9.2复数的几何意义（第2课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数 9.2 复数的几何表示 第2课时 复数的模 学 习 目 标 1 2 3 理解复数模的定义与几何意义；掌握复数模的计算公式；熟记并会应用模的核心性质；能准确计算复数的模，利用模的性质完成化简与证明； 深度体会数形结合思想，渗透转化与化归思想，经历性质推导，感受逻辑推理思想; 提升运算求解能力，强化直观想象能力，培养逻辑推理与规范证明能力. 新课引入 上节课我们学习了复数的几何表示，复数在复平面内对应什么？ 对应点，也对应向量. 平面向量有模长，那复数对应的向量模长该如何定义？ 复平面内点到原点的距离，就是复数的模. 这就是今天我们学习的主题——复数的模. 新知探究 探究一：复数模的定义与几何意义 向量有模的概念，那么复数是否也有模得概念？如何表示？ 定义：复数 () 对应复平面内点 ，点 到原点的距离叫做复数的模，记作 公式： ③复数的模也称为它的绝对值 几何意义： ① 复平面内点 到原点的距离； ② 对应向量 的模； 例1 典例分析 求下列复数的模： （； （2）． 【分析】根据复数 的模的定义公式 ，分别代入实部 、虚部 进行计算. 解 ：（1）． ． 新知探究 1.性质 ： 探究二：复数模的性质 设 ，则 . 即 2.性质 ： 设 ，则 新知探究 3.性质 ： 设有两个复数 与 ，则 即 4.性质 ： 进一步设 ，则 于是 两边除以 ，就得到 例2 典例分析 已知复数 满足 ，求证： 是实数． 【分析】利用复数模的性质 ，由 推得 ，从而将 转化为 ，根据共轭复数和为实数的性质完成证明。 证明：由 ，得 所以 由此得到 从而可知 是实数． 例3 典例分析 求下列复数的模： （1；（． 【分析】利用复数模的运算性质 ，分别计算各因子的模再运算；对共轭复数结构，利用共轭复数模相等的性质简化计算. 解： (1) ． （2）将原式分子分母都乘 ，就得到 其中 与 ， 与 是两对共轭复数 它们都分别有相同的模，所以 ． 新知探究 5.性质 该性质为“三角形两边之和大于第三边”这个性质的另一种表达方式. 如图 ,若复平面上、是复数、所对应的点 则平行四边形的顶点 就是复 数 对应的点. 因此，有 知识小结 复数模的性质 例4 典例分析 设复数i 和复数 2 i 在复平面上分别对 应点 A 和点,求、两点间的距离. 【分析】先将复数对应到复平面内点的坐标，再利用平面内两点间距离公式计算 A、B 两点的距离. 解：、两点间的距离是 题型1 复数的模的定义 1.若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （　　） A. 1　　　B. 2　　　C. 　　　D. 【分析】根据复数 或理解复数的模的定义解答. 【解析】方法 1：设 ，则由 由复数相等的条件得 解得 ，所以 ， 故 得 ， 所以 C 题型2 复数的模及其几何意义 2.已知复数，若对任意实数，恒有，则实数的取值范围为 【分析】借助复数的模通过等价为不等式恒成立问题，并与函数与方程思想进行整合从而求解. 【解析】因为，且对任意实数，恒有， 所以对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立； 所以，因为，所以， 所以实数的取值范围为 题型3 复数的模及其几何意义 3.已知复数，且，则实数的取值范围为 【分析】结合复数的模及其几何意义进行解答. 【解析】解法一：因为， ，由已知得 所以，，所以，． 方法2：利用复数的几何意义，由知 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界) 由知对应的点在直线上 所以线段(除去端点)为动点的集合．由图可知：； 题型4 两点间的距离 4.已知i是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点之间的距离是________ 【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果； 【解析】由于复数和对应的点分别为， 因此由两点间的距离公式 得这两点间的距离为； 题型3 两点间的距离 5.如果复数满足，那么的最大值是_______ 【分析】利用复数表示下的两点间的距离公式进行解答. 【解析】复数满足 表示以为圆心，为半径的圆 表示圆上的点与点的距离 因为 所以的最大值是； 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 复数的模 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 复数的模的定义 复数 z = a + bi (a, b ∈ R) 对应的向量 OZ 的 长度 叫做复数 z 的模。 记作：|z| 或 |a + bi|。 2. 计算公式 |z| = √(a² + b²)。 特别地，当 z 为实数 a 时，|z| = |a|；当 z 为纯虚数 bi 时，|z| = |b|。 3. 重要性质 |z| ≥ 0，且 |z| = 0 的充要条件是 z = 0。 |z| = |z̄| = |-z|。 z · z̄ = |z|²。 |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|。 易错点警示 公式误用： 计算 |a + bi| 时，虚部是 b 而不是 bi，公式中不含 i。 模的大小比较： 复数不能比较大小，但复数的 模 是实数，可以比较大小。 平方关系： 注意 z² 与 |z|² 的区别：z² 结果通常是 复数，而 |z|² 结果必为 非负实数。 隐含条件： 若 |z| = 1，常设 z = cosθ + isinθ（三角形式）或利用 z · z̄ = 1 转化。 解题技巧 1. 几何意义法 |z| 表示点 Z 到 原点 的距离；|z - z₁| 表示点 Z 与点 Z₁ 之间的距离。 2. 代数运算法 设 z = x + yi (x, y ∈ R)，将模的条件转化为关于 x, y 的方程，利用解析几何知识（如圆、椭圆定义）求解。 3. 模的性质转化 在处理复杂的模运算时，经常使用 |z|² = z · z̄ 进行转化，将模的运算变为复数的代数运算。 $