专题2 充要条件（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 了解子集与推出的关系，能正确地区分充分、必要、充要条件. 2. 理解符号“的含义，并能用这些符号表示出命题与命题的关系. 【考点1 充分、必要条件的判断】 1、推出：“如果p，那么q”是真命题时，就说p可以推出q，记作______________. 2、充分、必要条件的判断 （1） 若，但q⇏p，那么p是q的______________，q是p的______________； （2） 若，但p⇏q，那么p是q的______________，q是p的______________； （3） 若且，即，那么p是q的___________，q也是p的___________； （4） 若p⇏q且q⇏p，那么p是q的______________，q也是p的______________ . 解题技巧：推出符号的方向是解题的关键. 【即时训练】 1．已知向量，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 8．“”是“”的（    ）条件.   A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．“是矩形”是“是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设是两个集合，则“”是“与之一为”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．命题“”是命题“”的__________条件. 12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．“”是“”的什么条件？（   ） A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 14.设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【考点2 充分、必要条件与集合的关系】 集合 p是q的充分不必要条件 ________________ ________________ p是q的必要不充分条件 ________________ ________________ p是q的充要条件 ________________ ________________ p是q的既不充分也不必要条件 ________________ A,B之间不存在子集关系 【即时训练】 1．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 2．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 了解子集与推出的关系，能正确地区分充分、必要、充要条件. 2. 理解符号“的含义，并能用这些符号表示出命题与命题的关系. 【考点1 充分、必要条件的判断】 1、推出：“如果p，那么q”是真命题时，就说p可以推出q，记作_______. 2、充分、必要条件的判断 （1） 若，但q⇏p，那么p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2） 若，但p⇏q，那么p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件； （3） 若且，即，那么p是q的充要条件，q也是p的充要条件； （4） 若p⇏q且q⇏p，那么p是q的既不充分也不必要条件，q也是p的既不充分也不必要条件. 解题技巧：推出符号的方向是解题的关键. 【即时训练】 1．已知向量，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则显然，若，则，因此由“或”可以推出“”，充分性成立； 若，只能说明两个向量的模相等，但方向可以任意.因此由“”不能推出“或”，必要性不成立. 综上所述，“或”是“”的充分不必要条件. 2．已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性求解大小关系，再结合必要条件、充分条件的定义判断选项. 【详解】由，可得，故命题是命题的必要条件； 由不一定得到，故命题不是命题的充分条件， 所以“命题”是“命题”的必要不充分条件. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式，再由“充分不必要条件”的定义可得答案. 【详解】由，得，而为上的减函数，则得. 由“充分不必要条件”的定义可知，的一个充分不必要条件为. 故选：B. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】由，得；反之，由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】化简，根据取值得出充分非必要条件 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 8．“”是“”的（    ）条件.   A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而当时，也成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．“是矩形”是“是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由是矩形得不到是正方形，故充分性不成立； 由是正方形一定可以得到是矩形，故必要性成立， 所以“是矩形”是“是正方形”的必要不充分条件. 故选：B 10．设是两个集合，则“”是“与之一为”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若A与B之一为，则，必要性成立， 若，则或或非空集合A与非空集合B没有相同元素， 充分性不成立， 故“”是“A与B之一为”的必要不充分条件． 故选：C 11．命题“”是命题“”的__________条件. 【答案】必要不充分 【分析】由可得且，运用充分性和必要性进行判断即可得出结论. 【详解】充分性：若，取时，，故充分性不成立； 必要性：若，即，解得且，故必要性成立； 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，，则，又n⊥，所以； 反之，若，，则，又，所以， 则“”是“”的充要条件. 13．“”是“”的什么条件？（   ） A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】若，可得， 也可以是，无法推出，因此充分性不成立， 若，代入可得，一定能推出，因此必要性成立， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 14.设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】因为是等差数列， 所以，充分性得证； 反之，，只需， 得不到是等差数列，不满足必要性， 所以“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 【考点2 充分、必要条件与集合的关系】 集合 p是q的充分不必要条件 ,q⇏p AB p是q的必要不充分条件 且 BA p是q的充要条件 A=B p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p A,B之间不存在子集关系 1．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【详解】由，得或， 所以是的必要而不充分条件. 2．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题意，得，当时，，所以． 当时，，所以只需即可. 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 4.已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 5．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $