专题03 函数及其表示（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材青岛版

专题03 函数及其表示（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 自变量取值范围 题型02 求函数值 题型03 列函数解析式 题型04 用表格表示函数 题型05 用图像表示函数 题型06 行程相关函数问题 题型07 （跨学科）物理中的函数问题 题型08 画函数图像 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 1. 理解函数的概念，能准确判断两个变量之间是否存在函数关系； 2. 能正确识别函数中的自变量和因变量； 3. 会根据不同类型的函数关系式，正确求出自变量的取值范围. 基础必考点，常出现在选择题和填空题。 函数的表示方法 了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），能根据具体问题选择合适的方法表示函数关系. 不单独考察，会结合其他知识点。 函数的图像 掌握用描点法画函数图像的步骤，会画简单函数的图像. 解答题中出现，难度不大。 知识点01 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点02 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解： ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点03 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点04 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 题型一 自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 1. 识别解析式类型：判断是整式、分式还是根式。 2. 列出约束条件：根据类型写出相应不等式（或等式）。 3. 取公共部分：如果同时涉及多种类型，取所有条件的交集。 易｜错｜点｜拨 易错点一：忽视分母不能为0 易错点二：忽视偶次根式被开方数 ≥ 0 易错点三：实际问题的自变量取值范围忘了取整数 【典例1】函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式分母不为0的性质，列不等式求解，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 因此自变量的取值范围是． 【变式1】．函数 中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 【变式2】．函数 中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】需根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0列出不等式，求解后即可得到结果． 【详解】解：∵函数中，二次根式的被开方数需满足非负要求，分式的分母不能为0， ∴可得， 解不等式得， 由得， ∴自变量的取值范围是且． 题型二 求函数值 解｜题｜技｜巧 技巧1：代入前先化简解析式 技巧2：代入时注意运算顺序 技巧3：分段函数——先判断自变量所属区间 易｜错｜点｜拨 易错点1：代入时符号错误 易错点2：运算顺序错误 易错点3：分段函数用错解析式 【典例1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，将代入即可求解． 【详解】解：将代入， 则， 故选：D． 【变式1】．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可． 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． 【变式2】．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 题型三 列函数解析式 答｜题｜模｜板 油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 【典例1】某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 【变式1】．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的地面温度，以及温度随海拔的变化规律，列出对应关系式即可． 【详解】解：∵ 地面温度为，每升高1千米温度下降， ∴ 高度为千米处，温度一共下降， ∴ 该处温度． 【变式2】．王老师每天从家去学校上班行走的路程为米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到后半程他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么王老师距离学校的路程y（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据距离学校的路程等于总路程减去已走路程，列出函数关系式即可． 【详解】解：前半程路程为米，速度为40米/分，用时分钟， 当时，后半程行走时间为分钟，速度为50米/分，已走路程为米， 故． 题型四 用表格表示函数 答｜题｜模｜板 点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分钟）之间的关系如下表： t（分钟） 0 2 4 6 8 10 h（厘米） 40 36 32 28 24 20 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（    ） A．14分钟 B．16分钟 C．18分钟 D．20分钟 解：∵由表格可知，时，蜡烛初始高度厘米，燃烧分钟后高度变为厘米， ∴ 蜡烛每分钟燃烧的长度为（厘米）， ∴ 蜡烛高度与燃烧时间的关系式为， 蜡烛燃烧完时，令， 解得， ∴ 这根蜡烛最多能燃烧分钟． 【典例1】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【详解】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 【变式1】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 题型五 用图像表示函数 答｜题｜模｜板 如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． ∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 【典例1】某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 【变式1】．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 题型六 行程相关函数问题 答｜题｜模｜板小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为分钟，所走的路程为米，与之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小李中途休息了20分钟 B．小李休息前爬山的速度为每分钟70米 C．小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 D．小李从山脚到山顶的平均速度为47.5米/分 解：A、根据图象可知，在分钟，路程没有发生变化，所以小李中途休息的时间为：（分钟），故选项不符合题意； B、根据图象可知，当分时，米，所以小李休息前爬山的平均速度为：（米/分），故选项不符合题意； C、小李休息后的爬山的平均速度为：（米/分），小李休息前爬山的平均速度为：（米/分）， ∵， ∴小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故选项不符合题意； D、小李从山脚到山顶的平均速度为（米/分），故选项符合题意． 【典例1】周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家， 由图可知，小明家离图书馆2400米， ∴小明共骑行了4800米， 故①是错误的，不符合题意； ②由图可知，小明在图书馆停留了（分钟）， 故②是正确的，符合题意； ③小明从家到图书馆路上的平均速度为（米/分钟）， 故③是正确的，符合题意； ④小明从图书馆回家路上的平均速度为（米/分钟）， 故④是错误的，不符合题意； 综上所述，正确的说法是②③，共有2个，选B． 【变式1】．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请你根据图象，判断下列说法中正确的是（   ） A．甲比乙多跑了200米路程 B．甲率先到达终点 C．乙比甲早到终点0.2分钟 D．比赛中两人从出发到2.2分钟时间段，乙的速度比甲的速度快 【答案】C 【详解】解：． 由函数图象可知，甲、乙两人都走了1000米，路程相同，该选项错误，不符合题意； ． 由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙率先到达终点，该选项错误，不符合题意； ．因为分钟，所以，乙比甲少用0.2分钟， 该选项正确，符合题意； ． 根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲的速度比乙的速度快，该选项错误，不符合题意． 【变式2】．甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：由图象可知，A、B两城相距，故①正确． 乙去程的速度， 乙去程行驶所用时间为， 甲的速度， 甲到达B城的时间， 乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为，比甲早到，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（），故②错误． 由图可得两人第一次相遇时， 此时距出发点，故③正确． 乙返回时的速度为， 设相遇时间为，则， 解得，即， 又，故④正确． 分情况讨论相距， 乙出发前（）： ，解得 乙追上甲之前（）： ，解得 乙超过甲（）： ，解得 乙返回接甲（）： ，解得 相遇后（）： 两人同速同向，距离为0，不可能相距． 综上，的值为或或或，故⑤正确． 正确的结论为①③④⑤，共4个． 题型七（跨学科）物理中的函数问题 答｜题｜模｜板 小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度−时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（    ） A．冰的整个熔化过程持续了 B．第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态 C．由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D．由图像可知，冰的熔点是 解：A、冰的整个熔化过程持续了；原说法正确，不符合题意； B、第时，冰已经全部熔化，处于液体状态；原说法错误，符合题意； C、由图像可知，冰在第时全部熔化成水；原说法正确，不符合题意； D、由图像可知，冰的熔点是；原说法正确，不符合题意； 故选B． 【典例1】物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 【变式1】如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 【变式2】物理中常常要用到数学的函数图像，如图所示，是使用汽车打捞水下重物的示意图．在重物从水底拉到井口的过程中，汽车以恒定速度向右运动，忽略水的阻力和滑轮的摩擦．四位同学利用数学知识画出了汽车功率P随时间t的变化图像，其中正确的是（   ）（注：在匀速直线运动的情况下，功率可由力与速度的乘积得到，一开始重物在水中，会受浮力作用，在重物露出水面之后拉力会增大） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当重物完全在水中时，汽车功率P不变；当重物从露出水面到完全露出水面时，汽车功率P逐渐增大；当重物完全露出水中时，汽车功率P不变； 只有C符合题意． 故选C． 题型八 画函数图像 答｜题｜模｜板 阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式，因为表示数a在数轴上的点到数2在数轴上的点的距离，表示数a在数轴上的点到数4在数轴上的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式．在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过分析可得a的取值范围应是． (1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？ (2)化简：； (3)画出函数的图象； (4)由图象解方程；（直接写出答案即可） (5)由图象解不等式．（直接写出答案即可） （1）解：由解题过程可得，运用了数形结合思想和分类讨论的数学思想； （2）解：当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，； （3）解：由（2）可得，， 列表可得： 2 3 7 8 6 4 4 6 描点连线可得： （4）解，由（3）中的图象可得，当时，； 当时，； ∴方程的解为或； （5）解：由图像可得，当或时，， 则不等式的解集为或． 【典例1】．小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 … (1)_____，_____； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，请直接写出当时的取值范围． （1）解：当时，,即； 当时，，即； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，当时，． 【变式1】．如图（1），A，C是平面内的两个定点，，P为射线AB上一动点，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为．小贤对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整： (1)如图（2），当时，依题意补全图形； (2)按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … … (3)如图（3）所示的是平面直角坐标系， ①通过描出表中各组数值所对应的点，画出y与x的函数图象； ②结合①中的图象填空，当时，x的值为 ． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：当时，即， ∵， ∴， ∴； 同理当时，， ； 当时，； 当时，，点D在点A左侧，如图， ∵， ∴， ∴； 当时，点D，A重合，如图， ∴； 补全表格如下： x … 30 40 60 80 90 … y … 30 20      0      20      30       … （3）解：①描点，连线，作图如下， ②由图象可得时，或． 【变式2】探究活动：探究函数的图象与性质． 下面是小左的探究过程，请补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表是y与x的几组对应值． x 0 1 2 … y 0 m 0 … m的值是______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象． （1）解：∵函数有意义， ∴， 解得． 故答案为：； （2）解：当时，代入函数中， 则， ∴． 故答案为：． （3）解：如图所示： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的概念，根据函数的定义判断y是否为x的函数，函数定义为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：A项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D项：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 2．我们知道边长为a的正方形的周长，那么在这个式子中，变量是（    ） A．C，4，a B．4，a C．C，a D．a 【答案】C 【分析】在周长公式中，变量是指可以取不同数值的量，而常量是固定不变的量，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形的周长公式为，周长的值随边长的变化而变化， ∴和均为变量．其中，表示周长，表示边长． 故选C． 3．已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为________________． 【答案】 【分析】根据题意，总费用由成人票费用和学生票费用组成，成人票费用为元，学生票费用为20元，因此与的函数关系式为． 本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，成人游客名，每张成人票50元，故成人票费用为元； 学生游客1名，每张学生票20元，故学生票费用为20元． 总费用为成人票费用与学生票费用之和，因此． 故答案为：． 4．请写出适合函数的自变量的一个值___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次根式作为分母时函数有意义的取值范围，掌握二次根式作为分母时，根号内的数要大于零是解题的关键． 已知作为分母，所以，解出不等式即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：（答案不唯一）． 5．一个蓄水池有水，打开排水阀门开始放水后，水池剩水量和放水时间有如下关系： 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中的水量 48 46 44 42 …… (1)在这个变化过程中，自变量是______；因变量是______； (2)写出水池剩水量与放水时间之间的关系式______； (3)当蓄水池中剩水量为，放水时间为多少分钟？ 【答案】(1)放水时间，水池中的水量y (2) (3) 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量之间的关系，通过分析题意列出正确的关系式是解决本题的关键． （1）根据表格，理解题意得出自变量和因变量即可； （2）根据表格中数据得出每分钟放水量为，从而得出水池中的水量y与放水时间t的关系即可； （3）把代入求出t的值即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是水池中的水量y； （2）解：水池中的水量y与放水时间t的关系式为：． （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当蓄水池中剩水量为，放水时间为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵该函数分母含有二次根式，要使式子有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，分母不为0， ， 解不等式得：． 2．涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（    ） A．该地当日时潮水高度最大，高度为 B．该地当日时和时潮水高度相同 C．该地当日到适合赶海 D．该地当日到适合赶海 【答案】D 【分析】根据图象信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知， 该地当日时潮水高度最大，高度为，故选项A说法正确，不符合题意； 该地当日时和时潮水高度相同，均为3.5m，故选项B说法正确，不符合题意； 该地当日到适合赶海，故选项C说法正确，不符合题意； 该地当日到，夜间不安全，不适合赶海，故原说法错误，故选项D符合题意． 3．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据收费规则，当乘车距离超过3千米时，费用包括起步价和超过部分的加收费用，据此建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 4．已 知A，B两地相距，小明和小亮两人分别从A，B两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（）的关系，则小亮出发_______，两人的路程和为． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题． 根据题意求出两人的速度，列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，小亮的函数图象是，小明的函数图象是， 小亮的速度是，小明的速度是． 设小亮出发小时两人的路程和为． 由题意， 解得， 答：小亮出发小时两人的路程和为． 故答案为：． 5．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先看图可知，游泳池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 2．如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（   ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A．该重物的重力为 B．点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C．该重物的高度为 D．从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 【答案】D 【分析】从函数图象中的坐标含义，结合图象的变化分析即可． 【详解】解：当时，， ∴该重物的重力为， 故选项A正确，不符合条件； 由图②可知在点P处时该重物完全浸入水中， 故选项B正确，不符合条件； 在点P处时该重物完全浸入水中，此时， 故选项C正确，不符合条件； 从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F随h的增大而减小， 故选项D错误，符合条件． 3．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【答案】 【分析】此题考查了函数值，用关系式表示变量间的关系，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系图象如图②所示，则长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的周长，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的周长是． 故答案为：． 5．甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，半小时后，乙车出发，匀速行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发，为了行驶安全，速度减少了千米/时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车行驶的路程（单位：），（单位：）与甲车出发后的时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为 ，甲车的速度为 千米/时； (2)求乙车在到达服务区之前的速度； (3)在行驶的过程中，求甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的路程． 【答案】(1)， (2)乙车在到达服务区之前的速度为千米/时 (3)千米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合并理解题意． （1）根据题意并结合图形可知，根据速度路程时间，即可求出甲车的速度； （2）设乙车到达服务区之前的速度为千米/时，则在服务区休息后的速度为千米/时，根据题意列方程即可求解； （3）根据题意列方程求出甲、乙两车第一次相遇时甲车的时间，再求甲车行驶的路程． 【详解】（1）解：（小时）， 甲车的速度为（千米/时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车到达服务区之前的速度为千米/时，则在服务区休息后的速度为千米/时， 根据题意可得， 解得， 答：乙车在到达服务区之前的速度为千米/时； （3）由题意得， 解得， 即甲、乙两车第一次相遇时甲车出发后的时间为小时， 甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的路程为千米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数及其表示（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 自变量取值范围 题型02 求函数值 题型03 列函数解析式 题型04 用表格表示函数 题型05 用图像表示函数 题型06 行程相关函数问题 题型07 （跨学科）物理中的函数问题 题型08 画函数图像 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 1. 理解函数的概念，能准确判断两个变量之间是否存在函数关系； 2. 能正确识别函数中的自变量和因变量； 3. 会根据不同类型的函数关系式，正确求出自变量的取值范围. 基础必考点，常出现在选择题和填空题。 函数的表示方法 了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），能根据具体问题选择合适的方法表示函数关系. 不单独考察，会结合其他知识点。 函数的图像 掌握用描点法画函数图像的步骤，会画简单函数的图像. 解答题中出现，难度不大。 知识点01 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点02 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解： ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点03 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点04 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 题型一 自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 1. 识别解析式类型：判断是整式、分式还是根式。 2. 列出约束条件：根据类型写出相应不等式（或等式）。 3. 取公共部分：如果同时涉及多种类型，取所有条件的交集。 易｜错｜点｜拨 易错点一：忽视分母不能为0 易错点二：忽视偶次根式被开方数 ≥ 0 易错点三：实际问题的自变量取值范围忘了取整数 【典例1】函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．函数 中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．函数 中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 题型二 求函数值 解｜题｜技｜巧 技巧1：代入前先化简解析式 技巧2：代入时注意运算顺序 技巧3：分段函数——先判断自变量所属区间 易｜错｜点｜拨 易错点1：代入时符号错误 易错点2：运算顺序错误 易错点3：分段函数用错解析式 【典例1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【变式1】．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 题型三 列函数解析式 答｜题｜模｜板 油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 【典例1】某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．王老师每天从家去学校上班行走的路程为米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到后半程他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么王老师距离学校的路程y（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 题型四 用表格表示函数 答｜题｜模｜板 点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分钟）之间的关系如下表： t（分钟） 0 2 4 6 8 10 h（厘米） 40 36 32 28 24 20 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（    ） A．14分钟 B．16分钟 C．18分钟 D．20分钟 解：∵由表格可知，时，蜡烛初始高度厘米，燃烧分钟后高度变为厘米， ∴ 蜡烛每分钟燃烧的长度为（厘米）， ∴ 蜡烛高度与燃烧时间的关系式为， 蜡烛燃烧完时，令， 解得， ∴ 这根蜡烛最多能燃烧分钟． 【典例1】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【变式1】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【变式2】．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 题型五 用图像表示函数 答｜题｜模｜板 如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． ∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 【典例1】某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【变式1】．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【变式2】．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 题型六 行程相关函数问题 答｜题｜模｜板小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为分钟，所走的路程为米，与之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小李中途休息了20分钟 B．小李休息前爬山的速度为每分钟70米 C．小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 D．小李从山脚到山顶的平均速度为47.5米/分 解：A、根据图象可知，在分钟，路程没有发生变化，所以小李中途休息的时间为：（分钟），故选项不符合题意； B、根据图象可知，当分时，米，所以小李休息前爬山的平均速度为：（米/分），故选项不符合题意； C、小李休息后的爬山的平均速度为：（米/分），小李休息前爬山的平均速度为：（米/分）， ∵， ∴小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故选项不符合题意； D、小李从山脚到山顶的平均速度为（米/分），故选项符合题意． 【典例1】周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请你根据图象，判断下列说法中正确的是（   ） A．甲比乙多跑了200米路程 B．甲率先到达终点 C．乙比甲早到终点0.2分钟 D．比赛中两人从出发到2.2分钟时间段，乙的速度比甲的速度快 【变式2】．甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型七（跨学科）物理中的函数问题 答｜题｜模｜板 小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度−时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（    ） A．冰的整个熔化过程持续了 B．第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态 C．由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D．由图像可知，冰的熔点是 解：A、冰的整个熔化过程持续了；原说法正确，不符合题意； B、第时，冰已经全部熔化，处于液体状态；原说法错误，符合题意； C、由图像可知，冰在第时全部熔化成水；原说法正确，不符合题意； D、由图像可知，冰的熔点是；原说法正确，不符合题意； 故选B． 【典例1】物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 【变式1】如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2】物理中常常要用到数学的函数图像，如图所示，是使用汽车打捞水下重物的示意图．在重物从水底拉到井口的过程中，汽车以恒定速度向右运动，忽略水的阻力和滑轮的摩擦．四位同学利用数学知识画出了汽车功率P随时间t的变化图像，其中正确的是（   ）（注：在匀速直线运动的情况下，功率可由力与速度的乘积得到，一开始重物在水中，会受浮力作用，在重物露出水面之后拉力会增大） A． B． C． D． 题型八 画函数图像 答｜题｜模｜板 阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式，因为表示数a在数轴上的点到数2在数轴上的点的距离，表示数a在数轴上的点到数4在数轴上的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式．在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过分析可得a的取值范围应是． (1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？ (2)化简：； (3)画出函数的图象； (4)由图象解方程；（直接写出答案即可） (5)由图象解不等式．（直接写出答案即可） （1）解：由解题过程可得，运用了数形结合思想和分类讨论的数学思想； （2）解：当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，； （3）解：由（2）可得，， 列表可得： 2 3 7 8 6 4 4 6 描点连线可得： （4）解，由（3）中的图象可得，当时，； 当时，； ∴方程的解为或； （5）解：由图像可得，当或时，， 则不等式的解集为或． 【典例1】．小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 … (1)_____，_____； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，请直接写出当时的取值范围． 【变式1】．如图（1），A，C是平面内的两个定点，，P为射线AB上一动点，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为．小贤对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整： (1)如图（2），当时，依题意补全图形； (2)按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … … (3)如图（3）所示的是平面直角坐标系， ①通过描出表中各组数值所对应的点，画出y与x的函数图象； ②结合①中的图象填空，当时，x的值为 ． x … 30 40 60 80 90 … y … 30 20      0      20      30       … 【变式2】探究活动：探究函数的图象与性质． 下面是小左的探究过程，请补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表是y与x的几组对应值． x 0 1 2 … y 0 m 0 … m的值是______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 2．我们知道边长为a的正方形的周长，那么在这个式子中，变量是（    ） A．C，4，a B．4，a C．C，a D．a 3．已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为________________． 4．请写出适合函数的自变量的一个值___________． 5．一个蓄水池有水，打开排水阀门开始放水后，水池剩水量和放水时间有如下关系： 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中的水量 48 46 44 42 …… (1)在这个变化过程中，自变量是______；因变量是______； (2)写出水池剩水量与放水时间之间的关系式______； (3)当蓄水池中剩水量为，放水时间为多少分钟？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（    ） A．该地当日时潮水高度最大，高度为 B．该地当日时和时潮水高度相同 C．该地当日到适合赶海 D．该地当日到适合赶海 3．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 4．已 知A，B两地相距，小明和小亮两人分别从A，B两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（）的关系，则小亮出发_______，两人的路程和为． 5．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 2．如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（   ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A．该重物的重力为 B．点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C．该重物的高度为 D．从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 3．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 4．如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系图象如图②所示，则长方形的周长是______． 5．甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，半小时后，乙车出发，匀速行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发，为了行驶安全，速度减少了千米/时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车行驶的路程（单位：），（单位：）与甲车出发后的时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为 ，甲车的速度为 千米/时； (2)求乙车在到达服务区之前的速度； (3)在行驶的过程中，求甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的路程． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $