山东威海乳山市银滩高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

高一数学4月份月考 一、单选题 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 6．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 7．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．已知向量，，下列选项正确的是（） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为减函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．函数的图象可由图象向左平移个单位得到 C．函数的单调递增区间为， D．直线与函数在上的图象恰有7个交点 三、填空题 12．已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 13．已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为___________. 14．在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______． 四、解答题 15．（1）求值： （2）已知角终边上的一点，求的值． （3）已知 (i)化简; (ii)若为第四象限角，且，求的值. 16．（1）平面内给定三个向量，，． (i)求满足的实数，； (ii)若，求实数． （2）．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (i)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (ii)若，，求的值. 17．已知函数． (1)列表并画出函数在上的图像 (2)求的单调递减区间，对称轴，对称中心； (3)求在上的值域； (4)求不等式的解集． 18．已知函数（，，）的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 19．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学4月份月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 2．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 3．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系先求，进而将弦化为切即可求解. 【详解】由，解得， 所以， 故选：A. 5．已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过角的变形将未知角转化为已知角，利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以． 6．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】首先根据诱导公式化为同名三角函数，再根据变换规律求解. 【详解】， 将的图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变），变为， 再向左平移个单位，得到函数. 7．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 8．已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 二、多选题 9．已知向量，，下列选项正确的是（） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为减函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】AD 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可． 【详解】由已知，则， 图象过， 又， 显然的图象关于点对称，A正确； 令，得的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令在上递增，因此C错误； 把的图象向右平移个单位长度， 得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：AD． 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．函数的图象可由图象向左平移个单位得到 C．函数的单调递增区间为， D．直线与函数在上的图象恰有7个交点 【答案】ACD 【分析】根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的图象与性质及图象变换规律，逐项分析即可. 【详解】由图象可得，即， 则， 又因为，即， 所以 又，所以，所以， 对于A，由于， 可得直线是图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位得到： ，故B错误； 对于C，由， 即， 得的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由于，可得， 又因为，可得在上与有7个交点， 如图所示： 所以直线与函数在上的图象有7个交点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】由，且与不共线,即可求解. 【详解】由题意有，又与不共线，所以， 所以， 故答案为：. 13．已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据三点共线可得，利用“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】如图，    因为，为的中点， 所以， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8. 故答案为：8 14．在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线． 由题意可知，，，． 故． 所以点的横坐标为． 故答案为： 四、解答题 15．（1）求值： （2）已知角终边上的一点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ； （2）由题意得，， 则 . 16．已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式、同角三角函数关系式分析求解. 【详解】（1）由 ， 所以. （2）因为，所以， 因为为第四象限角，所以, 所以， 又，所以， 所以， 所以. 17．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 18．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 19．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数的性质结合条件即得； （2）先由得到的取值范围，结合余弦函数图象和性质即得； （3）由题可得，结合余弦函数的图象和性质即得. 【详解】（1）由 ， 解得： 所以的单调递减区间为. （2）当时，， 所以 ， 所以 ，即. 所以的值域为. （3）不等式，即 ，整理得， 所以 ， 整理得. 所以不等式的解集为. 20．已知函数（，，）的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式； （2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解； （3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解. 【详解】（1）解：由图可知：，所以， 又，，所以，可得， 由图像过点，可得， 所以，，即，. 因为，所以，当时，，因此. 又图像过点，所以，所以， 因此. （2）解：当时，可得，即， 所以或， 解得或， 所以方程的解集为：或. （3）解：将方程化为 ，解得或. 作出函数在的图像，如下图所示， 由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点. 又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意. 所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或. 21．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可. 【详解】（1）解：， 所以函数的“相伴向量”； （2）解：由题知：， ， 因为时，；时， 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为； （3）解：由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $