专题1 集合（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合与区间 【复习目标】 1. 理解集合的概念，会判断元素与集合的关系，掌握集合的表示方法； 2. 会判断集合与集合，元素与集合的关系； 3. 掌握交集、并集、补集的运算； 4.掌握区间的表示方法. 【考点1 集合的概念】 一些能够确定的对象的整体构成一个集合． (1)集合中元素的三大性质：____________________ (2)元素与集合的关系 ①属于：如果元素a是集合A的元素，记作_________. ②不属于：如果元素a不是集合A的元素，记作_________． (3)集合的分类 ①集合按元素个数进行分类：含有有限个元素的集合叫作______，含有无限个元素的集合叫作______，将不含任何元素的集合叫做空集，记作_________. (4)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 有理数集 实数集 符号 Z (5)集合的表示法 ①列举法：将集合中的元素一一列举出来，如{1,2,3}； ②描述法：如，适用于元素较多的集合或元素不能被一一列举的集合, ③Venn图法． 【即时训练】 1．下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．元素0与集合的关系是（   ） A． B． C． D． 5．下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 6．有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 7．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【考点2 集合间的基本关系】 1.子集、真子集、相等的概念 （1）子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作________________ （2）真子集：如果A⊆B，且B中至少有一个元素________A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作________________ （3）相等：如果两个集合的元素____________，那么这两个集合相等，记作A=B. 性质： (1)空集是任何集合的子集，是任何_______的真子集． (2)任何一个集合A都是________的子集，即________. (3)传递性：A⊆B，B⊆C，则__________． 2.子集、真子集、相等的关系 （1）若A⊆B，则________或_______. （2）若A⊆B且B⊆A，则___________，反之，亦然. 3.子集的个数 若集合A中含有n个元素，则其子集个数为_________，真子集个数为_________，非空真子集的个数为_________. 【即时训练】 8．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 10．若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 11．已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 12．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 13．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 15．下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 16．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点3 集合的基本运算】 并集 交集 补集 符号表示 Venn图示 集合表示 运算性质 A∪A＝_____， A∪∅＝_____， A∪B＝_____， 如果，那么. A∩A＝_____， A∩∅＝_____， A∩B＝_____， 如果,那么. ， ， , 【即时训练】 17．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 18．已知集合，那么（     ） A． B． C． D． 19．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 20．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 21．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 22．集合，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知集合则（    ） A． B． C． D． 24．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点4 区间】 名称 定义 符号 数轴表示 闭区间 {x|a≤x≤b} 开区间 {x|a<x<b} 左开右闭区间 {x|a≤x<b} 左闭右开区间 {x|a<x≤b} R 【即时训练】 1．集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 3．集合（   ） A．2 B． C． D． 4．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． （2026年天津市高职院校分类考试第1题） 1、集合，集合，则（ ） A． B． C． D． （2025年天津市高职院校分类考试第1题） 2、已知集合，则（ ） A. B. C. D. （2024年天津市高职院校分类考试第1题） 3、已知集合，则（ ） A. B. C. D. （2023年天津市高职院校分类考试第1题） 4、已知集合，则（ ） A. B. C. D. （2022年天津市高职院校分类考试第1题） 5、 已知集合，，则（ ） A. B. C. 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(4)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*/N+ Z Q R (5)集合的表示法 ①列举法：将集合中的元素一一列举出来，如{1,2,3}； ②描述法：如，适用于元素较多的集合或元素不能被一一列举的集合； ③Venn图法． 【即时训练】 1．下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 4．元素0与集合的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】根据元素与集合的关系可得：. 故选：A 5．下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 6．有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断． 【详解】对于①，{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； 对于②，解，得，所以，因此集合只有一个元素，不正确； 对于③，当时，且，不正确； 对于④，集合是有限集，正确. 故选：B. 7．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】D 【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案. 【详解】集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个． 所以为有限集． 集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个， 所以为无限集． 故选：D． 【考点2 集合间的基本关系】 1.子集、真子集、相等的概念 （1）子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫作集合B的子集， 记作A⊆B或B. （2）真子集：如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫作集合B的真子集， 记作A B或BA. （3）相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等，记作A=B. 性质： (1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. (3)传递性：A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 2.子集、真子集、相等的关系 （1）若A⊆B，则AB或A=B. （2）若A⊆B且B⊆A，则A=B，反之，亦然. 3.子集的个数 若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 【即时训练】 8．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 9．已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由， 所以， 显然集合有三个元素， 所以集合的子集个数为个. 10．若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 11．已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由于集合，， 则，故 12．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 13．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集的概念判断AB；根据交集运算判断C；根据并集运算判断D. 【详解】但，故A错误； 但，故B错误； 因为，，所以，故C正确； ，故D错误． 14．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的基本运算和集合关系即可作出判断. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为，但，所以，故C错误， 因为中的任意元素满足，则必有，即也在中，所以， D正确； 故选：D 15．下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，所以A错误； 选项B，集合是数集，集合是点集，不相等，所以B错误； 选项C，两个集合研究的对象不同，集合是上的点，集合是，不相等，所以C错误； 选项D，两个集合元素相同，集合元素有无序性，所以相等，所以D正确. 故选：D. 16．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 【考点3 集合的基本运算】 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B Venn图示 集合表示 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 运算性质 A∪A＝A， A∪∅＝A， A∪B＝B∪A， 如果，那么. A∩A＝A， A∩∅＝∅， A∩B＝B∩A， 如果,那么. ， ， , 【即时训练】 17．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】因为，所以. 18．已知集合，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，所以． 19．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两个集合知，元素同时属于两个集合，所以. 20．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 21．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 22．集合，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， ， 则中的元素个数为3． 23．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解集合得：或， 由，则. 24．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 【考点4 区间】 名称 定义 符号 数轴表示 闭区间 {x|a≤x≤b} [a，b] 开区间 {x|a<x<b} (a，b) 左开右闭区间 {x|a≤x<b} (a，b] 左闭右开区间 {x|a<x≤b} [a，b) R (−∞,+∞) 【即时训练】 1．集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合的交并补运算进行判断即可． 【详解】由于， 则，故A项错误， ，故B项正确， C项显然错误， ，故D项错误． 故选：B 3．集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 4．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. （2026年天津市高职院校分类考试第1题） 1、集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的概念计算即可. 【详解】因为集合， 所以A 故选：D. （2025年天津市高职院校分类考试第1题） 2、 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念，求解即可. 【详解】因为集合, 所以. 故选：A （2024年天津市高职院校分类考试第1题） 3、 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】由题意得，集合. 则. 故选：D. （2023年天津市高职院校分类考试第1题） 4、已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的概念计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. （2022年天津市高职院校分类考试第1题） 5、已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $