模拟训练04 （竞赛培优综合训练，人教A版选择性必修第一册+第二册+第三册全册）高二数学人教A版全国通用

高二数学学科素养能力竞赛模拟训练 （内容：人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．借助函数图象，下列函数导数为正的有（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A：的图象如下所示，函数在上单调递减，在处的切线的斜率小于，所以，故A错误； 对于B：的图象如下所示：函数在上单调递增，且在处的切线的斜率大于，所以，故B正确； 对于C：的图象如下所示，函数在上单调递减，且在处切线的斜率小于，所以，故C错误； 对于D：的图象如下所示，函数在定义域上单调递增， 且在处切线的斜率小于，所以，故D正确. 2．函数的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点，当时，有两个交点，当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点． 3．随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利．但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升，尤其是难以降解的塑料垃圾，对地球环境造成了不可忽视的影响．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（   ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】B 【解析】已知，当时，，所以.所以.由已知条件可知，当时， 所以，所以所以 当时，代入和时间的关系式有 两边同时取对数， 化简得，所以 因为，，所以. 4．已知是抛物线上不同的点，点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 抛物线方程，则，焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点，到焦点的距离：， 设，则向量， 已知，由向量加法的坐标运算得： ，则，解得，由焦半径公式， ． 5．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”: 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为，第四行的第一个数为， …… 第行的第一个数为，表中一共2018行，∴第2018行的第一个数即， 【点睛】本题主要考查观察法得数列的通项公式，观察每一行第一个数的规律，并归纳出通项公式是解决本题的关键． 6．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】形成的正四棱锥如图所示，取BC中点，连接SM，OM， 由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以，设，中， 则，正四棱锥的体积， 令，其中即， 正四棱锥的体积最大即取得最大值，， 令得到，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时正四棱锥的体积最大． 7．已知数轴上有个不同的点的坐标为，且满足，从上述10个不同点中任取4个不同的点，则事件“存在，，，使得”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题等价于从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取4个不同的数，求事件“存在≤<≤4，使得”的概率，则可先求出其对立事件的所有可能取法，再求出所有可能取法，即可得解. 【详解】问题等价于从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取4个不同的数， 求事件“存在，，使得”的概率， 不妨设，考虑对立事件“不存在，， 使得”，则有， 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个不同的数， 从小到大依次表示，此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法， 所以事件“存在，，使得”的概率为. 8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根，其中．在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．数列的前n项和 【答案】D 【解析】由，得，则，故A错误； 因为二次函数有两个不等实数根， 所以不妨设， 因为，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为， 所以，即，所以数列是公比为2，首项为1的等比数列， 所以，且，故BC错误； 由，所以，故D正确. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．数列的前n项和为，指出的图象上的部分点对应的数列可能是等差数列的是（   ） A． B． C．D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A、B：设等差数列的公差为，则，当时，是关于的二次函数， 点在过原点的抛物线上，选项AB正确； 对于选项C：时，存在非零常数项，不符合要求，C错误； 对于选项D：当时，点在过原点的直线上，可知，选项D正确. 10．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成， 所以其表面积是，A正确． 对于B，将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则， 所以，． 因为0，所以， 所以异面直线AC与EF所成的角为，B错误． 对于C，设平面ABC的法向量为， 则令，得．设直线EF与平面ABC所成的角为， 则，故，C正确． 对于D，因为平面ABC的一个法向量为，且， 所以点到平面ABC的距离是，D正确．    11．已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由， 令，则， 因为，所以，故A错误；令，则，① 所以，因为为奇函数，所以为偶函数，， 所以，② 由①②并整理得， 即，所以， 所以是周期为的周期函数，故，故B正确； 因为，所以，故C正确； 由上知，在①中，令，得，所以， 所以，所以，故D正确. 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 【答案】36 【解析】显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故种. 13．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【解析】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 14．图a是函数的图象，其两条渐近线分别为轴、轴．将函数图象绕其中心顺时针旋转，得到如图所示的双曲线图象．则双曲线在这个坐标系中的渐近线方程为___________，双曲线的方程为___________． 【答案】 【解析】由题意，将旋转，相当于渐近线也旋转，即渐近线方程为， 又由反比例函数是等轴双曲线，旋转之后与轴的两个交点就是在原坐标系下与的两个交点，即， 即两顶点间距离为，所以， 因为双曲线为等轴双曲线，可得，所以双曲线的标准方程为． 四、解答题 15．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【解析】（1）对任意， 且，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即 （2）记，对任意恒成立，故数列是严格增数列，且，故. 16．设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【解析】（1）解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）解：由函数，可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 17．在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为． (1)当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值； (2)当经过秒时，，求t的取值范围． 【解析】（1）由题知，当经过秒时，，则， 设平面的法向量为， 则，令，得，则，易知平面的一个法向量为，记平面与平面夹角为，则. （2）因为经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面的距离为， 所以蚂蚁沿轴正方向移动的速度为，绕着圆柱旋转的角速度为， 所以当经过秒时，， 又，所以， 所以，即， 又，即，所以，解得. 18．在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碳含量 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 屈服强度 481 512 532 573 604 635 656 687 719 (1)求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度； (2)为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值． 附：参考数据： 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【解析】（1）由题意可得，，， 由参考公式可得，， ， 所以回归方程为， 当时，. （2）由（1）可得，，，所以近似公式中的系数为： ，，， 所以屈服强度近似为：， 又综合性能指标为：， 所以，， 所以，， 令，则，化简可得，， 即，解得或（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，在时，取得最大值，最大值为， 所以最大综合性能指标值约为. 19．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 【解析】（1）设根据，消去，得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则,因， 得的标准方程为，曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线． （2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，消去，整理得， 则，即， 得，， 所以点的坐标为， 同理点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为． 令，得，所以点的坐标为， 同理联立方程，类似可得 ，，． （ⅰ）直线的斜率为， 同理直线的斜率为，所以，所以； （ⅱ）设，由、、、四点共圆：可知： ， 又，而， 所以，所以、、、四点共圆． 试卷第12页，共16页 试卷第11页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科素养能力竞赛模拟训练 （内容：人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．借助函数图象，下列函数导数为正的有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（   ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A．60 B．65 C．70 D．75 4．已知是抛物线上不同的点，点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”: 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 7．已知数轴上有个不同的点的坐标为，且满足，从上述10个不同点中任取4个不同的点，则事件“存在，，，使得”的概率为（   ） A． B． C． D． 8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根，其中．在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．数列的前n项和 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．数列的前n项和为，指出的图象上的部分点对应的数列可能是等差数列的是（   ） A． B． C．D． 10．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 11．已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 13．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 14．图a是函数的图象，其两条渐近线分别为轴、轴．将函数图象绕其中心顺时针旋转，得到如图所示的双曲线图象．则双曲线在这个坐标系中的渐近线方程为___________，双曲线的方程为___________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 16．设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 17．在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为． (1)当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值； (2)当经过秒时，，求t的取值范围． 18．在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碳含量 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 屈服强度 481 512 532 573 604 635 656 687 719 (1)求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度； (2)为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值． 附：参考数据： 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 19．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $