专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和（期中复习讲义，6重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判断三条线段能否构成三角形 题型02求第三边的取值范围 题型03三角形的分类判断（按边/按角） 题型04 三角形中线、角平分线、高的性质与作图 题型05与角平分线综合求角度 题型06 与平行线综合求角度 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的定义及分类 能准确说出三角形的定义，规范用符号表示三角形，区分不同类型的三角形；能根据边长、角度判断三角形类型 选择题、填空题为主；基础题 高频考点：三角形分类 三角形的三边关系及其应用 牢记三边关系定理及推论；能熟练判断三条线段能否构成三角形；已知两边长，会求第三边的取值范围，结合整数条件求解具体值 选择题、填空题、解答题（简单计算）；基础-中档；高频考点：第三边取值范围计算、线段能否构成三角形的判断，常结合实际线段长度考查 三角形的高、中线、角平分线的定义及画法及三条重要线段的性质 能准确定义三角形的高、中线、角平分线； 会用直尺、圆规画出任意三角形的三条重要线段；掌握中线分面积相等、角平分线平分内角等核心性质 选择题、填空题、作图题；基础题； 高频考点：高的画法、中线的面积性质、角平分线的角度计算 三角形内角和定理及其应用 牢记三角形内角和为180°，理解定理推导过程；能运用定理求三角形中未知角的度数；结合三角形分类，利用内角和判断三角形类型，进行简单角度推理 选择题、填空题、解答题（角度计算、推理）；基础-中档；高频考点：已知两角求第三角、已知一角及两角关系求未知角，常与三角形分类、角平分线性质结合考查 三角形外角的定义及性质及外角与内角的关系应用 能识别三角形的外角，牢记外角性质； 运用外角性质进行角度计算和简单推理，区分内角与外角 选择题、填空题、解答题（推理计算）； 中档； 高频考点：外角性质的应用，常与内角和定理、角平分线结合考查，易错点为混淆相邻与不相邻内角 知识点01三角形的有关概念 1.三角形的定义与表示：不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结组成的图形，记作△ABC。 2.三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边（核心用途：判断能否构成三角形、求第三边取值范围）。 3.三角形分类 按边：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 按角：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个角为直角）、钝角三角形（有一个角为钝角）。 4.三条重要线段 中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，核心性质：平分对边、平分三角形面积（同底等高，面积相等）。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，核心性质：平分该内角。 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，核心注意：钝角三角形有两条高在三角 形外部，直角三角形两条直角边互为高。 知识点02 三角形的内角和 1.内角和定理：任意三角形的内角和都等于180°（所有三角形通用，包括锐角、直角、钝角三角形）。 2.重要推论 直角三角形：两个锐角互余（即两个锐角的和为90°，可直接用于角度计算）。 三角形的外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角（常用于角度转化）。 3.常见结论 一个三角形中，最多有1个直角或1个钝角，至少有2个锐角（不会出现两个直角、两个钝角，也不会出现三个锐角以外的情况）。 等腰三角形：两个底角相等，顶角+2×底角=180°（结合内角和，可快速求等腰三角形的未知角）。 知识点03通用解题技巧 1.方程思想：当角度成比例、有倍数关系或和差关系时，设未知数（x、2x等），结合三角形内角和定理列方程，快速求解未知角。 2.外角搭桥：当角度分散、无法直接用内角和求解时，利用三角形外角的性质，将分散的角度转化为同一个三角形中的角，简化计算。 3.整体代换：在角平分线与内角和综合题中，先求两个内角的和（整体），再求它们的半角和（局部），避免单独求每个角，减少计算量。 4.直角三角形优先用互余：遇到直角三角形，优先利用“两个锐角互余”的推论，无需再用完整的内角和公式，节省计算时间。 题型一 判断三条线段能否构成三角形 解｜题｜技｜巧 无需逐一验证所有两边之和与第三边的关系，只需验证最小两边之和＞第三边（最简便、高效，避免遗漏）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 【典例3】．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是______． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，故最小值为6，解答即可． 本题考查了矩形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】设第三边长为x，根据题意，得即， 故最小值为6， 故答案为：6． 【典例4】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【知识点】构成三角形的条件 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 【变式1】．（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可作答． 【详解】解：∵三角形的两边分别为3和5， ∴设三角形的第三边为 即 ∴ ∴ 则 ∴这个三角形的周长大于小于， 故选：A． 【变式2】．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件， 只有3，5，6和2，5，6能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【变式3】．（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有______个． 【答案】5/五 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系进行求解，即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长度为， 由三角形的三边关系可知，， 即第三边的取值范围为， 第三边的长度为奇数， 的取值可以有3、5、7、9、11，共5个， 满足条件的三角形共有5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式4】．（22-23七年级下·上海·期中）一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是__________． 【答案】10 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵a为整数， ∴a的最大值为10； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 题型二 求第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 牢记核心公式——两边之差＜第三边＜两边之和（注意：不包含等号，因为两边之和等于第三边时，三条线段共线，不能构成三角形）。 【典例1】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如果三角形的两边分别是，，那么第三边的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系判定可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 即第三边的取值范围是． 故答案为：． 【典例2】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质、确定第三边的取值范围、求一元一次不等式的解集、三角形三边关系的应用 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 【变式1】．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【变式2】．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． 【答案】(1) (2) 16或18 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，由的周长是偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵的周长是偶数，且是偶数， ∴是偶数， ∴或， ∴的周长为或． 题型三 三角形的分类判断（按边/按角） 解｜题｜技｜巧 按角分类先利用内角和求各角度数；按边分类看三边是否相等（或有两边相等）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【典例2】．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【变式1】．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 【变式2】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一张三角形纸片上，小新只能折叠出它的一条高．据此推断，这个三角形纸片是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【知识点】画三角形的高、三角形的分类 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的高，熟记三角形的高在三角形的位置是解题的关键． 根据折叠出高的含义，在直角三角形中，两条直角边已经是高，无需折叠，只能通过折叠得到斜边上的高，因此只能折叠出一条高. 【详解】解：锐角三角形三条高都在三角形内部，所以，折叠三角形纸片时，能折叠出三条高， 直角三角形斜边上的高在三角形内部，其他两条高与直角边重合，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高， 钝角三角形只有一条高在三角形内部，其他两条高都在三角形外，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高， 综上所述，这个纸片的形状是直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【变式3】．（24-25七年级下·上海宝山·月考）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 题型四 三角形中线、角平分线、高的性质与作图 解｜题｜技｜巧 高：过顶点A作对边BC的垂线，垂足为D，连接AD，标上直角符号（∠ADC或∠ADB为90°）；若为钝角三角形，需延长对边再作垂线（如钝角在B点，需延长BC至点E，再过A作BE的垂线）。 中线：找到BC边的中点M，连接AM，AM即为BC边上的中线。 角平分线：用量角器平分∠BAC，使角平分线交BC于点N，AN即为∠BAC的角平分线。 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 【典例2】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 【典例3】．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【知识点】画三角形的高、三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 【变式1】．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，为的中点，为的中点，则的面积与的面积之比为_____． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积的等积变换，熟练找出相关联的底、高是解答本题的关键．由图可知，和等底等高，所以，同理可得，代入即可求出． 【详解】解：中，是中点， ， 又是的中点， ， ． 的面积与的面积之比为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 与角平分线综合求角度 解｜题｜技｜巧 利用“整体代换”思想，先求∠ABC+∠ACB的和，再根据角平分线的性质，求∠DBC+∠DCB的和，最后用内角和求∠BDC。 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【答案】80 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【典例2】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，平分，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的角度计算，先根据角平分线的性质及平行线的性质求出，再根据三角形的内角和可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【典例3】．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 【变式1】．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【变式2】．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分的定义可得，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画三角形的高、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用量角器和直尺画三角形的高和角平分线即可； （2）先求出，再根据角平分线得到，根据高得到，接着利用三角形内角和求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：的平分线，边上的高，如图所示： （2）解：∵， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵边上的高， ∴， ∴， ∴． 【变式4】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图2结论：；图3结论： 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，结合角平分线的定义即可得证； （2）在图2中，、的角平分线交于点，，在中，，即可得出；在图3中，根据三角形的外角的性质可得，在中，，进而在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 题型六 与平行线综合求角度 解｜题｜技｜巧 平行线与三角形结合时，可通过“延长线段”构造三角形，利用平行线的性质（同旁内角互补）转化角度，再结合三角形内角和求解。 【典例1】．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、两直线平行同旁内角互补 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 【典例2】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 【变式1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，，点P是射线上一点，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角性质得出，再根据角度间的数量关系得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【知识点】三角形内角和定理的证明、同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式3】．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)不会发生变化，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）由题干中两角互补得出 ，由对顶角相等得出 ，从而得出，证明平行； （2）由平行线的性质得出 ，由角平分线的性质得出 ，由三角形内角和得出 ，即 ，通过已知，从而得出平行； （3）利用已知和三角形外角得出 ，由三角形内角和得出 从而推出 ，由邻补角的定义和角平分线的性质得出 从而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图1，∵与互补， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，由（1）知，， ∴． 又∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴的大小不会发生变化，其值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角大于0的性质，结合已知条件得到最大角的范围，即可判断三角形形状。 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵三角形任意内角大于，即， ∴， ∵有一个角是钝角的三角形是钝角三角形 ∴是钝角三角形． 2．（22-23七年级下·上海长宁·期末）已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得，再解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得：， ， 观察选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，小于两边的和． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为3，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，，故本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海·期中）若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是____． 【答案】5 【知识点】确定第三边的取值范围、构成三角形的条件 【分析】根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到另外两边之差应小于4，则最大的差应是3，从而求得最大边． 【详解】设这个三角形的最大边长为a，最小边是b． 根据已知，得a+b=11-4=7． 根据三角形的三边关系，得： a-b＜4， 当a-b=3时，解得a=5，b=2， 故可能的最大边长是5． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、画三角形的高、点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，点在边上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：． 2．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 【答案】/12度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，由三角形外角的定义和性质得出，，由等边对等角可得出，，等量代换可得出，再由三角形外角的定义和性质得出，即可得出，由三角形外角的定义和性质得出，由三角形内角和定理可得出，代入到计算即可得出． 【详解】解：∵、分别平分的两个外角 ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 5．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 6．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)画图见解析： (2) 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）按照题意画图如下图所示： （2）中，即， 又点B到直线的距离是3，即； 点C到直线的距离是4，即 又的面积， 所以， 因为， 所以直线与之间的距离等于 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义是解题的关键． 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、画垂线 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求．    （2）如图，线段即为所求． （3）到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转性质可知，，，，通过等边对等角可得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案． 【详解】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3， ∴△ABD的面积为3×2＝6， ∵点D为BC的中点， ∴△ABC的面积为6×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 三、解答题 5．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 6．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知A、B是线段MN上的两点（B在A的右侧），MN＝4，MA＝1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．求x的取值范围． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形三边关系的应用 【分析】表示出BN，再根据旋转的性质可得MA＝AC，BN＝BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵MN＝4，MA＝1，AB＝x， ∴BN＝4﹣1﹣x＝3﹣x， 由旋转的性质得，MA＝AC＝1，BN＝BC＝3﹣x， 由三角形的三边关系得， 解不等式①得，x＞1， 解不等式②得，x＜2， 所以，x的取值范围是1＜x＜2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． (3)如图3，若，，，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． （1）由，得，再代入，可求得； （2）过E作，过点F作，根据平行公理的推论得，由平行线的性质，，可得，由平行线的性质得，从而； （3）由上结论知，进而得，从而，由“8”字三角形得，进而便可求得的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：过E作，过点F作．      ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：由上结论知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海崇明·月考）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判断三条线段能否构成三角形 题型02求第三边的取值范围 题型03三角形的分类判断（按边/按角） 题型04 三角形中线、角平分线、高的性质与作图 题型05与角平分线综合求角度 题型06 与平行线综合求角度 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的定义及分类 能准确说出三角形的定义，规范用符号表示三角形，区分不同类型的三角形；能根据边长、角度判断三角形类型 选择题、填空题为主；基础题 高频考点：三角形分类 三角形的三边关系及其应用 牢记三边关系定理及推论；能熟练判断三条线段能否构成三角形；已知两边长，会求第三边的取值范围，结合整数条件求解具体值 选择题、填空题、解答题（简单计算）；基础-中档；高频考点：第三边取值范围计算、线段能否构成三角形的判断，常结合实际线段长度考查 三角形的高、中线、角平分线的定义及画法及三条重要线段的性质 能准确定义三角形的高、中线、角平分线； 会用直尺、圆规画出任意三角形的三条重要线段；掌握中线分面积相等、角平分线平分内角等核心性质 选择题、填空题、作图题；基础题； 高频考点：高的画法、中线的面积性质、角平分线的角度计算 三角形内角和定理及其应用 牢记三角形内角和为180°，理解定理推导过程；能运用定理求三角形中未知角的度数；结合三角形分类，利用内角和判断三角形类型，进行简单角度推理 选择题、填空题、解答题（角度计算、推理）；基础-中档；高频考点：已知两角求第三角、已知一角及两角关系求未知角，常与三角形分类、角平分线性质结合考查 三角形外角的定义及性质及外角与内角的关系应用 能识别三角形的外角，牢记外角性质； 运用外角性质进行角度计算和简单推理，区分内角与外角 选择题、填空题、解答题（推理计算）； 中档； 高频考点：外角性质的应用，常与内角和定理、角平分线结合考查，易错点为混淆相邻与不相邻内角 知识点01三角形的有关概念 1.三角形的定义与表示：不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结组成的图形，记作△ABC。 2.三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边（核心用途：判断能否构成三角形、求第三边取值范围）。 3.三角形分类 按边：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 按角：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个角为直角）、钝角三角形（有一个角为钝角）。 4.三条重要线段 中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，核心性质：平分对边、平分三角形面积（同底等高，面积相等）。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，核心性质：平分该内角。 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，核心注意：钝角三角形有两条高在三角 形外部，直角三角形两条直角边互为高。 知识点02 三角形的内角和 1.内角和定理：任意三角形的内角和都等于180°（所有三角形通用，包括锐角、直角、钝角三角形）。 2.重要推论 直角三角形：两个锐角互余（即两个锐角的和为90°，可直接用于角度计算）。 三角形的外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角（常用于角度转化）。 3.常见结论 一个三角形中，最多有1个直角或1个钝角，至少有2个锐角（不会出现两个直角、两个钝角，也不会出现三个锐角以外的情况）。 等腰三角形：两个底角相等，顶角+2×底角=180°（结合内角和，可快速求等腰三角形的未知角）。 知识点03通用解题技巧 1.方程思想：当角度成比例、有倍数关系或和差关系时，设未知数（x、2x等），结合三角形内角和定理列方程，快速求解未知角。 2.外角搭桥：当角度分散、无法直接用内角和求解时，利用三角形外角的性质，将分散的角度转化为同一个三角形中的角，简化计算。 3.整体代换：在角平分线与内角和综合题中，先求两个内角的和（整体），再求它们的半角和（局部），避免单独求每个角，减少计算量。 4.直角三角形优先用互余：遇到直角三角形，优先利用“两个锐角互余”的推论，无需再用完整的内角和公式，节省计算时间。 题型一 判断三条线段能否构成三角形 解｜题｜技｜巧 无需逐一验证所有两边之和与第三边的关系，只需验证最小两边之和＞第三边（最简便、高效，避免遗漏）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【典例3】．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是______． 【典例4】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【变式1】．（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【变式2】．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】．（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有______个． 【变式4】．（22-23七年级下·上海·期中）一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是__________． 题型二 求第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 牢记核心公式——两边之差＜第三边＜两边之和（注意：不包含等号，因为两边之和等于第三边时，三条线段共线，不能构成三角形）。 【典例1】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如果三角形的两边分别是，，那么第三边的取值范围是_____． 【典例2】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【变式1】．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【变式2】．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． 题型三 三角形的分类判断（按边/按角） 解｜题｜技｜巧 按角分类先利用内角和求各角度数；按边分类看三边是否相等（或有两边相等）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【典例2】．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【变式1】．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【变式2】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一张三角形纸片上，小新只能折叠出它的一条高．据此推断，这个三角形纸片是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【变式3】．（24-25七年级下·上海宝山·月考）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 题型四 三角形中线、角平分线、高的性质与作图 解｜题｜技｜巧 高：过顶点A作对边BC的垂线，垂足为D，连接AD，标上直角符号（∠ADC或∠ADB为90°）；若为钝角三角形，需延长对边再作垂线（如钝角在B点，需延长BC至点E，再过A作BE的垂线）。 中线：找到BC边的中点M，连接AM，AM即为BC边上的中线。 角平分线：用量角器平分∠BAC，使角平分线交BC于点N，AN即为∠BAC的角平分线。 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【典例2】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【典例3】．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【变式1】．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，为的中点，为的中点，则的面积与的面积之比为_____． 【变式2】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【变式3】．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型五 与角平分线综合求角度 解｜题｜技｜巧 利用“整体代换”思想，先求∠ABC+∠ACB的和，再根据角平分线的性质，求∠DBC+∠DCB的和，最后用内角和求∠BDC。 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【典例2】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，平分，求的度数． 【典例3】．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【变式1】．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【变式2】．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，求的度数． 【变式3】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 【变式4】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 题型六 与平行线综合求角度 解｜题｜技｜巧 平行线与三角形结合时，可通过“延长线段”构造三角形，利用平行线的性质（同旁内角互补）转化角度，再结合三角形内角和求解。 【典例1】．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    【典例2】．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【变式1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，，点P是射线上一点，，求的度数． 【变式2】．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式3】．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（22-23七年级下·上海长宁·期末）已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 5．（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海·期中）若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是____． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，点在边上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 4．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 5．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 三、解答题 6．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 三、解答题 5．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 6．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知A、B是线段MN上的两点（B在A的右侧），MN＝4，MA＝1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．求x的取值范围． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． (3)如图3，若，，，，直接写出的度数． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 9．（24-25七年级下·上海崇明·月考）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $