专题04 数列、平面向量-天津市高职分类招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题04 数列、平面向量 数列 1.了解数列的概念； 2.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式； 3.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式； 4.了解数列的实际应用。 平面向量 1.了解平面向量的概念； 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算； 3.理解平面向量的坐标表示； 4.了解平面向量的内积。 考点01 平面向量的概念及其线性运算 1．（2025·天津·真题T03）已知 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先求向量数乘的结果，再和另一向量坐标相加即可. 【详解】因为 所以， 则， 故选：B. 2.（2024·天津·真题T03）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用向量的数乘运算进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3.（2023·天津·真题T06）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算的坐标运算即可得解. 【详解】因为向量， 则， 故选：. 考点02 平面向量的坐标运算 4.（2026·天津·真题T04）已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两向量平行的坐标表示求解. 【详解】已知，且， 则，解得， 故选：B. 5.（2022·天津·真题T06）已知点，，则向量的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示即可求解. 【详解】因为点，， 则向量. 故选：A. 考点03 数列的综合应用 6．（2026·天津·真题T16）已知数列首项为4，公差为4的等差数列． （1）求的通项公式； （2）为等比数列，且满足，求的通项公式； （3）记，求的前5项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等比数列的通项公式求值即可. （3）根据等差数列与等比数列的前项和求值即可. 【小问1详解】 已知数列首项为4，公差为4的等差数列， 则. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， ，所以公比， 则，. 【小问3详解】 因为， 则数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以. 7．（2025·天津·真题T17）等差数列中，． （1）求公差d及通项公式； （2）求数列的前十项和； （3）在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 【答案】（1）， （2）190 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式为，结合已知条件即可求出答案； （2）根据等差数列前n项和公式即可求解； （3）根据等比数列的通项公式和前n项和公式即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得， ∴， 即数列的公差，通项公式为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 因此，数列的前10项和； 【小问3详解】 由（1）知， ∴，， 设正项等比数列的公比为， ∴，解得， ∴通项公式为， ∴． 8.（2024·天津·真题T16）在等比数列中，公比，已知． （1）求数列的首项及公比q； （2）求数列的前5项和； （3）在等差数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等比数列通项公式和条件，计算得到答案； （2）利用等比数列前项和公式，计算得到答案； （3）设出等差数列通项公式，列出式子计算得到答案 【小问1详解】 已知，则， 又， 可得， 计算得到. 【小问2详解】 已知， 故的前项和. 【小问3详解】 设等差数列,由（1）可得 ，， 又，即， 已知，解得, 故. 9.（2023·天津·真题T16）在等差数列中，已知，公差． （1）求数列的首项及通项公式； （2）求数列的前6项和； （3）在等比数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得首项，进而得到通项公式； （2）利用前n项和公式求解即可； （3）根据条件求得等比数列的公比，进而得到通项公式； 【小问1详解】 因为等差数列中，，公差， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以； 【小问3详解】 设等比数列的公比为， 因为， 所以， 所以. 10.（2022·天津·真题T16）已知等比数列中，，公比， （1）求数列的通项公式及； （2）求数列的前6项和； （3）在等差数列中，，公差，求数列通项公式. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出首项，继而求得通项公式；结合等比数列的通项公式，即可求得； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解； （3）根据题意，先求出等差数列的首项和公差，继而求得通项公式. 【小问1详解】 因为等比数列中，，公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以数列的前6项和； 【小问3详解】 等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列、平面向量 数列 1.了解数列的概念； 2.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式； 3.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式； 4.了解数列的实际应用。 平面向量 1.了解平面向量的概念； 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算； 3.理解平面向量的坐标表示； 4.了解平面向量的内积。 考点01 平面向量的概念及其线性运算 1．（2025·天津·真题T03）已知 则 （ ） A. B. C. D. 2.（2024·天津·真题T03）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3.（2023·天津·真题T06）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 考点02 平面向量的坐标运算 4.（2026·天津·真题T04）已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. 9 D. 5.（2022·天津·真题T06）已知点，，则向量的坐标为（ ） A B. C. D. 考点03 数列的综合应用 6．（2026·天津·真题T16）已知数列首项为4，公差为4的等差数列． （1）求的通项公式； （2）为等比数列，且满足，求的通项公式； （3）记，求的前5项和． 7．（2025·天津·真题T17）等差数列中，． （1）求公差d及通项公式； （2）求数列的前十项和； （3）在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 8.（2024·天津·真题T16）在等比数列中，公比，已知． （1）求数列的首项及公比q； （2）求数列的前5项和； （3）在等差数列中，已知，求数列的通项公式． 9.（2023·天津·真题T16）在等差数列中，已知，公差． （1）求数列的首项及通项公式； （2）求数列的前6项和； （3）在等比数列中，已知，求数列的通项公式． 10.（2022·天津·真题T16）已知等比数列中，，公比， （1）求数列的通项公式及； （2）求数列的前6项和； （3）在等差数列中，，公差，求数列通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $