专题02 二元一次方程组的实际应用（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、古代数学文化问题（常考点） 1 题型二、几何图形问题（重点） 2 题型三、行程问题（常考重点） 3 题型四、工程问题（常考重点） 3 题型五、年龄问题（常考） 4 题型六、数字问题（常考重点） 5 题型七、分配问题（必考重点） 5 题型八、销售问题（常考重点） 7 题型九、方案问题（常考重点） 8 题型十、图表信息问题（常考重点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、古代数学文化问题（常考点） 1．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 3．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 题型二、几何图形问题（重点） 4．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 5．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 6．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 题型三、行程问题（常考重点） 7．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 8．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 9．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 题型四、工程问题（常考重点） 10． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 11．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 12．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 题型五、年龄问题（常考） 13．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 14．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 15．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 题型六、数字问题（常考重点） 16．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 17．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 18．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 题型七、分配问题（重点） 19．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 20．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 21．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 题型八、销售问题（常考重点） 22．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 23．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 24．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 题型九、方案问题（常考重点） 25．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 26．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 27．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 题型十、图表信息问题（常考重点） 28．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 29．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 30．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 1．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，设直尺的长度为，纸片的宽度为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 33．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 4．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 6．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 7．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 8．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 9．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 10．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、古代数学文化问题（常考点） 1 题型二、几何图形问题（重点） 2 题型三、行程问题（常考重点） 4 题型四、工程问题（常考重点） 5 题型五、年龄问题（常考） 7 题型六、数字问题（常考重点） 9 题型七、分配问题（必考重点） 9 题型八、销售问题（常考重点） 12 题型九、方案问题（常考重点） 15 题型十、图表信息问题（常考重点） 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、古代数学文化问题（常考点） 1．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 2．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 3．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 题型二、几何图形问题（重点） 4．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 5．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 6．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 题型三、行程问题（常考重点） 7．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 8．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 9．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 题型四、工程问题（常考重点） 10． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 11．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 12．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【答案】(1)20  180  180  20 工程队用的时间    工程队用的时间 工程队整治河道的米数   工程队整治河道的米数 (2)过程见解析，工程队整治河道的米数为60，工程队整治河道的米数为120． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出基本数量关系并准确解方程是解题的关键． （1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设A工程队用时天，B工程队用时天； 乙所列方程组中未知数为：设A工程队整治米，B工程队整治米，据此不全方程组即可； （2）选择其中一个方程组准确解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲：乙： 故答案为：20；180；180；20． 甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． 故答案为：工程队用的时间 ；工程队用的时间； 工程队整治河道的米数； 工程队整治河道的米数． （2）解：示例：选甲同学所列的方程组．解答如下： ②-①，得，解得． 把代入①，得，所以方程组的解为 所以工程队整治河道的米数为，工程队整治河道的米数为． 题型五、年龄问题（常考） 13．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 14．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 15．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 题型六、数字问题（常考重点） 16．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 17．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 18．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 题型七、分配问题（重点） 19．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 【答案】辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨 【分析】设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨，根据题干中的相等关系列二元一次方程组求解． 【详解】解：设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨． 20．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 21．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 题型八、销售问题（常考重点） 22．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 23．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【答案】3200元 【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 24．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 题型九、方案问题（常考重点） 25．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 26．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 27．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 【答案】(1)1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨 (2)该物流公司有29吨货物要运输 【分析】（1）设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合恰好每辆车都载满货物列式求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨， 由题意得，解得， 答：1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． （2）解：依题意得：（吨）． 答：该物流公司有29吨货物要运输． 题型十、图表信息问题（常考重点） 28．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 29．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 30．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 1．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得，根据每人出6钱，还差5钱，可得，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得：． 2．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，设直尺的长度为，纸片的宽度为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直尺的长度为，纸片的宽度为，则纸片的长度为， 即 3．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 4．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 5．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 6．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 7．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 8．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 9．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 【答案】(1)小龙订的小份份，大份份 (2)大、小份加料后另外需付的总费用是元 【分析】（1）设小龙订的小份份，大份份，则小份的加料数为，大份的加料数为，根据“小份的加料数比大份的加料数多份；已知大、小份均未加料共需付元”列出方程组求解即可； （2）求出小份的加料数及大份的加料数之和再乘以即可． 【详解】（1）解：设小龙订的小份份，大份份， 依题意，得：， 解得：， 答：小龙订的小份份，大份份； （2）解： （元）， 答：大、小份加料后另外需付的总费用是元． 10．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $