反比例函数专题 2026年北师大版中考数学复习

反比例函数专题——2026年北师大版中考数学复习 高频考点 1、 根据反比例函数关系式求图形（阴影）面积； 2、 根据图形面积求反比例函数关系式； 3、 与一次函数结合，将点的坐标、函数关系式、图形面积、取值范围等结合； 4、 与二次函数、一次函数图像结合，在同一坐标系中共存问题； 5、 根据函数关系式求线段长最值或图形面积最值； 解决策略 1、 反比例函数中k的值是关键，注意所在象限，k的符号； 2、 所对应矩形面积（k=xy）是求其它图形面积的基础； 3、 不规则图形面积，主要有两个途径来解决，可加可减； 4、 两个函数图像的交点坐标，可用方程组的思想解决； 5、 在求线段最值时，应考虑两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等几何知识。 经典考题 一、根据函数关系式求图形面积 1. 已知双曲线与在第一象限内交于两点，，则扇形AOB的面积是_________． 2. 如图，点，是反比例函数图象上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，则________． 3. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 4．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝　　． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线（t为常数）与反比例函数，的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接，，则的面积为______． 2、 根据条件求k 6．如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数的对称轴，当反比例函数的图象经过A、C两点时，k的值为______． 7. 如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________． 9．如图，A（2，m）是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 　 　． 10. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 11. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 12. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 3、 综合解答题 13. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N． （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． 14. 如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去． （1）的值为________； （2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 16. 如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点D，C． （1）填空：______，______，_____； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）将直线向下平移t（）个单位后，与双曲线有唯一交点，直接写出t的值． 17. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点． （1）k＝　　； （2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，点为轴正半轴上一点，直线与轴交于点，连接； （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为，求的面积． 19. 图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于A点，与反比例函数交于点B（，4）和点C，且AC＝4AB，动点D在第四象限内的该反比例函数上，且点D在点C左侧，连接BD、CD． （1）求点C的坐标； （2）若，求点D坐标． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的关系式： （2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当时，不等式的解集： （3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标. 22. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求△ABC的面积． 23. 如图，一次函数y=kx+1与反比例函数y=（m≠0）相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知sin∠CDO=，△BOD的面积为1． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接OA，OB，点M是线段AB的中点，直线OM向上平移h（h＞0）个单位将△AOB的面积分成1：7两部分，求h的值． 24. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2）当时，______．（用含的代数式表示） 反比例函数专题复习——2026年北师大版中考数学复习解析 经典考题 一、根据函数关系式求图形面积 1. 已知双曲线与在第一象限内交于两点，，则扇形AOB的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设⊙O的半径OA=OB=r，连接AB，作直线y=x，与AB交于点C，过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥x轴于点E，过A作AF⊥OB于点F．由圆与双曲线的对称性得△AOD≌△AOC≌△BOC≌△BOE，进而由反比例函数的比例系数的几何意义得△AOB的面积，再由三角形的面积公式求得圆的半径，最后由扇形的面积公式求得结果． 【详解】设⊙O的半径OA=OB=r，连接AB，作直线y=x，与AB交于点C，过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥x轴于点E，过A作AF⊥OB于点F． ∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称， ∴∠AOC=∠BOC，OC⊥AB，∠AOD=∠BOE， ∵∠AOB=45°， ∴∠AOD=∠AOC=∠BOC=∠BOE=22.5°， 由对称性知，△AOD≌△AOC≌△BOC≌△BOE， 由反比例函数的几何意义知，S△AOD＝S△BOE＝×4＝2， ∴S△AOC=S△BOC=2， ∴S△AOB=2+2=4， ∵∠AOB=45°， ∴OA=AF=OF ∴AF=OF=OA＝r， ∵S△AOB=OB•AF， ∴4=r×r， ∴r2＝8， ∴S扇形OAB＝＝ 故答案：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，圆的基本性质，扇形的面积公式，解题的关键是知道反比例函数在k＞0时关于y=x对称，求得三角形的面积． 2. 如图，点，是反比例函数图象上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据点A，B是反比例函数图象上任意两点，设，，则，，结合，求得的值． 【详解】解：各点标注如图所示， ∵点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线， ∴设，， 则，，，， ∴，， ∴． ∵，， 又∵， ∴， ， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，灵活运用反比例函数K值的几何意义是解题关键． 3. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 4．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝　　． 【分析】由反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝﹣k2，S△OCE＝﹣k2，S矩形ABOC＝﹣k1，根据S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE＝S四边形ADOE即可求出k1﹣k2． 【解答】解：∵D，E在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限， ∴S△OBD＝OB•BD＝﹣k2，S△OCE＝OC•CE＝﹣k2， ∵A在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限， ∴S矩形ABOC＝OB•OC＝﹣k1 ∴k1﹣k2＝﹣[﹣k1﹣（﹣k2）]＝﹣（S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE）＝﹣S四边形ADOE＝﹣4， 故答案为：﹣4． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线（t为常数）与反比例函数，的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接，，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由反比例函数中的k的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案． 【详解】解：如图，记直线与y轴交于点M， 由反比例函数的系数k的几何意义可得： ，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义，掌握反比例函数的系数k与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键． 4、 根据条件求k 6．如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数的对称轴，当反比例函数的图象经过A、C两点时，k的值为______． 【答案】 【分析】作轴于D，根据菱形的性质得出∠BOC＝15°，由OB所在直线为反比例函数的对称轴，得出，即可求得∠COD＝30°，解直角三角形求得，CD＝2，即可求得，代入即可求得k的值． 【解析】解：作轴于D， ∵菱形OABC中，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝15°， ∵OB所在直线为反比例函数的对称轴， ∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝30°， ∵OC＝AB＝4， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过C点， ∴， 故答案为． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形等，求得C的坐标是解题的关键． 7. 如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再得出轴， 可得点，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ，四边形的面积为8， ， 解得：． 故答案为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于D，先利用已知证明三角形相似，再利用相似三角形性质求出点B的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 反比例函数的图像经过点B， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质求出点B坐标是解答此题的关键． 9．如图，A（2，m）是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 　 　． 【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m）， ∴2m＝6， 解得：m＝3， ∴A（2，3）， 则3＝2k， 解得：k＝， ∴正比例函数解析式为：y＝x， ∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B， ∴B（2，0）， ∴设平移后的解析式为：y＝x+b， 则0＝3+b， 解得：b＝﹣3， ∴直线l对应的函数表达式是：y＝x﹣3． 故答案为：y＝x﹣3． 10. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 11. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】, 过点A，B，E作轴，轴， 轴，垂足分别为，根据反比例函数比例系数的几何意义结合列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为 N ∵点A，B都在函数图象上， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 解得， 故答案为：6 12. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由于一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象有交点，则说明有解． 【详解】解：令，变形得：， ∵图象有交点， ∴有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题运用了方程组的知识和一元二次方程根的判别式的有关内容，注意函数图像的交点问题和对应一元二次方程的根的关系． 5、 综合解答题 13. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N． （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1），M（2，2） （2），在 （3）4≤ m ≤8 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法可以确定直线DE的解析式，把M点的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标． （2）根据M点的坐标，可求出m的值，因为知道N的横坐标，所以根据DE的解析式可求出纵坐标，代入反比例函数式可看看结果如何． （3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案． 【小问1详解】 设直线DE的解析式为， ∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴ 解得 ∴． ∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形， ∴点M的纵坐标为2． 又∵点M在直线上， ∴2 = ．∴ x = 2．∴M（2，2）． 【小问2详解】 ∵（x＞0）经过点M（2，2）， ∴， ∴． 又∵点N在BC边上，B（4，2）， ∴点N的横坐标为4． ∵点N在直线上， ∴．∴N（4，1）． ∵当时，y == 1， ∴点N在函数 的图象上． 【小问3详解】 把B（4，2）代入得：k=8， ∵反比例函数过M、N点， ∴若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 14. 如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去． （1）的值为________； （2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟． 【答案】 ①. 50 ②. 20 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的的值求差即可． 【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点， ， ， 当时，则，解得， 设第一次循环过程中一次函数的解析式为， 由题意得 ，解得 ， 一次函数的解析式为， 当时，则，解得， 当时则，解得， 分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 （分钟） 故答案为：（1）50；（2）20． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 【答案】（1） （2）m的值为1或9 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值． 【小问1详解】 解：一次函数中， 令，解得， ， ， 作于， 的面积为， ，即， ， 点的纵坐标为1， 代入中，求得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 小问2详解】 解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点， ， 整理得， ， 解得或， 即的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 16. 如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点D，C． （1）填空：______，______，_____； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）将直线向下平移t（）个单位后，与双曲线有唯一交点，直接写出t的值． 【答案】（1），10，8 （2）15 （3）2或18 【解析】 【分析】（1）先把点A（1，8）代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k的值； （2）先求出点C、D的坐标，然后利用间接法，即可求出△AOB的面积； （3）由题意，得到平移后的解析式为，然后联合方程，利用根的判别式，即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意， 把点A（1，8）代入，则 ，解得； ∴， 把B（4，n）代入，则 ， ∴B（4，2）； 把点A、B代入，则 ，解得， ∴； 故答案为：；10；8； 【小问2详解】 解：在中， 令，得， ∴直线与y轴交于点C（0，10）； 在中， 令，得， ∴直线与x轴交于点D（5，0）； ∴ ∴△AOB的面积为15； 【小问3详解】 解：根据题意，把向下平移t个单位，则， 联合与，则 ， 整理得：， ∵与有唯一交点， ∴， 解得：或； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，一次函数的平移，求函数的解析式，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的求出函数的解析式． 17. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点． （1）k＝　　； （2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3），． 【解析】 【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值； （2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论； （3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标． 【详解】解：（1）点是反比例函数图象上的点， ， 解得， 故答案为：2； （2）在和中， ， ， ， 点坐标为，则可得， ，， 即， 整理得； （3）设点坐标为， 则，， ，， ， 即， 解得（舍去）或， 点的坐标为，． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，点为轴正半轴上一点，直线与轴交于点，连接； （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意知在直线上，将其代入，求出的值，在代入即可求得反比例函数解析式； （2）过作轴交于，过作轴交于，根据,可求得点的坐标，进而可求得直线的解析式，求得点、点的坐标，得知轴，根据可求得面积． 【小问1详解】 解：由题意知，在直线上， ∴，∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 【小问2详解】 过作轴交于，过作轴交于， ∵， ∴，， ∴， 即:，， ∴ 设直线的解析式为 ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴当时，， ∴， ∴轴 ∴， ∴ 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法一次函数的解析式，三角形面积，关键是求出反比例函数、一次函数的解析式． 19. 图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于A点，与反比例函数交于点B（，4）和点C，且AC＝4AB，动点D在第四象限内的该反比例函数上，且点D在点C左侧，连接BD、CD． （1）求点C的坐标； （2）若，求点D坐标． 【答案】（1）C坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用B点坐标求出反比例函数的解析式，再利用相似三角形的判定与性质求出C点的横坐标，再代入反比例函数解析式当中求出纵坐标即可； （2）先求出直线BC的解析式，再设出D点坐标，利用面积关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解:如图， 过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F ∵反比例函数经过点B（，4）， ∴， 解得， ∴反比例函数为 ∵BE⊥y轴，CF⊥y轴， ∴BE∥CF， ∴△BEA∽△CFA ∵AC＝4AB ， ∴ ∴CF＝4 ∵反比例函数经过点C ∴当时，，即点C坐标为（4，） 【小问2详解】 过点D作DG∥y轴，交AC于点G. 将点B（，4）,点C（4，）代入,解得 ∴直线的函数解析式为 设点D（t，），点G（t，） ∵， ∴ 解得，，， ∵， ∴ 此时，点D的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的相关概念、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形或建立方程进行求解等． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的关系式： （2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当时，不等式的解集： （3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2），或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入中求出得到然后把点坐标代入中求出得到反比例函数的表达式； （2）先求出直线与轴交点的坐标，然后解析式联立，解方程组求得的坐标，利用图象即可求得当时，不等式的解集； （3）求得的坐标，设，则，根据三角形面积公式求得的值，进而即可求得的坐标． 【小问1详解】 把点代入，得， 把代入反比例函数， ； 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解得或， ， 由图象可知，当时，不等式的解集或； 【小问3详解】 在直线中，令，则， ， 设， ， 的面积为5， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 22. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【小问1详解】 解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点， 在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键． 23. 如图，一次函数y=kx+1与反比例函数y=（m≠0）相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知sin∠CDO=，△BOD的面积为1． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接OA，OB，点M是线段AB的中点，直线OM向上平移h（h＞0）个单位将△AOB的面积分成1：7两部分，求h的值． 【答案】（1）y=；（2）h=． 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出点D坐标，再利用三角形的面积公式求出点B坐标即可解决问题； （2）设平移后的中交OA于G，交AC于H．利用方程组求出点A坐标，利用中点坐标公式求出点M坐标，求出直线OM的解析式，再证明S△AHG：S△AOM=1：4，推出AG：AO=1：2，推出GA=OG，可得G（1，1），求出直线GH的解析式即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意点C（0，1）， 在Rt△ODC中，∵OC=1，sin∠CDO=， ∴OD=2， ∴D（﹣2，0）， 把D（﹣2，0）代入y=kx+1，得到k=， ∴一次函数的解析式为y=x+1， ∵△BOD的面积为1，设B（x，y）， ∴×2×|y|=1， ∵y＜0， ∴y=﹣1， ∴B（﹣4，﹣1）， ∴m=4， ∴反比例函数的解析式为y=． （2）设平移后的中交OA于G，交AC于H． 由，解得或， ∴A（2，2），∵B（﹣4，﹣1）， ∴M（﹣1，）， ∴直线OM的解析式为y=﹣x， ∵AM=MB， ∴S△AMO=S△BMO， ∵S△AHG：S四边形OBHG=1：7， ∴S△AHG：S△AOM=1：4， ∴AG：AO=1：2， ∴GA=OG， ∴G（1，1）， ∴直线HG的解析式为y=﹣x+， ∴h=． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2）当时，______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数交点的计算，几何图形面积的计算，掌握函数图象的性质，找出规律是解题的关键． （1）根据题意，得到点的坐标，根据得到对应阴影部分的面积，找出规律即可求解； （2）计算方法同（1）． 【小问1详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：， 直线解析式为：， ∴， 解得，， ∴，且， ∴ ， ， ∴， 同理，， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴，，且， ∴ ， ， ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $