专题01 比与比例（期中复习知识清单）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 比与比例 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 比和比的基本性质 1.概念：与相除，叫作与的比．记作.叫作比的前项，叫作比的后项．前项除以后项所得的商叫作比值．比值是一个数，可以用分数，小数或整数表示． 【易错提醒】 球类比赛中的＂比＂（其实是比分），比号后面的数可以是0，也可以是；而数学中的＂比＂，比号后面的数（相当于除数）不可以是0. 2.求比值的方法 用比的前项除以比的后项.【提醒】比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示. 3.比和比值的联系和区别 （1）联系：比和比值都可以用分数形式表示 （2）区别：比表示两个数量之间的相除关系，只能写成或的形式；比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 4.比、除法、分数三者之间的关系 （1）联系 （2）区别 ①意义不同:比表示两个数量之司的相除关系;除法是一种运算;分数是一个数. ②表示方法不同:作为一种运算除法算式不能用分数形式表示;比可以用分量的比.数形式表示,但分数不一定表示两个数 ③结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才进行计算;而分数本身就是一个数,无须计算. 5.求比中未知项的方法 比的前项比的后项比值，比的后项比的前项比值。 6.比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变，即 7.化简比与最简单的整数比 （1）最简整数比:指比的前项与后项都是整数，且它们互素． （2）化为最简单的整数比方法：利用比的基本性质． （3）化简比和求比值的区别： 化简比 求比值 意义不同 两个数的化成最简整数比 比的前项除以比的后项所得的商 计算方同 利用比的基本性质运算 比的前项除以比的后项 结果不同 得到一个比 得到一个数 8.连比 1．像这样的比称为三项的比．如果 ，那么． 2．基本性质 知识点2 比例和比例的基本性质 1.概念：在 四个量中，如果 ，那么就说 成比例． 也可以表示为 ． 成立，那么把 叫作 和 的比例中项． 2.比例的基本性质 如果 或 ，那么 ．两个外项的积等于两个内项的积． 【拓展】常用的比例变形： （1）交换两内项，得 ； （2）交换两外项，得 ； （3）同时交换两个内，外项，得 ． 3.比和比例的区别与联系 比 比例 意义 两个数相除叫作这两个数的比.比表示两个数相除的关系 比例表示两个比相等,是一个等式 各部分的名称 比例是由两个比值相等的比组合而成的,即比是比例的一部分 各部分的名称 比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项 两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变，用字母表示： ： 均不为 0 或均不为 0，那么 4.比例方程 如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项. 5.比例的应用 (1)比例尺 公式：图上距离∶实际距离＝比例尺。 分类：缩小比例尺和放大比例尺． 知识点3 百分数 1.概念：把两个数量的比值写成的形式,这种形式的数叫作百分数,也称为百分比或百分率,记作“ ”,读作“百分之n”其中,符号“%”称为百分号. 【提醒】“%”读作“百分之”不能读作“一百分之”，且“%”前面的数要按照整数、小数的读法去读. 2.百分数的读法：百分数的读法与分数的读法类似,先读分母,即“%”,再读分子,例如:14%就是读作百分之十四 3.百分数的写法：写百分数时,先写分子,再在分子的后面加上“%”例如: 百分之二十一 写作:21%; 【提醒】书写“%”,两个小圈要写得小些,避免和数字0混淆. 4.百分数和分数的联系与区别 (1)百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍比关系. (2)百分数和分数的区别： 百分数 分数 意义 只表示两个数之间的倍比关系,不能带单位名称 既可以表示具体数量,又可以表示两个数之间的倍比关系。表示具体数量时,可以带单位名称 分子 可以是整数,也可以是小数 分子不能是小数,只能是非0自然数 约分 不可以约分 一般能通过约分化成最简分数 应用范围 在生产和生活中常用于调查统计、分析和比较 常在计算、测量中得不到整数结果时使用 5.小数、分数和百分数的互化 （1）把小数化成百分数的方法:可以先把小数改写成分母是100的分数,再把分数化成百分数;也可以把小数点向右移动两位,当位数不够时,用“0”补足,同时在后面添上百分号。 （2）把分数化成百分数的方法:可以先将能化成有限小数的分数改写成分母是100的分数再化成百分数;也可以先把分数化成小数,再把小数化成百分数。除不尽时，通常保留三位小数。 （3）百分数化成小数的方法：可以先把百分数改写成分母是100的分数，再把分数化成小数；也可以把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位，当位数不够时，用＂0＂补足。 4.百分数化成分数的方法：把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的一般要约成最简分数。 【知识拓展】 把分子是小数的百分数化成分数的方法：先把百分数改写成分母是100的分数，再根据分数的基本性质把分子是小数的分数化成分子是整数的分数，最后化简。如 6.百分数的应用 占比问题常用关系式： (已知甲和乙，求百分比)甲是乙的百分之几 (已知甲，求乙)乙是甲的百分之n (已知乙，求甲)乙是甲的百分之n (已知甲，求乙)乙比甲多(少)百分之n (已知乙，求甲)乙比甲多(少)百分之n (已知甲和乙，且甲>乙，求谁比谁多(或少)百分比) ①甲比乙多百分之n ②乙比甲少百分之n 2.生活中的百分率 百分率没有单位名称。 某个部分的量与整体的量之比，其结果通常用百分数表示，即占比。 提示：＂相当于，不影响计算结果，加上这个记号，是为了强调结果记为百分数． 百分率 意义 学生的出勤率 出勤的学生人数占学生总人数的百分比。 绿豆的发芽率 发芽的绿豆种子数占试验的绿豆种子总数的百分比。 产品的合格率 合格的产品数占抽检产品总数的百分比。 小麦的出粉率 面粉的质量占小麦总质量的百分比。 树木的成活率 成活的树木棵数占种植的树木总棵数的百分比。 出油率 油的质量占油料作物总质量的百分比。 及格率 及格人数占考试总人数的百分比。 … … 不同百分率的计算方法 出勤率 发芽率 合格率 出粉率 成活率 出油率 及格率 … 【归纳总结】 求各种百分率的实质就是“求一个数是另一个数的百分之几”,在计算时要乘100%,把结果化成百分数。 3.折扣问题 (1)打几折就是按原价的百分之几十出售;打几几折就是按原价的百分之几十几出售. 例如:打“九折”就是按原价的 90%出售,打“八五折”就是按原价的 85%出售， 易错辨析 打几折不是售价减少了原价的百分之几十. (2)按原价的百分之几十出售就是打几折;按原价的百分之几十几出售就是打几几折. 例如:按原价的 80%出售就是打八折;按原价的88%出售就是打八八折。 (3)折扣问题的解题方法 现价=原价×折扣 便宜的钱数＝原价×(1－折扣) 折扣＝现价÷原价 (4)已知现价和折扣,求原价的方法(2种方法） ①可以根据“原价×折扣＝现价”列方程解答;②也可以用“原价=现价·折扣”来计算. 归纳总结 与折扣有关的实际问题的解题方法: (1)已知原价和折扣,求现价:现价=原价×折扣。 (2)已知原价和折扣,求便宜的钱数:便宜的钱数＝原价－原价×折扣或便宜的钱数＝原价×(－折扣)。 (3)已知现价和折扣,求原价:①根据“原价×折扣＝现价”列方程解答;②原价=现价÷折扣。 (4)已知原价和现价,求折扣:用现价除以原价,结果用百分数表示,同时在答语中要体现出来。 4.成数问题 (1)成数改写成百分数: 成数 十分之几 百分数 一成 十分之一 10% 二成 十分之二 20% 三成五 十分之三点五 35% (2)百分数改写成成数:百分之几十改写成成数就是几成,百分之几十几改写成成数就是几成几。 例如:90%改写成成数就是九成,85%改写成成数就是八成五。 归纳总结 在工农业生产和日常生活中经常用成数表示生产的增长和降低情况,成数已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况,“几成”就是十分之几,也就是百分之几十。 (3)成数问题的解题方法 解决成数问题时,把成数转化为百分数后,解题思路和解题方法与百分数问题完全相同. 5.税率问题 （1）应纳税额:应缴纳的税款叫作应纳税额。 （2）税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额…)中应纳税部分的比率叫作税率。税率也是百分率的一种,通常用百分数表示. （3）纳税问题的解题方法 应纳税额＝销售额中的应纳税部分×税率 销售额中的应纳税部分＝应纳税额÷税率 拓展注解 1.相关纳税问题的解题方法: (1)已知应纳税额和收入中应纳税部分的金额,求税率的方法: 税率＝ (2)已知应纳税额和税率,求收入中应纳税部分的金额的方法: 收入中应纳税部分的金额＝应纳税额÷税率 2.有时并不是全部收入都需要纳税,此时,应纳税所得额是指把收入额按规定扣除不纳税项目的余额。例如:2018年10月份个人工资或薪金收入5000元以上的部分需要纳税,而5000元及以下的部分不需要纳税,这里的应纳税所得额指的是全部收入减去 5000 元所得的差额。 6.储蓄问题 储蓄的相关概念 (1)本金:存人银行的钱叫作本金 (2)利息:取款时银行多支付的钱叫作利息 (3)利息的计算公式:利息＝本金×利率×存期。 题型清单 解 求比值（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）求比值：小时1小时20分钟________． 【答案】 【知识点】 求比值 【分析】本题主要考查了求比值，把小时化成分钟，再求比值即可． 【详解】解：小时分钟，1小时20分钟分钟， 小时1小时20分钟， 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求比值：米厘米=______． 【答案】 【知识点】 求比值 【分析】本题考查了求比值． 先将单位统一为厘米，再求比值并化简． 【详解】解：米厘米， 所以25厘米厘米． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求比值：18小时天 __ ． 【答案】 【知识点】 求比值 【详解】解：18小时天小时小时． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）已知，，求． 【答案】 【知识点】 比例的基本性质、 求比值 【分析】本题考查的是求比值和化简比．先化简得到，再化简得到，从而得到． 【详解】解：， ， ， ， ． 比例尺的意义（共3小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中）一幢大楼的高是30米，画在图上为15厘米，图纸上的尺寸与实际的尺寸的比是______． 【答案】 【知识点】比例尺的意义 【分析】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．根据比例尺=图上距离：实际距离，直接求出即可． 【详解】解：∵米厘米， ∴比例尺； 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥得实际长度是（   ） A．米 B．千米 C．千米 D．米 【答案】C 【知识点】比例尺的意义 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，难点在于把所求的数值进行单位换算．根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：（厘米），厘米千米． 故大桥的实际长度是千米． 故选：C． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）在一副地图上量得、两地距离为8厘米，已知、两地的实际距离为240千米，则这地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例尺的意义 【分析】本题考查了求比例尺．比例尺是图上距离与实际距离的比值，统一单位后化简即可． 【详解】解：∵1千米米厘米， ∴240千米厘米 ∵比例尺=图上距离：实际距离 ∴比例尺是 故选：D． 比例的意义（共3小题） 【例3】（24-25六年级下·上海普陀·期中）下列各个比中，能与组成比例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 比例的基本性质、 比例的意义、 比的化简 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A选项中，，故不符合题意； B选项中，，故不符合题意； C选项中，，故符合题意； D选项中，，故不符合题意， 故选：C． 【变式1】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】 比例的意义 【分析】本题考查了比例的定义，根据比例的定义进行判断，即可得到结论．正确的列出比例式是解题的关键． 【详解】解：A．由，可得本选项不合题意； B．，可得本选项不合题意； C．由，可得本选项符合题意； D．由，可得本选项不合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25六年级下·上海金山·期中）有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】 比例的意义 【分析】本题考查了比例，根据比例的定义进行即可． 【详解】解：，，，而12则不能与这3个数组成比例； 故选：D． 比的应用（共4小题） 【例4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）《中华人民共和国国旗法》对国旗的制作有明确规定．中华人民共和国国旗是长方形，长与宽之比为，下列对于国旗通用尺度（单位：）不符合规格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比的应用 【分析】根据题意中的比例关系，依次判断各选项的长宽比是否满足即可． 【详解】解：A：，符合规格； B：，不符合规格； C：，符合规格； D：，符合规格． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果圆上一段弧长为15.7，它所对的圆心角为，那么这个圆的半径为 __（取3.14）． 【答案】9 【知识点】比的应用 【分析】弧长与圆周长的比等于扇形圆心角与的比，设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆的半径为， 根据题意，得， 解得， 这个圆的半径为9． 故答案为：9． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 有一堆糖果，其中甲糖果占，再放入16块乙糖果后，甲糖果与现在糖果总数之比是，这堆糖果中有多少块甲糖果？ 【答案】9块 【知识点】比的应用 【分析】本题考查了比的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设这堆糖果中有x块甲糖果，再用x表示出原来糖果总数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设这堆糖果中有x块甲糖果， 则原来糖果总数为， 因为放入16块乙糖果后， 所以现在糖果总数为， 因为甲糖果与现在糖果总数之比是， 所以， 解得：， 答：这堆糖果中有块甲糖果． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 一条猎狗发现在离它12米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子能跑3步，猎狗至少跑__________米才能追上兔子． 【答案】72 【知识点】比的应用 【分析】本题考查了比的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设猎狗跑米追上兔子，则兔子跑米；根据猎狗和兔子的步长关系与时间关系，求出速度比为，再根据追及问题中路程比等于速度比，列出方程求解． 【详解】解∶设猎狗跑米才能追上兔子，则兔子跑的距离为米． 由条件，猎狗跑步的路程兔子跑步，得步长比； 猎狗跑步的时间兔子跑步，可得二者的步数比为，故速度比为． 追及过程中时间相同，路程比等于速度比，即： 解得∶， 所以猎狗至少跑72米才能追上兔子． 故答案为：72． 比例的应用（共4小题） 【例5】（24-25六年级下·上海崇明·期中）（用比例方法解题）已知公斤葡萄可榨出葡萄汁公斤，问：公斤葡萄可榨出葡萄汁多少公斤？ 【答案】120公斤葡萄可榨葡萄汁公斤 【知识点】 比例的应用 【分析】本题考查正比例的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：设120公斤葡萄可榨葡萄汁公斤，根据题意，得 （公斤）． 答：120公斤葡萄可榨葡萄汁公斤． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）已知，求： (1)的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】 比例的应用、 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据题比例的性质，进行计算即可求解． （1）根据题意得出，，进而计算的值； （2）根据（1）可得，，结合得出，即可求解． 【详解】（1）解： ∴, 即， ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）小杰身高米，他在阳光下测得自己的影子长为米，同时他测得他身旁的一根电线杆的影子长为米，求这根电线杆的实际长度是多少米？ 【答案】6米 【知识点】 比例的应用 【分析】本题考查比例的应用，熟知在同一时刻，物体高度和影子长度的比值是相同的是解题的关键． 设电线杆实际长度为x米，根据物体高度和影子长度的比值是相同列出比例，根据比例性质直接解答即可． 【详解】解：设这根电线杆的实际长度是x米，根据题意得 解得：； 答：这根电线杆的实际长度是6米． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）圣诞节，傅妈妈准备制作六人份的果冻，食谱中说明“一人份果冻需要砂糖克”，同时也注明：“砂糖克可换成糖浆小勺”．在制作过程中，傅妈妈在加入了5克砂糖后发现砂糖不够了，不足的砂糖准备按比例换成糖浆，请问，再需要加入几小勺糖浆？ 【答案】再需要加入21小勺糖浆． 【知识点】 比例的应用 【分析】本题考查了比例的应用；解决本题关键是先根据乘法的意义求出一共需要砂糖的质量，进而求出还需要砂糖的质量，再把这些砂糖换算成糖浆的勺数即可． 一人份果冻需要砂糖克，那么人份就需要砂糖个克，即克，减去已有的砂糖克，就是还缺少砂糖的量；“砂糖克可换成糖浆小勺”，再用缺少的砂糖的质量除以克，看缺少几份砂糖，再乘勺，即可求出需要加入糖浆的勺数． 【详解】解： (勺) 答：再需要加入21小勺糖浆． 比例尺应用（共4小题） 【例6】（24-25六年级下·上海·期中）在手机地图上测得从家到学校的图上距离是厘米，已知手机地图的比例尺是，则从家到学校的实际距离是______千米． 【答案】 【知识点】比例尺应用 【分析】本题考查了比例尺，熟练运用比例尺图上距离实际距离进行计算是解题的关键．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：家到学校的实际距离是； 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）晓华计划五一小长假乘坐“复兴号”列车去成都熊猫基地游玩，他在一幅比例尺是的中国地图上量得上海到成都的距离大约是25厘米，则上海到成都的实际距离为_____千米． 【答案】2000 【知识点】 图上距离与实际距离的换算、比例尺应用 【分析】根据比例尺的定义，得到图上距离与实际距离的关系，计算出实际距离后进行单位换算即可得到结果． 【详解】解：设上海到成都的实际距离为x厘米， 根据比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，可得 解得厘米， ∵千米厘米， ∴厘米千米， 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）比例尺为的地图上，A、B两地的长度为则A、B两地的实际距离为______ 【答案】2.6千米 【知识点】 图上距离与实际距离的换算、比例尺应用 【分析】此题考查了比例尺，熟练掌握比例尺定义，是解题的关键．图上距离:实际距离=比例尺，注意统一单位． 设实际距离为x千米，根据比例尺为，列比例式，计算即可． 【详解】设实际距离为x千米， 则， ∴， 解得； 故答案为：2.6千米． 【变式3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地间的铁路长6厘米．两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知从甲地开出的火车每小时行驶125千米，从乙地开出的火车每小时行驶115千米，________ 小时后两车相遇． 【答案】5 【知识点】比例尺应用 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，可求出甲、乙两地的实际距离，再根据相遇问题的数量关系：相遇时间=总路程÷速度和，代入数据计算即可． 【详解】解：厘米， 厘米千米， （小时）． 税率问题（共4小题） 【例7】（24-25六年级下·上海·期中）小华的爸爸4月的工资薪金收入为12000元，按个人所得税规定，个税起征点为每月5000元（收入5000元以下的免税），超过部分：金额不足3000元的税率为，超过3000元不足12000元的税率为，小华的爸爸4月应上缴税金________元． 【答案】 【知识点】税率问题 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，先求出缴税的金额为7000元，再分别计算出3000元4000元的缴税金额，二者求和可得答案． 【详解】解：元， 元， 所以小华的爸爸4月应上缴税金元． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）某工厂按的税率计算，应纳税万元，则该工厂的计税金额是_____万元． 【答案】165 【知识点】税率问题 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，用纳税金额除以税率即可得到答案． 【详解】解：万元， ∴该工厂的计税金额是165万元， 故答案为：165． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）某企业进口一宗货物，关税按货物价值计算，共缴纳关税万元，则该货物的价值是______万元． 【答案】30 【知识点】税率问题 【分析】本题考查了百分数的应用，正确列出运算式子是解题关键．利用缴纳关税的金额除以关税率即可得． 【详解】解：由题意可知，该货物的价值是（万元）， 故答案为：30． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）小海的爸爸得到一笔5000元的稿费，其中1000元是免税的，其余部分按的税率缴纳个人所得税，这笔稿费一共要缴纳的个人所得税是_______． 【答案】800元 【知识点】税率问题 【分析】本题考查所得税问题． 先求出缴纳个人所得税的部分，再乘以即可． 【详解】解：∵小海的爸爸得到一笔5000元的稿费，其中1000元是免税的， ∴缴税部分共（元）， ∵按的税率缴纳个人所得税， ∴这笔稿费一共要缴纳的个人所得税是（元）， 故答案为：800元． 利润问题（共4小题） 【例8】（24-25六年级下·上海崇明·期中）一件玩具定价84元，可盈利二成，则它的成本价为_____元． 【答案】70 【知识点】 利润问题 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，根据题意可得定价是成本价的，据此列式求解即可． 【详解】解：元， 所以这个玩具的成本价为70元， 故答案为：70． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一套运动装以280元出售，可盈利，那么这套运动装的成本价是______元． 【答案】200 【知识点】 利润问题 【分析】设成本价为x元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设成本价为x元，根据题意，得， 解得． 故答案为：200． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一件上衣售价为1200元，盈利率为，则这件上衣的进价为______元． 【答案】1000 【知识点】 利润问题 【分析】本题考查了百分数在利润问题中的应用，解题关键是明确售价、进价和盈利率的关系，将进价看作单位“”，利用售价与进价、盈利率的数量关系求解 ． 把进价看作单位“”，因盈利率为，所以售价是进价的 ，已知售价元，用售价除以 ，即可算出进价． 【详解】解：根据题意得 （元）； 故答案为：1000． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）甲、乙两种商品成本共200元，商品甲按的利润定价，商品乙按的利润定价，后来应顾客的请求，两种商品都按定价的出售，结果仍获利元 (1)问两种商品的总定价为多少元？ (2)商品甲、商品乙的成本各是多少？ 【答案】(1)253元 (2)商品甲的成本为130元，商品乙的成本为70元． 【知识点】 利润问题 【分析】本题考查利润问题中成本、定价、售价、利润的关系及百分数运算，解题关键是利用“售价成本（利润率）折扣”，结合总利润建立等式。 （1）根据总售价成本利润，得出元，然后利用总售价是总定价的，利用百分数除法即可解答； （2）设甲成本为元，乙成本为元  写出甲、乙折扣后售价：根据甲售价乙售价，列百分数方程，解方程即可解答 【详解】（1）解：因为，甲、乙两种商品成本共200元，获利元， 所以，总售价为元． 因为总售价是总定价的， 所以总定价为元． （2）解：设商品甲的成本为元，商品乙的成本为元，根据题意，折扣后总售价为： 解得， 商品乙的成本为元， 答：商品甲的成本为130元，商品乙的成本为70元． 利率问题（共4小题） 【例9】（24-25六年级下·上海·期中） 小王把10000元现金存入银行，年利率是，定期3年，到期后小王能从银行取回多少钱？ 【答案】10615元 【知识点】利率问题 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，利息本金年利率存款时间，据此求出利息即可得到答案． 【详解】解： 元， 答：到期后小王能从银行取回10615元． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰有一笔2000元的银行存款，定期两年，按年利率1．8%计算，到期时他的这笔存款可获得的利息为______元． 【答案】72 【知识点】利率问题 【分析】该题是利率问题，解答此题的关键是根据利息的计算公式计算利息：利息本金利率时间． 利用利息本金年利率时间，由此代入数据计算出利息，进而根据一个数乘分数的意义用乘法解答即可得出结论； 【详解】解：（元）； 答：到期时他的这笔存款可获得的利息为72元． 故答案为：72． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）今年银行的利率分别是：定期一年，定期两年，乐乐家要存20000元定期，爸爸妈妈有不同的方案． (1)妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ (2)爸爸认为用20000元直接存两年的定期．到期可得利息多少？如果你是乐乐，你会支持谁的方案？ 【答案】(1)两年一共可得利息元 (2)到期可得利息元，会支持爸爸的方案 【知识点】利率问题 【分析】此题考查百分数利率问题的混合运算： （1）根据本金乘以一年定期的利率，再加上本金乘以一年的年利率即可； （2）用本金乘以两年期年利率乘以2即可得到利息． 【详解】（1）元， ∴两年一共可得元利息； （2）元元， ∴到期可得利息860元，如果我是乐乐，我会支持爸爸的方案． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）小明有10000元钱，打算存入银行两年，有两种储蓄的方法，一种是存两年期的，年利率是；另一种是先存一年期的，年利率是，第一年到期时把本金和利息取出来合在一起，再存入一年．问：选择哪种办法得到的利息多一些？ 【答案】存两年期得到的利息多一些 【知识点】利率问题 【分析】分别求出两种储蓄的方法到期时的利息,比较即可得出答案． 【详解】解：存两年期的利息，（元， 先存一年期的利息，（元， 再存入一年的利息，（元， 共（元， 存两年期得到的利息多一些． 折扣问题（共4小题） 【例10】（24-25六年级下·上海长宁·期中）小延妈妈开车从上海上高速，到杭州高速出口时，（电子收费系统，缴费打九八折）显示收费为元，用缴费节省了 ________ 元． 【答案】 【知识点】 折扣问题 【分析】先根据的折扣和折后收费求出原收费金额，再用原收费金额减去折后收费金额，即可得到节省的金额． 【详解】解：设原收费金额为元， 由题意得：， 解得：， 则节省的金额为：（元）． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）某商店进一批衣服，每件衣服标价150元，打八折出售后还有的盈利率，那么每件衣服的进价是多少元？ 【答案】每件衣服的进价是100元 【知识点】 折扣问题 【分析】设每件衣服的进价是x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每件衣服的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件衣服的进价是100元． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）一副耳机原价240元，先提价，然后在提价的基础上打九折，现在的价格是 __ 元． 【答案】237.6 【知识点】 折扣问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】第一次提价的是240元的10%，第二次打折是元的九折，据此列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得： （元， 则现在的价格是237.6元， 故答案为：237.6． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 一种电脑原价为8800元，第一次降价，第二次又在降价的基础上降价，两次降价后电脑售价为多少元？有顾客认为：这样两次降价就是降了两个，相当于在原价基础上打了八折，你认为这位顾客的想法正确吗？请说明理由． 【答案】7128元，不正确；理由：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算的，其折扣基数不是原价，故两次降价不等于一次性降价． 【知识点】 折扣问题 【分析】本题考查了折扣问题，解题关键是能正确列出算式计算． 根据题意，分别两次降价后电脑售价、顾客认为相当于在原价基础上打八折的价格，比较后作出判断． 【详解】解：​原价为8800元， 第一次降价，则降价后价格为： （元）， 第二次在第一次降价的基础上再降价，则最终售价为： （元）， 因此，两次降价后电脑售价为7128元． ​顾客认为相当于在原价基础上打八折（即降价）， 则计算价格为：（元）， 显然，， 所以顾客的想法不正确． 理由：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算的，其折扣基数不是原价， 故两次降价不等于一次性降价． 比例尺应用中的单位换算失误（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）已知某地图的比例尺为：，若两地的在地图上的距离是，实际距离为______． 【答案】 【知识点】 图上距离与实际距离的换算 【分析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．要求两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为______千米． 【答案】 【知识点】 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题主要考查比例的性质，解题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，注意单位的转换．根据题意知，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例，由此列式解答即可． 【详解】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米， 根据题意得，， 解得， 千米． 即甲乙两地的实际距离为千米． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）有一幅比例尺为的地图，图上量得9厘米的两地的实际距离为______千米． 【答案】 【知识点】 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算． 求实际距离，根据公式“图上距离比例尺实际距离”进行解答即可． 【详解】解：（厘米）， 厘米千米， 答：两地之间的实际距离是千米； 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）一种零件的实际长度是，画在图纸上的尺寸是，则这张图纸的比例尺是 __ ． 【答案】 【知识点】 图上距离与实际距离的换算 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比． 【详解】解：因为， 所以这张图纸的比例尺． 故答案为：． 比的应用中按比例分配的份数陷阱（共3小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 班级男生与女生人数比为，若男生有16人，则全班共 （    ） A．20人 B．36人 C．45人 D．64人 【答案】B 【知识点】比的应用 【分析】本题主要考查了比的应用，用男生人数除以男生的人数占比即可得到答案． 【详解】解：因为班级男生与女生人数比为，男生有16人， 所以全班共人， 故选：B． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）用一根长的铁丝围成一个长方形，长方形长和宽的比为，长方形的面积是多少？ 【答案】8000平方厘米 【知识点】比的应用 【分析】本题主要考查比例分配问题，用这根铁丝的长度除以2就是这个长方形的长、宽之和，再把长、宽之和平均分成份，用除法求出1份的长度，再分别求出5份（长方形的长）、4份（长方形的宽）各是多少，最后再根据长方形的面积计算公式即可求出这个长方形的面积． 【详解】解：（厘米）， （厘米）， （厘米）， （厘米）， （平方厘米）， 答：长方形的面积是8000平方厘米． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）有三个水桶，它们的总容积是升，现两桶装满水，桶是空的；小明发现若将桶水的全部和桶水的倒入桶，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，都可以将桶恰好装满．求： (1)A桶和B桶容积的比是多少？ (2)三个水桶的容积各是多少？ 【答案】(1)A桶和B桶容积的比是 (2)桶的容积是480升，桶的容积是400升，桶的容积是560升 【知识点】 按比例分配问题、 比例的应用 【分析】本题考查了比例的应用；关键在于根据题目数量关系列出比例式，进而计算出每个水桶的容积之比，然后进行解答． （1）根据题意可得桶水的等于桶水的，即A桶和B桶容积的比是， （2）根据桶水为桶水，进而得出A、B、C桶容积的比是，结合三个水桶，它们的总容积是升，按比例分配进行计算即可求解． 【详解】（1）解：将桶水的全部和桶水的倒入桶， 或将桶水的全部和桶水的倒入桶， ∴桶水的等于桶水的 ∴桶水的全部等于桶水的 ∴A桶和B桶容积的比是 （2）解：设 A桶和B桶容积分别为，则即 将桶水的全部和桶水的倒入桶，可以将桶恰好装满． ∴ ∴ ∴A、B、C桶容积的比是 ∵三个水桶，它们的总容积是升， ∴桶容积是 升， 桶容积是升， 桶容积是升， 答：桶的容积是480升，桶的容积是400升，桶的容积是560升． 百分率问题中的 “标准量” 判定（共3小题） 【例3】（24-25六年级下·上海金山·期中）已知P是线段上一点，如果，那么点P是线段的黄金分割点，其中叫做黄金分割数，此时占的百分比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】本题考查了求百分比，即求一个数是另一个数的百分之几；根据得，则可求得占的百分比． 【详解】解：由知，； 而， 所以， 则占的百分比为； 故选：B． 【变式1】如图，阴影部分面积是大正方形面积的，是圆面积的，则圆面积是大正方形面积的______． 【答案】 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】根据圆的面积与阴影部分面积的关系，大正方形面积与阴影部分面积的关系得到圆的面积：大正方形的面积，由此即可得到答案． 【详解】解：因为阴影部分面积是大正方形面积的， 所以大正方形面积是阴影部分面积的4倍， 因为阴影部分面积是圆面积的， 所以圆的面积是阴影部分面积的倍， 所以圆的面积：大正方形的面积， 所以圆的面积是大正方形面积的， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了百分数的应用，正确求出圆的面积：大正方形的面积是解题的关键． 【变式2】张老师统计了六（1）班参加学校合唱比赛的情况，六（1）班当天的出勤率是( )． 六（1）班出勤人数：48人 请假：2人 【答案】96 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】本题主要考查求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题），先用出勤人数请假人数，求出六（1）班的总人数，再根据出勤率出勤人数总人数，代入数据，即可求出六（1）班当天的出勤率． 【详解】解： ， 六（1）班当天的出勤率是． 故答案为：96． 含百分数运算的符号与步骤错误（共4小题） 【例4】（22-23六年级上·上海松江·期末）求的值：． 【答案】 【知识点】 比例的基本性质、含百分数的运算 【分析】根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，再根据等式的性质，即可得到原比例的解． 【详解】解：整理得，即， ， 解得． 【点睛】本题考查了比和比例，解方程，解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答． 【变式1】计算：． 【答案】0.45 【知识点】含百分数的运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法运算律和百分数的计算，先将化为小数，再利用逆用乘法分配律进行计算即可，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 【详解】原式 ． 【变式2】计算：． 【答案】 【知识点】含百分数的运算 【分析】本题考查含百分数的混合运算，掌握运算顺序是解决本题的关键． 先计算括号内的，在计算乘除，最后进行加减运算． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期中）某品牌电脑进价为每台4000元，商家准备以的盈利率定价出售． (1)求这台电脑的定价是多少元？ (2)后来商家搞促销活动，该品牌电脑按定价的八折出售，求打折以后商家的实际盈利率． 【答案】(1)这台电脑的定价是元； (2) 【知识点】含百分数的运算、 折扣问题、 利润问题 【分析】本题考查的是百分数乘法应用题． （1）根据商家准备以50%的盈利率定价出售进行列式计算即可； （2）根据利润除以进价乘以进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， （元） 答：这台电脑的定价是元； （2）， 答：打折以后商家的实际盈利率为． 比的性质（共5小题） 【例1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个比值不为零的比，当它的后项变为原来的一半，前项不变，则它的比值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．和原来一样 D．扩大，但不能确定扩大多少 【答案】A 【知识点】比的性质 【分析】本题主要考查了比的性质，设比例，当它的后项变为原来的一半，前项不变即即可得出答案． 【详解】解：设比例， 则， 则比值扩大为原来的2倍， 故选∶A 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）已知，，则______． 【答案】 【知识点】比的性质、 求比值 【分析】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）已知；，求． 【答案】 【知识点】比的性质、比的意义 【分析】本题考查比的运算，解题的关键是熟练运用分数的基本性质，本题属于基础题型．根据比的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求x的值：． 【答案】 【知识点】比的性质 【分析】利用内项之积等于外项之积得到，然后解方程即可． 【详解】解： 即， ， ， ， 合， ． 【变式4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）根据下列已知条件，求． (1)，； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】 比的化简、比的性质 【分析】（1）先利用比的性质把已知的两个比化为整数比，然后根据比的性质，将两个比中的值化为相同的数，由此即可得； （2）先利用比例的性质求出和，得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积）是解决问题的关键． 解比例（共5小题） 【例2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求x的值： 【答案】 【知识点】解比例 【分析】本题考查了解比例，熟练掌握比例的基本性质是解题关键．根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查学生依据等式的性质，依据比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号． 先根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质求解． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求下列式子中x的值：． 【答案】36 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解比例 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【变式4】（24-25六年级下·上海·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查了比例的性质、解一元一次方程等知识点，掌握两内项之积等于两外项之积成为解题的关键． （1）先根据比例的基本性质得到一元一次方程求解即可； （2）先根据比例的基本性质得到一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 比的化简（共5小题） 【例3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）六（1）班有男生20人，女生30人，则男生与女生的人数比是 ________ （填最简整数比）． 【答案】 【知识点】 比的化简 【分析】根据比的意义写出男生人数与女生人数的比，再结合比的基本性质化简即可得到最简整数比． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）化简比： __ ． 【答案】 【知识点】 比的化简 【分析】本题考查了比的化简，将小数化为分数，再根据比的基本性质化简． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）把下列各比化为最简整数比： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】 比的化简 【分析】（1）将三个数都化成分母为4的分数，再计算即可； （2）先换算单位，再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 【答案】(1) (2) 【知识点】 比的化简 【分析】本题考查了比的化简，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将小时化为分钟，再求解； （2）先将百分数化为分数，再求解． 【详解】（1）解：小时分钟， 15分钟：小时 ； （2）：： ． 【变式4】（24-25六年级下·上海·期中）已知，，求．（用最简整数比表示） 【答案】 【知识点】 比的化简 【分析】先利用比例性质把和化为最简整数比，然后把比值的前项都化为15，从而得到的最简整数比． 【详解】解：∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 比例的基本性质（共5小题） 【例4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）不能与3，6，9组成比例的数是（    ） A．2 B．12 C． D．18 【答案】B 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是判断四个数是否满足“两内项之积等于两外项之积”． 分别计算每个选项与3，6，9组合后，是否存在两组数乘积相等的情况；若存在，则能组成比例；若不存在，则不能组成比例． 【详解】解：根据比例的基本性质：若四个数能组成比例，则其中两数之积等于另两数之积． 选项A：，，，能组成比例，此选项不符合题意． 选项B：，，；，，；，，，不存在两组数乘积相等的情况，不能组成比例，此选项符合题意． 选项C：，，，能组成比例，此选项不符合题意． 选项D：，，，能组成比例，此选项不符合题意． 故选： 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如果都不为0，且，那么的值为________． 【答案】 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据已知等式，利用等式的基本性质对等式变形，即可求出的值． 【详解】解：且，， ， 即． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）如果a是b和c的比例中项，且，那么_______． 【答案】 【知识点】 比例的基本性质 【分析】根据比例中项的概念可得，变形得到，结合已知的的值即可求出的值． 【详解】解：∵是和的比例中项， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果2是和的比例中项，则的值是 __ ． 【答案】10 【知识点】解比例、 比例的基本性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解比例，根据比例中项的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：是和的比例中项， ， 解得， 故答案为：10． 【变式4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果，． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】 比例的基本性质、 按比例分配问题 【分析】（1）根据比例的基本性质进行解答； （2）根据分数乘法进行列式解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：． 百分数、小数和分数的互化（共5小题） 【例5】（24-25六年级下·上海宝山·期中）把小数化成百分数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 百分数、小数和分数的互化 【分析】此题考查了小数和百分数之间的相互转换，将小数转化为百分数，需将小数点向右移动两位并添加百分号． 【详解】解：将小数转化为百分数时，首先将小数点向右移动两位，得到，随后添加百分号，结果为， 故选：C． 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）在将转化为小数的过程中，第一步去掉“”，第二步将小数点向左移动两位，于是可以化为小数．下列表述正确的是（    ） A．第一步中去掉“”等同于除以 B．第一步中去掉“”等同于乘以 C．第二步中小数点的移动相当于乘以 D．转化为小数得到 【答案】B 【知识点】 百分数、小数和分数的互化 【分析】本题考查了百分数化为小数的计算，掌握其转换方法是关键． 根据百分数与小数的相互转换方法计算即可． 【详解】解：将转化为小数的过程中，第一步去掉“”等同于乘以， 第二步将小数点向左移动两位相当于除以， 可以化为小数， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期中）把化成百分数正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【知识点】 百分数、小数和分数的互化 【分析】本题考查百分数给与小数的互化，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 将小数化成分数，再化成百分数即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） _________． 【答案】55 【知识点】 百分数、小数和分数的互化 【分析】本题主要考查了分数与百分数的转换，先把分数化为小数，再把小数化为百分数即可． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海虹口·期中）在、0.9、、四个数中，最接近于1的是________． 【答案】 【知识点】 百分数、小数和分数的互化 【分析】本题主要考查了分数、百分数转化成小数；先把分数，百分数转化成小数然后比较即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，，， ， 则，0.9、、四个数中，最接近于1的是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $概念：两数相除关系，记作α：b或号(b≠卡0)。结果称为比值。 基本性质：比的前项与后项同乘或同除一个非零数，比值不变。 一、比 a:b=(ka):(kb)=():()(k≠0) 最简整数比：前后项为互素的整数。 比、除法、分数关系：a:b=a÷b=号（意义不同，形式互通)。 概念：表示两个比相等的式子。若a:b=c:d或号=气，则a,b,c,d成比例。 比与比例 二、比例 比例中项：若a:b=b:c,则b是a和c的比例中项，满足b2=aC。 基本性质：两内项之积等于两外项之积。 若号=台，则ad=bc 概念：表示一个数是另一个数的百分之几，记作%。 三、百分数 求百分率：百分率=蟹×100% 折扣与成数：几折、几成即为百分之几十。 核心公式 税率问题：应纳税额三计税金额×税率 利率问题：利息=本金×利率×存期 专题01 比与比例 思维导图 串 考点清单 理 知识点1 比和比的基本性质 1.概念：与相除，叫作与的比．记作.叫作比的前项，叫作比的后项．前项除以后项所得的商叫作比值．比值是一个数，可以用分数，小数或整数表示． 【易错提醒】 球类比赛中的＂比＂（其实是比分），比号后面的数可以是0，也可以是；而数学中的＂比＂，比号后面的数（相当于除数）不可以是0. 2.求比值的方法 用比的前项除以比的后项.【提醒】比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示. 3.比和比值的联系和区别 （1）联系：比和比值都可以用分数形式表示 （2）区别：比表示两个数量之间的相除关系，只能写成或的形式；比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 4.比、除法、分数三者之间的关系 （1）联系 （2）区别 ①意义不同:比表示两个数量之司的相除关系;除法是一种运算;分数是一个数. ②表示方法不同:作为一种运算除法算式不能用分数形式表示;比可以用分量的比.数形式表示,但分数不一定表示两个数 ③结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才进行计算;而分数本身就是一个数,无须计算. 5.求比中未知项的方法 比的前项比的后项比值，比的后项比的前项比值。 6.比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变，即 7.化简比与最简单的整数比 （1）最简整数比:指比的前项与后项都是整数，且它们互素． （2）化为最简单的整数比方法：利用比的基本性质． （3）化简比和求比值的区别： 化简比 求比值 意义不同 两个数的化成最简整数比 比的前项除以比的后项所得的商 计算方同 利用比的基本性质运算 比的前项除以比的后项 结果不同 得到一个比 得到一个数 8.连比 1．像这样的比称为三项的比．如果 ，那么． 2．基本性质 知识点2 比例和比例的基本性质 1.概念：在 四个量中，如果 ，那么就说 成比例． 也可以表示为 ． 成立，那么把 叫作 和 的比例中项． 2.比例的基本性质 如果 或 ，那么 ．两个外项的积等于两个内项的积． 【拓展】常用的比例变形： （1）交换两内项，得 ； （2）交换两外项，得 ； （3）同时交换两个内，外项，得 ． 3.比和比例的区别与联系 比 比例 意义 两个数相除叫作这两个数的比.比表示两个数相除的关系 比例表示两个比相等,是一个等式 各部分的名称 比例是由两个比值相等的比组合而成的,即比是比例的一部分 各部分的名称 比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项 两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变，用字母表示： ： 均不为 0 或均不为 0，那么 4.比例方程 如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项. 5.比例的应用 (1)比例尺 公式：图上距离∶实际距离＝比例尺。 分类：缩小比例尺和放大比例尺． 知识点3 百分数 1.概念：把两个数量的比值写成的形式,这种形式的数叫作百分数,也称为百分比或百分率,记作“ ”,读作“百分之n”其中,符号“%”称为百分号. 【提醒】“%”读作“百分之”不能读作“一百分之”，且“%”前面的数要按照整数、小数的读法去读. 2.百分数的读法：百分数的读法与分数的读法类似,先读分母,即“%”,再读分子,例如:14%就是读作百分之十四 3.百分数的写法：写百分数时,先写分子,再在分子的后面加上“%”例如: 百分之二十一 写作:21%; 【提醒】书写“%”,两个小圈要写得小些,避免和数字0混淆. 4.百分数和分数的联系与区别 (1)百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍比关系. (2)百分数和分数的区别： 百分数 分数 意义 只表示两个数之间的倍比关系,不能带单位名称 既可以表示具体数量,又可以表示两个数之间的倍比关系。表示具体数量时,可以带单位名称 分子 可以是整数,也可以是小数 分子不能是小数,只能是非0自然数 约分 不可以约分 一般能通过约分化成最简分数 应用范围 在生产和生活中常用于调查统计、分析和比较 常在计算、测量中得不到整数结果时使用 5.小数、分数和百分数的互化 （1）把小数化成百分数的方法:可以先把小数改写成分母是100的分数,再把分数化成百分数;也可以把小数点向右移动两位,当位数不够时,用“0”补足,同时在后面添上百分号。 （2）把分数化成百分数的方法:可以先将能化成有限小数的分数改写成分母是100的分数再化成百分数;也可以先把分数化成小数,再把小数化成百分数。除不尽时，通常保留三位小数。 （3）百分数化成小数的方法：可以先把百分数改写成分母是100的分数，再把分数化成小数；也可以把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位，当位数不够时，用＂0＂补足。 4.百分数化成分数的方法：把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的一般要约成最简分数。 【知识拓展】 把分子是小数的百分数化成分数的方法：先把百分数改写成分母是100的分数，再根据分数的基本性质把分子是小数的分数化成分子是整数的分数，最后化简。如 6.百分数的应用 占比问题常用关系式： (已知甲和乙，求百分比)甲是乙的百分之几 (已知甲，求乙)乙是甲的百分之n (已知乙，求甲)乙是甲的百分之n (已知甲，求乙)乙比甲多(少)百分之n (已知乙，求甲)乙比甲多(少)百分之n (已知甲和乙，且甲>乙，求谁比谁多(或少)百分比) ①甲比乙多百分之n ②乙比甲少百分之n 2.生活中的百分率 百分率没有单位名称。 某个部分的量与整体的量之比，其结果通常用百分数表示，即占比。 提示：＂相当于，不影响计算结果，加上这个记号，是为了强调结果记为百分数． 百分率 意义 学生的出勤率 出勤的学生人数占学生总人数的百分比。 绿豆的发芽率 发芽的绿豆种子数占试验的绿豆种子总数的百分比。 产品的合格率 合格的产品数占抽检产品总数的百分比。 小麦的出粉率 面粉的质量占小麦总质量的百分比。 树木的成活率 成活的树木棵数占种植的树木总棵数的百分比。 出油率 油的质量占油料作物总质量的百分比。 及格率 及格人数占考试总人数的百分比。 … … 不同百分率的计算方法 出勤率 发芽率 合格率 出粉率 成活率 出油率 及格率 … 【归纳总结】 求各种百分率的实质就是“求一个数是另一个数的百分之几”,在计算时要乘100%,把结果化成百分数。 3.折扣问题 (1)打几折就是按原价的百分之几十出售;打几几折就是按原价的百分之几十几出售. 例如:打“九折”就是按原价的 90%出售,打“八五折”就是按原价的 85%出售， 易错辨析 打几折不是售价减少了原价的百分之几十. (2)按原价的百分之几十出售就是打几折;按原价的百分之几十几出售就是打几几折. 例如:按原价的 80%出售就是打八折;按原价的88%出售就是打八八折。 (3)折扣问题的解题方法 现价=原价×折扣 便宜的钱数＝原价×(1－折扣) 折扣＝现价÷原价 (4)已知现价和折扣,求原价的方法(2种方法） ①可以根据“原价×折扣＝现价”列方程解答;②也可以用“原价=现价·折扣”来计算. 归纳总结 与折扣有关的实际问题的解题方法: (1)已知原价和折扣,求现价:现价=原价×折扣。 (2)已知原价和折扣,求便宜的钱数:便宜的钱数＝原价－原价×折扣或便宜的钱数＝原价×(－折扣)。 (3)已知现价和折扣,求原价:①根据“原价×折扣＝现价”列方程解答;②原价=现价÷折扣。 (4)已知原价和现价,求折扣:用现价除以原价,结果用百分数表示,同时在答语中要体现出来。 4.成数问题 (1)成数改写成百分数: 成数 十分之几 百分数 一成 十分之一 10% 二成 十分之二 20% 三成五 十分之三点五 35% (2)百分数改写成成数:百分之几十改写成成数就是几成,百分之几十几改写成成数就是几成几。 例如:90%改写成成数就是九成,85%改写成成数就是八成五。 归纳总结 在工农业生产和日常生活中经常用成数表示生产的增长和降低情况,成数已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况,“几成”就是十分之几,也就是百分之几十。 (3)成数问题的解题方法 解决成数问题时,把成数转化为百分数后,解题思路和解题方法与百分数问题完全相同. 5.税率问题 （1）应纳税额:应缴纳的税款叫作应纳税额。 （2）税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额…)中应纳税部分的比率叫作税率。税率也是百分率的一种,通常用百分数表示. （3）纳税问题的解题方法 应纳税额＝销售额中的应纳税部分×税率 销售额中的应纳税部分＝应纳税额÷税率 拓展注解 1.相关纳税问题的解题方法: (1)已知应纳税额和收入中应纳税部分的金额,求税率的方法: 税率＝ (2)已知应纳税额和税率,求收入中应纳税部分的金额的方法: 收入中应纳税部分的金额＝应纳税额÷税率 2.有时并不是全部收入都需要纳税,此时,应纳税所得额是指把收入额按规定扣除不纳税项目的余额。例如:2018年10月份个人工资或薪金收入5000元以上的部分需要纳税,而5000元及以下的部分不需要纳税,这里的应纳税所得额指的是全部收入减去 5000 元所得的差额。 6.储蓄问题 储蓄的相关概念 (1)本金:存人银行的钱叫作本金 (2)利息:取款时银行多支付的钱叫作利息 (3)利息的计算公式:利息＝本金×利率×存期。 题型清单 解 求比值（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）求比值：小时1小时20分钟________． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求比值：米厘米=______． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求比值：18小时天 __ ． 【变式3】[高频考题]（24-25六年级下·上海·期中）已知，，求． 比例尺的意义（共3小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中）一幢大楼的高是30米，画在图上为15厘米，图纸上的尺寸与实际的尺寸的比是______． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥得实际长度是（   ） A．米 B．千米 C．千米 D．米 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）在一副地图上量得、两地距离为8厘米，已知、两地的实际距离为240千米，则这地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 比例的意义（共3小题） 【例3】（24-25六年级下·上海普陀·期中）下列各个比中，能与组成比例是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【变式2】（24-25六年级下·上海金山·期中）有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 比的应用（共4小题） 【例4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）《中华人民共和国国旗法》对国旗的制作有明确规定．中华人民共和国国旗是长方形，长与宽之比为，下列对于国旗通用尺度（单位：）不符合规格的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果圆上一段弧长为15.7，它所对的圆心角为，那么这个圆的半径为 __（取3.14）． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中） 有一堆糖果，其中甲糖果占，再放入16块乙糖果后，甲糖果与现在糖果总数之比是，这堆糖果中有多少块甲糖果？ 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 一条猎狗发现在离它12米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子能跑3步，猎狗至少跑__________米才能追上兔子． 比例的应用（共4小题） 【例5】（24-25六年级下·上海崇明·期中）（用比例方法解题）已知公斤葡萄可榨出葡萄汁公斤，问：公斤葡萄可榨出葡萄汁多少公斤？ 【变式1】[高频考题]（24-25六年级下·上海·期中）已知，求： (1)的值； (2)若，求的值． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）小杰身高米，他在阳光下测得自己的影子长为米，同时他测得他身旁的一根电线杆的影子长为米，求这根电线杆的实际长度是多少米？ 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）[溶质问题]圣诞节，傅妈妈准备制作六人份的果冻，食谱中说明“一人份果冻需要砂糖克”，同时也注明：“砂糖克可换成糖浆小勺”．在制作过程中，傅妈妈在加入了5克砂糖后发现砂糖不够了，不足的砂糖准备按比例换成糖浆，请问，再需要加入几小勺糖浆？ 比例尺应用（共4小题） 【例6】（24-25六年级下·上海·期中）在手机地图上测得从家到学校的图上距离是厘米，已知手机地图的比例尺是，则从家到学校的实际距离是______千米． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）晓华计划五一小长假乘坐“复兴号”列车去成都熊猫基地游玩，他在一幅比例尺是的中国地图上量得上海到成都的距离大约是25厘米，则上海到成都的实际距离为_____千米． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）比例尺为的地图上，A、B两地的长度为则A、B两地的实际距离为______ 【变式3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地间的铁路长6厘米．两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知从甲地开出的火车每小时行驶125千米，从乙地开出的火车每小时行驶115千米，________ 小时后两车相遇． 税率问题（共4小题） 【例7】（24-25六年级下·上海·期中）小华的爸爸4月的工资薪金收入为12000元，按个人所得税规定，个税起征点为每月5000元（收入5000元以下的免税），超过部分：金额不足3000元的税率为，超过3000元不足12000元的税率为，小华的爸爸4月应上缴税金________元． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）某工厂按的税率计算，应纳税万元，则该工厂的计税金额是_____万元． 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）某企业进口一宗货物，关税按货物价值计算，共缴纳关税万元，则该货物的价值是______万元． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）小海的爸爸得到一笔5000元的稿费，其中1000元是免税的，其余部分按的税率缴纳个人所得税，这笔稿费一共要缴纳的个人所得税是_______． 利润问题（共4小题） 【例8】（24-25六年级下·上海崇明·期中）一件玩具定价84元，可盈利二成，则它的成本价为_____元． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一套运动装以280元出售，可盈利，那么这套运动装的成本价是______元． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一件上衣售价为1200元，盈利率为，则这件上衣的进价为______元． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）甲、乙两种商品成本共200元，商品甲按的利润定价，商品乙按的利润定价，后来应顾客的请求，两种商品都按定价的出售，结果仍获利元 (1)问两种商品的总定价为多少元？ (2)商品甲、商品乙的成本各是多少？ 利率问题（共4小题） 【例9】（24-25六年级下·上海·期中） 小王把10000元现金存入银行，年利率是，定期3年，到期后小王能从银行取回多少钱？ 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰有一笔2000元的银行存款，定期两年，按年利率1．8%计算，到期时他的这笔存款可获得的利息为______元． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）[方案选择]今年银行的利率分别是：定期一年，定期两年，乐乐家要存20000元定期，爸爸妈妈有不同的方案． (1)妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ (2)爸爸认为用20000元直接存两年的定期．到期可得利息多少？如果你是乐乐，你会支持谁的方案？ 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）小明有10000元钱，打算存入银行两年，有两种储蓄的方法，一种是存两年期的，年利率是；另一种是先存一年期的，年利率是，第一年到期时把本金和利息取出来合在一起，再存入一年．问：选择哪种办法得到的利息多一些？ 折扣问题（共4小题） 【例10】（24-25六年级下·上海长宁·期中）小延妈妈开车从上海上高速，到杭州高速出口时，（电子收费系统，缴费打九八折）显示收费为元，用缴费节省了 ________ 元． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）某商店进一批衣服，每件衣服标价150元，打八折出售后还有的盈利率，那么每件衣服的进价是多少元？ 【变式2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）一副耳机原价240元，先提价，然后在提价的基础上打九折，现在的价格是________元． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 一种电脑原价为8800元，第一次降价，第二次又在降价的基础上降价，两次降价后电脑售价为多少元？有顾客认为：这样两次降价就是降了两个，相当于在原价基础上打了八折，你认为这位顾客的想法正确吗？请说明理由． 比例尺应用中的单位换算失误（共4小题） 【例1】（24-25六年级下·上海·期中）已知某地图的比例尺为：，若两地的在地图上的距离是，实际距离为______． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期中）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为______千米． 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）有一幅比例尺为的地图，图上量得9厘米的两地的实际距离为______千米． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）一种零件的实际长度是，画在图纸上的尺寸是，则这张图纸的比例尺是________． 比的应用中按比例分配的份数陷阱（共3小题） 【例2】（24-25六年级下·上海·期中） 班级男生与女生人数比为，若男生有16人，则全班共 （    ） A．20人 B．36人 C．45人 D．64人 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）用一根长的铁丝围成一个长方形，长方形长和宽的比为，长方形的面积是多少？ 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）有三个水桶，它们的总容积是升，现两桶装满水，桶是空的；小明发现若将桶水的全部和桶水的倒入桶，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，都可以将桶恰好装满．求： (1)A桶和B桶容积的比是多少？ (2)三个水桶的容积各是多少？ 百分率问题中的 “标准量” 判定（共3小题） 【例3】（24-25六年级下·上海金山·期中）已知P是线段上一点，如果，那么点P是线段的黄金分割点，其中叫做黄金分割数，此时占的百分比是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，阴影部分面积是大正方形面积的，是圆面积的，则圆面积是大正方形面积的______． 【变式2】张老师统计了六（1）班参加学校合唱比赛的情况，六（1）班当天的出勤率是( )． 六（1）班出勤人数：48人 请假：2人 含百分数运算的符号与步骤错误（共4小题） 【例4】（22-23六年级上·上海松江·期末）求的值：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期中）某品牌电脑进价为每台4000元，商家准备以的盈利率定价出售． (1)求这台电脑的定价是多少元？ (2)后来商家搞促销活动，该品牌电脑按定价的八折出售，求打折以后商家的实际盈利率． 比的性质（共5小题） 【例1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个比值不为零的比，当它的后项变为原来的一半，前项不变，则它的比值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．和原来一样 D．扩大，但不能确定扩大多少 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）已知，，则______． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）已知；，求． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求x的值：． 【变式4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）根据下列已知条件，求． (1)，； (2)． 解比例（共5小题） 【例2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求x的值： 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）已知，求的值． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中）求下列式子中x的值：． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【变式4】（24-25六年级下·上海·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 比的化简（共5小题） 【例3】（24-25六年级下·上海长宁·期中）六（1）班有男生20人，女生30人，则男生与女生的人数比是 ________ （填最简整数比）． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）化简比： __ ． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）把下列各比化为最简整数比： (1)； (2)． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） 把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 【变式4】（24-25六年级下·上海·期中）已知，，求．（用最简整数比表示） 比例的基本性质（共5小题） 【例4】（24-25六年级下·上海长宁·期中）不能与3，6，9组成比例的数是（    ） A．2 B．12 C． D．18 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）如果都不为0，且，那么的值为________． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）如果a是b和c的比例中项，且，那么_______． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果2是和的比例中项，则的值是 __ ． 【变式4】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果，． (1)求； (2)若，求的值． 百分数、小数和分数的互化（共5小题） 【例5】（24-25六年级下·上海宝山·期中）把小数化成百分数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）在将转化为小数的过程中，第一步去掉“”，第二步将小数点向左移动两位，于是可以化为小数．下列表述正确的是（    ） A．第一步中去掉“”等同于除以 B．第一步中去掉“”等同于乘以 C．第二步中小数点的移动相当于乘以 D．转化为小数得到 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期中）把化成百分数正确的是（    ） A． B． C． D．． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期中） _________． 【变式4】（24-25六年级下·上海虹口·期中）在、0.9、、四个数中，最接近于1的是________． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $