精品解析：河南许昌市建安区第二高级中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高二数学

2025-2026学年第二学期第一次质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用空间向量的减法运算即可求. 【详解】由，，可得. 故选：C 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，由两直线的斜率之积为（两直线的斜率均存在时）可求的斜率，且过，由直线的点斜式可得的方程． 【详解】直线的方程为，其斜率为， 设直线的斜率为，， ． 由题意可知，，， 的方程为：，即． 故选：B 3. 已知函数，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，然后由解方程即可. 【详解】由，得（）， 因为， 所以，化简得 解得或（舍去）， 故选：A 4. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 8 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项． 【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以， 则二项式的展开式的通项公式为（且）， 令，解得， 所以，故的展开式中的常数项为28， 故选：C． 5. 在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ） A. 156 B. 180 C. 194 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合公式得出所选4名志愿者来自同一单位的选法，再由求解即可. 【详解】所选4名志愿者来自同一单位的共有种选法，则所选4名志愿者不全来自 同一个单位的选法种数为. 故选：C 6. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意,设椭圆的标准方程为， 由椭圆的离心率为，面积为， 得，解得， 即椭圆的标准方程为. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件结合条件概率公式，可得事件相互独立，再逐项分析判断. 【详解】由，得， 即，因此事件相互独立， 对于A，，A正确； 对于B，独立事件的概率无需满足，如， 当时，事件相互独立，而，B错误； 对于C，独立事件的概率和无特殊要求，如， 当时，事件相互独立，而，C错误； 对于D，，当且仅当时，， 而题设无的条件，D错误. 故选：A 8. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径， 点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点． 圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ， 点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为， 圆心距， 剔除点，则，即． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D. 【详解】对于A：二项式展开式的通项为（）， 所以、、，、、， 对， 令可得， 令可得， 所以，故A正确； 对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误； 对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有， 由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确； 对于D：分组的方案有、和、两类， 第一类有种； 第二类有种， 所以共有种不同的方案，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助条件概率公式计算即可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列前项和________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知直线与直线垂直，且直线过圆心，进而得，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆的两个交点关于直线对称， 所以直线与直线垂直，且直线过圆心， 因为直线与直线的斜率分别为， 所以且，解得， 所以等差数列前项和. 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得； （2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案. 【小问1详解】 第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为． 又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为， ，，，故的值为； 【小问2详解】 因， 由解得， 故展开式中含的项的二项式系数为. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设的等量关系可得，注意验证是否成立，即可证结论； （2）由（1）写出的通项公式，进而可得的通项，应用裂项相消法求前项和. 【详解】（1）由，，则， ∴两式相减可得：， ，，又， ， 是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）知：， ， ， . 17. 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： （1）位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ （2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）相邻问题用捆绑法； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）分两步，第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法； 【小问2详解】 首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． 【小问3详解】 分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 【小问3详解】 由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 19. 已知函数，． （Ⅰ）当时，求函数的最小值； （Ⅱ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅲ）求证：当时，对任意的且，有． 【答案】（I）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时，利用导数研究的单调性，进而确定极小值点，即可求最小值； （Ⅱ）求出，讨论的范围，在定义域内研究的符号，即可确定的单调性； （Ⅲ）构造函数，应用分析法只需证在上是增函数即可. 【详解】（I）定义域为，当时，， ∴当时，时，即在上递减，在上递增. ∴在时取得最小值为. （Ⅱ）∵， ∴（1）当时， 若时，为增函数； 若时，为减函数； 若时，为增函数． （2）当时， 若时，为增函数； 若时为减函数； 若时为增函数． （3）当时，在恒成立，即在为增函数 （Ⅲ）不妨设，要证明，即证． 当时，则，令， 所以，即在上是增函数， 所以，对任意，都有，即， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法将问题转化为求证，然后构造函数，结合导数研究单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 8 C. 28 D. 56 5. 在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ） A. 156 B. 180 C. 194 D. 672 6. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________. 13. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列前项和________． 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： （1）位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ （2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 19. 已知函数，． （Ⅰ）当时，求函数的最小值； （Ⅱ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅲ）求证：当时，对任意的且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $