专题17 等差数列求和及应用（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题17 等差数列求和及应用 知识点梳理 一、基本概念 等差数列是小升初奥数核心考点，指从第二项开始，每一项与前一项的差值都固定不变的数列，这个固定差值叫公差，数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，数列中数的总个数叫项数，所有数的总和叫数列和。 关键要素： 1.首项：数列的第一个数，用字母表示 2.末项：数列的最后一个数，用字母表示 3.公差：相邻两项的固定差值，用字母表示 4.项数：数列中数的总个数，用字母表示 5.数列和：所有项相加的结果，用字母表示 示例：数列 首项，末项，公差，项数，和 二、核心公式（必背） 1.求和公式 文字理解：等差数列的和等于首尾两项的平均数乘项数 2.求项数公式 文字理解：用总差值除以公差，得到间隔数，间隔数加1就是项数 3.求末项公式 文字理解：首项加上（项数-1）个公差，就是最后一项 4.求首项公式 5.求公差公式 三、核心解题方法 对标定义新运算的解题逻辑，等差数列也有三类核心方法： 1.直接套用法（基础） 已知首项、末项、项数，直接代入求和公式计算，无需额外推导。 2.先求关键量法（进阶） 题目未直接给出项数/末项，先通过公式求出缺失的关键量，再代入求和。 3.逆向推理法（综合） 已知数列和、首项、公差等条件，反求项数、末项、首项等未知量，需列方程求解。 四、常见题型 1.直接求和型：给出完整数列，直接计算总和 2.关键量求解型：已知部分量，求项数、末项、公差 3.逆向反求型：已知和，反求项数、首项等未知量 4.生活应用型：结合植树、楼层、阶梯、日期等实际场景出题 例题讲解 一、基础题（直接套用法） 例1：求等差数列的和。 解题步骤： 确定关键量：首项，末项，项数 代入求和公式： 跟踪练习1：计算等差数列的和。 答案： 解析：直接确定首项、末项、项数，代入公式快速计算。 例2：已知等差数列首项，末项，项数，求数列和。 解题步骤： 直接套用求和公式： 跟踪练习2：首项，末项，项数，求和。 答案： 二、进阶题（先求关键量法） 例3：求等差数列的和。 解题步骤： 求公差：，公差 求项数： 求和： 跟踪练习3：求数列的和。 答案： 解析：公差，项数，和 例4：等差数列首项，公差，第项是多少？ 解题步骤： 代入末项公式： 跟踪练习4：首项，公差，求第项。 答案： 三、挑战题（逆向推理+生活应用） 例5：一个等差数列首项是，公差是，所有数的和是，求这个数列的项数。 解题步骤： 设项数为，末项 代入求和公式： 化简：，试数得 跟踪练习5：等差数列末项，公差，和，求首项。 答案： 解析：设项数为，；，联立解得首项。 例6（生活应用）：小明爬楼梯，从1楼到5楼用了20秒，每层楼梯台阶数成等差数列，1楼到2楼有10级，每层比上一层多2级，求5楼一共有多少级台阶？ 解题步骤： 确定数列：10,12,14,16（1-2楼到4-5楼，共4项） 首项，末项，项数，公差 求和：（级） 提升练习 1．一堆圆木的每一层都比下一层少2根，最上面一层（第1层）有10根，第16层有（    ）。 A．40根 B．42根 C．44根 D．46根 【答案】A 【分析】第2层比第1层多2根，第3层比第1层多2个2根，第4层比第1层多3个2根，以此类推，第16层比第1层多了15个2根，即可得出答案。 【详解】10＋2×（16－1） ＝10＋2×15 ＝10＋30 ＝40（根） 故答案选：A 2．50个盒子都装有棋子，且每盒装的棋子个数互不相同，那么这50个盒子装的棋子总数最少是（    ）。 A．1000个 B．1225个 C．1275个 D．2550个 【答案】C 【分析】要使50个盒子的棋子总数最少，需每个盒子的棋子数互不相同且尽可能小。最小的50个不同正整数为1，2，3，…，50，其和为等差数列求和。 【详解】因为每个盒子至少装1个棋子，且数量互不相同， 因此最小的50个数为1，2，3，…，50， 这是首项为1，末项为50，公差为1，项数为50的等差数列， 该等差数列的和为，（1＋50）×50÷2＝1275， 则这50个盒子装的棋子总数最少是1275 故答案为：C 3．对任何自然数n，和数1＋2＋…＋n的个位数字不可能是（    ）。 A．2；4；7；9 B．4；6；7；9 C．6；2；7；9 D．2；6；9 E．6；9 【答案】A 【分析】1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2，按照自然数n的取值枚举分析即可解答。 【详解】1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2 按n枚举得： n＝1，末尾1×2÷2为1 n＝2，末尾2×3÷2为3 n＝3，末尾3×4÷2为6 n＝4，末尾4×5÷2为0 n＝5，末尾5×6÷2为5 n＝6，末尾6×7÷2为1 n＝7，末尾7×8÷2为8 n＝8，末尾8×9÷2为6 n＝9，末尾9×10÷2为5 n＝10，末尾10×11÷2为5 …… 即和数1＋2＋……＋n的个位数字不可能是不可能为2、4、7、9。 故答案为：A 4．光明农场饲养员张叔叔专门负责养鸽子，为了方便查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、4、5、6，…一天，他计算鸽子编号总和时发现与以往不同，是2023.若飞走的鸽子数的最大值为m，而飞走的鸽子编号的最大值为n，则 （m，n）＝（    ）。 A．（10，57） B．（11，57） C．（10，58） D．（15，88） E．以上都不对 【答案】E 【分析】飞走的鸽子数的最大值为m，而飞走的鸽子编号的最大值为n。将鸽子编号，再计算过程中，1到63的和是2017，而发现1到64相加的和是2080，正好大于2023。此时飞走的鸽子的编号总和＝编号总和－2023，得出是57。此时有64只鸽子。 分情况讨论：如果飞走的鸽子的只数最多，则飞走鸽子的编号就越小。通过计算1到10的和是55，1到11的和是66，57正好在55到66之间。此时最多有10只。 如果飞走的编号最大，最大的编号设为57，若有65只鸽子，飞走的编号总和是122，此时最多有15只鸽子。 若鸽子数量更多，则最大只数也会更大，编号最大值也会更大，没有上限。即只能选E。 【详解】假设飞走的鸽子数的最大值为m，而飞走的鸽子编号的最大值为n。 首先估算： 1＋2＋3＋……＋64 ＝（1＋64）×64÷2 ＝65×32 ＝2080（只） 2080＞2023 2080－2023＝57 ①只数最多： 因为1＋2＋3＋……＋10 ＝（1＋10）×10÷2 ＝11×5 ＝55 1＋2＋3＋……＋11 ＝55＋11 ＝66 55＜57，66＞57 即最多10只。 构造情况：57＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋12 故m＝10，n＝12 ②鸽子编号最大：57不拆分，n＝57 而若共有65只，则飞走编号总和为： 1＋2＋……＋65－2023 ＝2080＋65－2023 ＝2145－2023 ＝122 此时的只数最多： 1＋2＋3＋……＋16 ＝（1＋16）×16÷2 ＝17×8 ＝136（只） 136＞122 即最多15只，若鸽子数量更多，则最大只数也会更大，编号最大值也会更大，没有上限。即只能选E。 故答案为：E 5．如图，将连续的奇数1，3，5，7，9，11，…按5个一行排列成如下的数表，当十字框的中心处于从上往下数第185行第4个数时，十字框中的5个数的和是（    ）。 A．7635 B．9235 C．10135 D．10235 【答案】B 【分析】观察发现，十字框中的五个数中，上面的数比中间数少10，下面的数比中间数多10，左边的数比中间数少2，右边的数比中间数多2，所以这5个数的和是中间数的5倍。 每一行的第4个数分别为：7，17，27，37，47，……，是以7为首项，公差为10的等差数列，所以根据等差数列公式“末项＝首项＋（项数－1）×公差” 计算出第185行第4个数为1847，最后用1847乘5即可得到这十字框中的5个数的和。 【详解】7＋（185－1）×10 ＝7＋184×10 ＝7＋1840 ＝1847 1847×5＝9235 则十字框中的5个数的和是9235。 故答案为：B 6．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是（    ）。 A．24 B．25 C．28 D．29 【答案】B 【分析】从1开始，按自然数的顺序做连加就是公差为1的等差数列求和，根据 等差数列的求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2。即1＋2＋3＋……＋n＝n（1＋n）÷2，由于少加了一个数，最后的和应该大于1991，根据尝试计算，得出n＝63，则连加到了63，其中漏加的数＝加到63的和－1991。 【详解】1＋2＋3＋……＋n＝n（1＋n）÷2＞1991 当n＝62时， 62×（62＋1）÷2 ＝62×63÷2 ＝31×63 ＝1953 当n＝63时， 63×（63＋1）÷2 ＝63×64÷2 ＝63×32 ＝2016 1953＜1991＜2016 2016－1991＝25 则漏加的那个数是25。 故答案为：B 7．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39＝( )。 【答案】234 【分析】观察题目可得，三项为一组，共有13组：1＋2－3＝0，4＋5－6＝3，7＋8－9＝6，37＋38－39＝36，0＋3＋6＋…＋36，它可以看成首项为0，末项为36，公差为3，项数为13的一个等差数列，然后根据和＝（首项＋末项）×项数÷2代入数据计算即可。 【详解】1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39 ＝（1＋2－3）＋（4＋5－6）＋（7＋8－9）＋…＋（37＋38－39） ＝0＋3＋6＋…＋36 ＝（0＋36）×（39÷3）÷2 ＝36×13÷2 ＝468÷2 ＝234 8．有这样一列数，第一个数为1，后一个数比前一个数大3，这列数的最后一个数为106，这列数共有_______个数。 【答案】 36 【分析】第一个数为1，后一个数比前一个数大3，最后一个数为106，因此可知这个数列是一个等差数列，首项为1，公差为3，末项为106。根据等差数列的公式“项数＝（末项－首项）÷公差＋1”即可求出这个数列一共有多少个数。 【详解】（106－1）÷3＋1 ＝105÷3＋1 ＝35＋1 ＝36 因此这列数共有36个数。 9．已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为700，请问：这个数列的首项是________。 【答案】16 【分析】等差数列的特点是：相邻两项的差（公差）都相等，且项数为奇数时，数列的和＝中间项×项数（中间项就是最中间的那个数）；项数为偶数时，数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2，也可以看成“两两配对（第1项和最后1项、第2项和倒数第2项……），每对和都相等，和＝每对和×配对数”。 我们先利用“项数为奇数时的和＝中间项×项数”找到关键项，再通过项与项的差求公差，最后倒推首项。 【详解】前15项的和是450，15是奇数，中间项是第8项。根据“和＝中间项×项数”，可得：第8项＝前15项和÷15＝450÷15＝30。 前20项的和是700，20是偶数，能分成10对（第1项和第20项、第2项和第19项……第10项和第11项），每对的和都相等。每对的和＝前20项和÷10＝700÷10＝70，也就是第10项＋第11项＝70。 等差数列中，相邻两项的差固定（叫公差），所以：第9项＝第8项＋公差，第10项＝第9项＋公差＝第8项＋2个公差，第11项＝第10项＋公差＝第8项＋3个公差。 已知第8项＝30，所以，第10项＋第11项＝（30＋2个公差）＋（30＋3个公差）＝60＋5个公差；又因为第10项＋第11项＝70，因此60＋5个公差＝70，5个公差＝70－60＝10，1个公差＝10÷5＝2。 从第1项到第8项，中间隔了7个公差（第1项与第2项相差1个公差，…，第1项与第8项相差7个公差），因此：第8项＝首项＋7个公差。已知第8项＝30，公差＝2，代入得30＝首项＋7×2，30＝首项＋14，首项＝30－14＝16。 【点睛】等差数列的核心特点是“相邻项差相等”，项数为奇数时，用“和＝中间项×项数”能快速找到中间项； 项数为偶数时，通过“两两配对，每对和相等”，把复杂求和转化为“每对和×配对数”，降低计算难度； 求首项或末项时，先数清楚“目标项和已知项之间隔了几个公差”，再用“已知项±公差×间隔数”计算，避免数错间隔数（比如第1项到第8项隔7个公差，不是8个）。 10．在YMO课堂上，老师先在黑板上写了一个等差数列，然后又擦去了其中的大部分数，只留下第三个数31和第十个数73，请问老师开始写下的第一个数是________。 【答案】19 【分析】根据这个等差数列的第3个数是31，第10个数是73，从第3个数到第10个数，中间有7个间隔，一共增加了：73－31＝42，因此可以求出这个等差数列的公差为：42÷7＝6。第三个数与第一个数之间有2个间隔，那么用第三个数减去2个公差，即31－6－6，据此就可以求出老师开始写下的第一个数是多少。 【详解】公差：（73－31）÷（10－3） ＝42÷7 ＝6 第一个数：31－6－6 ＝25－6 ＝19 因此老师开始写下的第一个数是19。 11．张超练习弹钢琴，他第一天弹了35分钟，之后每一天都比前一天多弹10分钟，他第四天弹钢琴( )分钟。 【答案】65 【分析】每一天都比前一天多弹10分钟，则第四天比第一天多弹的时间为：（4－1）×10＝30（分钟）。第一天弹了35分钟，因此用35分钟加上30分钟即可求出他第四天弹钢琴多少分钟。 【详解】（4－1）×10＋35 ＝3×10＋35 ＝30＋35 ＝65（分钟） 因此他第四天弹钢琴65分钟。 12．一条直路上依次放有31块石头，相邻两块石头的距离都是1.8米，一个机器人从放第一块石头的地方开始，将全部石头都搬到中间的位置，且每次只能搬一块石头。机器人搬完这些石头一共需走_________米。 【答案】837 【分析】一共有31块石头，即有奇数块石头，因此正中间的那块石头不需要挪到，从头走到正中间的石头需要走的段数为：（31－1）÷2＝15（段）。因此机器人需要走15段到正中间，然后走14段回来，又继续走14段回到正中间，再走13段回来，根据这个规律依次累加即可解决。 【详解】（31－1）÷2 ＝30÷2 ＝15（段） （15＋14＋14＋13＋13＋12＋12＋11＋11＋……＋1＋1＋0＋1＋1＋2＋2＋……＋14＋14＋15＋15）×1.8 ＝15×3×1.8＋（14＋13＋12＋11＋……＋1）×4×1.8 ＝45×1.8＋15×14÷2×4×1.8 ＝81＋105×7.2 ＝81＋756 ＝837（米） 因此机器人搬完这些石头一共需走837米。 13．小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成__________本。 【答案】26 【分析】题目要求每一本的报纸张数都不相同，求最多可以分成多少本，即必须分成的薄本中报纸张数应尽可能少。因此可以考虑每本的张数依次是1张、2张，3张……，然后利用等差数列求和来估算出当和最接近365时，是由多少个数相加所得。即可知道可以分为多少本。 【详解】1＋2＋3＋……＋26 ＝（1＋26）×26÷2 ＝27×26÷2 ＝702÷2 ＝351（页） 1＋2＋3＋……＋27 ＝（1＋27）×27÷2 ＝28×27÷2 ＝756÷2 ＝378（页） 378＞365＞351，因此小军最多可以将这些报纸分成26本。 14．桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上放的棋子总数最多是_______颗。 【答案】408 【分析】任意三堆棋子可以平均分成3份，也就是能被3整除，其中有一堆有9颗棋子，9能被3整除，所以每堆也能被3整除，才能保证任意的堆都能被3整除。 同样任意四堆棋子也可以平均分成四份，也就是任意的四堆能被4整除，其中有一堆有9颗棋子，9除以4余1，则每堆除以4余数也是1。 100以内的数中能被3整除，且能被4除余1的最小的数是9，下一个数是21，再下一个数是33，通过观察发现这些数的特征是12N＋9。 桌上棋子最多的情况就是将符合条件的所有的数相加即可。且当N为7时，这堆棋子最多是93，即从9开始，后一个数都是前一个数加12，一直加到最多的93即可。 【详解】9÷3＝3 9÷4＝2……1 符合条件的数：9、21、33、45、57、69、81、93 9＋21＋33＋45＋57＋69＋81＋93 ＝（9＋93）×8÷2 ＝102×8÷2 ＝102×4 ＝408（颗） 则桌上放的棋子总数最多是408颗。 【点睛】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示． 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数-1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项-首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 15．用合适的方法计算下面各题。 【答案】2500 800 【分析】观察发现，这是一道等差数列，根据等差数列的求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2可以简便的计算出和。 先利用乘法的结合律，先算出2×4、4×2、1×8、8×1，再利用乘法的分配律提出8，最后将剩下的数相加得一个整百数，可以简便计算。 【详解】 16．计算：1＋11＋21＋…＋191＋201＋211。 【答案】2332 【分析】本题是一个首项为1、末项为211、公差为10的等差数列求和，需要先求出等差数列的项数＝（末项－首项）÷公差＋1，再代入求和＝（首项＋末项）×项数÷2。 【详解】项数：（211－1）÷10＋1 ＝210÷10＋1 ＝21＋1 ＝22 和：（1＋211）×22÷2 ＝212×22÷2 ＝4664÷2 ＝2332 【点睛】本题考点为等差数列的求和公式，充分牢记等差数列求和公式是解题的关键。 17．等差数列2、5、8、11…共有31项，这31项的和是多少？ 【答案】1457 【分析】本题是一个首项为2、项数为31、公差为3的等差数列求和，我们需要计算出数列的末项＝首项＋（项数－1）×公差，等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2，据此解答即可。 【详解】2＋（31－1）×3 ＝2＋30×3 ＝2＋90 ＝92 （2＋92）×31÷2 ＝94×31÷2 ＝2914÷2 ＝1457 这31项的和是1457。 18．有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少次手？ 【答案】36次 【详解】8+7+6+5+4+3+2+1=36（次） 答：共握36次． 19．有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，求第100组的三个数之和． 【答案】1010100 【分析】根据给出的三组数，知道每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列，每组第2个数是平方数，每组第3个数是立方数，那第100组的三个数就是，100，100²，100³， 因此即可求出三个数的和． 【详解】100+100²+100³=100+10000+1000000=1010100； 答：第100组的三个数之和是1010100． 20．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？ 【答案】3090个 【分析】每后面一排都比前一排多2个座位，即这30排每排座位数构成一个公差为2的等差数列．由此据高斯求和公式计算即可：首项=末项﹣（项数﹣1）×公差，等差数列和=（末项+首项）×项数÷2． 【详解】132﹣（30﹣1）×2=132﹣29×2=132﹣58=74（个）； （132+74）×30÷2=3090（个）． 答：体育场南看台共有3090个座位． 21．把64颗糖果分装在4个袋里，从第二袋开始，每袋都比前一袋多2颗糖果，该怎么分？ 【答案】第一袋装13颗，第二袋装15颗，第三袋装17颗，第四袋装19颗．   【分析】设第一袋装x个糖果，则第二袋装（x+2）颗，第三袋装（x+4）颗，第四袋装（x+6）颗，四袋数量之和=64，由此列方程解答． 【详解】解：设第一袋装x个糖果，则第二袋装（x+2）颗，第三袋装（x+4）颗，第四袋装（x+6）颗， x+（x+2）+（x+4）+（x+6）=64 4x+12=64 4x=52 x=13 13+4=15（颗） 15+2=17（颗） 17+4=19（颗） 答：第一袋装13颗，第二袋装15颗，第三袋装17颗，第四袋装19颗． 22．有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，已知最上面一层有6根，共堆了25层．请问：这堆圆木共有多少根？ 【答案】450. 【详解】试题分析：一堆圆木，从上往下，上面一层比下面一层少一根，也就是这些圆木堆成的是个梯形，求这堆圆木一共有多少根，也就是求这个梯形的面积是多少，两者数据应该是相等关系，已知共有25层即高为25，下底为6+25﹣1=30，再根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2即可解答． 解：（6+6+25﹣1）×25÷2 =36×25÷2 =900÷2 =450（根）． 答：这堆圆木共有450根． 点评：明确这堆圆木的根数与这堆圆木堆成梯形的面积数据，应该是相等关系是解答本题的关键． 23．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？ 【答案】3. 【分析】本题关键是结合方格中数的排列特点以及等差数列的特点确定需要几个数才能得出公差． 【详解】因为每一行、每一列的数都构成等差数列，所以要知道每一行、每一列的公差，因为是两个公差，所以要需要4个数才可求得，又由于是在方格中填数，所以可以共用行和列相交的那个数，然后剩下的两个数取和它相邻的行和列上的数，即需要1+2=3个数，所以，n的最小值是3． 答：n的最小值是3． 24．小悦读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？ 【答案】小悦一共读了8天，这本课外书共有204页． 【详解】试题分析：根据题意，可得小悦每天读课外书的页数是一个等差数列，数列的首项是15，末项是36，公差是3，所以求出等差数列的项数，即可求出一共读了多少天；然后根据等差数列的求和公式，求出这本课外书共有多少页即可． 解：（36﹣15）÷3+1 =21÷3+1 =8（天） （15+36）×8÷2 =51×8÷2 =204（页） 答：小悦一共读了8天，这本课外书共有204页． 点评：此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：项数=（末项﹣首项）÷公差+1，前n项和=（首项+末项）×项数÷2． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 等差数列求和及应用 知识点梳理 一、基本概念 等差数列是小升初奥数核心考点，指从第二项开始，每一项与前一项的差值都固定不变的数列，这个固定差值叫公差，数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，数列中数的总个数叫项数，所有数的总和叫数列和。 关键要素： 1.首项：数列的第一个数，用字母表示 2.末项：数列的最后一个数，用字母表示 3.公差：相邻两项的固定差值，用字母表示 4.项数：数列中数的总个数，用字母表示 5.数列和：所有项相加的结果，用字母表示 示例：数列 首项，末项，公差，项数，和 二、核心公式（必背） 1.求和公式 文字理解：等差数列的和等于首尾两项的平均数乘项数 2.求项数公式 文字理解：用总差值除以公差，得到间隔数，间隔数加1就是项数 3.求末项公式 文字理解：首项加上（项数-1）个公差，就是最后一项 4.求首项公式 5.求公差公式 三、核心解题方法 对标定义新运算的解题逻辑，等差数列也有三类核心方法： 1.直接套用法（基础） 已知首项、末项、项数，直接代入求和公式计算，无需额外推导。 2.先求关键量法（进阶） 题目未直接给出项数/末项，先通过公式求出缺失的关键量，再代入求和。 3.逆向推理法（综合） 已知数列和、首项、公差等条件，反求项数、末项、首项等未知量，需列方程求解。 四、常见题型 1.直接求和型：给出完整数列，直接计算总和 2.关键量求解型：已知部分量，求项数、末项、公差 3.逆向反求型：已知和，反求项数、首项等未知量 4.生活应用型：结合植树、楼层、阶梯、日期等实际场景出题 例题讲解 一、基础题（直接套用法） 例1：求等差数列的和。 解题步骤： 确定关键量：首项，末项，项数 代入求和公式： 跟踪练习1：计算等差数列的和。 答案： 解析：直接确定首项、末项、项数，代入公式快速计算。 例2：已知等差数列首项，末项，项数，求数列和。 解题步骤： 直接套用求和公式： 跟踪练习2：首项，末项，项数，求和。 答案： 二、进阶题（先求关键量法） 例3：求等差数列的和。 解题步骤： 求公差：，公差 求项数： 求和： 跟踪练习3：求数列的和。 答案： 解析：公差，项数，和 例4：等差数列首项，公差，第项是多少？ 解题步骤： 代入末项公式： 跟踪练习4：首项，公差，求第项。 答案： 三、挑战题（逆向推理+生活应用） 例5：一个等差数列首项是，公差是，所有数的和是，求这个数列的项数。 解题步骤： 设项数为，末项 代入求和公式： 化简：，试数得 跟踪练习5：等差数列末项，公差，和，求首项。 答案： 解析：设项数为，；，联立解得首项。 例6（生活应用）：小明爬楼梯，从1楼到5楼用了20秒，每层楼梯台阶数成等差数列，1楼到2楼有10级，每层比上一层多2级，求5楼一共有多少级台阶？ 解题步骤： 确定数列：10,12,14,16（1-2楼到4-5楼，共4项） 首项，末项，项数，公差 求和：（级） 提升练习 1．一堆圆木的每一层都比下一层少2根，最上面一层（第1层）有10根，第16层有（    ）。 A．40根 B．42根 C．44根 D．46根 2．50个盒子都装有棋子，且每盒装的棋子个数互不相同，那么这50个盒子装的棋子总数最少是（    ）。 A．1000个 B．1225个 C．1275个 D．2550个 3．对任何自然数n，和数1＋2＋…＋n的个位数字不可能是（    ）。 A．2；4；7；9 B．4；6；7；9 C．6；2；7；9 D．2；6；9 E．6；9 4．光明农场饲养员张叔叔专门负责养鸽子，为了方便查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、4、5、6，…一天，他计算鸽子编号总和时发现与以往不同，是2023.若飞走的鸽子数的最大值为m，而飞走的鸽子编号的最大值为n，则 （m，n）＝（    ）。 A．（10，57） B．（11，57） C．（10，58） D．（15，88） E．以上都不对 5．如图，将连续的奇数1，3，5，7，9，11，…按5个一行排列成如下的数表，当十字框的中心处于从上往下数第185行第4个数时，十字框中的5个数的和是（    ）。 A．7635 B．9235 C．10135 D．10235 6．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是（    ）。 A．24 B．25 C．28 D．29 7．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39＝( )。 8．有这样一列数，第一个数为1，后一个数比前一个数大3，这列数的最后一个数为106，这列数共有_______个数。 9．已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为700，请问：这个数列的首项是________。 10．在YMO课堂上，老师先在黑板上写了一个等差数列，然后又擦去了其中的大部分数，只留下第三个数31和第十个数73，请问老师开始写下的第一个数是________。 11．张超练习弹钢琴，他第一天弹了35分钟，之后每一天都比前一天多弹10分钟，他第四天弹钢琴( )分钟。 12．一条直路上依次放有31块石头，相邻两块石头的距离都是1.8米，一个机器人从放第一块石头的地方开始，将全部石头都搬到中间的位置，且每次只能搬一块石头。机器人搬完这些石头一共需走_________米。 13．小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成__________本。 14．桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上放的棋子总数最多是_______颗。 15．用合适的方法计算下面各题。 16．计算：1＋11＋21＋…＋191＋201＋211。 17．等差数列2、5、8、11…共有31项，这31项的和是多少？ 18．有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少次手？ 19．有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，求第100组的三个数之和． 20．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？ 21．把64颗糖果分装在4个袋里，从第二袋开始，每袋都比前一袋多2颗糖果，该怎么分？ 22．有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，已知最上面一层有6根，共堆了25层．请问：这堆圆木共有多少根？ 23．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？ 24．小悦读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $