专题02 平面直角坐标系（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

有 一、 基本概念 二、 象限与坐标轴 三、 两点间距离 平面直角坐标系 右 四、坐标平移 上 口 五、坐标对称 关 关 六、中点坐标 两 序数对：记作(a,b),有顺序，（a,b)≠(b,a) 面直角坐标系：互相垂直、公共原点的两条数轴，C轴（横轴)、y轴（纵轴) 与坐标一一对应，坐标(，y),c横坐标，y纵坐标 P(x,y)到c轴距离y,到y轴距离c 第一象限（十，十），第二象限（一，十），第三象限（一，一），第四象限（十，一） 坐标轴上的点不属于任何象限 c轴上点：y=0,记作(c,0):y轴上点：c=0,记作(0，y):原点(0,0) 平行c轴直线：y=b,纵坐标相同；平行y轴直线：x=a,横坐标相同 x轴上：AB=c1-C2 y轴上：CD=|y1-y2 任意两点：AB=V(c1-x2)2十(y1-2)2 点(x,y)到原点：√x2十y2 移m:(x+m,y):左移m:（x-m,y） 移m:（c,y+m):下移m:（x,y-m) 诀：左减右加，上加下减 于心轴对称：(x,一y),横坐标不变，纵坐标相反 于y轴对称：（一心，y),纵坐标不变，横坐标相反 于原点对称：（一心，一y),横、纵坐标都相反 c1+x2y1+y2 2 2 专题02 平面直角坐标系 思维导图 串 考点清单 理 知识点1.平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 知识点2.两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3.用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点4.平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型清单 解 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，已知，，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点C，轴于点D，通过证明求解． 【详解】解：作轴于点C，轴于点D，如图 ∴， ， ∴， 在与中， ， ． 又B的坐标是， ， ∴点A的坐标为． 故选C． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是牢记平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等这一性质． 根据轴，得出点和点的纵坐标相等，据此列方程求解的值，同时验证横坐标不相等以保证两点不重合． 【详解】解：轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得， 此时点的横坐标为，符合题意． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点在轴上，且点到轴的距离为3，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特征及相关知识，熟练掌握该特征是解题的关键． 点在轴上，故纵坐标为，点到轴的距离是横坐标的绝对值，由此可求横坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在轴上， ∴纵坐标为0， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形性质．根据点A、B的横坐标相等可得轴，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为点的坐标为， ∴A，B两点的横坐标相等，均为2， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得：或4． 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在直线上且到轴的距离为2，那么点坐标为__________． 【答案】或 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律． 点A和点B的横坐标相同，直线垂直于x轴，点在直线上，故横坐标为2；点C到x轴的距离为2，故纵坐标为2或，即可得到答案． 【详解】解：由点和点可知，在直线上的横坐标相同都为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为2； ∵点到x轴的距离为2，即点C的纵坐标的绝对值为2，所以纵坐标为2或， ∴点C的坐标为或． 故答案为或． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是运用平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题． （1）根据“轴上的点横坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，纵坐标相等” 列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴 上， ∴， 解得， （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． ∴的长为 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1)12 (2)不变，其值为24 【分析】（1）根据点，，的坐标可得，，，，再利用等面积法即可求值； （2）先证出，得出，再利用等量代换和变形，得出，最后利用三角形的面积公式即可求值． 【详解】（1）解：，，， ，，，． ， ， ． （2）解：不变， ，，， ， ． 如图所示，连接， ，，， ． ，， ， ． 【变式5】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，勾股定理与折叠问题； （1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，即可求解． 【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， 点坐标为， 同理可得， ， ， ， 四边形为长方形， ， ， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）得，点坐标为，点坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 作轴交轴于点，轴交轴于点， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， 则， ， 的面积为． 判断点所在的象限 【例3】（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题先根据第二象限点的坐标特征得到m、n的取值范围. 再判断点B横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点B所在位置． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列点中属于第二象限的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 【详解】解：平面直角坐标系中，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正； 故选：B． 【点睛】各象限点的坐标符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【变式4】在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴． 又∵点M在第二象限内， ∴， ∴点M的坐标为． 【变式5】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 中点坐标 【例4】（25-26八年级上·上海·月考）点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 已知两点坐标求两点距离 【例5】（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 【答案】 【分析】根据两点间距离公式，得，得到，设点C的横坐标为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：由点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 设点C的横坐标为，根据题意，得， 解得； 【变式3】（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式4】[易错题]在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 【答案】或或 【分析】设点C的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：设点C的坐标为：， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 坐标系中的平移 【例6】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限， ∵，， ∴点在第二象限，故A正确； ∵，， ∴点和点关于原点对称，故B正确； 点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误； 由勾股定理可得，，故D正确． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 由平移方式确定点的坐标 【例7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 【变式3】（22-23八年级上·重庆·周测）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 【变式5】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 求关于原点对称的点的坐标 【例8】（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称变换，解题的关键是准确记忆并应用不同对称变换下点的坐标变化规律；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，根据已知点分别求解即可． 【详解】①点关于轴对称时，横坐标不变为，纵坐标取相反数； 故点关于轴对称点坐标为． ②关于原点对称时，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为； 故点关于原点对称点坐标为． 故答案为：，． 【变式2】（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和原点对称的性质，先按题目要求对、点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解． 【详解】设，向右平移个单位，再向上平移个单位得到 、关于原点对称， ，， 解得，， 则 故答案为： 已知点所在的象限求参数 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）经过点且平行于轴的直线可记为直线______． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点横坐标相等的性质，结合已知点的坐标即可得到结果． 【详解】解：根据平面直角坐标系中直线的性质，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等． 直线经过点，点的横坐标为， 该直线上所有点的横坐标均为， 该直线可记为． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【答案】 【分析】此题考查了点所在的象限，解一元一次不等式组，求平方根，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据点所在的象限的特征列出不等式组，解一元一次不等式组得到，根据点P到x轴、y轴的距离相等得到方程，解方程得到，根据乘方和平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得， 又点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：，符合题意， 把代入， 得． ∴的平方根为， 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知，点． (1)若点P在第四象限，求m的取值范围； (2)若点P在y轴上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键. （1）根据第四象限内点的特点列出不等式组，然后求解即可； （2）根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（1）∵点在第四象限， ， 解得； （2）解：∵点在y轴上， ，， ∴点P的坐标为． 点坐标规律探索 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型问题在点的坐标问题中的应用，利用移动规律得出坐标变化规律是解题的关键． 根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标为，再用，可得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图可知，都在x轴上， ∵青蛙每次移动2个单位， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 则， ∴点的坐标是． ∵点向上移动2个单位长度得到点， ∴点的坐标是 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【分析】（1）直接根据图象作答即可； （2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2026次碰到球桌边时小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，小球起始时位于处， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， …… ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是， 故答案为：． 坐标系中的动点问题 （不含函数） 【例3】（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 【变式1】（2025八年级下·北京·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【答案】、 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，，分类讨论当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧和右侧时，求出重叠部分的底，进而解题． 【详解】解：由题意知，，，，矩形的周长为， 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，， 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，位置在线段上， ∴； 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的右侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，，位置在线段上， ∴； 故答案为：、 ． 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知， ，…， ∴点的纵坐标每4个点循环一次， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半， 即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 【变式4】如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①结合题意，根据矩形和含角直角三角形的性质计算，即可得到答案；②正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接，证明，进而推出四边形是正方形，求出，设，则，在中，，求出的值，结合图形即可解答； （2）根据题意，推导得，根据平行四边形和含角直角三角形的性质，推导得，再通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （3）结合题意，分点P在线段上和点P在的延长线上两种情况分析；结合（1）的结论，根据菱形的性质，通过列绝对值方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②如图，正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴，即，, 解得：或， 当时，则，， 此时，； 当时，则（舍去）， 综上，M点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵以和为边作平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时，，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴ ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，即，如图， ∴， 此时，点P在延长线上，不符合题意； 当点P在的延长线上时，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，和矛盾，故舍去； ∴存在点Q，使是菱形，t的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、直角三角形、平行线、菱形、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、含角直角三角形的性质，从而完成求解． 【变式5】（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 坐标与图形变化-对称轴 【例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为， 点的纵坐标是纵坐标的相反数，即， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先根据“左减右加，上加下减”的平移规律求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征求出点C的坐标． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B关于x轴的对称点为C， ∴点C的坐标是． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【答案】(1)见解析；，， (2)见解析 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点连线即可； （2）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于D点，根据两点之间线段最短可判断D点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，． （2）解：如图，点D为所作． 【变式4】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 【答案】(1)图见解析；的坐标为 (2)图见解析；的最短周长为 【分析】（1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出的坐标； （2）要使得的周长最短，即要最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，由，可得点P即为所求，再求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 根据轴对称得，此时的周长最小，则点P即为所求， 由图可得，，， ∴的周长， ∴的最短周长为． 平行四边形在平面直角坐标系中的综合运用 【例2】已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 (1)求点坐标； (2)如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； (3)如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用算术平方根，以及平方式的非负性求解，即可解题； （2）结合折叠的性质，推出，，然后证明四边形是平行四边形，得到，，进而推出，可知，推出，进而利用线段的和差即可证明； （3）延长至，使，连接，，延长交于点，利用三角形中位线定理得到，，证明，结合全等三角形性质推出，再结合角之间的数量关系代换推出，最后结合平行线性质即可得到的位置关系． 【详解】（1）解：， ， 即， 解得， 点坐标为； （2）证明：将沿折叠， ，， ∵平行四边形， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ，即； （3）解：， 理由如下： 如图3，延长至，使，连接，，延长交于点， ，点是的中点， ，， ∵等腰，， ∴， ，，， ∴， ，， ∴为等腰直角三角形，， 点， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性，折叠的性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作出合适的辅助线并灵活运用相关知识． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为； (3)当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 【分析】此题主要考查了平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据非负数的性质得出的值进而得出答案； （2）由题意得: ， ，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：，再解方程即可. 【详解】（1）解：， ，， ∴， ∵,，， ∴， ∴； （2）解：如图： 由题意得: ， 则:，， ∵， ∴当时, 四边形是平行四边形， ∴， 解得: ， 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， ①当时，如图， 过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴中： ， ∵， ，即 ， 解得：， ②当时，过作轴于， ∴， 由题意得:， 则， 解得：， ， 综上所述，当或 时， 是以为腰的等腰三角形. 【变式3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图1，点是线的“关联点”． (1)如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】(1)；； (2)见解析；． 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． （）画出图形，利用图象法解决问题； 画出图形发现点与点重合时满足条件； （）证明，推出，可得结论； 当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是菱形，则可求出周长． 【详解】（1）解∶如图中， 观察图形可知， 点是线段的“关联点”， 故答案为：； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴当点与重合时，满足条件， 此时， 故答案为：； （2）证明∶ 如图中， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点是线段（即）的“关联点”， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 如图，当点与重合时，得到， 同理可得是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时， 线段的“关联点”形成的区域是菱形，周长为． 【变式4】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过秒，四边形是平行四边形 (3)不能成为菱形，见解析 【分析】（1）如图，过C作于E，则，，由勾股定理得，，则，由平行四边形，可知，，进而可得； （2）设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，由题意知，，，，由四边形是平行四边形，可得，即，计算求解即可； （3）由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，由，可知平行四边形不能是菱形． 【详解】（1）解：如图，过C作于E， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形， 由题意知，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， ∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形； （3）解：不能成为菱形，理由如下； 由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时， ∵， ∴平行四边形不能是菱形． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的 应用，菱形的判定等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的应用，菱形的判定是解题的关键． 【变式5】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形点A的坐标是， (1)点D在上，连接，作，交正方形的外角平分线于E．如图1，若，求证： (2)如图2，在（1）的条件下过D作于F，连接EF，若四边形为平行四边形，求D点坐标 (3)如图3，点D在x轴正半轴上运动，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过E作于F，连接，点G为线段的中点，求线段的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别证明，，，即可得到结论； （2）如图，由（1）设，而，可得，，结合，可得，证明，，，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）如图，连接，延长交于， 过作轴于，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得，，证明，可得，当最小，则最小，当时，最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵为正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）设，而， ∴，， ∵， ∴， ∵，四边形为平行四边形， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：或（舍去）， ∴． （3）解：如图，连接，，延长交于， 过作轴于， 由旋转可得：，， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 当最小，则最小， ∴当时，最小， ∵，， ∴，此时，如图， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，旋转的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系 思维导图 串 考点清单 理 知识点1.平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 知识点2.两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3.用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点4.平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型清单 解 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，已知，，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【变式4】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点在轴上，且点到轴的距离为3，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在直线上且到轴的距离为2，那么点坐标为__________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【变式5】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 判断点所在的象限 【例3】（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列点中属于第二象限的点是（   ） A． B． C． D． 【变式4】在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 【变式5】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 中点坐标 【例4】（25-26八年级上·上海·月考）点和点的中点坐标为________． 【变式2】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 已知两点坐标求两点距离 【例5】（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 【变式3】（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【变式4】[易错题]在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 坐标系中的平移 【例6】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 由平移方式确定点的坐标 【例7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级上·重庆·周测）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式5】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 求关于原点对称的点的坐标 【例8】（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 【变式2】（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 已知点所在的象限求参数 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）经过点且平行于轴的直线可记为直线______． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知，点． (1)若点P在第四象限，求m的取值范围； (2)若点P在y轴上，求点P的坐标． 点坐标规律探索 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______． 坐标系中的动点问题 （不含函数） 【例3】（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级下·北京·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 【变式4】如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【变式5】（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 坐标与图形变化-对称轴 【例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【变式4】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 平行四边形在平面直角坐标系中的综合运用 【例2】已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 (1)求点坐标； (2)如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； (3)如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【变式3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图1，点是线的“关联点”． (1)如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【变式4】（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【变式5】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形点A的坐标是， (1)点D在上，连接，作，交正方形的外角平分线于E．如图1，若，求证： (2)如图2，在（1）的条件下过D作于F，连接EF，若四边形为平行四边形，求D点坐标 (3)如图3，点D在x轴正半轴上运动，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过E作于F，连接，点G为线段的中点，求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $