精品解析：云南昆明市第一中学2025-2026学年度下学期第一阶段考试高一数学试题

昆明市第一中学2025-2026学年度下学期第一阶段考试 高一 数学 总分：150分 时间：120分钟 命题：李露 审题：王在方 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 第 I 卷(选择题，共58分) 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i是虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的零点个数不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知正实数满足， 则下列结论正确的是（ ） A. 有最大值 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最大值为 10. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 是的一个对称中心 C. 是奇函数 D. g(x)在上的值域为 11. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共92分) 三 、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，且，则______. 13. 已知向量，，且，则实数__． 14. 已知复数的模长，则的取值范围为___________． 四 、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最大值及相应的x 值集合； （2）求函数的图象的对称轴与对称中心. 16. 已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数的值域． 17. 在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若 的面积为，内角 的角平分线交边于，，求 的长. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2025-2026学年度下学期第一阶段考试 高一 数学 总分：150分 时间：120分钟 命题：李露 审题：王在方 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 第 I 卷(选择题，共58分) 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i是虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数即可得到虚部. 【详解】由题意可知，，所以复数的虚部为1． 故选：A. 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形. 【详解】解：如图，取的中点， 的中点，的中点，连接， 由正方体的性质可知， 由中位线性质可知， 所以，， 所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形． 故选：D． 5. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 6. 方程的零点个数不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． 7. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可. 【详解】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知正实数满足， 则下列结论正确的是（ ） A. 有最大值 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A、C和D，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于A，因为为正实数，且，所以，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，又，为正实数，则， 所以，即，故B正确， 对于C，因为， 当且仅当，即时取等号，所以C错误， 对于D，因为，又由选项A知，所以，故D正确. 10. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 是的一个对称中心 C. 是奇函数 D. g(x)在上的值域为 【答案】CD 【解析】 【详解】由题意，图象上两相邻最高点距离为，故周期， 的周期， 解得，则. 将图象向左平移个单位得 . A中，，因为递减，故递增，不是减函数； B中，，故不是的对称中心； C中，，故是奇函数； D中，在上，，，故. 11. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 第Ⅱ卷(共92分) 三 、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，且，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】由正切二倍角公式得： ， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 因为为锐角，，所以舍去，故. 13. 已知向量，，且，则实数__． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 14. 已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 四 、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最大值及相应的x 值集合； （2）求函数的图象的对称轴与对称中心. 【答案】（1）最大值为，集合为 （2）对称轴为，；对称中心为， 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的性质求出最大值即可. （2）利用正弦函数的对称轴和对称中心即可求出的对称轴与对称中心. 【小问1详解】 当时，，， 即，，此时函数取得最大值为. 故的最大值为，使函数取得最大值的的集合为. 【小问2详解】 由，，得，， 即函数的图象的对称轴为，. 由，，得，， 即对称中心为，. 16. 已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，即可解得或5，根据为奇函数，即可确定m的值. （2）由（1）可得，，令，，利用换元法，即可求得的值域，即可得答案. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，解得或5， 当时，，为奇函数， 当时，，为偶函数， 函数为奇函数，； （2）由（1）可知，，则，， 令，则，， 则，， 函数为开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，函数， 当，函数取得最大值为1， 的值域为，故函数的值域为． 【点睛】解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题. 17. 在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等体积由可得. （2）先证平面平面，则由直线平面可得点P在直线上，进而可得线段长度的最小值 【小问1详解】 依题意有， 所以三棱锥的体积； 【小问2详解】 如图， 连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若 的面积为，内角 的角平分线交边于，，求 的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式进行化简得到，结合同角的三角函数关系求解即可. （2）根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，所以， 则有，即， 所以，整理得， 又，所以， 则，即， 由，得，解得， 又，所以. 【小问2详解】 由，得，又，所以， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， 所以， 解得. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $