专题02 相交线与平行线（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

相交线与平行线 相交线定义 对顶角 相交线 定 性 垂线 点 结 平行线定义 平行公理 一三线八角 平行线 平行线判定 平行线性质 命题 命题与证明 证明 ：两条直线有一个公共点，称两直线相交，公共点为交点 定义：有公共顶点，一角两边是另一角两边反向延长线 性质：对顶角相等 义：两直线夹角为直角，互相垂直，一条是另一条的垂线，交点为垂足 质：同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度 论：垂线段最短 同一平面内不相交的两条直线，记作a‖b 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论：若a‖c,b‖c,则a‖b 同位角：位置相同，在截线同侧 内错角：在两直线内侧，截线两旁 同旁内角：在两直线内侧，截线同旁 同位角相等→两直线平行 内错角相等→两直线平行 同旁内角互补→两直线平行 两直线平行→同位角相等 两直线平行→内错角相等 两直线平行→同旁内角互补 定义：判断一件事情的语句，分条件、结论两部分 分类：真命题（正确）、假命题（错误） 逆命题：原命题条件与结论互换，原命题真，逆命题不一定真 步骤：画图→写已知、求证→写推理过程 假命题判定：举反例（符合条件，不满足结论） 专题02 相交线与平行线 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 知识点2 平行公理与“三线八角” 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 知识点3 平行公的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 知识点4 平行公的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 知识点5 命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 题型清单 解 对顶角相等（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【知识点】对顶角相等、对顶角的定义、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【答案】 【知识点】对顶角相等、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再由对顶角相等得到，然后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 点到直线的距离（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 平行公理的应用（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【答案】（或垂直）． 【知识点】平行公理的应用、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理：___________． 【答案】平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了数学知识，写出学过的公理即可，熟练掌握所学过的公理是解此题的关键． 【详解】解：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故答案为：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 10．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 同位角相等两直线平行（共3小题） 【例4】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行的判定进行判定即可． 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项A不符合题意； 不一定能判定，故选项B符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项C不符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行，可得，故选项D不符合题意； 故选B． 【变式1】如图，下列推理中正确的有（   ） ①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以； ④因为，所以． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握各个判定定理是求解的关键；根据平行线的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】①因为，所以，故①错误； ②因为，所以．故②错误； ③因为，所以，故②正确； ④因为，所以．故④错误． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 两直线平行同旁内角互 补（共3小题） 【例5】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 【答案】70 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角，在图中标注，利用邻补角互补，可求出的度数，结合的度数，可求出的度数，由,利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：在图中标注，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：70． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是________． 【答案】互相垂直 【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，此题比较简单，注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． 首先根据题意画出图形，由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得，又由与分别是与的角平分线，即可求得，则可得两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直． 【详解】 解：由题意可画图形如图， ， ， 与分别是与的角平分线， ，， ， ， ， 故答案为：互相垂直． 判断命题真假（共4小题） 【例6】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】B 【知识点】判断命题真假、平面内两直线的位置关系、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据点到直线的距离的定义、平行线的概念、平行公理、平行线的性质判断． 【详解】解：A、点到直线的距离是非负的，是真命题，不符合题意； B、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，故本选项命题是假命题，符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，是真命题，不符合题意； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题真假、垂线的定义理解、平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 C．方程的解是 D．同位角相等 【答案】D 【知识点】判断命题真假、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、判断是否是方程的解 【分析】本题考查了命题真假的判断，一元一次方程的解，平行线的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据这些知识进行判断即可． 【详解】解：A、命题正确，是真命题； B、命题正确，是真命题； C、当时，方程左边，方程右边，即是方程的解，命题正确，是真命题； D、两直线平行，同位角相等，命题错误，是假命题； 故选： D． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、判断命题真假 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如果，那么，是真命题． 故答案为：（答案不唯一） 三线八角的角型识别混淆（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，根据内错角的定义解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可． 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 平行线判定与性质的逻辑颠倒（共4小题） 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【答案】/28度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 命题的逆命题书写失误（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、判断命题真假 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题； ②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题； ③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题； 综上，真命题的个数有2个， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 用直尺、三角板画平行线（共5小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，画垂线和画平行线，熟知垂线的定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂线和平行线的画法画图即可； （2）由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，再根据已知条件得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【答案】任务一：图见解析，；任务二：；任务三：需要秒 【知识点】用直尺、三角板画平行线、根据平行线的性质求角的度数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： 任务一：根据题意画出平行线，根据平行线的性质求出，即可； 任务二：过点作，得到，根据平行线的性质求出角的度数即可； 任务三：根据，得到，据此列出方程进行求解即可． 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、两点间的距离、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据平行线的定义画出图形即可； （4）根据点到点的距离的定义，判断即可． （5）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求； （2）解：如上图所示，直线即为所求； （3）解：如上图所示，直线即为所求； （4）解：点M到点N之间的距离是线段的长； 故答案为：， （5）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】本题考查作平移和垂直，点与直线的距离； （1）平移直线，使经过点，与交于E，此时； （2）用三角板作即可； （3）根据点与直线的距离的定义可得点E到直线的距离是线段的长． 【详解】（1）解：如图，，此时即为所求； （2）解：如图，过点P画出于F； （3）解：∵， ∴点E到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据平行线的画法画图即可； （4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离是线段的长度． 根据平行线的性质求角的度数（共5小题） 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 【答案】/100度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质． 先根据平角的定义得到，再根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图所示， ，， ． 又， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 【变式4】（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 由垂直的定义得，可得，根据平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 根据平行线判定与性质证明（共5小题） 【例3】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的判定和性质，根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据题意易证，进而推出，得到，由角平分线的定义可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了同旁内角互补，两直线平行，对顶角相等，等量代换，理解相关知识是解答关键． （1）根据对顶角相等得到，再利用同旁内角互补，两直线平行即可求解； （2）根据两直线平行同旁同角互补得到，结合已知用等量代换和同旁内角互补，两直线平行求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 【变式4】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点E作，可得，再由，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） 即 ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 2 / 37 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 知识点2 平行公理与“三线八角” 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 知识点3 平行公的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 知识点4 平行公的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 知识点5 命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 题型清单 解 对顶角相等（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则________度． 点到直线的距离（共3小题） 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 平行公理的应用（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理：___________． 10．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 同位角相等两直线平行（共3小题） 【例4】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列推理中正确的有（   ） ①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以； ④因为，所以． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 两直线平行同旁内角互 补（共3小题） 【例5】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【变式1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是________． 判断命题真假（共4小题） 【例6】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 C．方程的解是 D．同位角相等 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 三线八角的角型识别混淆（共3小题） 【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 平行线判定与性质的逻辑颠倒（共4小题） 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ ∵， ∴， 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 依题意，， ∴ 命题的逆命题书写失误（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 用直尺、三角板画平行线（共5小题） 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 根据平行线的性质求角的度数（共5小题） 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 【变式2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么______． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【变式4】（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 根据平行线判定与性质证明（共5小题） 【例3】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【变式4】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 2 / 37 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $