9.1.1复数的引入与复数的四则运算（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数 9.1 复数的四则运算 第1课时 复数的引入与复数的四则运算 学 习 目 标 1 2 3 理解虚数单位的定义，掌握复数代数形式;掌握复数加减乘除四则运算法则，掌握的整数次幂周期性规律； 体会数系扩充、类比推理、转化与化归数学思想. 提升复数运算求解、归纳推理、数学抽象能力. 新课引入 自然数→整数→有理数→实数 在实数范围内，解方程，我们能找到解吗？ 找不到，因为实数的平方都大于等于0 没有数的平方等于−1。 数学的数系一直在扩充，你还记得再数系的扩充过程吗？ 每次扩充都是为了解决原有数系无法解决的问题. 今天我们为了解决，引入新的数. 新知探究 探究一：复数的形式与复数相等 1.虚数单位 为了解决负数的开平方问题，数学家引人了一个不同于实数 的新数 i, 称为虚数单位,并规定 即规定 i是一1 的一个平方根. 特征： ①规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律与结合律. ②i可以和实数进行四则运算，运算规则与实数一致. 新知探究 2.复数的形式与复数相等 全体复数构成的集合用字母 C 表示. 我们约定： (1)复数i=0(、且 ii、、 且 一个实数可以与形如i()的数相加，规定把它们的和用实系数二项式的形式表示成i. 定义：形如i(、)的数称为一个复数. 即时训练 1.（1）若复数与复数相等，则实数的值为______ （2）已知，其中为虚数单位，若则的值为________． 【分析】利用复数数相等的充要条件；基本要求是：等式两边整理为)的形式 【解析】（1）由复数相等的条件得 （2）由题意得 知识小结 复数的形式与复数相等 1.虚数单位： 2.复数形式： ( 相等： 新知探究 探究二： 复数的四则运算 1.复数的加法与减法 类比多项式合并同类项，你能推导出复数的加减运算法则吗？ 类比多项式合并同类项，直接运算： 运算方法： 无需死记公式，按多项式加减规则，对应项合并即可。 即时训练 2.已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的加法运算法则求解即可. 【详解】因为 所以 . 故选：B B 新知探究 2.复数的乘法 类比多项式乘法法则，你能推导出复数的乘法运算法则吗？ 类比多项式乘法展开，代入化简： 特点： 复数乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，和实数运算律一致. 新知探究 2.复数的除法 除法作为乘法的逆运算，复数是否满足？能否进行推导？ 因 ，故 ，两边同乘 ，得： 推导过程： 给等式两边同乘 ，利用乘法公式 ，得： 对于非零复数 ()，求复数 ()，满足 新知探究 结论： 复数除法公式为： 思路：类比实数“分母有理化” 给分子分母同乘 ，将分母转化为实数. 例1 典例分析 计算：（1）（2） 【分析】利用复数除法的分母实数化方法，给分子分母同乘以分母的共轭复数，转化为复数乘法运算，最后化简为 的形式. 解：（1） （2） 知识小结 复数的四则运算 1.加减： 2.乘法：多项式展开化简 3.除法：分子分母同乘 (分母实数化) 例2 典例分析 （1）计算虚数单位i的整数次幂，并找出规律； （2）对任意整数m，计算． 【分析】(1)按虚数单位的幂次递推，利用计算，总结出周期为 4 的幂次规律；(2)提取公因式,代入的幂 次规律，证明连续 4 个的幂次和为 0. 解：（1）我们有，， 因此，i的幂的一般规律是：对任意给定的整数n，均有 ，，，． （2） ． ， 由最后一个等式，推知对任意整数n， 例3 典例分析 计算：（）． 【分析】利用平方差公式，将复数平方差转化为和与差的乘积，再化简得到结果。 解： ． 题型1 复数的加减法 1.计算：______． 【分析】根据复数的加法运算计算即可. 【详解】 , 故答案为：. 题型1 复数的加减法 2.（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】 故选：D. D 题型2 复数的乘除法 3.（2025·广东广州·三模）已知，则（　　） A. B. C. D. 【分析】根据复数除法计算得，再根据复数模长公式计算即可． 【详解】因为，所以 ． 故选：B B 题型2 复数的乘除法 4.若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意， ， 所以z的虚部是1. 故选：D D 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 复数及其运算 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 复数的概念 形如 a + bi（a, b ∈ R）的数叫做复数，其中 i 称为 虚数单位，满足 i² = -1。 2. 四则运算 设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di： 加减法：z₁ ± z₂ = (a ± c) + (b ± d)i 乘法：z₁z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i 除法：z₁ ÷ z₂ = (a + bi)(c - di)(c + di)(c - di) = ac + bdc² + d² + bc - adc² + d²i 易错点警示 虚数单位性质： 熟记 i² = -1，在乘法运算中注意符号变换。 复数相等： 两个复数相等的前提是对应系数 a, b, c, d 必须都是 实数。 大小比较： 虚数（非实数）之间 不能 比较大小。 解题技巧 1. 待定系数法 处理复数相等问题（如 z² = a + bi）时，通常设 z = x + yi（x, y ∈ R），利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组。 2. 共轭复数的妙用 在进行复数除法时，分子分母同乘以分母的 共轭复数，使分母实数化。注意：z · z̄ = |z|² = a² + b²。 3. i 的周期性 i 的幂具有周期性，周期为 4： i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1。计算 iⁿ 时只需看 n 除以 4 的余数。 $