模拟训练02（竞赛培优综合训练，人教A版选修第二册全册数列+导数）高二数学人教A版全国通用

高二数学学科素养能力竞赛模拟训练 （内容：人教A版2019选择性必修第二册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若曲线的两条互相垂直的切线交于点，则点的坐标不可能是（ ）. A．（，） B．（3，-） C．（5，-） D．（7，-） 【答案】C 【解析】注意到，函数的图像在处的切线斜率为.因此，若和处的切线互相垂直，则.不妨设.故，，即，.于是，两条切线的交点为. 可见，点的横、纵坐标均为的奇数倍，且两者之差是的整数倍.四个选项中只有选项C不符合这一特征 2．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】易知，有三个零点因为为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，；当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 3．设：，且对所有正整数，有，.则的值为（ ） A．1997 B．1268 C．3804 D．5991 【答案】C 【解析】由题设条件可证，，.    ① 由①及，得，. 注意到与之间共有个自然数，而与之间也恰有个自然数，再由的单调性可得，，.进而有. 由，所以，. 4．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】各项都不为零，，故为公差为1的等差数列，则，因为为数列中的最小项，所以， 所以，且，解得. 5．若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知 消去，并整理得，所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以必为2的被数，且，故这样的数组共50组． 6．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数与的图象关于直线对称， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 由解得，可得，由解得，可得， 则，则圆珠直径的取值范围应为. 7．设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题: ①若对任意的正整数均有,则为和谐数列; ②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值; ③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． 以上3个命题中真命题的个数有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①,，若,则,所以①正确；对于②,设等差数列的公差为，则,所以， 即为公差为的等差数列,若为和谐数列,即,则，所以关于的二次函数,开口向上，所以在上一定存在最小值,所以②正确；对于③,取, 则,,下面证明,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,即证,即证， 即证，当，上式左边为负数,显然成立,当时， 即证,即证，（*）设, 所以,即（*）式成立，所以③正确. 8．已知函数和满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，即， 又得或， （1）若，则，即， ，即，对于A：，A错误； 对于B：，B错误；对于C：，，C错误；对于D：成立，D正确.（2）若则，所以 所以 记，则， 所以，同理可得， 因为，即，所以是奇函数， 因为，即，所以是偶函数， 又得或，又且连续， 所以，所以的符号由的符号确定， 若则，在上单调递增，当时，，； 若，则，在上单调递减，当时，，， 综上，当时，在单调递增， 若，则（常数），又，所以，， 对于A：时，，A错误； 对于B：时，，B错误； 对于C：时，，C错误； 而对，，D正确； 综上可知，选项D正确. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若由函数构造的数列满足，则称为单位收敛函数.下列四个函数中，为单位收敛函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】若，则，则 ，故不是单位收敛函数.若，则 ， 故为单位收敛函数.若，则， ， 故为单位收敛函数.若，则， ， 当时，，故不是单位收敛函数. 10．已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（   ） A．关于直线对称 B．若点的横坐标为，则 C．上的点到直线距离的最大值为 D．是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组 【答案】BCD 【解析】对于A，由函数，得，故函数与函数互为反函数，所以封闭曲线关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，，当时，，所以，即点的横坐标为，且，故B正确； 对于C，设函数上一点，即，则点到直线的距离为 ，令，则， 令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，故，故C正确； 对于D，因为封闭曲线关于直线对称，所以对任意点，存在对称点，满足，故由对称性导致存在无数对关联点，故D正确. 11．在通信工程中广泛运用的二进制只有“0，1”两个数码，二进制数与十进制数的转化方式为：二进制数等于十进制数，其中，，.通信中，信息包含在一串“0，1”序列中，记信息A的位宽为，代表“0，1”编码的数字个数.如，则.用“”表示两条信息的拼接，如，，则.数学家发明了一种信息压缩方法f∶将信息中的“0，1”序列中从左至右，单个出现的数码保持不变，连续出现的个相同的数码“j”，通过二进制下的替换原有数码，如1111000，应视作4个“1”和3个“0”，即压缩为二进制和，所以.下列说法不正确的是（    ） A．对任意的信息A，总有 B．对于任意的信息A，B，有 C．若，则信息A共有4种可能 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于选项，若为2个连续的数码，如，，，则不正确；对于选项，当,,,，,则，则不正确；对于选项，，则可以为和，或者和，或者（信息A可以全由0组成），或者和和，或者和，一共5种情况，则不正确； 对于选项，,则最多由个相同的数码构成，则，当时，，若时，，不满足条件，故，则正确； 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为______． 12．【答案】 【解析】①当时，，对称轴为，当时，，则；当时，，则；所以当时，若在上恒成立，则； ②当时，，则，当时，，则在上单调递增，当时，，不合题意；当时，令，解得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，解得，所以当时，若在上恒成立，则； 综上所述，. 13．我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 【答案】 【解析】由题意得： ； 所以 ．令①， 则②，由①②得 ，所以， 所以， 14．“指数找基友”是高中导数的重要思想，如和，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在上的可导函数和满足以下关系：，，，，则__________，__________． 【答案】 【解析】由题意可知：的定义域为，因为，，则，即， 由题意可知：，即，可得，则，可得，即，则， 又因为，，则，可得，解得， 即，，此时符合题意， 所以，. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知函数，在处的切线与直线垂直. (1)求的值： (2)求函数在上的最值. 【解析】（1）由，可知，直线的斜率为， 因为在处切线与该直线垂直，所以切线斜率满足， 得，解得. （2）由（1）知，， 令，则，当，单调递减；当，单调递增； 因此最小值在处取得，，， 而，， 综上，函数在上的最小值为1，最大值为. 16． 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【解析】（1）不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. （2）表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为，所以. （3）由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ，则. 17．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，． 【解析】（1）因为，所以， 所以在处的切线方程为：，即； （2）当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以恒成立； 当时，，此时， 若单调递增， 若单调递减， 若单调递增， 且，，所以恒成立； 当时，，， 若，单调递减， 若，单调递增， 且时，，所以恒成立； 当时，，此时， 若单调递减， 若单调递增， 且，又时，， 所以时，，所以恒成立； 综上可知：当时，． 18．设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【解析】（1）已知，，当，，设切线斜率为，则，直线为，令，. （2）设，，，，所以， ，则直线为. 令，则.， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 19．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数. （Ⅰ）若，请写出数列的前7项； （Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得； （Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 【解析】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 （Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意， 考虑数列的前项： ，，，…，     其中至少有项的取值相同，不妨设     此时有：，矛盾.故对于任意的正整数，必存在，使得.   （Ⅲ）充分性：当时，数列为，，，，，，，…，，，，，… 特别地，，，故对任意的 （1）若为偶数，则 （2）若为奇数，则 综上，恒成立，特别地，取有当时，恒有成立 方法一:假设存在（），使得“存在，当时，恒有成立” 则数列的前项为    ，，，，，，，，…，，，， ，，，，，…，，，， ，，，…，，，， ，，，， ，，     后面的项顺次为     ，，，，…，，     ，，，，…，，     ，，，，…，，       ……     对任意的，总存在，使得，，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有 方法二：若存在，当时，恒成立，记. 由第（2）问的结论可知：存在，使得（由s的定义知） 不妨设是数列中第一个大于等于的项，即均小于等于s. 则.因为，所以，即且为正整数，所以. 记，由数列的定义可知，在中恰有t项等于1. 假设，则可设，其中， 考虑这t个1的前一项，即， 因为它们均为不超过s的正整数，且，所以中一定存在两项相等， 将其记为a，则数列中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设不成立，所以，即必要性得证！ 综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件. 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科素养能力竞赛模拟训练 （内容：人教A版2019选择性必修第二册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若曲线的两条互相垂直的切线交于点，则点的坐标不可能是（    ） A．（，） B．（3，-） C．（5，-） D．（7，-） 2．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．设：，且对所有正整数，有，.则的值为（    ） A．1997 B．1268 C．3804 D．5991 4．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为（    ） A． B． C． D． 6．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 7．设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题: ①若对任意的正整数均有,则为和谐数列; ②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值; ③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． 以上3个命题中真命题的个数有(    )个 A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知函数和满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若由函数构造的数列满足，则称为单位收敛函数.下列四个函数中，为单位收敛函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（   ） A．关于直线对称 B．若点的横坐标为，则 C．上的点到直线距离的最大值为 D．是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组 11．在通信工程中广泛运用的二进制只有“0，1”两个数码，二进制数与十进制数的转化方式为：二进制数等于十进制数，其中，，.通信中，信息包含在一串“0，1”序列中，记信息A的位宽为，代表“0，1”编码的数字个数.如，则.用“”表示两条信息的拼接，如，，则.数学家发明了一种信息压缩方法f∶将信息中的“0，1”序列中从左至右，单个出现的数码保持不变，连续出现的个相同的数码“j”，通过二进制下的替换原有数码，如1111000，应视作4个“1”和3个“0”，即压缩为二进制和，所以.下列说法不正确的是（    ） A．对任意的信息A，总有 B．对于任意的信息A，B，有 C．若，则信息A共有4种可能 D．若，则 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为______． 13．我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 14．“指数找基友”是高中导数的重要思想，如和，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在上的可导函数和满足以下关系：，，，，则__________，__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知函数，在处的切线与直线垂直. (1)求的值： (2)求函数在上的最值. 16． 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 17．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，． 18．设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 19．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数. （Ⅰ）若，请写出数列的前7项； （Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得； （Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $