6 长方体和正方体-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（苏教版）江苏专用

讲拍 第五单元整合提升 解照 视批 频改 1图略1-1=3 333 4448-8 2+1品 1 1 2021 1 2022 3.1-9021=2027 2022-2022 1- 2023 1 2023 1 2023 1 20242024 因为2021>202>2023> 024所以02020212022028 1 2021202220232024 4.B解析：本题可以分开计算，妈妈给了一杯牛奶， 一共加了合十是-子（杯）水，西为>1，所以喝的 水乡。本题还可以先求喝的液你总量是}十至十 1-是（杯），吗的牛奶受就是原来的1杯，政喝水量为 -1（杯），号>1，放喝的水多。 4 1+21,1 1+2+3 5.12×1+2=36+1812×1+2+3)=72 1,1 1+2+3+4 =1+1+1+1 36T2412×(1+2+3+4)120604030 1+2+3+4+6 1 11 ,1,1 12X1+2+3+4十6)=192+96+64+48+32 解析：12的因数有1、2、3、4、6、12，故分子和分母可同 时乘(1+2)，(1+2+3)，(1+2+3+4)，(1+2+3+ 4+6),(1+2+3+4+6+12)。 六长方体和正方体 第1课时 长方体和正方体的 讲拍 认识 频改 1.B 2.(1)433左右941248(2)36 (3)34(4)甲乙丁 3.10×2+6×2+2×4+15=55(厘米) 4.(8+4+3)×4÷12=5(cm) 5.(1)3 (2)8解析：切成的每个长方体有12条棱，其中 4条棱的长度是6：2=3（厘米），其余8条棱的长度 都是6厘米。 6.80÷(8+8)×12=60(厘米) 2 解析：根据题意，可画出示意图。从图中 可以看出，原来长方体木块的棱长总和相 当于正方体木块(8十8)条棱长的和，由此可以先求出 正方体木块的棱长，进而求出切成的每个正方体木块 的棱长总和。 方法归纳>》 运用转化思想解决求棱长总和的问题 把长方体的棱长总和转化为正方体几条棱 的长度和，就可以求出正方体的棱长，进而求出 正方体的棱长总和。 第2课时 长方体和正方体的 讲拍 解照 视批 展开图 频改 1.(1)3④⑤⑥(2)18(3)C 2.21 后 面 右面 上面 左面 前面 下面 4.(1)C(2)B 5.(5×3)×(2×3)=90(平方厘米)解析：当长方 形纸的面积最小时，能画出的正方体的展开图如图所 示。此时这张长方形纸的长是5×3=15（厘米），宽 是2×3=6（厘米），面积是15×6=90（平方厘米）。 6.5解析：根据②③两种摆法可以看出，与数字5 相邻的数字有2、3、4、6，所以数字5的对面是数字1， 即数字1的对面是数字5。 方法归纳》 运用推理法确定正方体相对面上的数字 先找出正方体中与某一个面相邻的四个面 上的数字，再推出它相对面上的数字。 第3课时长方体和正方体的 讲拍 解照 表面积(1) 视批 频改 1.0.4×1.2×4+0.4×0.4×2=2.24(m) (15×8+15×22+8×22)×2=1252(cm) 2.(1)720(2)132(3)150 3.(1)①③(2)2<2.5纸箱③最节约纸板 (2.5×1.6+2.5×2+1.6×2)×2=24.4(dm2) 4.4a2 5.5分米=0.5米20厘米=0.2米0.2÷2=0.1（米） (0.5×0.5+0.5×0.1+0.5×0.1)×2=0.7(平方 米)0.7×2=1.4（平方米）解析：仔细观察可以发 现，帆布的面积就是两个长是5分米、宽是5分米、高 是(20÷2)厘米的长方体的表面积之和。 6.120÷4-15-9=6(厘米)(15×9+15×6+9× 6)×2=558(平方厘米)解析：先求出长方体框架的 高，再求出长方体框架的表面积，即至少需要彩纸的 面积。 7.(6+2)÷2=4(个)150÷6×4=100（平方厘米） 解析：正方体的表面积是6个正方形的面积之和，把 它切成两个完全相同的长方体，增加了2个面（正方 形)，这时两个长方体的表面积之和相当于正方体 6十2=8（个）面的面积之和，因此每个长方体的表面 积相当于正方体8÷2=4（个）面的面积之和。 方法归纳>》 厘清关系巧求长方体的表面积 解决此类问题时，不一定要求出长方体的 长、宽、高，只要厘清每个长方体的表面积相当于 原来正方体几个面的面积之和即可解题。 第4课时长方体和正方体的 讲拍 解照 表面积(2) 视批 频改 1.(1)1920(2)118 2.10×3.5×2+8×3.5×2=126(平方米) 1.5×1.2×2+1.5×2=6.6(平方米) 126-6.6=119.4(平方米)119.4÷35≈4（桶） 378×4=1512(元) 3.13.8×2+2.5=30.1(cm)36.4>30.125.7> 19.2包得住 4.50×30×4+30×150×2+50×150=22500(cm2) 22500cm2=225dm 5.(80+4)×30=2520(平方厘米)解析：接头处有 4厘米宽，说明包装纸的实际面积比铁盒侧面积多了 “4厘米×高”。若把包装纸展开，则它的长是长方体 铁盒的底面周长与4厘米的和，宽是长方体铁盒的高。 2 6.80×15×2+80×60+60×15+60×(15+5)= 9300(平方厘米)9300平方厘米=93平方分米 解析：制作抽屉的木板包括一块长60厘米、宽15厘 米的长方形木板（后面），两块长80厘米、宽15厘米 的长方形木板（左、右面），一块长80厘米、宽60厘米 的长方形木板（底面），一块长60厘米、宽(15+5)厘 米的长方形木板（拉手所在的面）。 7.解：设长应增加x分米。2x×2十3.x×2=20 x=2解析：增加的表面积就是增加的小长方体上、 下、前、后四个面的面积和，可设长应增加x分米，根 据“上、下两个面的面积和十前、后两个面的面积和= 20平方分米”这一数量关系列方程解答。 讲拍 第5课时练习课 解照 视批 频改 1.(1)48(2)272 2.(1)(9+7+7)×2=46(平方厘米)(2)66 3.(1)D(2)B(3)C 4.209=11×1919=2+17(17×11+17×2 11×2)×2=486(平方厘米)解析：已知上面、前面 这两个面的面积之和是209平方厘米，上面的面积= 长×宽，前面的面积=长X高，则长×（宽十高）= 209平方厘米。把209分解质因数，209=11×19，而 11无法转换成两个质数的和，19可以转换成2+17， 所以这个长方体的长、宽、高的数值（单位：厘米）分别 是11、2、17或11、17、2，再将其代入长方体表面积计 算公式，计算出结果即可。 5.72÷8=9(厘米)高：8÷2=4（厘米）宽：9一 4=5(厘米)表面积：8×5×2+8×4×2+5×4× 2=184(平方厘米)解析：已知上面的面积+前面 的面积=72平方厘米，则宽与高的和为72÷8=9（厘 米)。因为右面的面积是上面的一半，所以高是长的 一半，即高为8÷2=4（厘米）。 讲拍 第6课时体积和容积的意义 解照 视批 频改 1.(1)冰箱草莓(2)镇江香醋镇江香醋瓶 (3)②③ 2.(1)C(2)C(3)C 3.① 4.长方体解析：由前两幅图可知，小球放入水中， 水面升高9.5一8=1.5(cm)。由后两幅图可知，长方 体放入水中，水面升高12-9.5=2.5(cm),放入长方 体后水面升高的高度大于放入小球后水面升高的高 度，所以长方体的体积大于小球的体积。 5.体积相等，因为从外面量，两个泡沫箱的长、宽、高 都相等乙泡沫箱的容积大一些，因为甲泡沫箱的箱 壁厚一些，所以从里面量，甲泡沫箱的长、宽、高都比 乙泡沫箱短一些，因此乙泡沫箱的容积要比甲泡沫箱 大一些 6.答案不唯一，如将铁块和铁球分别浸没在完全相 同的两个盛满水的桶中，收集溢出的水，溢出的水较 多的，对应桶中浸没的物体的体积就更大一些 7.4种体积相等因为都是由12个棱长1厘米的 小正方体摆成的解析：可以摆成4种不同形状的长 方体：①摆成的长方体长1厘米，宽1厘米，高12厘 米；②摆成的长方体长2厘米，宽1厘米，高6厘米： ③摆成的长方体长3厘米，宽1厘米，高4厘米： ④摆成的长方体长2厘米，宽2厘米，高3厘米。 讲拍 第7课时体积单位 解照 视批 频改 1.(1)毫升(2)立方厘米(3)升毫升(4)立 方米升 2.(1)B(2)C(3)D(4)B 3.(1)10(2)相等 4.3664 5.112 6.(1)12(2)15 7.(1)7解析：根据从上面观察到的图形可知，下面 一层摆了5个小正方体木块，再结合从前面和右面观 察到的图形可知，上面一层摆了2个小正方体木块。 由于每个小正方体木块的体积都是1cm3,因此这个 物体的体积是7cm。 方法归纳>》 运用观察法确定小正方体的个数 根据从不同方向观察到的图形确定小正方体 的个数，可以先由从上面观察到的图形摆出基本形 状，再根据从前面和右面观察到的图形进行调整。 (2)57解析：根据从上面和左面观察到的形状可 2 知，这个物体有2排、2层。最少可能是摆放成 211121 112 或 1 ,共5个这样的 1 小正方体；最多是摆放成 222 ,共7个这样的小 1 正方体。（每个小正方形中的数字表示该位置小正方 体的个数) 第8课时 讲拍 长方体和正方体的 解照 体积(1) 视批 频改 1.长方体：6×5×3.5=105(cm3) 正方体：20×20×20=8000(dm3) 2.12×6×3=216(立方分米) 216×7.8=1684.8(千克) 3.2.5×0.8×(1.2-0.2)=2(立方米) 4.A 5.(1)64(2)60 6.(1)210解析：该长方体盒子长7厘米，宽6厘 米，高5厘米。 (2)18解析：本题中“长”可放7÷2≈3（个），“宽”可 放6÷2=3（排），“高”可放5÷2≈2（层），最多可放 3×3×2=18(个)。 (3)26h42h解析：表面积增加的是长7厘米、宽 6厘米、高h厘米的长方体的侧面积；体积增加的是 长7厘米、宽6厘米、高h厘米的长方体的体积。 7.4×4×(4+2)=96(立方分米)解析：根据题意 可知，原来长方体的长和宽都是4分米，高是4十2= 6(分米)，据此解答。 8.12÷3=4(厘米)4×4×4=64（立方厘米） 9.108÷2÷6=9(分米)14×9×6=756（立方分米） 解析：表面积增加的是2个横截面的面积的和，先求 出一个横截面的面积，再用横截面的面积除以高求得 长方体的宽，最后利用长方体的体积计算公式即可求 得原来长方体的体积。 讲拍 第9课时长方体和正方体的 解照 体积(2) 视批 频改 1.20×45=900(dm3)16×6=96(cm3) 2.5厘米=0.5分米8÷0.5=16（平方分米） 3.(1)6(2)1.2(3)160 4.C 5.20×20×15÷(30×20)=10(厘米)解析：容器 被碰倒后，水的体积不变，但底面积变了。 6.2.5米=25分米48÷[(3-1)×2]=12（平方分 米)12×25=300（立方分米）解析：长方体木料锯 成3段就锯了3一1=2（次），锯一次增加两个横截 面，故增加了2×2=4（个）横截面，对应的面积是增 加的48平方分米，则每个横截面的面积是48÷4= 12(平方分米)，再用横截面面积乘长求出木料的 体积。 7.646mL=646cm3646÷(8×5+6×6)=8.5(cm) 贝贝的杯子：8×5×8.5=340(cm3)340cm3 340mL明明的杯子：6×6×8.5=306(cm3) 306cm3=306mL.解析：因为倒完后两个杯子中果 汁的高度相等，所以可以先求出此时两个杯子中的果 汁的总底面积是8×5+6×6=76(cm),再用“果汁 的总体积÷总底面积”求出倒完后果汁的高度，进而 求出各自的果汁体积。 讲拍 第10课时体积单位间的进率 解照 视批 频改 1.(1)7502.064000.48.04590 (2)<>=<(3)8毫升<80立方厘米< 0.8升8立方分米<0.08立方米(4)54054 2.A 3.(90×60+90×50+60×50)×2=25800(平方厘 米)25800平方厘米=258平方分米90×60× 50=270000(立方厘米)270000立方厘米=270立 方分米=270升0.72×270=194.4（千克） 4.72 5.34.2立方分米=34200立方厘米34200÷38÷ 15=60(厘米)60>55这个礼盒需要托运 6.45×25×28-3500=28000(立方厘米)28000立 方厘米=28立方分米=28升28÷7=4（分） 解析：要将假山石浸没在水中，水面的高度至少是 28厘米。因为假山石占据了鱼缸内的一部分空间， 所以注入的水的体积等于没有假山石时水面高28厘 米的水的体积减去假山石的体积。用注入的水的体 积除以注水的速度，就可以求出注水的时间，注意单 位换算。 7.400×40一40×40×(40-35)=8000（立方厘米） 8000立方厘米=8立方分米=8升解析：正方体容 器内的水面高35厘米，还有40一35=5（厘米）高的 空间没有水。铁棒竖直插入水底后，容器内的水面应 先上升直至填满这部分空间，然后才会溢出。正方体 容器的棱长是40厘米，铁棒浸没在水中的长度最多 只能是40厘米，用40厘米长的铁棒的体积减去原来 正方体容器中没有水的部分的体积，即可求出会溢出 的水的体积。 方法归纳》 根据体积之差求溢出的水的体积 由于容器内水面以上有空余部分，因此溢出 的水的体积等于浸没在水中的铁棒的体积减去 容器内水面以上空余部分的体积。需要注意浸 没在水中的铁棒的高度是40厘米，不是50厘米。 讲拍 第11课时练习课 解照 视批 频改 1.(1)①3200②240③3840(2)15852 (3)23.12解析：选择内腔尺寸进行计算。 2.(1)50×3=150(升) (2)150升=150立方分米150÷(5×5)=6（分米） 5×5+5×6×4=145(平方分米) 3.5.4×12+1.8×2=68.4(平方米) 4.10×7×2+10×5×2+7×5×2=310(平方厘米) 10×7×5一1×1×1×8=342（立方厘米） 解析：从顶点处截下小正方体，长方体的表面积不变， 体积减少，即剩下物体的表面积=长方体的表面积， 剩下物体的体积=长方体的体积一截下的所有小正 方体的体积和。 5.解：设长方体的宽是x厘米。12x十8x=200 x=1012×10×8=960(立方厘米) 6.108÷2-3×4=42(平方分米) 42÷(4+3)=6(分米)4×3×6=72（立方分米） 解析：根据题意可知，这个长方体一个顶点处三个相 邻面的面积和为108÷2=54（平方分米），其中-一个 面的面积为3×4=12（平方分米），另两个面展开就 是长为(4十3)分米、宽为长方体高的长方形，由此可 求出长方体的高，进而求出长方体的体积。 7.60÷4÷(4+1)=3(厘米)4+1+3=8（厘米） 8×3×3=72(立方厘米)解析：减少的表面积是长 为4十1=5（厘米）的长方体木料前、后、上、下四个面 的面积和，且这四个面的面积相等，据此先求出长方 体木料的宽和高均是60÷4÷5=3（厘米），再求出原 来长方体木料的长是5十3=8（厘米），最后求出原来 长方体木料的体积。 讲拍 第12课时整理与练习(1) 解照 视批 频改 1.(1)立方分米立方米平方米(2)0.35 40803.783780(3)192180(4)162144 108(5)2016(6)192 2.8-5=3(cm)7-3=4(cm) 表面积：(3×4+4×5+3×5)×2=94(cm2) 体积：3×4×5=60(cm3) 3.248解析：根据长方体的体积计算公式得到增加 的体积÷增加的长度=某个面的面积，据此求出长方 体的右面、前面和上面的面积分别为48÷2=24（平 方厘米)、80÷2=40（平方厘米）、120÷2=60（平方厘 米)，然后根据长方体的表面积计算公式即可求出原来 长方体的表面积，是(24十40+60)×2=248（平方厘米）。 4.①：(40-2×5)×(20-2×5)×5=1500(cm3) ②：(40-5)×(20-2×5)×5=1750(cm3)③：40÷ 2=20(cm)20×20×5=2000(cm3)1500<1750< 2000第③种方法焊接后做成的长方体容器的容积 最大解析：由题图①可以看出长方体容器的长比长 方形铁皮的长短2个5cm,是40一2×5=30(cm),长 方体容器的宽比长方形铁皮的宽短2个5cm,是 20一2×5=10(cm),高是5cm;由题图②可以看出长 方体容器的长比长方形铁皮的长短1个5cm,是 40一5=35(cm),长方体容器的宽比长方形铁皮的宽 短2个5cm,是20-2×5=10(cm),高是5cm;由题 图③可以看出长方体的底面边长是长方形铁皮的宽， 高是5cm。据此分别求出三个长方体容器的容积， 再进行比较。 (8-1×2)÷2=3(厘米)4-1×2=2（厘米）3× 2×1=6(立方厘米) 6.150÷6=25(平方厘米)25=5×5(110-25× 2)÷4÷5=3(厘米)25×(3+5)=200（立方厘米） 解析：由题意，可画出示意图。表面积是 150平方厘米的正方体，它的一个面的 面积是150÷6=25（平方厘米），棱长就是5厘米（即 原来大长方体的宽和高都是5厘米)。表面积是 110平方厘米的长方体，有两个相对的面是面积为 25平方厘米的正方形，其他四个面是完全相同的长 2 方形，且一条边的长为5厘米，据此先求出另一条边 的长，再求出原来大长方体的长，最后求出体积即可。 讲拍 第13课时整理与练习(2)》 解照 视批 频改 1.(1)56(2)2.561.446.4(3)240 (4)1210解析：24÷6=4(dm2),4=2×2,这个正 方体蛋糕的棱长是2dm,将这个正方体蛋糕平均分 成4份，有两种分法。分法①（如图①），表面积之和 比原来增加3×2=6（个）面的面积，所以表面积之和 是24+6×4=48(dm),每个长方体的表面积是48÷ 4=12(dm2)。分法②（如图②），表面积之和比原来 增加2×2=4（个）面的面积，所以表面积之和是24十 4×4=40(dm),每个长方体的表面积是40÷4= 10(dm)。 (1 2.(1) 前面 上面 右面 (2)3611(3)165427 3.(1)(14-1×2)×(7-1×2)×(5-1)= 240(立方分米)240立方分米=240升解析：求出 水槽内部的长、宽、高，即可求出水槽的容积。 (2)14×7×5-240=250(立方分米)解析：混凝土 的体积=水槽的体积一水槽的容积。 4.30+40+24=94(cm2) 5.2米=20分米(108-24×2)÷20×24=72（立 方分米)解析：用长方体纸箱的表面积减去上、下两 个面的面积和，可得前、后、左、右四个面的面积和。 根据“长方体纸箱前、后、左、右四个面的面积和=底 面周长X高”，可以求出长方体纸箱的高，最后用“长 方体的体积=底面积X高”求出长方体纸箱的体积。 讲拍 黄表面涂色的正方体 解照 视批 频改 1.(1)3627(2)12.5 2.812(n-2)6(n-2)2(n-2)3 3.12554 4.27=3×3×3(3+2)×1=5(厘米) 5×5×5=125(立方厘米) 5.3个2个解析：一层一层地观察，分层标出每 个小正方体涂色的面数。最上层：5：中间一层： 224 212 ;最下层：113，然后数出3面涂色和 33 4 4面涂色的小正方体各有几个即可。 6.(1)AB(2)B (3)ACC解析：用n表示把大正方体的棱平均 分的份数，则b=12(n-2),c=6(n-2)2,d=(n- 2)3。若要使b=c=d,即12(n-2)=6(n-2)2 (n-2)3,则当n=2时，12×(2-2)=6×(2-2)2= (2-2)3=0,符合题意。若要使b<c,即12(n一2)< 6(n-2)2,当n=6时，48<96，符合题意。若要使 b<d,即12(n-2)<(n-2)3,当n=6时，48<64，符 合题意。 7.3面涂黄色的小正方体：8个2面涂黄色的小正 方体：[(6一2)+(5-2)+(4一2)]×4=36（个） 1面涂黄色的小正方体：[(6-2)×(5-2)+(5-2)× (4-2)+(6-2)×(4一2)]×2=52（个）解析：长方 体上3面涂黄色的小正方体在长方体的8个顶点处， 一共有8个。2面涂黄色的小正方体，在长的棱上有 (6-2)×4=16(个)，在宽的棱上有(5一2)×4= 12(个)，在高的棱上有(4一2)×4=8（个），一共有 16+12+8=36(个)。1面涂黄色的小正方体，上、下 面有(6一2)×(5一2)×2=24（个），左、右面有(5一 2)×(4一2)×2=12（个），前、后面有(6一2)×(4一 2)×2=16(个)，-共有24+12+16=52（个）。 知识归纳》 长方体表面涂色问题 把长方体的表面涂色（包括底面），然后全部 切成棱长1厘米的小正方体，3面涂色的小正方体 在长方体的顶点处，2面涂色的小正方体在每条棱 的中间，1面涂色的小正方体在每个面的中间。 8.2024解析：要想满足“6面都没有涂色的小正 方体有4个”：一种是将长方体切成(3×4×4)个小正 方体，2面涂色的小正方体有(3一2)×4十(4一2)× 4+(4一2)×4=20（个）；另一种是将长方体切成(3× 6×3)个小正方体，2面涂色的小正方体有(3一2)× 4+(6-2)×4+(3-2)×4=24(个)。 讲拍 提分真题集训川 解照 视批 频改 1.(1)9(2)①20②60③44(3)318 2.(1)B(2)C(3)B 4.先求出正方体水槽上面空白处的体积，再找到体 积相加大于或等于该体积的两块石头20×20× (20-18)=800(cm3)358+454=812(cm3) 812>800选择其中的②号和③号两块石头 讲拍 第六单元整合提升 解照 视批 频改 1.5×5×7=175(立方厘米)解析：题图左、中、右 三种纸板中，选择右边规格的2张、左边规格的4张 做成一个长方体，该长方体的长是？厘米，宽是 5厘米，高是5厘米。 2.一共可以焊接成8种不同的水箱，选法如下： 规格① 规格② 规格③ 规格④ 选法一 5张 选法二 3张 2张 选法三 3张 2张 选法四 4张 1张 选法五 4张 1张 选法六 2张 2张 1张 选法七 2张 1张 2张 选法八 1张 2张 2张 3.150×2=300(平方厘米) 4.3+3=6(分米)5+5=10（分米）(8×6+8× 10+6×10)×2=376(平方分米)解析：要想使包装 所需的彩纸最少，那么只要把礼盒的最大面相黏合， 且相黏合的面尽可能多就能使大长方体礼盒的表面 积最小。综合考虑，可以先将4个礼盒每2个分成一 组，2个礼盒的最大面(8分米×5分米)相黏合，再把 两组礼盒的最大面[8分米×(3十3)分米相黏合（如 图)，这样包装成的大长方体礼盒的表面积比原来 4个礼盒的表面积之和减少得最多，此时包装成的大 长方体礼盒的表面积最小，所需的彩纸最少。 3分米 3分米 5分米 8分米 5分米 5.0.5米=50厘米1米=100厘米 50-100×18×18÷(90×40)=41(厘米) 6.30厘米=3分米方法一：(15×12×10+3×3× 3)÷(15×12)=10.15(分米)方法二：3×3×3÷ (15×12)+10=10.15(分米)解析：方法一：（水箱 中水的体积十正方体铁块的体积)÷水箱的底面积= 现在水箱中的水深。方法二：正方体铁块的体积÷水 箱的底面积十原来水箱中的水深三现在水箱中的 水深。 7.4.5×3.5+(4.5×1.6+3.5×1.6)×2= 41.35(dm)解析：书桌的抽屉是设有盖的，也就是 少一个与底面相同的面，计算时应少算一个4.5dm× 3.5dm的面。 易错分析>》 因脱离实际而出错 本题易因脱离实际，盲目套用长方体的表面 积计算公式而出错。实际上，抽屉的上面不用木 板，只需求出前、后、左、右、下5个面的面积之和。 8.16÷4=4(分米)4×5×4+4×4×2=112（平方 分米)4×4×5=80（立方分米）80立方分米= 80升80×0.75=60（千克）解析：第一问求的是 油箱的表面积，第二问求的汽油的质量与油箱的容积 有关，要先求出容积再解答。 9.20×20×40=16000(立方厘米)16000立方厘米= 16000毫升=16升解析：铁棒入水的高度最多和正 方体容器的高度相等。 10.(4×4×4+6×6×2÷(6X6)(分米) 4二4铁块没有完全浸人水中6×6×2÷(6×6 4×4)=3.6(分米)解析：先判断铁块是否完全浸入 水中，用“（铁块的体积十水的体积）÷容器的底面积” 得出水深，再与铁块的高度进行比较。如果水深大于 或等于铁块的高度，那么铁块完全浸入水中，此时水 的深度就是所求；如果水深小于铁块的高度，那么铁 块没有完全浸入水中，此时水的体积不变，容器中水 的底面积=容器的底面积一铁块的底面积，则水深= 水的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）。 11.① 长17cm,宽7cm,高18cm (17×7+17×18+7×18)×2=1102(cm2) ② 长34cm,宽7cm,高9cm (34×7+34×9+7×9)×2=1214(cm) ③ 长21cm,宽17cm,高6cm (21×17+21×6+17×6)×2=1170(cm2) ④ 长51cm,宽7cm,高6cm (51×7+51×6+7×6)×2=1410(cm) ⑤ 长17cm,宽14cm,高9cm (17×14+17×9+14×9)×2=1034(cm2) ⑥ 长102cm,宽7cm,高3cm (102×7+102×3+7×3)×2=2082(cm2) ⑦ 长42cm,宽17cm,高3cm (42×17+42×3+17×3)×2=1782(cm2) 包装成长17cm、宽14cm、高9cm的大长方体最省包 装纸，表面积最小时包装纸的面积是1034cm 七 分数乘法 讲拍 第1课时分数与整数相乘 解照 视批 频改 108 1.633六 长方体和正方体 第1课时 长方体 习基础进阶 1.(南通海安)如图所示为一个长 方体物体长、宽、高的数据，这个0.8mベ 物体可能是( 7cm )。 A.橡皮 B.手机 C.六年级《数学》书D.文具盒 2填一填。 (1)薇薇用棱长1厘米的小正方体拼成下图 所示的长方体。 这个长方体的长是()厘米，宽是() 厘米，高是()厘米，它的()面和 ( )面是正方形，面积都是( )平方厘 米，其余()个面是完全相同的长方形，每 个面的面积是()平方厘米。由此推想， 在一个长方体中（不包括正方体），最多有 ()个面是完全相同的长方形，最多有 ()条棱的长度相等。 (2)王师傅准备焊一个棱长3dm的正方体 框架，至少需要( )dm的铁丝。 (3)(几何直观)如图所示为蓓 蓓用橡皮泥团和长度相等的小 木棒搭成的立体图形。如果要 把它变成正方体，那么还需要( ）个这样 的橡皮泥团和()根这样的小木棒 (4)下面四种长方形硬纸板（单位：厘米）各 有若干张，从中选三种围成一个长方体，应选 )种、( )种和( )种硬纸板。 丙2 60 裤賴 和正方体的认识 鳞装 团能力攀升 3.下图中的礼品盒是长10厘米、宽6厘米、高 2厘米的长方体，丝带的打结部分长15厘 米。捆扎这个礼品盒需要多长的丝带？ 4.(生话应用)萱萱用两根同样长的铁丝分别制 作了一个花灯框架（如图），正方体花灯框架 的棱长是多少厘米？ cm 8cm cm 5.(1)爷爷找来一些铁棒，长度是5分米的铁 棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度 是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁 棒有7根。爷爷准备用这些铁棒焊长方体框 架，他有()种焊法。（每条棱上只用1根 铁棒) (2)将一个棱长6厘米的正方体切成两个相 同的长方体，每个长方体中有()条棱的 长度是6厘米。 6.★一个长方体木块正好可以切成两个完全相 同的正方体木块，已知长方体木块的棱长总 和是80厘米，求切成的每个正方体木块的棱 长总和。 六长方体和正方体 第2课时 长方体和正方体的展开图 德鵡 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.选一选。 (1)下面的纸板中，沿虚线折叠后能围成正 (1)沙包是用碎布缝制而成的正方体口袋， 方体的有( )张，是( )(填序号)。 内用细沙、豆类或大米填满。萱萱用如图所 示的6块碎布缝了一个沙包，成品是( ）。 ① ② B C. D. 4 ⑤ ⑥ (2)(模型意识)将一个正方体纸盒沿如图所 (2)迪迪从一个长方体纸盒上撕下两个相邻 示的裁剪线剪开，并展成平面图，其形状为 的面（不完整）后将其展开铺平（如左下图）， )。 这个纸盒的底面积是( )cm。 正方体纸盒纸盒裁剪线 前面 右面 BC D 6cm 3cm E (3)一个长方体的展开图如右上图所示，如 B 果前面是F面，从左面看是B面，那么上面 是()面。（字母在长方体的外侧） 2.(数形结合)将一个长方体沿着棱剪开，得到 D 如左下图所示的展开图（单位：厘米）。涂色 5.(思维过程)浩浩在一张长方形纸上画了一个 部分的面积是( )平方厘米。 棱长3厘米的正方体的展开图，这张长方形 纸的面积至少是多少平方厘米？ 3 上面 前面 6.*一个正方体的六个面分别写着数字1一6， 3.右上图是轩轩画的长方体展开图，若有缺少 如下图所示为三种不同的摆法，其中数字1 部分，则直接在图中补全；若有多余部分，则 的对面是数字( 把图中多余部分画上阴影以表示去掉，并在 图中标出“下面”“左面”“前面”“右面”和“后 面”。（标出的字在长方体的外侧） ② 61 拔尖特训 数学（苏教版·江苏专用）五年级下 第3课时 长方体和正方体的表面积(1) 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.求下面立体图形的表面积。 4.用三个棱长为a米的正方体拼成一个长方 体，这个长方体的表面积比原来三个正方体 的表面积之和减少了( )平方米。 22cm 5.(几何直观)体育课上，将一个垫子折叠成长 0.4m 1.2m 0.4m 15cm 8cm 方体（如图）。制作一个这样的垫子至少需要 多少平方米的帆布？（接头处忽略不计） 米 5分 5分米 2填一填。 (1)(南京玄武区)一个正方体的底面积是120平 方分米，它的表面积是( )平方分米 (2)一个长方体中相交于同一顶点的三个面 的面积分别是16平方米、10平方米、40平方 米，这个长方体的表面积是( )平方米。 6.用一根长120厘米的铁丝正好围成一个长 (3)萱萱用60厘米长的铁丝正好焊了一个 15厘米、宽9厘米的长方体框架。如果在长 正方体框架，给这个框架的表面糊纸，至少需 方体框架的各个面都贴上彩纸，那么至少需 要( )平方厘米的纸。 要多少平方厘米的彩纸？ 3.(生话应用)如图，轩轩网购了一 套《百科全书》。 百科全书 (1)有下图中三种尺寸的纸箱（从 里面量，单位：dm),能装下这套 人d1.8d 书的纸箱有( ）。 7.*把一个表面积是150平方厘米的正方体切 2.5 1.6② 3 成两个完全相同的长方体，每个长方体的表 0 2.5 1.6 1.6 面积是多少平方厘米？ (2)在能装下这套书的纸箱中，哪种最节约 纸板？制作一个这种纸箱，至少需要多少平 方分米的纸板？ 62 六长方体和正方体 第4课时 长方体和正方体的表面积(2)》 德鵡 视批 频改 习基础进阶 架，至少需要多少平方分米的木板？（木板材 质相同，厚度忽略不计，左面、右面、后面、上 1.填一填。 面、底面及中间隔板均为木板) (1)一节长方体通风管的长是1.2m,宽和高 都是2dm。制作20节这样的通风管，需要 铁皮()dm。（损耗忽略不计) (2)一个长8dm、宽5dm、高4dm的长方体 玻璃缸里装有3dm高的水，跟水接触的玻璃 的面积是( )dm。 50cm 2.(生话应用)围棋社对活动室的四面墙壁（如 5.有一个装饼干的长方体铁盒（如下图），高是 下图，单位：米)进行粉刷（不包括上面），社长 30厘米，底面是周长为80厘米的正方形，在 了解到某品牌涂料的信息如下表所示。这次 这个铁盒的侧面贴满一圈包装纸，接头处有 粉刷至少要准备多少钱？ 4厘米宽。包装纸的面积是多少平方厘米？ 规格 可粉刷面积 价格 饼干 30千克/桶 35平方米 378元/桶 窗1.2 1.5 6.(生话体验)菲菲和小伙伴们一起制作了一个 抽屉，拉手所在的面比抽屉的后面高5厘米， 制作这个抽屉至少需要多少平方分米的木 板？（木板的厚度忽略不计） 60厘米 15厘米 3.萱萱发现一本书（如图）的书皮坏了，她想用 家里一张B4的卡纸给这本书包书皮，包得住 80厘米 吗？(B4的卡纸尺寸为25.7cm×36.4cm) 2.5cm 19. 00 cm 7.(思维过程)一个长方体的长是5分米，宽是 2分米，高是3分米。如果要使这个长方体 13.8cm 的表面积增加20平方分米，宽和高都不变， 那么长应增加多少分米？ 中能力攀升 4.妈妈买了一个三层书架（如图），书架外包装 标明“50cm×30cm×150cm”。做这个书 63 拔尖特训数学（苏教版·江苏专用）五年级下 第5课时 团能力攀升 1.填一填。 (1)(生话应用)王伯伯准备在墙角处搭一个 正方体形状的鸡舍（两面靠墙），搭鸡舍框架 用的3根钢筋一共长12米（如图）。如果露 在外面的面用塑料网包裹，那么至少需要 ()平方米的塑料网。 (2)一个底面是正方形，且底面面积是16平 方厘米、高是15厘米的长方体，它的表面积 是()平方厘米。 2.(数形结合)下面两个立体图形都是由棱长 1厘米的正方体搭成的。 (① ② 立体图形①的表面积=(4+7+6)×2 34(平方厘米)，其中4平方厘米、7平方厘 米、6平方厘米分别是从上面、前面和右面看 到的图形的面积。 (1)用求立体图形①的表面积的方法，求立 体图形②的表面积，列式并计算为( )。 (2)如果添加同样大的正方体，把立体图形 ②补成一个长方体，那么这个长方体的表面 积至少是( )平方厘米。 ☒思维拓展 3.选一选。 (1)贝贝用棱长为1厘米的小正方体摆成一个 物体，从前面、右面和上面分别观察这个物 6 练习课 体，看到的形状如图所示，这个物体的表面积 是( )平方厘米 前面 右面 上面 A.13 B.16 C.28 D.26 (2)一个长方体的展开图如图所示（单位：cm), 涂色部分的面积之和为56cm。下面关于这 个长方体的表面积的说法，正确的是( )。 A,这个长方体的表面积为71cm B.这个长方体的表面积为142cm 3 C.这个长方体的表面积为127cm D.以上都不正确 (3)(连云港灌云)一个长方体的长、宽、高分 别是a厘米、b厘米、c厘米。若高增加4厘 米，则它的表面积增加( )平方厘米。 A.4ab B.64 C.8a+8b D.2ab+2bc 4.一个长方体的长、宽、高的数值（单位：厘米） 都是质数。已知它的上面、前面这两个面的 面积之和是209平方厘米，则这个长方体的 表面积是多少平方厘米？ 5.一个长方体（如图）的长为8厘米，上面与前 面的面积之和为72平方厘米，右面的面积是 上面的一半，求这个长方体的表面积。 8厘米 4 第6课时体 习基础进阶 1.填一填 (1)在冰箱、茶叶盒、草莓三种物体中，( 的体积最大，( )的体积最小。 (2)(地域美食)镇江香醋具有“色、香、酸、醇、 浓”的特点。满满一瓶镇江香醋，( 的体积就是( )的容积。（填“镇江香 醋瓶”或“镇江香醋”) (3)把同样多的水分别倒入3个不同的杯子 中，情况如下：①号杯正好能倒满3杯；②号 杯未倒满3杯；③号杯倒满3杯后还剩一些 水。这3个杯子相比，()号杯的容积最 大，()号杯的容积最小。 2.选一选 (1)冷藏冰柜的容积()它的体积。 A.大于B.等于C.小于D.无法比较 (2)把一块橡皮泥先捏成长方体，再捏成正 方体，它们的( )不变 A.形状 B.表面积 C.体积 D.棱长总和 (3)有以下说法：①空气虽然看不见、摸不 着，但它也有体积；②所有的物体都有容积； ③将一块石头浸没在装满水的杯子中，石头 的体积就是溢出的水的体积；④在甲、乙两个 水壶中装满水，甲水壶能倒满5杯水，乙水壶 能倒满同样的7杯水，甲水壶的容积比乙水 壶的容积小。其中，正确的有()个。 A.1B.2 C.3 D.4 3.下面()号长方体盒子的容积大一些。 (填序号，每个小正方体完全相同) ① ② 六长方体和正方体 积和容积的意义 德鵡 视批 频改 团能力攀升 4.认真观察水面的变化情况（单位：cm),发现小 球和长方体相比，( )的体积大一些。 放入 9.5 12 小球 长方体 12 5.有甲、乙两个厚度均匀的无盖长方体泡沫箱 (如下图)，从外面量，两个泡沫箱的长、宽、高 都相等。它们的体积相等吗？容积呢？为什 么？（底部厚度与各自的箱壁厚度相同） 5厘米 2厘米 6.(操作探究)给你一个正方体铁块和一个铁 球，请你设计一个实验：比一比哪个物体的体 积更大一些。 7.(探索规律)用12个棱长1厘米的小正方体 摆成一个长方体，一共能摆成几种不同形状 的长方体？它们的体积相等吗？为什么？ 65 拔尖特训数学（苏教版·江苏专用）五年级下 第7课时 习基础进阶 1.在括号里填合适的单位。 (1)一瓶墨水约有50()。 (2)一颗奶糖的体积约是2( )。 (3)一个饮用水桶的容积约是19( 倒出一杯水，大约是300( )。 (4)一台冰箱的体积大约是1.2( ), 容积大约是650( 2.选一选。 (1)(生话体验)将一个成年人的拳头浸没在 装满水的盆中，溢出来的水的体积()。 A.小于1毫升 B.大于1毫升，小于1升 C.大于1立方米 D.大于1升，小于1立方米 (2)要盛2L水，用容器( )最合适。 m g A. B. C. D. (3)一个果汁瓶的外包装纸上标有“净含量 500mL”的字样，那么该果汁瓶的体积可能 是()cm3。 A.460 B.480 C.500 D.520 (4)(模型意识)用一些1立方厘米的小正方 体摆成一个大正方体，大正方体的体积可能 是()立方厘米。 A.4 B.8 C.16 D.32 3.(1)右面的立体图形是用体积为 1立方厘米的小正方体摆成的， 它的体积是( )立方厘米。 (2)如果用这些小正方体摆出其他形状的物 体，那么它们的体积()。（填“相等”或 “不相等”) 体积单位 碧 团能力攀升 4.(推理意识)下面的立体图形都是用体积为 1立方厘米的小正方体拼成的，有一部分被 遮住了，它们的体积各是多少？ )立方厘米 )立方厘米 5.下图中每个小球的体积是( )立方厘米， 每个大球的体积是( )立方厘米。 13毫升 16毫升 6.(1)如下图，钢块的体积是( )cm。 钢锅 钢块 cm (2)如右图，左边小 正方体的体积是1立 方厘米，右边物体的 体积大约是( )1立方厘米 立方厘米。 7.(1)★华华用若干个1cm3的小正方体木块 摆了一个物体，下面是从不同方向观察到的 图形。这个物体的体积是( )cm3。 上面 前面 右面 (2)用几个体积是1立方厘米的小正方体摆 成一个物体，下面是从不同方向看到的物体 的形状，这个物体的体积最小是( )立方 厘米，最大是( )立方厘米。 上面 左面 6 六长方体和正方体 第8课时长方体和正方体的体积(1) 德鵡 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.计算下面长方体和正方体的体积。 .从前面、右面分别观察一个长方体盒子，看到 的形状如图所示。 3.5cm 20 dm 5 cm 20 dm 5厘米 前面 5厘米 右面 6cm 20 dm 7厘米 6厘米 (1)这个长方体盒子的体积是()立方 厘米。 2.一个长方体铁块长12分米，宽6分米，高 (2)若在它里面放棱长2厘米的正方体，则 3分米。如果每立方分米铁块重7.8千克， 最多可以放( )个。 那么这个长方体铁块重多少千克？ (3)若将这个长方体盒子的高增加h厘米， 则表面积比原来增加()平方厘米，体积 增加( )立方厘米。（不考虑盒身厚度） 7.一个长方体的高截去2分米后就变成一个棱 3.(生话应用)一个长方体水箱，从里面量，长 长是4分米的正方体，原来长方体的体积是 2.5米，宽0.8米，深1.2米。水箱的壁上有 多少立方分米？ 一个洞（如下图），这个水箱最多能盛水多少 立方米？ 0.2米 8.(思维过程)如图，把一张边长是12厘米的正 方形纸剪成一个“十”字形图案，并将其折成 一个无盖的正方体纸盒。这个正方体纸盒的 体积是多少立方厘米？ 4.(镇江丹徒区)从外面量长方体酸奶盒，长 5厘米，宽4厘米，高10厘米。浩浩喝了一半 后，盒中可能还剩()毫升酸奶。 A.95B.100 C.190 D.200 9.一个长方体，长14分米，高6分米。如果把 5.(1)正方体的底面周长是16厘米，它的体积 它切成两个小长方体（如下图），那么表面积 是( )立方厘米。 增加108平方分米。求原来长方体的体积。 (2)一个长方体容器，从里面 量，长6dm,宽4dm,深5dm。 一天，容器的一个面被打碎了， 需要把容器倾斜一定角度来盛水（如右图）。 用这个被打破的容器，最多能盛水( )L。 67 拔尖特训 数学（苏教版·江苏专用）五年级下 第9课时长方体和正方体的体积(2) 视 频改 习基础进阶 果从外面量这个冰箱的底面是一个面积为 25平方分米的正方形，那么这个冰箱的高最 1.计算下面的长方体或沿虚线折叠的长方体的 有可能是( )分米。 体积。 A.6 B.8 C.10 D.32 36 cm 5.一个封闭的长方体容器（如下图），里面装着 45 dm 水，它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、 6 cm 30厘米。萱萱不小心把容器碰倒了，则现在 S=20 dm 16 cm 水深多少厘米？ 2.(生活应用)李叔叔很喜欢养鱼，为了装饰鱼 15厘米 缸，他把一个体积是8立方分米的假山石放 入长方体鱼缸中（假山石浸没在水中，水未溢 出)，水面上升了5厘米，这个长方体鱼缸的 底面积是多少平方分米？ 6.如下图，一根2.5米长的长方体木料锯成 3段后，表面积比原来增加48平方分米。原 来这根木料的体积是多少立方分米？ 3.填一填。 (1)一根长方体钢材，长1.2米，横截面是边 长1分米的正方形。将长切掉6分米后，它 的体积减少( )立方分米。 (2)一个底面长20米、宽5米的长方体水 7.(生话体骏)星期天，贝贝和明明来找丽丽玩， 池，深2.5米，向其中注入120立方米水后， 丽丽拿出一瓶646mL的果汁，将其倒入以下 水深()米。 两个杯子（单位：cm,厚度忽略不计）中。你 (3)(南通崇川区)一个无盖的长方体容器， 能算出这两个杯子中各有多少毫升果汁吗？ 长10厘米，宽8厘米，高12厘米。明明先往 容器里注入一些水，使水面距离容器口4厘 果汁正好倒完，且 米；再往水里放一些鹅卵石，有部分水溢出； 两个杯子中果汁 的高度相等。 最后把这些鹅卵石取出，这时水面下降了 贝贝的杯子明明的杯子 丽丽 6厘米。一共溢出( )毫升水。（水的损 耗忽略不计) d能力攀升 4.一个长方体形状的冰箱的容积是200升，如 68 六长方体和正方体 第10课时 体积单位间的进率 德鵡 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.一个装满水的长方体容器，长 6dm (1)在括号里填合适的数。 0.6dm,宽0.4dm,高1.2dm。 0.75立方分米=( )立方厘米 枫枫倒出( )mL水后，容器 2060立方分米=( )立方米 中空出的部分如右图所示。 400立方厘米=( )毫升=( )升 5.(生话应用)某航空公司规定：规格超过20厘 8立方米40立方分米=( )立方米 米×40厘米×55厘米或质量超过10千克的 5.09升=( )升( )毫升 行李需要托运。李叔叔带了一个长38厘米、 (2)在○里填“>”“<”或“=”。 宽15厘米的礼盒，体积是34.2立方分米，质 9.07m3○9m3700dm 量为9.8千克，这个礼盒需要托运吗？ 7.2平方米○72平方分米 900毫升○900立方厘米 456立方厘米○4.56立方分米 (3)把0.08立方米、0.8升、80立方厘米、 6.如下图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为 8立方分米、8毫升按从小到大的顺序排列： 28厘米、体积为3500立方厘米的假山石。若 ( )。 以每分钟7升的速度向鱼缸中注水，则至少 (4)一根长方体木料，长9米，宽0.3米，高 多长时间后才能将假山石浸没在水中？ 0.2米。将它锯成若干个棱长1分米的正方 体木块，最多可以锯成()个，将这些正方 体木块排成一排，长()米。 28厘米 2.(生话体验)用规格是10厘米×6厘米×20厘 25厘米 米的纸质包装盒装()升的饮料比较合适。 45厘米 A.1.1B.1.2C.1.3D.1.4 3.一个长方体油箱，从里面量，长90厘米，宽 7.★一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内 60厘米，高50厘米。制作这样一个油箱最 的水面高35厘米。现将一根长50厘米、横 少需要多少平方分米铁皮？若每升汽油重 截面积是400平方厘米的长方体铁棒竖直插 0.72千克，则这个油箱最多能装多少千克汽 入水底，会溢出多少升水？ 油？（铁皮的厚度忽略不计） 69