5.2.2 复数的乘法与除法（教学课件）数学北师大版必修第二册

复数的乘法与除法 第五章 复 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 掌握复数的乘法和除法运算. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过复数代数形式的乘法、除法的学习,培养学生的数学运算素养. 读教材 阅读课本P183-P186，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“复数的乘法与除法”吧！ 1.复数乘法法则是怎样的？复数乘法满足哪些运算律？ 2.如何在复数范围内求解一元二次方程？一元二次方程的两个复根有什么特征？ 3.互为共轭复数的两个复数乘积是什么样的数？如何利用共轭复数来解决复数的除法？复数除法的实质是什么？ 单击此处添加备注 3 情境导入 复数的加、减运算类似于多项式的加、减运算.复数的乘法该如何运算？能否类比实数中多项式的运算得到复数乘法的运算法则？ 引例：是怎样运算的？ 可以类比到上吗？ 复数乘法如何运算? 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的乘法运算 3 复数的除法运算 2 复数范围内一元二次方程的根 单击此处添加备注 5 新知探究 探究：复数的乘法具体该如何运算？能否类比实数中多项式的运算得到复数乘法运算法则？ 设 是任意两个复数 则 多项式相乘 合并同类项 把 i2 换成－1 积的实部是“实×实－虚×虚”；积的虚部是“实×虚＋虚×实” 新知探究 复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积 定义 注意： 1、两个复数的积是一个确定的复数； 2、当z1，z2 ∈R时，复数的积就是实数的积； 3、两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在结果中把i2换成﹣1，并且把实部与虚部分别合并即可。 典例分析 例5 .计算：； 解：（1）(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i ＝－6－2i－3i－i2 ＝－6－2i－3i＋1 ＝－5－5i； 典例分析 例6.计算： 解：原式 ． 反思感悟 (1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将换成； ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 反 思 感 悟 新知探究 问题1：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想． 则z1·z2= (a+bi) ( c+d i ) = ac+ad i+abi +bdi2 = ac+ad i+cbi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 而z2·z1= ( c+di ) (a+bi) = ca+cb i+adi +bdi2 = ca+cb i+adi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 所以 z1·z2=z2·z1 (交换律) 设z1 = a+bi, z2 = c+di, z3 = e+fi . (a、 b、c、d、 e、f∈R) 同理易得：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 新知探究 复数乘法的运算律 有 (1)交换律： (2)结合律： (3)乘法对加法的分配律： 定义 新知探究 问题2:复数如何进行乘方运算呢？ 对于复数，定义它的乘方…． 根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立， 即对复数，，和正整数，有： ，，． 新知探究 一般地，对任意自然数n，有 ，，，． 在的乘方运算中能够发现以下规律：，，，，… 新知探究 例7 .计算：，． 解： ； ． 方法点拨： 乘法公式同样适用于复数乘法运算 新知探究 例8 .计算：，，，. 解： 方法点拨：直接利用复数i的乘方规律即可，4n为一个周期即可 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的乘法运算 3 复数的除法 2 复数范围内一元二次方程的根 单击此处添加备注 17 新知探究 问题3：如何在复数范围内解下列方程：； 又， 所以方程的根为. 如何求解求一元二次方程 在复数范围内的根 新知探究 例9.求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，． 解：使用配方法容易得到： ①，则 新知探究 解：②，则 综上所述，一元二次方程在复数范围内的根，都满足 例9.求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，． 新知探究 反 思 感 悟 新知探究 练习：已知是关于的方程的一个根，求实数， 的值． 解：因为是关于的方程 的根， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 所以 解得 新知探究 思考交流：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1) (1) ; (2) ; (3) . (2) (3) 解： 新知探究 共轭复数的乘积： 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方: 若 则 ． 抽象概括 新知探究 例10. 证明：对任意的两个复数，若，则至少有一个为． 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方. 解：设则，的共轭复数． 将的左右两边同时乘，得， 即． 因为所以． 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的乘法运算 3 复数的除法 2 复数范围内一元二次方程的根 单击此处添加备注 26 新知探究 探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆算．复数除法的法则如何运算？ 我们通过引入倒数来定义复数的除法 给定复数，若存在复数，使得，则称是的倒数，记作 设和， 则， 所以解得所以的倒数 （这里要求不能同时为0，即） 新知探究 对任意的复数和非零复数，规定复数的除法： ，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数 复数除法法则公式如此复杂，有没有其他 方法可以简便记忆除法运算呢？ 新知探究 (a ,b , c , d∈R ,c-di≠0) 分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化” 分子,分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 新知探究 复数除法法则 其中， 且 定义 注意：1、 两个复数的商是一个确定的复数； 2、复数除法的实质即分母“实数化”，类似于无理数的分母有理化； 方法：分子分母同乘以分母的共轭复数。 3、最后的结果要复数的代数形式。 新知探究 例11.计算：；；． 把分子和分母同乘分母的共轭复数，将分母“实数化”. 解： 课堂小结 复数的乘法与除法 复数的乘法 复数的除法 复数乘法的运算律 复数的指数幂运算 共轭复数的乘积 (1)交换律： (2)结合律： ; (3)分配律： . (1) (2) (3) 分母“实数化” 感谢聆听! 特别提醒:(1)上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4. (2)n可推广到整数集. (3)4k(k∈Z)是i的周期. (4)与i有关的几个结论: (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i. 在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法: ①当Δ≥0时,x=; ②当Δ<0时,x=. (2)利用复数相等的定义求解: 设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. $