段AB有一个公共点； 直到抛物线左半侧经过点A后，抛物线与线段无交点．． 把点A坐标代入y＝﹣（x﹣k）2+2k+1得：k2﹣10k+15＝0， 解得：k＝5或5， ∴当抛物线右半侧经过点A时k＝5，抛物线左半侧经过点A时k＝5， ∴当5k≤5时，抛物线与线段AB也只有一个公共点． 故L与线段AB只有一个公共点（含端点）时，k的取值范围为k或5k≤5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $