专题02 圆与扇形（期中复习知识清单）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

圆的周长(C)与直径(d)、半径(r)的关系：C=πd=2πr 圆周长的一半：C=πr 圆的周长 半圆周长：半圆孤长+直径，即C半圆=不r十2 圆的半径/直径扩大到原来的倍，周长也扩大到原来的几倍。 弧：圆上两点间的部分。 圆心角：顶点在圆心，两边是半径的角。 弧长 公式：1=60×2rr=0 决定因素：圆的半径和圆心角的度数。 公式：S圆=π2 圆与扇形 圆的面积 圆的半径/直径/周长扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n2倍。 内圆半径(r),外圆半径(R),环宽(L):L=R一r 圆环的面积 基本公式：S环=πR2-π2=π(R2-2) 已知R和L:S环=πR2一π(R一L)2 变式（已知环宽L): 已知r和L:S环=π(r十)2一πr2 S扇=30XTm2 扇形的面积 S扇= r 专题02 圆与扇形 思维导图 串 考点清单 理 知识点01 圆的相关概念与周长 1.圆的周长 圆的周长:直径=圆周率. 注意：圆周率是一个近似数，不能说成：圆的周长:直径=3.14. 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率.如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径,用d表示圆的直径,那么圆的周长计算公式是C＝πd或C＝2πr。 拓展注解 1.圆的周长与它的半径、直径的关系: (1)圆的半径或直径扩大到原来的几倍,它的周长也扩大到原来的几倍。 (2)圆的半径或直径缩小到原来的几分之一,它的周长也缩小到原来的几分之一。 半圆的周长和圆的周长的一半 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是 或 . 圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，取其中一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是 或 . 知识点02 弧长概念与应用 1.弧的有关概念 （1）5个基础概念 弧:圆上两点之间的部分称为弧,它是圆的一部分 半圆:圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫作半圆 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧 优弧:大于半圆的弧叫作优弧 注意： 弧是圆的一部分,是一段平滑的曲线 （2）弧的读写法 弧用符号＂＂表示，如图，红色部分（右边）的弧是劣弧，记作 ，读作＂弧＂；蓝色部分（左边）的弧是优弧，记作 ，读作＂弧＂。 （3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫作圆心角，如 ． （4）同一圆中，弧长与圆心角的对应关系 如图，右侧小于平角的（小于）是所对的圆心角，也称是圆心角（小于）所对的弧．同理，左侧大于平角的（大于）是所对的圆心角，也称是圆心角（大于）所对的弧． 2.弧长的计算公式 弧长是相应的圆周长的一部分，圆心角与周角之比等于弧长与圆周长之比 ，即 . 的圆心角所对应的弧长是圆周长的的圆心角所对应的弧长是圆周长的．反之，弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是的几分之几． 如果用表示弧长，用表示圆心角的度数，那么弧长的计算公式是． 注意：决定弧长的有两个量：圆的半径和圆心角．它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小，即弧长随着圆心角和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小． 知识点03 圆与圆环的面积 1.推导圆的面积计算公式： 发现:把圆平均分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就越接近于一个长方形 2.探究拼成的近似的长方形的长和宽分别与圆的周长和半径之间的关系： 这个长方形的长相当于圆周长的一半，这个长方形的宽相当于圆的半径 ，即． 圆的面积计算公式: 拓展注解 1.把圆转化成三角形或者梯形,都可以推导出圆的面积计算公式,转化方法如下 2．如果一个圆的半径（直径或周长）扩大到原来的倍，那么这个圆的面积就扩大到原来的倍；如果一个圆的半径（直径或周长）缩小到原来的，那么这个圆的面积就缩小到原来的. 3.圆环的意义及圆环面积的计算方法 （1）圆环的认识 由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形,也可以概括地说是两个半径不相等的同心圆之间的部分。 注意：构成圆环的两个圆的半径不相等圆心重合。 2.圆环各部分的名称 环宽:两个圆之间的宽度叫作环宽,环宽三外圆半径一内圆半径,即R-r 内圆:圆环中较小的圆叫作内圆,内圆的半径用字母r表示 外圆:圆环中较大的圆叫作外圆,外圆的半径用字母R表示 3.圆环面积的计算方法 圆环的面积外圆的面积－内圆的面积，用字母表示为 . 圆环的面积计算公式的应用 应用一 已知内圆半径和外圆半径,求圆环的面积。 应用二 已知环宽和内圆半径,求圆环的面积。 举一反三 （1）用表示环宽，用表示外圆半径，已知环宽和外圆半径，求圆环面积的计算公式： 。 （2）用表示内圆直径，用表示环宽，已知内圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （3）用表示外圆直径，用表示环宽，已知外圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （4）用表示内圆周长，用表示环宽，已知内圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. （5）用表示外圆周长，用表示环宽，已知外圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. 知识点04 扇形的面积 1.决定扇形大小的因素 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大,扇形越大,圆心角越小,扇形越小. 2.特殊的扇形 以半圆为弧的扇形的圆心角是 180°,以四分之一圆为弧的扇形是圆心角是 90°. 3.扇形的面积公式 扇形面积:所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360.也就是圆心角为1°的扇形 面积是圆面积的 ；圆心角为 的扇形面积是圆面积的 ． 公式一：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示圆心角度数，那么扇形面积的计算公式是 ． 公式二：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示扇形的弧长，那么扇形的面积公式是 。 说明：扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式． 题型清单 解 弧、圆心角、扇形的的认识（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）一扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．弧长计算公式：，其中r为圆的半径，n为圆心角的度数，l为弧长． 根据弧长计算公式计算即得答案． 【详解】解： 该扇形的弧长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______． 【答案】/90度 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据一条弧的长度是它所在圆的周长的可得这条弧所对的圆心角是的，由此即可得． 【详解】解：∵一条弧的长度是它所在圆的周长的， ∴这条弧所对的圆心角是， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 【答案】56 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、比的性质、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查扇形面积的计算，比例的应用.一元一次方程的应用，设这个圆的面积是S，利用扇形面积公式列关于S的方程并求解即可． 【详解】解：设这个圆的面积是S， 根据题意，得， 解得， ∴这个圆的面积是56． 故答案为：56． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆被分为弧长之比为的四个扇形，则最长的弧所对的圆心角的大小为_______． 【答案】/度 【知识点】 按比例分配问题、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了按比例分配与圆心角的计算，根据题意可得最长的弧长占，则最长的弧所对的圆心角的大小为，即可求解． 【详解】解：依题意，最长的弧所对的圆心角的大小为 故答案为：． 求弧长（共4小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为________厘米．（取） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长．设这个扇形的半径为r厘米，根据弧长公式可得r的值，即可求解． 【详解】解：设这个扇形的半径为r厘米，根据题意得： ， 解得：， ∴这个扇形的周长为厘米． 故答案为： 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长、路程、速度和时间的关系，先计算直行道长度、弯道弧长，得到总路程后，结合速度求出时间． 【详解】解：米，米， 总路程为：米， 时间为：秒． 答：从口驶出用时秒． 【变式3】（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了扇形的弧长，熟练掌握其公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：经过20分钟，分针的顶端走的角度是， ∴分针的顶端所走的路程是． 答：分针的顶端所走的路程是． 圆环的面积（共4小题） 【例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积小圆面积环形面积是关键． 根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【详解】解：由题意得 五环图案的面积 ． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积为______． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积解答可． 本题考查了圆环的面积计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：圆环的面积为：． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 【答案】(1)10 米 (2)平方米 【知识点】圆环的面积、 圆的周长 【分析】本题主要考查圆的周长和面积计算，以及圆环面积的应用问题． （1）已知圆的周长求半径，直接利用周长公式变形求解． （2）石子路是圆环，面积等于外圆面积减去内圆面积，需先确定外圆半径（花坛半径米）． 【详解】（1）解：圆形花坛的半径（米）， 答：圆形花坛的半径是 10 米． （2）解：外圆半径（米）， 石子路面积为：（平方米）， 答：石子路的面积是平方米． 不规则图形的面积（共4小题） 【例4】（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查了不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形． 借助割补法，将不规则图形转化为规则图形，对比选项分析判断即可． 【详解】解： 根据观察，结合割补法可知， 选项中阴影部分面积不等于正方形面积的，选项、、中阴影部分面积等于正方形面积的， ∴只有选项符合题意， 故选：． 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【知识点】 阴影部分的周长和面积、不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 【答案】 【知识点】不规则图形的面积、 圆的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，不规则图形的面积，设每个阴影的面积为，求出，根据，求出结果结果即可． 【详解】解：如图所示， 设每个阴影的面积为， ∵两个圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）（本题π取3.14）如图，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长？ 【答案】阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查不规则图形的周长和面积，掌握扇形的周长和面积求解方法是解题的关键． 根据题意，阴影部分的面积等于以8厘米为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积再加上小正方形的面积减去以6为半径的圆的面积即可；阴影部分的周长等于以8厘米为半径的圆的周长加上以为半径的圆的周长再加上以6厘米为半径的圆的周长再加上两条6厘米的边即可得到答案． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， ， （平方厘米）， 阴影部分的周长为： ， ， （厘米）， 答：阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 组合图形面积的“割补法”漏算（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，然后根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的弧长总和为：， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为________厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的周长，正确得出最大的圆的直径是解题关键．根据长方形的宽可以确定最大的圆的直径，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的直径为， ∴它的周长为， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域，据此画出示意图，并求解面积即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，，， cm，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧． (1)求弧的长度；（取） (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积）、扇形的周长和面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可解答； （2）根据题意可得，依据扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，， cm， ， ； （2）解：连接， 以点为圆心，为半径画弧，，， cm，以为直径画半圆交于点， ，， 图中阴影部分的面积． 阴影部分面积的“整体减空白”策略失效（共4小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 【答案】30 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了圆的面积和三角形的面积计算根据题意可推出半圆的面积比的面积多28平方厘米，求出半圆的面积，则可求出三角形的面积，再根据三角形面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：因为阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米， 所以阴影a的面积加上空白部分的面积比阴影b的面积加上空白部分的面积多28平方厘米， 所以半圆的面积比的面积多28平方厘米， 平方厘米， 厘米， 所以厘米， 故答案为：30． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查了圆的周长与面积公式，正确计算是解题的关键． （1）根据阴影部分周长等于大半圆的弧加上两个小半圆的弧求解即可； （2）根据阴影部分面积等于大半圆面积减去两个小半圆面积求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）（1）求阴影部分的周长和面积．（取） （2）求阴影部分的面积．（取） 【答案】（1）阴影部分的周长为，面积为；（2）阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】此题主要考查了半圆的周长和面积计算方法的灵活应用，即根据半圆的周长求半径． （1）根据半圆的周长求解即可；用大半圆的面积减去2个小半圆的面积求解即可； （2）用2个半圆的面积减去三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了阴影部分周长和面积的计算，熟练掌握扇形面积公式和圆的周长计算，是解题的关键．根据弧长和圆的面积和周长计算公式进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长：， 上部空白面积； 阴影部分的面积． 圆的周长（共5小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中） 将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形（如图所示），它的一边长a相当于圆的（    ） A．半径 B．直径 C．圆周长的一半 D．圆周长 【答案】C 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查了圆的周长的理解，把一个圆形纸片平均分成16份拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的两个边长为a的两个边之和等于圆的周长，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，拼成的近似平行四边形中边长为a的边的长相当于圆的周长的一半，与边长为a的边相邻的边的长相当于圆的半径， 故选：C． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如图，图中半圆弧长与扇形弧长的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】 圆的周长、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】结合圆的半径相等及为半圆弧长，则可知弧长所在圆的直径等于弧长所在圆的半径，且弧长是圆弧，由圆的周长公式表示出半圆弧长与扇形弧长比较即可． 【详解】解：由圆的半径相等及为半圆弧长，则可知弧长所在圆的直径等于弧长所在圆的半径，且弧长是圆弧， 不妨令弧长所在圆的半径为，则半圆弧长所在圆的半径为， 半圆弧长，扇形弧长， 则． 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）自行车轮胎外半径为，那么骑自行车车轮滚动100圈自行车约行______． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用． 首先根据圆的周长公式：，求出车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟车轮转的圈数，即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)； (2)不省料，见解析； (3)甲可以得到1080元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、 圆的周长 【分析】本题考查了认识平面图形，以及圆的有关计算．解题的关键是能够找出等量关系列方程解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是30米的两个圆的周长即可； （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是12米、和18米的圆的周长和，然后与图1进行比较； （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径30米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为x米，则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高后为米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米）， （米）， （米）， 由（1）得按照方案A修，修的花坛的周长是米， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等； （3）解：设甲原来每小时的工作效率为x米， 则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高为米， 解得， 则（米）． ∴（元）， 答：甲可以得到元． 【变式4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【答案】(1)最内侧跑道的直道长是米 (2)超前米 (3)， 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长的应用； （1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【详解】（1）解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； （2）解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； （3）解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 圆的面积（共5小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”下列表述中与图形不一致的是（　　） A．图1中大正方形的面积是1平方米 B．图2表示商品现价是原价的八折 C．图3中最大正方形的面积是 D．图4中圆B的面积是圆A面积的2倍 【答案】D 【知识点】 圆的面积 【分析】根据正方形的面积边长边长；折扣现价原价；最大正方形面积最小的正方形面积大正方形面积2个长方形面积；圆的面积公式来解答． 【详解】解：对于A，（平方分米），100平方分米1平方米，故A正确，不符合题意； 对于B，把一条线段平均分成5段，原价用5段表示，现价用4段表示，折扣是：，表示商品打八折，故B正确，不符合题意； 对于C，最大正方形的面积，故C正确，不符合题意； 对于D，A的面积为π，B的面积为，圆B的面积是圆A面积的4倍，故D错误，符合题意． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，长方形的边长，分别以、为直径作弧，两弧相交，形成的其中三个部分的面积分别是，，，且，则 __ （结果保留． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】由题意得，，然后根据以及圆的面积公式代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 即， ， ， 即． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，已知三角形的面积是4平方厘米，则圆的面积为 __________ 平方厘米（取3.14）． 【答案】25.12 【知识点】 圆的面积 【分析】根据题意设圆的半径为r，利用三角形的面积公式列出方程求得的值，最后利用圆的面积公式即可得出结果． 【详解】解：设圆的半径为r， ∴，则， ∴（平方厘米）． 【变式3】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）两个圆的半径之比是，它们面积的比是______． 【答案】 【知识点】 圆的面积、比的应用 【分析】此题考查的目的是掌握圆的面积公式，明确：圆的面积与半径的平方成正比，所以它们面积的比等于半径的平方比． 根据圆的面积公式：，又因为圆的面积与半径的平方成正比，所以它们面积的比等于半径的平方比．据此解答． 【详解】解：因为圆的面积与半径的平方成正比例，所以它们面积的比等于半径的平方比． 因此，两个圆的半径之比是，它们的面积之比是． 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留π） 【答案】阴影部分的周长为厘米，面积为8平方厘米 【知识点】 圆的周长、 圆的面积 【分析】利用整体的思想方法和圆的周长公式与面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得：阴影部分的周长为4个小圆的周长之和， 每个圆的半径都是1厘米， 阴影部分的周长为（厘米）， 添加如图所示的辅助线， ①的面积是（平方厘米）， 4个白色部分的面积是（平方厘米）， 阴影部分的面积是（平方厘米）， 阴影部分的面积是8平方厘米． 扇形的周长和面积（共5小题） 【例3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【答案】224 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】利用扇形面积公式，设出原扇形的圆心角和半径，得到原面积的表达式，再根据圆心角和半径的变化，推导变化后扇形面积与原面积的数量关系，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为， 根据扇形面积公式，可得原扇形面积， 由题意得，变化后扇形的圆心角，半径， 则变化后扇形面积： （平方厘米） 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为___（答案保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、比的应用 【分析】本题主要考查了比的运用，圆的面积计算，分别计算出两个扇形面积在圆中的占比，进而求出两个扇形的面积之比，据此可得答案． 【详解】解：因为， 所以圆中圆心角所在的扇形面积与圆中圆心角所在的扇形面积的比为， ∵圆中圆心角所在的扇形面积为， ∴该圆中圆心角所在的扇形面积为， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，以长方形的一个顶点为圆心画圆，如果长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的，那么长方形与圆的面积之比是_______________． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、比的应用 【分析】本题主要考查了比的应用，扇形的面积计算，根据题意可得重叠部分的面积占整个圆的面积的四分之一，再求出圆的面积是重叠部分的面积的4倍，长方形的面积是重叠部分的面积的倍，据此可得答案． 【详解】解：因为重叠部分是一个圆心角为90度的扇形， 所以重叠部分的面积占整个圆的面积的四分之一， 所以圆的面积是重叠部分的面积的4倍， 因为长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的， 所以长方形的面积是重叠部分的面积的倍， 所以长方形与圆的面积之比是， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，用半径为，圆心角度数为60度的扇形面积减去半径为，圆心角度数为60度的扇形面积即可得到答案． 【详解】解： ， 所以图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 【答案】(1)分米 (2)平方分米 (3)分米 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查弧长，扇形的面积，熟练掌握弧长和扇形的面积公式是解题的关键． （1）求出弧的长即可； （2）将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去扇形，进行求解即可； （3）根据点经过的路程是分米，求出旋转角的度数，再根据弧长公式求出点经过的路程即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，即旋转角为， 所以点经过的路程为（分米）； （2）解：由旋转可得，， 所以， 所以                   （平方分米）； （3）解：因为点经过的路程是分米， 所以， 因为分米，分米 所以分米， 所以点经过的路程是（分米）． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与扇形 思维导图 串 考点清单 理 知识点01 圆的相关概念与周长 1.圆的周长 圆的周长:直径=圆周率. 注意：圆周率是一个近似数，不能说成：圆的周长:直径=3.14. 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率.如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径,用d表示圆的直径,那么圆的周长计算公式是C＝πd或C＝2πr。 拓展注解 1.圆的周长与它的半径、直径的关系: (1)圆的半径或直径扩大到原来的几倍,它的周长也扩大到原来的几倍。 (2)圆的半径或直径缩小到原来的几分之一,它的周长也缩小到原来的几分之一。 半圆的周长和圆的周长的一半 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是 或 . 圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，取其中一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是 或 . 知识点02 弧长概念与应用 1.弧的有关概念 （1）5个基础概念 弧:圆上两点之间的部分称为弧,它是圆的一部分 半圆:圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫作半圆 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧 优弧:大于半圆的弧叫作优弧 注意： 弧是圆的一部分,是一段平滑的曲线 （2）弧的读写法 弧用符号＂＂表示，如图，红色部分（右边）的弧是劣弧，记作 ，读作＂弧＂；蓝色部分（左边）的弧是优弧，记作 ，读作＂弧＂。 （3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫作圆心角，如 ． （4）同一圆中，弧长与圆心角的对应关系 如图，右侧小于平角的（小于）是所对的圆心角，也称是圆心角（小于）所对的弧．同理，左侧大于平角的（大于）是所对的圆心角，也称是圆心角（大于）所对的弧． 2.弧长的计算公式 弧长是相应的圆周长的一部分，圆心角与周角之比等于弧长与圆周长之比 ，即 . 的圆心角所对应的弧长是圆周长的的圆心角所对应的弧长是圆周长的．反之，弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是的几分之几． 如果用表示弧长，用表示圆心角的度数，那么弧长的计算公式是． 注意：决定弧长的有两个量：圆的半径和圆心角．它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小，即弧长随着圆心角和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小． 知识点03 圆与圆环的面积 1.推导圆的面积计算公式： 发现:把圆平均分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就越接近于一个长方形 2.探究拼成的近似的长方形的长和宽分别与圆的周长和半径之间的关系： 这个长方形的长相当于圆周长的一半，这个长方形的宽相当于圆的半径 ，即． 圆的面积计算公式: 拓展注解 1.把圆转化成三角形或者梯形,都可以推导出圆的面积计算公式,转化方法如下 2．如果一个圆的半径（直径或周长）扩大到原来的倍，那么这个圆的面积就扩大到原来的倍；如果一个圆的半径（直径或周长）缩小到原来的，那么这个圆的面积就缩小到原来的. 3.圆环的意义及圆环面积的计算方法 （1）圆环的认识 由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形,也可以概括地说是两个半径不相等的同心圆之间的部分。 注意：构成圆环的两个圆的半径不相等圆心重合。 2.圆环各部分的名称 环宽:两个圆之间的宽度叫作环宽,环宽三外圆半径一内圆半径,即R-r 内圆:圆环中较小的圆叫作内圆,内圆的半径用字母r表示 外圆:圆环中较大的圆叫作外圆,外圆的半径用字母R表示 3.圆环面积的计算方法 圆环的面积外圆的面积－内圆的面积，用字母表示为 . 圆环的面积计算公式的应用 应用一 已知内圆半径和外圆半径,求圆环的面积。 应用二 已知环宽和内圆半径,求圆环的面积。 举一反三 （1）用表示环宽，用表示外圆半径，已知环宽和外圆半径，求圆环面积的计算公式： 。 （2）用表示内圆直径，用表示环宽，已知内圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （3）用表示外圆直径，用表示环宽，已知外圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （4）用表示内圆周长，用表示环宽，已知内圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. （5）用表示外圆周长，用表示环宽，已知外圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. 知识点04 扇形的面积 1.决定扇形大小的因素 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大,扇形越大,圆心角越小,扇形越小. 2.特殊的扇形 以半圆为弧的扇形的圆心角是 180°,以四分之一圆为弧的扇形是圆心角是 90°. 3.扇形的面积公式 扇形面积:所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360.也就是圆心角为1°的扇形 面积是圆面积的 ；圆心角为 的扇形面积是圆面积的 ． 公式一：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示圆心角度数，那么扇形面积的计算公式是 ． 公式二：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示扇形的弧长，那么扇形的面积公式是 。 说明：扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式． 题型清单 解 弧、圆心角、扇形的的认识（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）一扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆被分为弧长之比为的四个扇形，则最长的弧所对的圆心角的大小为_______． 求弧长（共4小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为________厘米．（取） 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【变式3】（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 圆环的面积（共4小题） 【例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积为______． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 【变式3】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 不规则图形的面积（共4小题） 【例4】（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）（本题π取3.14）如图，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长？ 组合图形面积的“割补法”漏算（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为________厘米．（结果保留） 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，，， cm，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧． (1)求弧的长度；（取） (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 阴影部分面积的“整体减空白”策略失效（共4小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）（1）求阴影部分的周长和面积．（取） （2）求阴影部分的面积．（取） 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 圆的周长（共5小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中） 将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形（如图所示），它的一边长a相当于圆的（    ） A．半径 B．直径 C．圆周长的一半 D．圆周长 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如图，图中半圆弧长与扇形弧长的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）自行车轮胎外半径为，那么骑自行车车轮滚动100圈自行车约行______． 【变式3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 【变式4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 圆的面积（共5小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”下列表述中与图形不一致的是（　　） A．图1中大正方形的面积是1平方米 B．图2表示商品现价是原价的八折 C．图3中最大正方形的面积是 D．图4中圆B的面积是圆A面积的2倍 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，长方形的边长，分别以、为直径作弧，两弧相交，形成的其中三个部分的面积分别是，，，且，则 __ （结果保留． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，已知三角形的面积是4平方厘米，则圆的面积为 __________ 平方厘米（取3.14）． 【变式3】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）两个圆的半径之比是，它们面积的比是______． 【变式4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留π） 扇形的周长和面积（共5小题） 【例3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为___（答案保留）． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，以长方形的一个顶点为圆心画圆，如果长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的，那么长方形与圆的面积之比是_______________． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 【变式4】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $