专题06 立体几何、概率与统计-天津市高职分类招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题06 立体几何、概率与统计 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算。 概率与统计 1.理解排列与组合的概念； 2.了解二项式定理 3.掌握分类、分步计数原理； 4.理解随机事件和概率并了解概率的简单性质； 5.理解古典概型； 6.理解互斥事件概率的加法公式； 7.了解离散型随机变量及其分布； 8.了解离散型随机变量的数字特征； 9.了解总体与样本； 10.了解抽样方法； 11.理解样本均值、样本方差、样本标准差； 12.理解用样本频率分布、样本均值、样本标准差估计总体； 13.了解一元线性回归及简单应用。 考点01 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 1.（2025·天津·真题T11）半径为3的球的体积是__________ 2.（2024·天津·真题T10）已知长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的体积为_______________． 3.（2023·天津·真题T07）底面圆直径为4，高为4的圆柱体的体积为（ ） A. B. C. D. 4.（2022·天津·真题T07）高为4，底面圆直径为4的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 考点02 空间中直线与直线的位置关系 5.（2026·天津·真题T07）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（ ） A. B. AB C. D. BC 考点03 样本的数字特征 6.（2026·天津·真题T06）若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 21 考点04 概率 7.（2025·天津·真题T14）不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 8.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 9.（2023·天津·真题T14）某学校社团有10名同学，其中有4名女生，现从中任意选出3名同学组队去参加比赛，则选中2名女生的概率为_______；至少有1名女生被选中的概率为_______． 10.（2022·天津·真题T14）袋中有3个黑球和2个白球，从袋中任意取出2个球，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为________． 考点05 排列组合 11.（2025·天津·真题T08）五门课程任选三门的选法一共有多少种? （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 12.（2024·天津·真题T08）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（ ） A. 120种 B. 100种 C. 80种 D. 60种 13.（2023·天津·真题T08）从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 9 D. 10 14.（2022·天津·真题T08）从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 考点06 古典概型 15.（2026·天津·真题T14）某单位组织义务献血，体检合格职工共10人，其中O型血3人，A型血2人，B型血3人，AB型血2人，从这10人中选出3人去献血，有________种不同选法；若选出4人中，AB型血的人恰好都选中的概率取________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何、概率与统计 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算。 概率与统计 1.理解排列与组合的概念； 2.了解二项式定理 3.掌握分类、分步计数原理； 4.理解随机事件和概率并了解概率的简单性质； 5.理解古典概型； 6.理解互斥事件概率的加法公式； 7.了解离散型随机变量及其分布； 8.了解离散型随机变量的数字特征； 9.了解总体与样本； 10.了解抽样方法； 11.理解样本均值、样本方差、样本标准差； 12.理解用样本频率分布、样本均值、样本标准差估计总体； 13.了解一元线性回归及简单应用。 考点01 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 1.（2025·天津·真题T11）半径为3的球的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 则球的体积为. 故答案为：. 2.（2024·天津·真题T10）已知长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的体积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，长方体的长，宽，高分别为，则长方体的体积为. 故答案为：. 3.（2023·天津·真题T07）底面圆直径为4，高为4的圆柱体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，圆柱体的底面圆直径为4，则半径为. 则该圆柱体的体积为：. 故选：B 4.（2022·天津·真题T07）高为4，底面圆直径为4的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求出圆锥的底面圆半径，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆锥的底面圆直径为4， 所以圆锥的底面圆半径为2， 所以圆锥的体积. 故选：C. 考点02 空间中直线与直线的位置关系 5.（2026·天津·真题T07）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（ ） A. B. AB C. D. BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线（含异面直线）所成角的定义，可判断A、C、D选项中的直线与所在直线所成角为；根据线面垂直的判定和性持，可得B选项正确. 【详解】 对A选项，与所成的角为，而，故选项错误； 对B选项，在正方体中， ，，平面， 所以平面. 又平面，所以，故选项正确； 对C选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误； 对D选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误. 故选：B 考点03 样本的数字特征 6.（2026·天津·真题T06）若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均值的计算公式求解即可. 【详解】因为样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17， 所以，解得. 故选：C. 考点04 概率 7.（2025·天津·真题T14）不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球， 同时取两个球都是黄球的概率为； 同时取两个球至少一个红球的概率为， 故答案为：；. 8.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得，再由分布列求概率即可得解. 【详解】由随机变量的分布列可知，解得， 所以， 故答案为：；. 9.（2023·天津·真题T14）某学校社团有10名同学，其中有4名女生，现从中任意选出3名同学组队去参加比赛，则选中2名女生的概率为_______；至少有1名女生被选中的概率为_______． 【答案】 ①. ##0.3 ②. 【解析】 【分析】根据组合数以及古典概型概率公式计算即可. 【详解】从10名同学中任意选出3名同学的方法数为种， 其中有2名女生的方法数为种， 所以选中2名女生的概率为； 至少有1名女生的情况为1名女生2名男生或2名女生1名男生或3名女生， 所以方法数为种， 所以至少有1名女生被选中概率为. 故答案为：， 10.（2022·天津·真题T14）袋中有3个黑球和2个白球，从袋中任意取出2个球，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算及组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为. 故答案为：. 考点05 排列组合 11.（2025·天津·真题T08）五门课程任选三门的选法一共有多少种? （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数公式求解即可. 【详解】五门课程任选三门的选法一共有种. 故选：B. 12.（2024·天津·真题T08）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（ ） A. 120种 B. 100种 C. 80种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】根据全排列的定义即可求解. 【详解】5名同学站成一排，是一个全排列问题， 可以理解为，先让甲选，则甲有5种选择，再让乙选，乙有4种选择. 以此类推， 5人共有一共有种排法 故选：A. 13.（2023·天津·真题T08）从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】一一列举出所有可能即可. 【详解】， 所以得到不同的和有，共8个， 故选：A 14.（2022·天津·真题T08）从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，从四个数中任取两个数相除，得到不同的商的个数为. 故选：D. 考点06 古典概型 15.（2026·天津·真题T14）某单位组织义务献血，体检合格职工共10人，其中O型血3人，A型血2人，B型血3人，AB型血2人，从这10人中选出3人去献血，有________种不同选法；若选出4人中，AB型血的人恰好都选中的概率取________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【详解】从这10人中选出3人去献血，有种选法； 从这10人中选出4人，共有种， AB型血的人恰好都选中，共有种， 所以概率为， 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $