专题02 相交线与平行线（期中复习讲义，7重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01对顶角、垂线的基础计算（基础必考题） 题型02 三线八角识别（易错） 题型03平行线判定（中档高频） 题型04 根据平行线判定与性质求角度 题型05根据平行线的性质探究角的关系 题型06 平行线+角平分线综合（压轴常考） 题型07命题、证明与作图 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相交线 1. 准确区分对顶角、邻补角，熟练运用其性质计算角度 2. 掌握垂线的画法与性质，能准确表述点到直线的距离，规避“垂线最短”等易错点 基础必考题，多以选择、填空形式出现，侧重基础概念辨析与简单角度计算，难度偏低 三线八角 能在复杂图形中快速找准截线与被截线，准确识别三类角，为平行线的判定与性质应用奠定基础 常结合平行线题型考查，单独命题较少，是后续中档题的解题基础，易错点为角的类型判断错误 平行线的判定与性质 1. 理解平行线定义与平行公理，掌握平行传递性的应用 2. 严格区分判定与性质，能灵活运用解决推理与计算问题 期中核心考点，占比最高，题型涵盖选择、填空、解答题，常结合角度计算、辅助线（过拐点作平行）考查，难度中等 平行线实际应用与简单说理 能运用本章知识解决简单实际问题，规范书写几何说理步骤，标注每一步推理依据 解答题必考，侧重逻辑推理能力考查，易错点为说理步骤不规范、因果倒置 知识点01 相交线（两线四角） 1.对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的角（X型）。 性质：对顶角相等。 2.邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（T型）。 性质：邻补角和为180°。 3.垂线与垂直 定义：两直线相交成90°，互相垂直，交点为垂足。 性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短（点到直线的距离即垂线段长度）。 知识点02 平行线（三线八角） 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线。 2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3.平行推论（传递性）：若 ，，则 。 4.三线八角（识别关键） 同位角（F型）：截线同旁、被截线同侧 内错角（Z型）：截线两侧、被截线之间 同旁内角（U型）：截线同旁、被截线之间 5.平行线判定（由角定线） 同位角相等 ⇒ 两直线平行 内错角相等 ⇒ 两直线平行 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 6.平行线性质（由线定角） 两直线平行 ⇒ 同位角相等 两直线平行 ⇒ 内错角相等 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 知识点03 命题与证明 命题：“如果（题设）…那么（结论）…”结构。 证明：每一步必须标注依据（定义、公理、定理）。 知识点04易错点警示 1.忽略“同一平面内”：立体空间两直线可异面不相交 2.性质与判定混淆：判定证平行，性质用平行求角 3.复杂图找错三线八角：先定截线，再看位置 4.拐点题不作辅助线：折线必作平行线拆分角度 5.证明跳步、不写依据 知识点05通用解题步骤 1.标：标出已知角、对顶角、邻补角、直角、平行、角平分线 2.拆：复杂图剥离三线八角；拐点作平行线拆角 3.推：用性质/判定一步步推导，每步有据 4.算：和差、倍数（角平分线）计算 5.验：结果是否符合180°、90°、角的位置关系 题型一 对顶角、垂线的基础计算（基础必考题） 解｜题｜技｜巧 先标对顶角、直角、角平分线 从已知角出发，一步一步推导，不跳步 求角优先用：对顶角相等、垂直=90° 【典例1】．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例2】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【典例3】．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 【典例4】．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为_________．    【变式1】．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24七年级下·上海·期中）如图所知，已知OA⊥BC，垂足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，直线、相交于点，于，，＝____________°．    【变式4】．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段________的长度，直线到直线的距离是线段________的长度．    题型二 三线八角识别（易错）同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 找截线（第三条线），再看被截两线 形状记忆：同位F、内错Z、同旁内U 复杂图：剥离出三线，忽略无关线条 【典例1】．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 【典例2】．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【典例3】．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【变式1】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，图中所有的同位角共有几对（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【变式2】．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列各图中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是______角，与是______角． 【变式4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是直线和直线被直线______所截而得到的______角． 题型三 平行线判定（中档高频） 解｜题｜技｜巧 先找角，再匹配定理：同位/内错/同旁内 证明每步写依据（已知、对顶角相等、内错角相等…） 多条线平行：用传递性搭桥 【典例1】．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有_____．（填序号） 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【典例4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【变式1】．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列推理中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，点E在的延长线上，则下列选项中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【变式4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 题型四 根据平行线判定与性质求角度 解｜题｜技｜巧 出现折线/拐点（如“铅笔头、猪蹄、M型”）：过拐点作平行线 把大角拆成两个内错角/同旁内角之和/差 性质与判定互逆：判定是“角等→线平行”，性质是“线平行→角等” 【典例1】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【典例2】．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 【典例4】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【变式1】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，，，，那么＝____________． 【变式2】．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【变式3】．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么______． 【变式4】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【变式5】．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 【典例1】．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例2】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 【典例3】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【变式1】．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【变式3】．（2022七年级下·上海·专题练习）探究并尝试归纳： (1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明． (2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度． (3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】 题型六 平行线+角平分线综合（压轴常考） 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【典例2】．（2024七年级下·上海·专题练习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【变式2】．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3） 如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 题型七 命题、证明与作图 解｜题｜技｜巧 命题改写：写成“如果…那么…”，分清题设与结论 证明题：已知→推理（标依据）→结论，逻辑严谨 作图：用直尺+三角板平移法画平行线，保留作图痕迹 【典例1】．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【典例2】．（25-26七年级下·上海闵行·月考）下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；③若，．则；④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 【典例4】．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法中，是假命题的是______． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式3】．（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．任何数的平方都大于0 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式4】．（25-26七年级上·上海·假期作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 3．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 4．（25-26七年级下·上海·月考）小明将两块相同的直角三角尺如图摆放画出了平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 5．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，已知，，那么直线与直线的夹角等于___________． 6．（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海松江·月考）下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个角相等，则这两个角是对顶角 C．等角对等边 D．如果，那么 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 6．（25-26七年级下·上海闵行·月考）为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）如图，，，垂足为，则点到的距离是线段______的长度；线段的长度是______点到直线______的距离；其中的余角是______． 8．（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 9．（25-26七年级下·上海闵行·月考）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，______度． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，EH⊥HG，FD过点H，∠EHD＝5∠FHG，求∠EHF． 解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则． （请完成后面求解过程） 6．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 7．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，中，，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作垂线，垂足为；过点作交于点，连接； (2)点到的距离为线段___________的长度，点到的距离为线段____________的长度； (3)____________，如果设，那么_____________．（用含的代数式表示） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01对顶角、垂线的基础计算（基础必考题） 题型02 三线八角识别（易错） 题型03平行线判定（中档高频） 题型04 根据平行线判定与性质求角度 题型05根据平行线的性质探究角的关系 题型06 平行线+角平分线综合（压轴常考） 题型07命题、证明与作图 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相交线 1. 准确区分对顶角、邻补角，熟练运用其性质计算角度 2. 掌握垂线的画法与性质，能准确表述点到直线的距离，规避“垂线最短”等易错点 基础必考题，多以选择、填空形式出现，侧重基础概念辨析与简单角度计算，难度偏低 三线八角 能在复杂图形中快速找准截线与被截线，准确识别三类角，为平行线的判定与性质应用奠定基础 常结合平行线题型考查，单独命题较少，是后续中档题的解题基础，易错点为角的类型判断错误 平行线的判定与性质 1. 理解平行线定义与平行公理，掌握平行传递性的应用 2. 严格区分判定与性质，能灵活运用解决推理与计算问题 期中核心考点，占比最高，题型涵盖选择、填空、解答题，常结合角度计算、辅助线（过拐点作平行）考查，难度中等 平行线实际应用与简单说理 能运用本章知识解决简单实际问题，规范书写几何说理步骤，标注每一步推理依据 解答题必考，侧重逻辑推理能力考查，易错点为说理步骤不规范、因果倒置 知识点01 相交线（两线四角） 1.对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的角（X型）。 性质：对顶角相等。 2.邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（T型）。 性质：邻补角和为180°。 3.垂线与垂直 定义：两直线相交成90°，互相垂直，交点为垂足。 性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短（点到直线的距离即垂线段长度）。 知识点02 平行线（三线八角） 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线。 2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3.平行推论（传递性）：若 ，，则 。 4.三线八角（识别关键） 同位角（F型）：截线同旁、被截线同侧 内错角（Z型）：截线两侧、被截线之间 同旁内角（U型）：截线同旁、被截线之间 5.平行线判定（由角定线） 同位角相等 ⇒ 两直线平行 内错角相等 ⇒ 两直线平行 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 6.平行线性质（由线定角） 两直线平行 ⇒ 同位角相等 两直线平行 ⇒ 内错角相等 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 知识点03 命题与证明 命题：“如果（题设）…那么（结论）…”结构。 证明：每一步必须标注依据（定义、公理、定理）。 知识点04易错点警示 1.忽略“同一平面内”：立体空间两直线可异面不相交 2.性质与判定混淆：判定证平行，性质用平行求角 3.复杂图找错三线八角：先定截线，再看位置 4.拐点题不作辅助线：折线必作平行线拆分角度 5.证明跳步、不写依据 知识点05通用解题步骤 1.标：标出已知角、对顶角、邻补角、直角、平行、角平分线 2.拆：复杂图剥离三线八角；拐点作平行线拆角 3.推：用性质/判定一步步推导，每步有据 4.算：和差、倍数（角平分线）计算 5.验：结果是否符合180°、90°、角的位置关系 题型一 对顶角、垂线的基础计算（基础必考题） 解｜题｜技｜巧 先标对顶角、直角、角平分线 从已知角出发，一步一步推导，不跳步 求角优先用：对顶角相等、垂直=90° 【典例1】．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键． 根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断． 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 【典例2】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键． 由已知条件和观察图形，再利用垂直和角平分线的性质即可求出角的度数，再根据选项即可作出判断． 【详解】解：， ， 又， ， 平分， ， 和是对顶角， ， ， A选项说法正确， ， ， B选项说法正确， ， C选项说法正确， ， 的补角为， ∴D选项说法不正确， 故选：D． 【典例3】．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再由对顶角相等得到，然后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例4】．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为_________．    【答案】/60度 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等． 先根据角平分线的定义，得出，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】．（23-24七年级下·上海·期中）如图所知，已知OA⊥BC，垂足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、垂线段最短、两点间的距离 【分析】根据点到直线的距离，两点之间的距离，垂线段最短逐个判断即可． 【详解】线段OB的长度是O、B两点的距离，故①错误，符合题意； 线段AB的长度表示点B到OA的距离，故②正确，不符合题意； ∵ ， ∴ ，故③正确，不符合题意； 线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离，故④正确，不符合题意； 错误的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，两点之间的距离，垂线段最短等知识点，根据知识点逐一判断是解题的关键． 【变式3】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，直线、相交于点，于，，＝____________°．    【答案】60 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，数形结合是解答本题的关键．由垂直的定义得，再根据求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：60． 【变式4】．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段________的长度，直线到直线的距离是线段________的长度．    【答案】 / / 【知识点】点到直线的距离 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：点A到直线的距离是线段的长度， 直线到直线的距离是线段的长度． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 题型二 三线八角识别（易错）同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 找截线（第三条线），再看被截两线 形状记忆：同位F、内错Z、同旁内U 复杂图：剥离出三线，忽略无关线条 【典例1】．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查内错角平分线的位置关系，根据此题中的两直线不一定平行，故内错角之间的大小关系不能确定，所以内错角的平分线的位置关系不能确定． 【详解】解：分两种情况： ①若原两直线平行，则内错角相等， 内错角的平分线将原角均分，形成两个相等的半角。此时，平分线形成的角仍为内错角且相等，根据平行线的判定定理（内错角相等则两直线平行），平分线互相平行； ②若原两直线不平行，则内错角不相等， 平分线形成的半角也不相等，此时平分线不满足平行条件，必然相交． 综上，题目未明确原两直线是否平行，因此内错角平分线的位置关系（平行或相交）无法确定． 故选：D． 【典例2】．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是内错角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典例3】．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【答案】 内错 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查三线八角，熟练掌握三线八角是解题的关键．根据图形以及内错角的定义即可得到答案． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，，，内错． 【变式1】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，图中所有的同位角共有几对（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查的是同位角的辨认，熟悉同位角的特征是解题的关键． 根据同位角的特征，在截线的同侧，在被截线的位置一致，按照“F”形态特征进行选择即可． 【详解】解：图中的同位角有：与；与；与；与；与；与；共6对； 故选C 【变式2】．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列各图中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：与是同位角的是C选项， 如图所示，直线被所截，在的同侧，的同侧， 故选：C． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是______角，与是______角． 【答案】 同位 同旁内 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题考查了同位角、同旁内角的定义；根据同位角、同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可得，与是是同位角；与是是同旁内角； 故答案为：同位、同旁内． 【变式4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是直线和直线被直线______所截而得到的______角． 【答案】 / 内错 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角的定义，两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，内错． 题型三 平行线判定（中档高频） 解｜题｜技｜巧 先找角，再匹配定理：同位/内错/同旁内 证明每步写依据（已知、对顶角相等、内错角相等…） 多条线平行：用传递性搭桥 【典例1】．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为与，不是同位角，也不是内错角，故不能判断两直线平行，故符合题意； 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行）；故不符合题意； 故选：C． 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有_____．（填序号） 【答案】②④/④② 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴（内错角相等，两直线平行），无法判定，故①不符合题意； ②∵，∴（内错角相等，两直线平行），故②符合题意； ③∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），无法判定，故③不符合题意； ④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故④符合题意； 综上，能判定的条件有②④， 故答案为：②④． 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先由对顶角相等和已知条件证明，进而可证明，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质） ∴（同位角相等，两直线平行） 【典例4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 【变式1】．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列推理中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意； B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，点E在的延长线上，则下列选项中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ，不能判断，故该选项不符合题意； B、， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴， 不能判定，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， 不能判定，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平得出；根据等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴; ∵，， ∴， ∴． 【变式4】．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 题型四 根据平行线判定与性质求角度 解｜题｜技｜巧 出现折线/拐点（如“铅笔头、猪蹄、M型”）：过拐点作平行线 把大角拆成两个内错角/同旁内角之和/差 性质与判定互逆：判定是“角等→线平行”，性质是“线平行→角等” 【典例1】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【答案】/28度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 【典例2】．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，先得，由垂线的定义得到，，根据平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例4】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【变式1】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，，，，那么＝____________． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点C作，可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：65 【变式2】．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】/100度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么______． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，则，根据平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作，则， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式4】．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）①先求得的度数，即可得到的度数； ②先求得的度数，即可得到的度数； （2）依据，，即可得到与互补． （3）分5种情况求解：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （3）①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ⑤当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴∠， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式5】．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 【答案】两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；； 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】过E作，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出，将度数代入即可求出的度数． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）． 即． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；；． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型题目，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 【典例1】．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与互余的角有，共5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键． 【典例2】．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 【典例3】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 【变式1】．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 【变式2】．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 【变式3】．（2022七年级下·上海·专题练习）探究并尝试归纳： (1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明． (2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度． (3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】 【答案】(1)360° (2)540 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过作//直线，再根据平行线的性质即可得到结论； （2）过作//直线，//直线，则AC//BD//直线，根据平行线的性质即可得到结论； （3）根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：过A作AB//直线， 则AB//直线， ， ； （2）解：过作AC//直线，BD//直线， 则AC//BD//直线， ， ， 故答案为：540； （3）解：由（1），（2）知， 当形成个折时，所有角与、的总和， 当形成个折时，所有角与、的总和， 当形成个折时，所有角与、的总和， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键． 题型六 平行线+角平分线综合（压轴常考） 【典例1】．（25-26七年级下·上海宝山·月考）解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)的大小不发生变化，恒为，理由见解析 (2)①；②，理由见解析；③，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； （2）解：①∵， ∴； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 【典例2】．（2024七年级下·上海·专题练习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①，②见解析， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 【变式2】．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七 命题、证明与作图 解｜题｜技｜巧 命题改写：写成“如果…那么…”，分清题设与结论 证明题：已知→推理（标依据）→结论，逻辑严谨 作图：用直尺+三角板平移法画平行线，保留作图痕迹 【典例1】．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 【典例2】．（25-26七年级下·上海闵行·月考）下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；③若，．则；④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定和性质判断①③⑤命题；根据对顶角判断②命题；根据垂线判断④命题． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题； ③在同一平面内，若，．则，原命题是假命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角互补，则其平分线互相垂直，原命题是真命题． 即真命题的个数是2个． 【典例3】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、过两点有且只有一条直线，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 【典例4】．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法中，是假命题的是______． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】①②③ 【知识点】判断命题真假、垂线的定义理解、点到直线的距离、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质．根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【详解】解：①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点到直线的距离，原命题是假命题； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故答案为：①②③。 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质． 根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【详解】①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是假命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②是假命题； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点到直线的距离，故③是假命题； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题． 故选：A． 【变式2】．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【知识点】判断命题真假、同(等)角的余(补)角相等的应用、平行公理的应用、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】．（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．任何数的平方都大于0 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题主要考查定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据定理进行判断即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故选项A不符合题意； 两个锐角的和可能是锐角，直角或者钝角，故选项B不符合题意； 任何数的平方都大于等于0，故选项C不符合题意； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项D符合题意； 故选D． 【变式4】．（25-26七年级上·上海·假期作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义判定即可． 【详解】解：甲图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 乙图中与不共顶点，与不是对顶角； 丙图中与满足对顶角的条件，与是对顶角； 丁图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质与判定，同旁内角与内错角的定义分析，即可求解． 【详解】解：A. 如果，则，不能得到，故该选项不正确，不符合题意； B. 与是同旁内角，故该选项正确，符合题意； C. 如果，那么，不能得到，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与是内错角，与不是内错角，故该选项不正确，不符合题意； 3．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 4．（25-26七年级下·上海·月考）小明将两块相同的直角三角尺如图摆放画出了平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】观察图形，利用两个相同的三角尺，可以得到一组相等的角，根据这两个角的位置关系（内错角）即可判断依据． 【详解】解：∵两块三角尺相同， ∴它们的对应角相等， 由图可知，这两个相等的角分别位于截线（斜边）的两侧，且夹在两条被截直线之间，属于内错角， ∴依据是内错角相等，两直线平行． 5．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，已知，，那么直线与直线的夹角等于___________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【详解】解：如图，设交于点， ∵，， ∴，即直线与直线的夹角为 6．（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海松江·月考）下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个角相等，则这两个角是对顶角 C．等角对等边 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、等边对等角、对顶角相等 【分析】此题考查了逆命题，平行线的判定，顶角相等，等边对等角，不等式的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先写出各个选项中命题的逆命题，然后判断真假即可 【详解】A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，故A不符合题意； B、逆命题为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，正确，故B不符合题意； C、等边对等角，正确，故C不符合题意； D、逆命题为如果，那么， 有可能， 例如，，满足，但， 因此命题的逆命题不成立，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、两直线平行同旁内角互补、垂线的定义理解、两直线平行同位角相等 【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据垂线的性质可判断B；根据点到直线的距离的定义可判断C． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意； 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 5．（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】由垂直的定义得，结合与的度数比，即可求解． 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 6．（25-26七年级下·上海闵行·月考）为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】如图：过点C作，则，根据平行线的性质、垂直的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图：过点C作， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∵，， ∴， ． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）如图，，，垂足为，则点到的距离是线段______的长度；线段的长度是______点到直线______的距离；其中的余角是______． 【答案】 C 和 【知识点】求一个角的余角、点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离是从直线外一点向直线作垂线，垂足到该点的线段长度，以及和为90度的两个角互为余角，进行作答即可. 【详解】解：∵，， ∴点到的距离是线段的长度；线段的长度是点到直线的距离；， ∴的余角是和. 8．（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】对顶角相等、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等和垂线定义得出，，然后求出结果； （2）设，则，得出，根据角平分线的定义得出，，列出方程，求出x的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ． 9．（25-26七年级下·上海闵行·月考）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 【答案】(1)，，，平行于同一直线的两直线互相平行，剩余证明见解析 (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）先证明，则，而，则得到，再由结合反射光线的规律求解即可； （2）可得，设，由，得到，则，由题意得，，再由建立方程求解； （3）延长交于点，先根据平行线的性质得到，而，则，那么，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：数量关系：， ，（已知） （平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴ 由题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴数量关系为； （2）解：如图， 由（1）结合已知可得， 设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴反射角为； （3）解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【答案】或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】分五种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质求解即可． 【详解】解：当，点在线段上时，如图： ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，如图 同理可求； 当，点在线段上时，过点作交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，过点作交延长线于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当时，如图： ∴， ∴有一边平行于边，那么或或． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，______度． 【答案】75或105/105或75 【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平面内角的运算等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意作出图形，分两种情况讨论并求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论： ①如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴； ②如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：75或105． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证明，再证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、垂直，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据已知条件证明，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵． 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，EH⊥HG，FD过点H，∠EHD＝5∠FHG，求∠EHF． 解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则． （请完成后面求解过程） 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、角度的四则运算 【分析】根据平角定义和垂直的意义列出方程，求出x的值，进而可得结果． 【详解】解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则， ∴，， ∴， 解得x＝22.5°， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了垂线，角的计算，解题的关键在于掌握垂线的定义，找出角度的数量关系． 6．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】，过程见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 7．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，中，，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作垂线，垂足为；过点作交于点，连接； (2)点到的距离为线段___________的长度，点到的距离为线段____________的长度； (3)____________，如果设，那么_____________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)60； 【知识点】点到直线的距离、根据平行线的性质求角的度数、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】（1）根据垂线和平行线的画法作图即可； （2）点到直线的距离为该点到该直线的垂线段的长度，据此可得第一空的答案，根据平行线的性质可得，即，据此可得第二空的答案； （3）根据平行线的性质可得的度数，再由平行线的性质和角的和差关系求出的度数即可得到第二空的答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴点到的距离为线段的长度； ∵，， ∴，即， ∴点到的距离为线段的长度； （3）解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $