专题02 实数相关能力提升题（5种类型40道）（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题02 实数相关能力提升题 考点01 实数相关规律性问题 考点02 实数相关定义新运算 考点03 实数相关程序框图 考点04 整数部分与小数部分 考点05 实数相关阅读材料题 考点01 实数相关规律性问题 1．设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 3．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 5．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 6．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是_______． 7．观察并分析下列数据，按规律填空：，，，，，第n个数的值为______ ． 8．观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子：___________． 考点02 实数相关定义新运算 9．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 12．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 13．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 14．定义新运算“”，，则（   ） A． B． C． D． 15．定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 16．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 考点03 实数相关程序框图 17．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 18．按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（    ） A．7 B． C．1 D． 19．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 21．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 22．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 23．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 24．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 考点04 整数部分与小数部分 25．，分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 26．已知的整数部分是，则的值为_____． 27．比较大小：______7，已知是的整数部分，则的平方根是______． 28．如果的整数部分为，则的值为_____． 29．设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 30．已知，是的整数部分，则的值为_____． 31．若设的整数部分为a，则a的值是______． 32．的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 考点05 实数相关阅读材料题 33．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 34．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 35．阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 36．阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得． (1)阅读上述材料，可以得到______； (2)请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 37．阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． (3)已知 ，，令， 求 ． 38．阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 39．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 40．阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数相关能力提升题 考点01 实数相关规律性问题 考点02 实数相关定义新运算 考点03 实数相关程序框图 考点04 整数部分与小数部分 考点05 实数相关阅读材料题 考点01 实数相关规律性问题 1．设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式为，证明见解析 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 3．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 5．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 6．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，数字的变化类，掌握算术平方根的定义以及数列的变化规律是正确解答的关键． 通过观察数列的符号、分子和分母的变化规律，推导出第10项的表达式，符号由 决定． 【详解】解： 数列可以写为： ，，，，…， 由此可得： 数列的符号为 ，第10项为偶数，故符号为正． 分子中的数字规律：，故第10项，分子为． 分母中的数字规律：，故第10项，分母为． 因此第10个数为． 故答案为：． 7．观察并分析下列数据，按规律填空：，，，，，第n个数的值为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算的规律探究．先分别计算前5个数的结果，再总结归纳即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第n个数为， 故答案为： 8．观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子：___________． 【答案】 【分析】根据式子中的基本规律，解答即可． 本题考查了二次根式的规律型问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 【详解】解：由， ，…， 故第n个式子为． 故答案为：． 考点02 实数相关定义新运算 9．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 11．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 12．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配． 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ， 故选B． 13．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 14．定义新运算“”，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，乘方，求算术平方根，理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义运算的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 15．定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的实数运算，立方根的定义，利用题中的新定义计算即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：A ． 考点03 实数相关程序框图 17．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 18．按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】输入9，计算出前两步的结果并与1比较大小，确定下一步运算路径，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 19．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 20．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 21．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 22．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 23．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 24．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 考点04 整数部分与小数部分 25．，分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可. 【详解】解∵，， ∴， ∴的整数部分， 小数部分， ∴. 26．已知的整数部分是，则的值为_____． 【答案】 8 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，即可求出其整数部分的值. 【详解】解：， ，即， ∴，即， 的整数部分为，即. 27．比较大小：______7，已知是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】将整数化为二次根式，比较被开方数大小即可； 先估算出的范围，得到其整数部分，再代入代数式计算，求平方根即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是. 28．如果的整数部分为，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键． 由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分． 故答案为：3． 29．设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 30．已知，是的整数部分，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 31．若设的整数部分为a，则a的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的范围，确定的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴整数部分． 故答案为 3． 32．的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 考点05 实数相关阅读材料题 33．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】或 【分析】本题考查求一个数的平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵m，n都是有理数， ∴为有理数， ∵为无理数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的平方根为或． 34．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2）画图见解析， 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键． （1）首先估算出，然后求出，，然后代入求解即可． （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 由，可忽略， ∴，得到，即． 35．阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ，即， 的整数部分是5， 的小数部分是， 故答案为：； （2）解：面积为145的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． ． 36．阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得． (1)阅读上述材料，可以得到______； (2)请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 【答案】(1)2.25 (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、解一元一次方程等知识，运用数形结合的思想，画出示意图是解题的关键． （1）根据，，即可得出答案； （2）根据题意，画一个边长为的正方形，将正方形边长分为3与两部分，列方程并求出的值，从而得到的近似值． 【详解】（1）解：根据题意，． 故答案为：2.25； （2）因为，且更接近于3， 所以设， 如下图，将正方形边长分为3与两部分， 由面积公式，可得， 因为较小，略去，得方程， 解得 ∴． 37．阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． (3)已知 ，，令， 求 ． 【答案】(1)，6，2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，据此可得； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ， ∴． 故答案为：，6，2； （2）解：∵n为正整数，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 38．阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（）先通过材料中的例子归纳出二次根式乘法公式，再利用这个公式对和进行分解化简； （）先确定的范围，从而分离出的整数部分和小数部分，再根据是整数、的条件求出和的值，最后代入计算结果． 【详解】（1）解：根据材料一可得：； ①； ②； （2）解：∵，且， ∴， ∴，即， ∵已知，其中是整数，且， ∴，且， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故的值为． 39．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2)，理由见解析 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 40．阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【答案】(1)45，3，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出m，代入求值即可． 【详解】（1），，； （2）∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ∴， ∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $