9.2复数的几何意义（第1课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数 9.2 复数的几何表示 第1课时 学 习 目 标 1 2 3 理解复平面、实轴、虚轴的概念；掌握复数与复平面内点、平面向量的一一对应关系；理解复数加减的几何意义，掌握加法平行四边形法则； 掌握复数与复平面内点、平面向量的一一对应关系，理解一一对应的映射思想，运用转化化归思想实现代数与几何的互化; 提升直观想象能力；培养逻辑推理、运算求解能力；形成用几何方法分析复数问题的能力. 新课引入 实数可以与数轴上的点一一对应，实现“数→形”的转化。复数的代数形式是，由两个实数、确定，它应该与什么图形对应呢？ 猜想：复数的实部与虚部应该能与平面直角坐标系中的点. 今天我们用平面直角坐标系研究复数的几何表示，学习复数的几何意义. 以上猜想是否成立？如何验证？ 新知探究 探究一： 复平面与复数的坐标表示 1.复平面的定义 定义：用平面直角坐标系表示复数，这个平面叫做复平面。 对应关系：如图《复数↔复平面内点（一一对应） ①实轴：轴（对应实数）； ②虚轴：轴（除原点外对应纯虚数）； ③原点表示实数 0。 新知探究 2.共轭复数的几何意义 共轭复数在坐标轴上如何表示？它与复数有什么关系？ 如图 ，共轭复数 i 和i(、在复平面上所对应的点和关于 轴对称； 反之， 如果复平面上的两个点关于 轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭. 特别地，如果 ,即 是实数，则 此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点. 如图，共轭复数在坐标轴的表示如图所示. 例1 典例分析 在复平面上有点 ,分别写出这四个点所对应的复数 , 并求这些复数的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标. 【分析】利用复平面内点与复数的一一对应关系(点对应复数)写出各复数，再根据共轭复 数实部不变、虚部变号的规律求出共轭复数，最后写出其对应点的坐标. 解：iii. 这些复数的共轭复数分别是ii, i 它们在复平面上所对应的点分别是 知识小结 复平面与复数的坐标表示 1.复数点 2.实轴：轴； 虚轴：轴(原点除外) 3.共轭复数：关于轴对称 新知探究 探究二：复数的向量表示 复数和向量都可以在平面直角坐标系中表示，那么复数和向量有没有联系呢？ 复数 点 点 （一一对应）. 故复数可看作复平面内的点或从原点出发的向量. 非原点向量如何用复数表示？ 、 对应复数 . 例2 典例分析 在复平面上作出表示下列复数的向量： , , , , . 【分析】根据复平面内复数与向量一一对应的关系，由复数的实部、虚部分别确定向量的横、纵坐标，作出对应向量。 解：在复平面上，表示复数 , , , , 的向量. 分别为中的向量 , , , , . 例3 典例分析 解：复平面上的点 与点 的坐标分别为 与 故向量 它所对应的复数是 再由复数减法法则，可得 . 设复平面上的点 和点 所对应的复数分别为 (, ) 和 (, )，试用 和 表示复平面上的向量 所对应的复数 . 【分析】利用复平面内点的坐标与复数的对应关系，先求向量的坐标，再转化为复数，结合复数减法法则，推导出向量对应的复数为 例4 典例分析 设,复平面上的点与分别表示与 zi . 求证： 【分析】将复数转化为复平面内向量,利用复数乘法得到对应的向量 ,再通过数量积为 0证明两向量垂直。 证明：令yi,则ii 从而 它们的数量积是 所以 知识小结 复数的向量表示 1.复数 2.对应复数：(终点-起点) 复数加法的几何意义 ： 新知探究 探究二：复数加法的平行四边形法则 向量的加法适用平行四边形法则，在将复数与平面向量建立一一对应后，两个复数的和是否与对应的向量的和一致呢？ 向量加法：（平行四边形对角线） 复数对应：、 . 减法：对应向量. 以、为邻边作平行四边形，对角线向量对应两复数的和. 例4 典例分析 如图,在复平面上给定平行四边形 其中点 与点 分 别 对 应 于 复 数 .求点 所对应的复数. 【分析】利用复数加法的平行四边形法则，平行四边形 中，点 B 对应的复数等于邻边 对应复数的和，即 解：由平行四边形 根据复数加法的平行四边形法则 点所 对 应 的 复 数 为 i. 题型1 复平面与复数的坐标表示 1.如果复数对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___________ 【分析】利用复数与复点的对应解答. 【解析】对应的点在第一象限 所以 解得或 即实数的取值范围是或. 或. 题型2 复数的向量表示 2.在复平面内， 是原点，向量 对应的复数为 ，其中 为虚数单位，若点 关于虚轴的对称点为 ，则向量 对应的复数的共轭复数为 ________ 【分析】在复平面上，向量、复点、复数是对应的. 【解析】由题意，得 ， 所以向量 对应的复数为 所以，向量 对应的复数的共轭复数为 题型3 复数的向量表示 3.如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ，，若 ，则 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【分析】由图示复平面，求出向量对应的复数； 【解析】由题意知 ， 故 ， 即 ， A 题型3 复数加法的平行四边形法则 4.在复平面内点，，所对应的复数分别为，，，若，则点表示的复数是（ ） A. B. C. D. 【分析】利用数形结合以及向量相等的坐标表示进行解答； 【解析】因为，点，，对应的复数分别为，， 所以，对应的复数为；不妨设 又因为，，所以 所以，解得． 所以，点表示的复数为； C 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 复数的几何意义 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 复平面与坐标表示 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面。 复数 z = a + bi 与复平面内的点 Z(a, b) 是一一对应的。 x 轴叫做 实轴，y 轴叫做 虚轴。 2. 向量表示 复数 z = a + bi 与以原点 O 为起点，点 Z(a, b) 为终点的向量 OZ 是一一对应的。 复数的模：|z| = |OZ| = √(a² + b²)。 3. 复数加法的几何意义 复数的加法运算符合向量加法的 平行四边形 法则或三角形法则。 若 z₁ 对应 OZ₁，z₂ 对应 OZ₂，则 z₁ + z₂ 对应以 OZ₁ 和 OZ₂ 为邻边的平行四边形的对角线向量 OZ。 易错点警示 虚轴上的点： 虚轴上的点（除原点外）对应的是 纯虚数。原点既在实轴上也在虚轴上，对应实数 0。 坐标与虚部： 复数 z = a + bi 对应的点是 (a, b)，注意纵坐标是 b 而不是 bi。 向量的起点： 复数对应的向量通常指以 原点 为起点的自由向量。 模的非负性： 复数的模 |z| 永远是一个 非负实数，不能出现虚数单位 i。 解题技巧 1. 数形结合思想 将复数的代数运算转化为复平面内的几何图形变换。例如：|z - z₁| 表示复平面内点 Z 与点 Z₁ 之间的 距离。 2. 向量平移法 在处理复数加减法的几何意义时，可以利用向量的平移性质，将运算转化为三角形的边长关系，结合余弦定理或勾股定理求解。 3. 轨迹问题 满足特定几何条件的复数 z 的集合通常对应复平面内的一条曲线（如圆、直线）。通过设 z = x + yi 转化为解析几何中的方程来处理。 $