第06讲 生活中的圆周运动讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2025-2026学年高一下学期物理满分练曲线运动专题（新高考通用）

本讲义聚焦生活中的圆周运动核心知识点，系统梳理从圆周运动基本规律到铁路弯道、汽车转弯、拱形桥等实际应用的脉络，衔接天体与磁场圆周运动，通过思维导图、知识要点及17类题型构建学习支架。 资料以模型化整合生活场景为特色，17个题型覆盖绳球、杆类等经典模型，典型例题与变式训练结合，培养科学思维中的模型建构与推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第06讲 生活中的圆周运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 8 题型01：判断哪些力提供向心力及有关向心力的简单计算 8 题型02：通过牛顿第二定律求解向心为 11 题型03：绳球类模型及其临界条件 18 题型04：杆类模型 28 题型05：轨道模型 37 题型06：管道模型 45 题型07：拱桥和凹桥模型 49 题型08：水平转盘上的物体 57 题型09：光滑斜面上的圆周运动 62 题型10：有摩擦的倾斜转盘上的物体 64 题型11：圆锥摆问题 67 题型12：汽车和自行车在水平面的转弯问题 78 题型13：火车和飞机倾斜转弯模型 81 题型14：航天器中的失重现象 89 题型15：由轨道半径变化引起的向心力变化 91 题型16：物体做离心或向心运动的条件 92 题型17：离心运动的应用和防止 97 巩固提升 102 生活中的圆周运动是高考物理必修2圆周运动的实际应用核心考点，属于基础中档必拿分内容，是圆周运动规律在生活场景的直接迁移，常与水平面/竖直面圆周运动模型结合考查，既是高考高频考点，也是衔接天体、磁场圆周运动的重要过渡。 1. 考查形式与分值：全国卷/新高考卷以选择题（4-6分） 为主，极少作为计算题小问（2-3分），不单独出大题；常与圆周运动基本规律、牛顿运动定律结合，分值占比4-6分，属于基础送分/低区分度考点。 2. 考查重点：聚焦水平面圆周运动应用（汽车转弯、转盘、火车过弯道），少量涉及竖直面圆周运动应用（过山车、摩天轮、水流星）；核心考查向心力来源分析、临界条件判断、公式直接应用，不考复杂计算，侧重“模型化提取生活场景中的圆周运动核心条件”。 3. 命题特点：情境均为常见生活现象，题干描述贴近实际，需排除无关干扰（如汽车转弯的路面粗糙程度、火车弯道的倾角），提取“圆心、半径、向心力来源”核心要素；新高考更注重实际问题与物理模型的转化，要求能将生活场景对应到经典圆周运动模型。 4. 关联考点：直接关联圆周运动基本公式、静摩擦力/弹力的受力分析，间接关联万有引力（天体圆周）、离心现象，考查内容不延伸，仅为基础规律的应用。 一 核心目标 1. 能将常见生活圆周场景精准对应到经典模型：汽车/火车转弯→水平面匀速圆周运动，过山车/摩天轮→竖直面非匀速圆周运动，转盘/洗衣机脱水→水平面离心现象相关圆周运动。 2. 掌握各类生活圆周运动的向心力具体来源，能明确判断：静摩擦力、弹力（支持力/压力）、重力与弹力的合力分别对应哪种生活场景的向心力。 3. 熟记圆周运动基本公式，能直接套用解决生活场景中的速度、角速度、倾角、摩擦力等物理量计算，无需复杂推导。 二 能力目标 1. 能对生活圆周运动场景画受力分析图，沿径向列牛顿第二定律方程，快速找到“合外力=向心力”的对应关系。 2. 掌握生活圆周运动的临界条件（如汽车转弯不打滑、火车转弯无侧压力），能根据临界条件求解极值（最大速度、临界倾角）。 3. 能区分圆周运动与离心现象，理解生活中离心现象的本质（向心力不足/消失），能解释脱水、甩泥等生活现象。 三 基础要求 1. 熟练掌握水平面匀速圆周运动的受力分析和公式应用，这是生活圆周运动的核心基础。 2. 能准确判断生活场景中圆周运动的圆心和半径，避免几何关系错误。 3. 理解静摩擦力的大小和方向判断，掌握弹力的分解方法（如火车弯道的支持力分解）。 知识点一：铁路的弯道 1．火车弯道转弯问题：一切做圆周运动的物体必然受到向心力的作用。火车转弯时，也是在做圆周运动，必然有某些力提供向心力。为了保证火车不脱轨，车轮的内部设有轮缘，如图所示。在火车转向右弯且两个轨道没有高度差时，如图所示，火车做圆周运动需要的向心力由外侧道轨对轮缘指向圆心的弹力提供，根据可知，在转动半径一定的情况下，速度越大，轨道与轮沿间的挤压力越大，当速度过大时，有可能损坏道轨，甚至有脱轨的危险。 2．火车弯道设计速度：为了解决这个问题，在火车转弯处，让外轨略高于内轨，如图所示，由重力mg和支持力FN的合力提供向心力，不需要外轨对外侧车轮的 弹力提供向心力了。根据可知，，在转动半径r、倾 斜角度θ一定的情况下，速度v是一定的值，也就是设计速度，火车在此处转弯时，必须是该速度。 3．火车速度对内、外轨道的影响： （1）当火车的速度时，向心力正好由重力和支持力的合力提供，火车对 外轨和内轨都没有压力，不会损坏内轨或外轨，如图所示。 （2）当火车的速度时，火车需要的向心力大于，重力和支持力 的合力不足以提供向心力，此时需要外轨对车轮指向圆心的弹力F提供剩余的向心力，如图6-4-4所示。所以，如果火车速度过大，仍然可能损坏外轨。 （3）当火车的速度时，火车需要的向心力小于，重力和支持力 的合力大于向心力，此时内轨对车轮向外的弹力F与重力和支持力的合力Fn提供向心力，如图6-4-5所示。所以，如果火车速度过小，可能损坏内轨。 4．弯道处火车的运动轨迹：火车的轨道虽然是倾斜的，但火车的运动轨迹却是水平面上圆周运动，如图所示，轨迹平面并不平行于倾斜轨道。 规律方法火车转弯时的铁轨应外轨高于内轨，当火车速度时，向心力正好由重力和支持力的合力mgtanθ提供，火车对外轨和内轨都没有压力，不会损坏内轨或外轨；当时，火车对外轨有压力，可能损坏外轨；当时，火车对内轨有压力，可能损坏内轨。 知识点二：汽车过水平弯道 汽车在水平弯道转弯时，由摩擦力提供向心力，汽车就有沿半径方向向外滑动的趋势。当汽车速度过大，汽车所需要的向心力大于汽车与地面的最大静摩擦力时，汽车就会沿半径方向向外滑动，造成交通事故。 汽车在水平路面转弯时： （1）汽车受到地面的静摩擦力提供向心力； （2）不能说汽车“受到”向心力的作用，只能说某个力、某个力的分力或哪些力的合力等“提供”向心力； （3）汽车加速、匀速转弯时，地面对汽车的静摩擦力是动力，指向圆心的分力提供向心力，沿轨迹切线方向的分力提供动力，静摩擦力实际指向内前方； （4）汽车刹车转弯时，地面对汽车的静摩擦力是阻力，指向圆心的分力提供向心力，沿轨迹切线方向的分力提供动力，静摩擦力实际指向内后方。 知识点三：汽车过倾斜弯道 汽车在水平弯道转弯时，由摩擦力提供向心力，汽车就有沿半径方向向外滑动的趋势。当汽车速度过大，汽车所需要的向心力大于汽车与地面的最大静摩擦力时，汽车就会沿半径方向向外滑动，造成交通事故。为了解决该问题，在公路的弯道处，一般都设计成外侧高内侧低的斜面，如图6-4-9所示，当汽车以设计速度通过弯道时，汽车的重力与支持力的合力提供向心力。设斜面与水平面间的夹角为θ，弯道半径为r，当只有重力与支持力的合力提供向心力 时，，整理得：，该速度就是该弯道处的设计速度，当汽车的速度时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，汽车有向外滑动的趋势，就有地面的摩擦力补充，此时摩擦力的方向应向内；当汽车的速度时，重力与支持力的合力大于汽车所需要的向心力，汽车有向内滑动的 趋势，此时摩擦力的方向应向外。 规律方法 （1）公路弯道应为外侧高于内侧的斜面； （2）当汽车速度时，向心力正好由重力和支持力的合力mgtanθ提供，汽车在沿半径方向上正好不受摩擦力的作用，汽车也正好没有向内、向外滑动的趋势； （3）轨道的设计速度与地面的粗糙程度无关； （4）当时，汽车有向外滑动的趋势，汽车在沿半径方向上受到的摩擦力指向内侧； （5）当时，汽车有向内滑动的趋势，汽车在沿半径方向上受到的摩擦力指向外侧。 （6）当时，汽车有向外滑动的趋势，但不会向外滑动，当汽车达到最大静摩擦力时，汽车才会向外滑动。 知识点四：拱形桥 1．汽车过拱形桥的动力学方程：如图所示，当汽车通过拱形桥的顶端时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，即，整理得，所以，故当汽车通过拱形桥的顶端时，压力小于重力，汽车通过拱形桥的顶端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越小，对桥面的压力就越小。 2．汽车的速度对压力的影响： （1）如图所示，当向心力完全由重力提供时，，整理得，当汽车的速度为时，汽车对桥面恰无压力。此时物体的加速度为，属于完全失重状态。 （2） 当汽车的速度时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，此时汽车对桥面有压力，且小于重力，如图所示。 （3）当汽车的速度时，重力也不足以提供向心力，汽车将不再做圆周运动，而是做平抛运动，汽车对桥面无压力，如图6-4-15所示。 规律方法当汽车通过拱形桥的顶端时，当汽车的速度等于时，汽车对桥面恰好无压力，此时汽车及其中所有物体都处于完全失重状态；当汽车的速度小于时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，此时汽车对桥面有压力，且小于重力，此时汽车及其中所有物体都处于失重状态；当汽车的速度大于时，汽车将不再做圆周运动，而是做平抛运动，汽车对桥面无压力，此时汽车及其中所有物体都处于完全失重状态。 知识点五：凹形桥 如图6-4-17所示，当汽车通过凹形桥的底端时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，即，整理得，所以，故当汽车通过凹形桥的底端时，压力一定大于重力，此时汽车及其中的物体都处于超重状态，汽车通过凹形桥的底端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越大，对桥面的压力就越大。 规律方法当汽车通过凹形桥的底端时，压力一定大于重力，此时汽车及其中的物体都处于超重状态，汽车通过凹形桥的底端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越大，对桥面的压力就越大。 汽车过拱形桥和凹形桥的比较 类型 受力分析 运动学方程 压力表达式 压力与重力的关系 压力与速度的关系 拱形桥 压力小于重力 速度越大压力越小 凹形桥 压力大于重力 速度越大压力越大 知识点六：航天器中的失重现象 1．航天器中的失重现象：当航天器在空中以速度v做半径为r的匀速圆周运动时，航天员受到重力mg的作用，还可能受到支持力FN的作用，如图所示，根据向心 力公式有：，，故，所以当航天器在空中做匀 速圆周运动时，其中的所有物体都处于失重状态。 2． 航天器中的完全失重现象：当航天器的速度为时，，即航天器对宇航员的支持力为0，向心力完全由自身重力提供，处于完全失重状态，此时，宇航员就像漂浮在航天器中一样，如图所示。 3． 航天器中的失重现象的特点：航天器中的物体处于失重状态，并不是不受重力，而是支持力小于重力，或没有支持力，物体所受到的重力大小是不变的。 规律方法 （1）航天器在空中做匀速圆周运动时，其中的所有物体都处于失重状态； （2）航天器中的物体处于失重状态，并不是不受重力，而是支持力小于重力，或没有支持力，物体所受到的重力大小是不变的； （3）当航天器的速度为时，航天器对其中所有物体的支持力为0，物体做圆周运动的向心力完全由自身重力提供，物体都处于完全失重状态。 知识点七：离心运动和近心运动 1． 概念：物体做圆周运动时沿切线方向飞出或做远离圆心的运动叫做离心运动。离心运动的实质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来。一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。 2． 向心力的大小对圆周运动的影响：物体之所以做圆周运动是因为受到向心力的作用，设某时刻物体正以速度大小v做圆周运动，物体所需要的向心力大小为，则指向圆心的合力F对物体运动的影响如下： 图6-4-23 图6-4-24 图6-4-25 图6-4-26 （1）当时，加在物体上的指向圆心的合力F正好等于物体维持圆周运动所需要的向心力，物体将继续做圆周运动，如图6-4-23所示； （2）当时，向心力突然消失，物体将沿切线方向飞出，如图6-4-24所示。例如水滴离开旋转的雨伞，雨滴将沿雨伞的切线飞出。 （3）当时，加在物体上的指向圆心的合力F小于物体所需要的向心力，物体将逐渐远离圆心，做离心运动，不再做圆周运动，如图6-4-25所示； （4）当时，加在物体上的指向圆心的合力F大于物体所需要的向心力，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动，也不再做圆周运动，如图6-4-26所示。 3．离心运动的应用和防止 （1）应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 （2）防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 题型01：判断哪些力提供向心力及有关向心力的简单计算 【典型例题1】如图是重庆市某游乐园的摩天轮，假设某乘客坐在座椅上随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，整个过程座椅始终保持水平，则（　　） A．座舱匀速转动过程中，乘客受力平衡 B．座舱在最低点时，乘客处于失重状态 C．座舱在最高点时，乘客处于超重状态 D．座舱在转动过程中，乘客所受合力方向始终指向转轴 【答案】D 【解析】A．座舱匀速转动过程中，乘客合力提供向心力，不为零，不是平衡状态，故A错误； BCD．根据题意可知，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，转动过程中，乘客的加速度方向指向圆心，所受合力方向始终指向转轴；则乘客在圆心所在水平线之上具有向下的加速度，处于失重状态，即座舱在最高点时，乘客处于失重状态，乘客在圆心所在水平线之下具有向上的加速度，处于超重状态，即座舱在最低点时，乘客处于超重状态，故BC错误D正确。 故选D。 【典型例题2】甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，角速度之比4：3，则它们的向心力之比为（　　） A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．9：16 【答案】C 【解析】根据匀速圆周运动向心力公式 F=mr 两个物体向心力之比为 ：=4：9. 故选C。 【变式训练1-1】如图所示，一辆汽车加速通过水平弯道时，路面对汽车的摩擦力f的示意图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一辆汽车加速通过水平弯道时，沿切线方向的加速度与速度方向相同，垂直速度方向的加速度指向圆心，所以合加速度与速度夹角方向为锐角，则路面对汽车的摩擦力f的方向与速度夹角为锐角。 故选A。 【变式训练1-2】如图所示是“感受向心力”实验。在绳子的点拴一个小沙袋，点握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时可认为“沙袋所受的向心力近似等于绳子对沙袋的拉力”。下列分析正确的是（　　） A．沙袋做匀速圆周运动的圆心一定在点 B．由于空气阻力的作用，拉力与沙袋速度方向不垂直 C．若不考虑空气阻力的影响，沙袋速度越小，向心力与拉力越接近 D．若在完全失重条件下做上述实验，空气阻力越小，向心力与拉力越接近 【答案】BD 【详解】A．沙袋受到重力、拉力和空气阻力的作用，拉力的竖直分量与重力平衡，绳子不是水平的，匀速圆周运动的圆心在点下方，A错误； B．沙袋做匀速圆周运动，沙袋所受合力，即向心力指向圆心，空气阻力沿切线方向，拉力沿切线方向的分量与空气阻力平衡，拉力不与速度方向垂直，B正确； C．若不考虑空气阻力的影响，向心力与拉力的关系为 沙袋速度越大，向心力与拉力越接近，C错误； D．若在完全失重条件下做上述实验，设空气阻力大小为f，则向心力与拉力的关系为 空气阻力越小，向心力与拉力越接近，D正确。 故选BD。 【变式训练1-3】如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C处系一质量的小球，其中，两绳能承受的最大拉力均为40N，小球随转轴AB以一定的角速度转动，细绳AC和BC均拉直，此时，细绳BC与竖直轴AB垂直，ABC能绕竖直轴AB匀速转动，小球在水平面内做匀速圆周运动，取重力加速度大小，。 （1）当小球转动的角速度增大时，通过计算判断AC和BC哪条绳先断？ （2）一条绳被拉断后，小球转动的角速度继续增加，为了让小球能够做圆周运动，则小球的最大线速度为多少？    【答案】（1）BC绳先断；（2）5m/s 【详解】（1）当小球的线速度增大时，细绳BC逐渐被拉直，小球的线速度增至细绳BC刚被拉直时，对球 可求得AC绳中的拉力 线速度再增大些，不变而增大，所以BC绳先断。 （2）当细绳BC被拉断后，细绳AC与竖直方向的夹角因离心运动而增大 当时 细绳AC也被拉断，此时 其中 解得小球的最大线速度为 题型02：通过牛顿第二定律求解向心为 【典型例题1】如图所示为某港口大型起重装置，缆车下吊一重物正匀速运动，速度为，所吊重物（可视为质点）的质量为m，吊重物的缆绳长为L，不计缆绳的重量，重力加速度为g，当缆车突然停止时，缆绳所承受的拉力为（　　）    A．4mg B．3mg C．2mg D．mg 【答案】B 【解析】由题意知，缆车突然停车的瞬间，重物开始做圆周运动，其所受合力提供向心力，即 其中 可得 故选B。 【典型例题2】如图所示，一圆筒固定在水平地面上，圆筒底面光滑，侧面粗糙。一物块紧贴圆筒内壁开始滑动。在物块滑动过程中，其速率随时间变化的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】物块紧贴圆筒内壁开始滑动，竖直方向受力平衡，水平方向圆筒侧面的弹力提供向心力，则有 由于圆筒侧面粗糙，所以物块滑动过程受到侧面的滑动摩擦力作用，物块做减速运动，则有 可知随着物块速度的减小，滑动摩擦力逐渐减小，则滑动摩擦力产生的加速度大小逐渐减小，可知速率随时间变化的图像的切线斜率绝对值逐渐减小。 故选C。 【典型例题3】一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起。如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均看作质点）（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当m以最大角速度转动时，以M为研究对象 F＝μMg 以m为研究对象 F＋μmg＝mL 可得 ω＝ 故选D。 【变式训练2-1】如图所示，在光滑的水平面上质量为的小球甲与质量为的小球乙用长为的轻质细线连接，两小球均视为质点，现让两小球以相同的角速度互相环绕共同的圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）    A．甲、乙的向心加速度之比为 B．甲、乙的轨道半径之比为 C．若甲、乙的角速度为，则细线的拉力为 D．若细线的拉力为，则甲的线速度为 【答案】AC 【详解】A．细线对甲、乙的拉力充当甲、乙的向心力，则甲乙的向心力大小相等，由牛顿第二定律可得 则有 选项A正确； B．由 综合比较可得 选项B错误； C．若甲、乙的角速度为，则细线的拉力为 综合可得 由几何关系可得 综合解得 选项C正确； D．由 综合解得 若细线的拉力为，由 可得 则 选项D错误。 故选AC。 【变式训练2-2】如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环一直相对杆不动，下列判断正确的是（　　） A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大 B．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的弹力不变 C．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力不变 D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等 【答案】BCD 【详解】AC．对N受力分析 知绳子的拉力在竖直方向的分力恒等于重力，即 所以只要角度不变，绳子的拉力不变，环N与竖直杆之间的弹力 不变，故A错误，C正确； B.对M受力分析知竖直方向 与角速度无关，故B正确； D.当转动的角速度较小时，绳子的拉力可提供向心力，此时的摩擦力方向水平向右；当转动的角速度较大时，绳子的拉力不可提供向心力，此时的摩擦力方向水平向左，两种情况摩擦力大小可能相等，故D项正确。 故选BCD。 【变式训练2-3】如图，摩天轮在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，座舱的运动周期为 ；某时刻，座舱A与摩天轮圆心在同一高度，此时座舱A受摩天轮的作用力大小为 。 【答案】 【详解】[1]由题设为条件可知，座舱的运动周期为 [2]座舱做匀速圆周运动，在座舱A与摩天轮圆心在同一高度时，对座舱受力分析，受摩天轮的作用力F，重力mg，如图所示，由牛顿第二定律，可知座舱所受摩天轮的作用力与重力的合力提供向心力，合力大小为 所以此时座舱A受摩天轮的作用力大小为 【变式训练2-4】如图所示，长L的轻杆两端分别固定着小球A、B，杆中心O有水平方向的固定转轴，杆绕转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动。小球A的质量为m，重力加速度为g。 （1）小球A运动到水平位置时，求杆对球A的作用力大小F1； （2）小球A运动到最高点时，求杆对球A的作用力大小F2； （3）若轻杆角速度为2ω，小球A运动到最低点时，杆对转轴的作用力刚好为零，求小球B的质量mB。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球A运动到水平位置时，杆对球的竖直方向分力 杆对球的水平方向分力 杆对球A的作用力大小 解得 （2）小球A运动到最高点时，根据牛顿第二定律 解得 杆对球A的作用力大小为。 （3）小球A运动到最低点时，根据牛顿第二定律 由于杆对转轴的作用力刚好为零，则小球B对杆的力与小球A的力等大反向，则对小球B有 解得 【变式训练2-5】如图甲所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动，二面体的二面角为，截面图如图乙所示．面ABCD和面CDEF的长和宽均为，取重力加速度。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离。    【答案】（1）；（2）0.025m 【详解】（1）对小物体受力分析，设小物体受到的支持力为F，由牛顿第二定律得 在竖直方向上受力平衡，可得 代入数据，联立解得 （2）若二面体突然停止转动，设小物体在二面体上运动的时间为t，运动的初速度大小为v0，加速度大小为a，沿AD方向向下运动的距离为y，对小物体受力分析，在平行ABCD面方向上，根据牛顿第二定律有 小物体沿BA方向做匀速直线运动，且速度大小为 小物体沿BA方向的位移为 小物体沿AD方向做匀加速直线运动，其位移为 联立解得 可知小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离为0.025m。 题型03：绳球类模型及其临界条件 【典型例题1】如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子P，小球从左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。已知小球经过最低点时，速度大小不变，则下列说法中正确的是（　　）    A．在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力 B．小球经过最低点时，加速度不变 C．钉子位置离O点越远，绳就越容易断 D．钉子位置离O点越近，绳就越容易断 【答案】C 【解析】A．根据题意可知，在摆动过程中，小球所受重力沿着半径方向分力和绳子拉力的合力始终等于向心力，故A错误； B．根据公式可知，由于小球经过最低点时，速度大小不变，半径变小，则变大，故B错误； CD．根据牛顿第二定律有 解得 可知，由于小球经过最低点时，速度大小不变，则越小，越大，绳就越容易断，由图可知，钉子位置离O点越远，越小，绳就越容易断，故D错误，C正确。 故选C。 【典型例题2】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 【答案】D 【解析】设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误． 【典型例题3】杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 【答案】B 【解析】“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B. 【变式训练3-1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳的拉力大小为 D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 【答案】D 【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有可得 可知图线斜率为可得轻质绳长为故A错误； B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为则有故B错误； C．由图像可知故当时，有故C错误； D．从最高点到最低点，由机械能守恒有在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有 联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为故D正确。故选D。 【变式训练3-2】（多选）如图所示，质量为m的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间作用力大小恰为mg，则（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的周期等于2π B．该盒子做匀速圆周运动的周期等于π C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小等于2mg D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小等于3mg 【解答】解：AB、盒子在最高点时，对小球有FN+mg＝m＝2mg，T＝，解得v＝，T＝π，故A错误，B正确； CD、盒子在最低点时，对小球有FN′﹣mg＝m，解得FN′＝3mg，故C错误，D正确。 故选：BD。 【变式训练3-3】（多选）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法正确的是(　　) A.v的最小值为 B.v由零逐渐增大，向心力也增大 C.当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D.当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案　BCD 解析　由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的最小值是零，故A错误.v由零逐渐增大，由Fn＝可知，Fn也增大，故B正确.当v＝时，Fn＝＝mg，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞时，杆对球的力为拉力，由mg＋F＝可得F＝m－mg，则当v由逐渐增大时，拉力F逐渐增大；当v＜时，杆对球的力为支持力，此时，mg－F′＝可得F′＝mg－，当v由逐渐减小时，支持力F′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D正确. 【变式训练3-4】（多选）如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则(　　) A．小球运动到最高点的速度v＝ B．小球运动到最高点的速度v＝ C．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m D．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m 答案　AD 解析　小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝m，r＝Lsin 60°，解得v＝ ，A正确，B错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C错误，D正确． 【变式训练3-5】（多选）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．x＝2.5 B．y＝40 C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm 【答案】ABD 【详解】AB．从A到B，根据动能定理可得在B点，根据牛顿第二定律得 联立解得结合题图乙可知，故AB错误，AB满足题意要求； D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得从最低点到最高点，根据动能定理可得解得故D错误，满足题意要求； C．从最高点做平抛运动，则有，；且联立解得当解得，取最大值，可得= 故C正确，不满足题意要求。故选ABD。 【变式训练3-6】如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直．当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直．重力加速度为g，则(　　) A．a绳的拉力可能为零 B．a绳的拉力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳中拉力不为零 D．当角速度ω>时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平 【答案】C 【解析】　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与小球重力相等，可知a绳的拉力不可能为零，A错误；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，与角速度无关，B错误；当b绳拉力为零时，有＝mω2Lcos θ，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳出现拉力，C正确；若a绳突然被剪断，则b绳不能保持水平，D错误． 【变式训练3-7】细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　　) A. B．2π C. D. 答案　D 解析　对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝htan θ，受力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htan θ；当球即将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此时nm＝，故选D. 【变式训练3-8】（多选）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5 kg的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着一质量为m2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N．圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5 m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大 B．当角速度ω＝ rad/s时，BC绳刚好被拉直 C．当角速度ω＝3 rad/s时，AC绳刚好被拉断 D．当角速度ω＝4 rad/s时，BC绳刚好被拉断 答案　ABD 解析　转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m2竖直方向处于平衡，由FTAcos θ＝m2g，可知在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大，A正确；BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝，对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2gtan θ＝m2ω12l2，解得ω1＝ rad/s，B正确；当ω＝3 rad/s> rad/s，BC绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC绳中拉力不变且为50 N，小于AC绳承受的最大拉力，AC未被拉断，C错误；对小球m2，竖直方向有m1gcos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1gsin θ＋FTBC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确． 【变式训练3-9】（多选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案　BC 解析　转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D错误． 【变式训练3-10】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：（g取10m/s2） （1）当恰好只有AC绳拉紧，而BC绳拉直但无拉力时，球的角速度大小； （2）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ （3）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？ 【解析】解：（1）当恰好只有AC绳拉紧，而BC绳拉直但无拉力时，根据牛顿第二定律，有： mgtan30°＝mω2r 解得：ω＝2.4 rad/s （2）当AC绳拉直但没有力时，即FT1＝0时，由重力和绳BC的拉力FT2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： mgtan45°＝mωmax2r 其中：r＝l•sin30° 解得：ωmax＝3.16 rad/s 所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧． （3）当ω＝3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受FT1、FT2、mg三力作用，正交分解后可得： 水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°＝mlsin30°ω2 竖直方向：FT1cos30°+FT2cos45°＝mg 代入数据后解得： FT1＝0.27 N FT2＝1.09 N 【变式训练3-11】如图所示，一长为L的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质量为m的小球相连接．现使小球在一水平面上做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方向的夹角为θ．不计空气阻力． (1)求维持小球做圆周运动的向心力的大小； (2)求小球做圆周运动线速度的大小； (3)某同学判断，若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角θ也将增大，  但角θ不能等于90º，试证明角θ趋近90º时，细绳对小球的拉力将趋近无穷大． 【答案】(1) (2) （3）,当θ→90º时，→0，所以T→∞ 【详解】（1）小球做圆周运动时受细线的拉力和重力作用，由平行四边形定则得： （2）由牛顿第二定律得 又 所以   （或） （3）绳对球的拉力 当θ→90º时，→0，所以T→∞ 【变式训练3-12】如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重力加速度为g) (1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大； (2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大； (3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力FN2各为多大． 答案　(1)　(2)mg　mg　(3)3mg　0 解析　(1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得 mgtan θ＝m·Lsin θ·ω02 解得小球的角速度为ω0＝ (2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，由于ω1<ω0，桌面对小球存在支持力，竖直方向小球处于平衡状态，满足 FN1＋F1cos θ＝mg 水平方向由向心力公式可得 F1sin θ＝m·Lsin θ·ω12 联立解得F1＝mg，FN1＝mg (3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，由于ω2>ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力FN2＝0 设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sin α＝m·Lsin α·ω22 解得F2＝3mg. 【变式训练3-13】如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求细绳被拉断后小球运动的水平位移。    【答案】（1）；（2）x= 4m 【详解】（1）依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有 代入数据可得小球经过最高点的速度大小为 （2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为，设此时小球的速度大小为v1。小球在最低点时由牛顿第二定律有 解得 =4m/s 此后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球在竖直方向上 代入数据求得 t=1s 在水平方向上水平位移为 x= 4m 题型04：杆类模型 【典型例题1】如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若两小球经过O点正下方时，B的速度大小为，重力加速度为g，轻杆AB段和OB段的拉力大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A在最低点时，A与B角速度一样，则A的速度为2，对A: 对B : 解得 故选B。 【典型例题2】如图所示，长度为的轻杆两端分别固定质量为的A小球和质量为的B小球，杆上距A球处的O点套在光滑的水平转轴上，杆可绕水平转轴在竖直面内转动。当A球在最高点，B球在最低点静止时，O点受杆的作用力大小为；当A球转动至最高点时，杆OA部分恰好不受力，此时O点受杆的作用力大小为。已知重力加速度，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当A球在最高点，B球在最低点静止时，OA部分受到A球的压力 OB部分受到B球的拉力 则O点受杆的作用力大小为 当A球转动至最高点时，杆OA部分恰好不受力，有 转动过程中A、B小球角速度相等，对B球根据牛顿第二定律有 此时O点受杆的作用力大小为 几何关系知， 代入数据解得 故C正确，ABD错误。故选C。 【典型例题3】如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C．若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D．小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 【答案】C 【详解】AC．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有 解得 可知，若小球运动的角速度 杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度杆对球的作用力向上，故A错误，C正确； B．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形法则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误； D．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。故选C。 【典型例题4】如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是(　　) A.mg的拉力 B.mg的压力 C.零 D.mg的压力 【答案】B 【解析】当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<，故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误. 【典型例题5】“太极球”运动是一项较流行的健身运动，做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，太极球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让小球在竖直面内始终不脱离平板且做匀速圆周运动，则（　　） A．在B、D两处小球运动的加速度一定相同 B．只要平板与水平面的夹角合适，小球在B、D两处可能不受平板的摩擦力作用 C．平板对小球的作用力在A处最大，在C处最小 D．小球运动过程中速度不变 【答案】B 【解析】A．加速度是矢量，在B、D两处小球运动的加速度方向都指向圆心，方向不同，所以加速度不相同，故A错误； B．只要平板与水平面的夹角合适，使得小球在B、D两处时受重力和平板的弹力的合力充当向心力，则此时平板不受摩擦力作用，B正确； C．在A处满足 在C处满足 可知平板对小球的作用力在A处最小，在C处最大，故C错误； D．速度是矢量，小球做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向不断变化，故D错误。 故选B。 【典型例题6】轻杆与F－v 2图像)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v，O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v 2(v为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　) A．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s B．小球在最高点的速度大小为 m/s时，杆对球的作用力为支持力 C．小球的质量为3 kg D．O轴到小球的距离为0.5 m 【答案】　D 【解析】由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A错误；当小球通过最高点的速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3 N，即质量为0.3 kg，C错误；由题图乙可知，当小球以v2＝5 m2/s2通过最高点时，恰好对杆没有作用力，此时重力提供向心力，设O轴到小球的距离为L，根据mg＝m，得L＝0.5 m，故D正确；当小球以 m/s的速度通过最高点时，根据mg＋F＝m，可得F＝6 N，此时杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6 N，故B错误． 【变式训练4-1】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【答案】C 【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误． 【变式训练4-2】(多选）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是（　　） A．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 B．v的最小值为 C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 【答案】ACD 【答案】解：A、在最高点，根据F向＝m得速度增大，向心力也逐渐增大。故A正确。 B、由于轻杆能支撑小球，则小球在最高点的最小速度为零，故B错误。 C、在最高点，若速度v＝，杆子的作用力为零，当v＞，杆子表现为拉力，速度增大，向心力增大，则杆子对小球的拉力增大。故C正确。 D、当v＜时，杆子表现为支持力，速度减小，向心力减小，则杆子对小球的支持力增大。故D正确。 故选：ACD。 【变式训练4-3】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案　A 解析　当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误． 【变式训练4-4】如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球在最高点时，小球的速度大小为 B．小球在最低点时，小球的速度大小为 C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为 D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为 【答案】CD 【详解】A．小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度恰好为零，A错误； B．从最高点到最低点对小球应用动能定理可得解得，B错误； C．最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律解得，C正确； D．从最高点到水平位置对小球应用动能定理可得由牛顿第二定律解得，D正确。故选CD。 【变式训练4-5】(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　) A．方向一定竖直向上 B．方向可能竖直向下 C．大小可能为0 D．大小不可能为0 答案　BC 解析　设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错误． 【变式训练4-6】(多选)如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是(　　) A.利用该装置可以得出重力加速度，且g＝ B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大 C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变 答案　CD 解析　小球在最高点，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m，解得v2＝＋gR；由题图乙知，纵轴截距a＝gR，解得重力加速度g＝，故A错误；由v2＝＋gR知，图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线的斜率更小，故B错误；用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大，故C正确；由v2＝＋gR知，纵轴截距为gR，绳长不变，则图线与纵轴交点坐标不变，故D正确. 【变式训练4-7】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如乙图所示。则（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 【解答】解：AB、对小球在最高点进行受力分析，速度为零时F﹣mg＝0 结合图像可知a＝mg 当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝ 结合图像可知mg＝ 联立解得g＝，m＝，故A正确，B错误； C、由图像可知b＜c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F+mg＝ 则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的弹力方向向上，故C错误； D．当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得F′+mg＝ 解得F′＝mg，故D正确； 故选：AD。 【变式训练4-8】如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动． (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小． 答案　(1)　(2)2mg　方向竖直向下 (3)能；当A、B球的速度大小为时，O轴不受力 解析　(1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝m，解得vA＝，因为A、B两球的角速度相等，半径相等，则vB＝vA＝； (2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2m 代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0 对A有FTOA′－mg＝m 可得FTOA′＝2mg 根据牛顿第三定律，O轴所受的力大小为2mg，方向竖直向下； (3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点 对B有FTOB″＋2mg＝2m 对A有FTOA″－mg＝m O轴不受力时有FTOA″＝FTOB″ 联立可得v＝ 所以当A、B球的速度大小为时，O轴不受力． 【变式训练4-9】如图所示，轻杆长2l，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕转O轴做圆周运动，已知重力加速度取g。 （1）若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力大小和方向； （2）若B球到最高点时的速度等于第（1）问中A球到达最高点时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和方向又如何？ （3）在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，则求出此时A、B球的速度大小。 【解答】解：（1）若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，仅由重力提供向心力。 则根据牛顿第二定律得：对A有：mg＝m，解得：v＝。 对B有F﹣2mg＝2m，解得：F＝4mg 即此时杆对B球的拉力的大小为4mg。 （2）B在最高点时，对B有： 2mg+TOB1＝2m， 将v＝代入，可得：TOB1＝0； 对A有：TOA1﹣mg＝m，得：TOA1＝2mg。 杆子对A球表现为拉力，则杆子对O轴表现为拉力，大小为2mg，方向竖直向下。 （3）要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，可判断B球应在最高点。 对B有：TOB2+2mg＝2m 对A有：TOA2﹣mg＝m。 轴O不受力时，TOA2＝TOB2，可得：v′＝。 题型05：轨道模型 【典型例题1】如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为的圆轨道。质量为的游客随过山车一起运动，当游客以速度经过圆轨道最高点时（    ） A．处于超重状态 B．加速度方向竖直向下 C．速度大小一定为 D．对座椅的作用力为 【答案】B 【解析】AB．游客在最高点，合力竖直向下，加速度方向竖直向下，处于失重状态，A错误B正确； C．在最高点，根据牛顿第二定律，有 因为时，所以C错误； D．在最高点，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律，可知游客对座椅的作用力为D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(　　) A.0 B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确. 【典型例题3】（多选 ）如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v0＝3.5 m/s的初速度进入轨道，g＝10 m/s2，则(　　) A．小球不会脱离圆轨道 B．小球会脱离圆轨道 C．小球脱离轨道时的速度大小为 m/s D．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 【答案】BCD 【解析】若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg＝m，解得v＝＝ m/s，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得mv0′2＝mg·2R＋mv2，解得v0′＝ m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故A错误，B正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示． 在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mgsin θ＝m，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得mv02＝mgR(1＋sin θ)＋mv12，联立解得sin θ＝，即θ＝30°，则v1＝＝ m/s，故C、D正确． 【典型例题4】（如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与在最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．管道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D．小球在以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】B 【解析】A．由图乙可知，当在最高点时，，则在最高点重力提供小球做圆周运动的向心力，此时代入得A错误； B．由图乙知，当时，在最高点重力等于下管道对小球向上的弹力，此时 代入得B正确； C．小球在水平线以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误； D．小球在水平线以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力。D错误； 故选B。 【变式训练5-1】一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．物块所受合外力为零 B．物块所受合外力越来越大 C．物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变 D．物块所受摩擦力大小不变 【解答】解：A、B物块下滑过程速率保持不变，做匀速圆周运动，物块的加速度不等于零，由公式F＝m知，所受的合外力不为零，而且大小保持不变。故A、B错误。 C、物块所受合外力大小保持不变，方向始终指向圆心，时刻在改变，故C正确。 D、重力的径向分力应沿圆弧轨迹切线方向，与摩擦力方向相反大小相等。 设圆弧轨迹切线与水平面夹角为α，则f＝mgsinα，夹角α变小，f变小。故D错误。 故选：C。 【变式训练5-2】如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小球对圆环的压力大小等于mg B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g 答案　A 解析　因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确． 【变式训练5-3】如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示．质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转．陀螺的质量为m，其余部分质量不计．陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg.不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g. (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度； (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小； 答案　(1)10mg　(2)　(3)g 解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知： mg＋FN1－F1＝m 解得FN1＝10mg (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2－FN2－mg＝m 由题意可知，当FN2＝0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝ (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg.则： Fn＝F3－FN3＝m 解得FN3＝4mg 由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3 固定支架对轨道的作用力为F＝ 解得F＝g. 【变式训练5-4】抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示。支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一质量为m的石块，B端固定质量为20m的重物，，。为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动。硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度为，石块直接击中前方倾角为的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成角。重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： （1）石块抛出时的速度大小； （2）石块击中斜坡时的速度大小及石块抛出后在空中运动的水平距离； （3）石块抛出前的瞬间，重物和石块分别受到硬杆（包括凹槽）的作用力的大小和方向。    【答案】（1）；（2），81L；（3）220mg，方向竖直向上，89mg，方向竖直向下 【详解】（1）已知重物转至最低点的速度为 设石块转至最高点的速度大小为，根据同轴转动角速度相同，由公式，有 又 联立解得，石块抛出时的速度大小为 （2）设石块击中斜坡时的速度为，将分解如下图所示    根据几何知识可得 解得 根据几何知识可得 根据运动学公式得 ， 联立解得 （3）设重物转至最低点时受到杆的作用力为，石块转至最高点时受到杆的作用力为，以竖直向上为力的正方向，对重物和石块分别进行受力分析如图所示    根据牛顿第二定律可得 其中 ， 联立解得 ， 则石块抛出前的瞬间，重物受到硬杆的作用力大小为220mg，方向竖直向上，石块受到硬杆的作用力大小为89mg，方向竖直向下。 【变式训练5-5】如图甲所示，竖直面内有一光滑轨道，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角，圆弧轨道半径为，与水平轨道相切于点C.现将一小滑块（可视为质点）从空中的A点以的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，滑块在圆弧末端C点速度为，对轨道的压力，之后继续沿水平轨道滑动，经过D点滑到质量为，长为的木板上.图乙为木板开始运动后一段时间内的图像，滑块与地面、木板与地面间的动摩擦因数相同，重力加速度g取，不计空气阻力和木板厚度。求： （1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小； （2）小滑块的质量； （3）全过程中木板的位移。 【答案】（1）8m/s；（2）1kg；（3）6m或10m 【详解】（1）在B点，由 可得 =8m/s （2）在C点，对物块受力分析 又因为 联立可得 m=1kg （3）由乙图可知，1s时木板收到的力发生了突变，经分析可知有两种情况。 情况一（如图）：1s时物块和木板刚好共速，之后两物体一起相对静止，以相同的加速度一起减速滑行至停止。 由图可知，在0~1s内，对物块： =8m/s2 又 可得 =0.8 对木板：木板的加速度大小 =4m/s2 又 解得 =0.2 通过图像，求得两者共速前相对位移 =6m＜L=7m 所以此情况成立。 木板加速过程位移 =2m 木板减速过程位移 =4m 木板位移 情况二（如图）：1s时物块从木板右侧滑出，之后两物体均在地面上滑行，滑行时加速度相同，则不会相撞。 由图可知，在0~1s内，物块和木板的相对位移 =L=7m =6m/s 物块的加速度大小 则 =6m/s2 又 则 =0.6 对木板：木板的加速度大小 =4m/s2 又 则 =0.1 通过图像，求木板加速过程位移 =2m 通过图像，求木板减速过程位移 =8m 木板位移 题型06：管道模型 【典型例题1】如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)．它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg.某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零．则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 【答案】　B 【解析】　对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下为28 N，设B球对管的力为FB′，由管的受力平衡可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B. 【典型例题2】（多选)(图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB水平、OA竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B点以某一初速度v0进入细管，之后从管内的A点以大小为vA的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0> B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0> C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为v0＝ D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足vA>，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点 【答案】BC 【解析】小球能从A点飞出，则在A点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有mv02>mgR，则小球在B点的初速度必须满足v0>，选项A错误，B正确；为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则R＝vAt，R＝gt2，联立解得vA＝，mv02＝mgR＋mvA2，小球在B点的初速度应为v0＝，选项C正确；要使小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度为，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误． 【变式训练6-1】（多选）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　）    A．小球的质量为 B．圆形管道内侧壁半径为 C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为 D．小球在最低点的最小速度为 【答案】AB 【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为，在最高点，由牛顿第二定律，当时当时，由重力提供向心力有 解得当时，由牛顿第二定律有解得 当时，由牛顿第二定律有解得故故小球的质量为或，故A正确； B．当时；解得圆形管内侧壁半径故B正确； C．当时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有解得 故C错误； D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即 ；故D错误。故选AB。 【变式训练6-2】（多选）如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)．MN为通过圆心的一条水平线．不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g.则下列说法中正确的是(　　) A．管道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 答案　AB 解析　由题图乙可知，当v2＝b，FN＝0时，mg＝m，解得R＝，故A正确；当v2＝0时，mg＝a，所以m＝，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误． 【变式训练6-3】（多选）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是(　　) A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0 <v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案　ABC 解析　在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误. 【变式训练6-4】（多选）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是(　　) A．铁球可能做匀速圆周运动 B．铁球绕轨道转动时机械能守恒 C．铁球在A点的速度一定大于或等于 D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg 答案　BD 解析　铁球绕轨道转动受到重力、轨道的磁性引力和轨道的弹力作用，而轨道的磁性引力和弹力总是与速度方向垂直，故只有重力对铁球做功，铁球做变速圆周运动，铁球绕轨道转动时机械能守恒，选项B正确，A错误；铁球在A点时，有mg＋F吸－FNA＝m，当FNA＝mg＋F吸时，vA＝0，选项C错误；铁球从A到B的过程，由动能定理有2mgR＝mvB2－mvA2，当vA＝0时，铁球在B点的速度最小，解得vBmin＝2，球在B点处，轨道对铁球的磁性引力最大，F吸－mg－FNB＝m，当vB＝vBmin＝2且FNB＝0时，解得F吸min＝5mg，故要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，选项D正确． 题型07：拱桥和凹桥模型 【典型例题1】汽车以某一速度经过拱桥顶端的瞬间（　　） A．处于超重状态，重力增大 B．处于超重状态，重力不变 C．处于失重状态，重力减小 D．处于失重状态，重力不变 【答案】D 【解析】汽车以某一速度经过拱桥顶端的瞬间，汽车竖直方向的加速度向下，则竖直方向的合力向下，汽车受到的支持力小于重力，处于失重状态，但重力不变。 故选D。 【典型例题2】一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．若，则物体对半球顶点压力为mg B．若，则物体对半球顶点的压力为 C．若，则物体对半球顶点的压力为 D．若，则物体对半球顶点的压力为零 【答案】B 【解析】A．根据题意，在最高点有 若解得 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为0，故A错误； B．同理可得，若则有 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为 故B正确； CD．若，物体处于平衡状态，则有 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，质量的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为，如果桥面承受的压力不超过，g取。则（　　）    A．汽车驶至凹形桥面的底部时处于失重状态 B．汽车驶至凸形桥面的顶部时处于失重状态 C．汽车允许的最大速率为 D．汽车对桥面的最小压力为 【答案】BC 【解析】A．汽车驶至凹形桥面的底部时，由地面的支持力与重力的合力提供圆周运动的向心力，可知有竖直向上的加速度，即汽车处于超重状态，故A错误； B．汽车驶至凸形桥面的顶部时，由地面的支持力与重力的合力提供圆周运动的向心力，则有竖直向下的加速度，即汽车处于失重状态，故B正确； C．汽车驶至凹形桥面的底部时，为了避免桥梁损坏，则有 解得 汽车驶至凸形桥面的顶部时，为了避免飞车现象发生，则有 解得 可知为了行车安全与桥梁避免损坏，汽车允许的最大速率为，故C正确； D．汽车驶至凸形桥面的顶部时，当取最大速率，汽车对桥面的压力最小，此时有 解得 故D错误。 故选BC。 【变式训练7-1】如图所示，拱桥可以视为半径为40m的圆弧面，如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，，则汽车通过桥顶的速度应为（　　） A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s 【答案】B 【详解】要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，则有 可得 故选B。 【变式训练7-2】如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（　　） A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1 【答案】B 【详解】在最高点，根据牛顿第二定律 在最低点，根据牛顿第二定律 解得 故选B。 【变式训练7-3】如图所示，当汽车以一定的速度过拱形桥和凹形路面时，下列说法正确的是（　　） A．图甲中汽车对桥面的压力大于车的重力 B．图乙中汽车对路面的压力小于车的重力 C．图甲中汽车的速度越大、汽车对桥面的压力越大 D．图乙中汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大 【答案】D 【详解】AC．甲图中在最高点时，根据牛顿第二定律有 解得 知最高点车对路面的压力比汽车的重力小，且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小，选项AC错误； BD．乙图中，根据 知 汽车对路面的压力大于车的重力，速度越大，汽车对路面的压力越大．故D正确，B错误。 故选D。 【变式训练7-4】如图，一辆质量的小汽车驶上一座半径的圆弧形拱桥。（取） （1）汽车以的速度经过拱桥的顶部时，圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？ （2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 【答案】D 【详解】 （1）汽车过拱桥的顶部时在竖直方向受重力和支持力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）汽车经过拱桥顶部时，对圆弧形拱桥的压力恰好为零，在竖直方向只受重力，由牛顿第二定律得 解得 【变式训练7-5】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　） A．向心力为 B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为 D．受到的合力方向斜向右上方 【答案】C 【详解】ABC．根据牛顿第二定律可知，在最低点 解得 所以AB错误；C正确； D．物体所受摩擦力方向向左，竖直方向的合力方向竖直向上，所以受到的合力方向斜向左上方，则D错误； 故选C。 【变式训练7-6】如图所示，从宇宙角度，地球可以看成一个巨人的拱形桥，桥面半径km，地面上行驶的汽车中驾驶员的质量kg，，在汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是（　　） A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大 B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于 C．只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力 D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉 【答案】C 【详解】 A．汽车行驶过程中，做圆周运动，根据牛顿第二定律有 根据牛顿第三定律，汽车对地面的压力与其所受支持力等大，有 可知，汽车的速度越大，则汽车对地面的压力越小。故A错误； BC．从上面选项分析，可知驾驶员对座椅压力大小与汽车的速度值有关，且只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力，故B错误；C正确； D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员只受重力作用，处于完全失重状态。故D错误。 故选C。 【变式训练7-7】汽车通过拱桥顶点时的速度为10 m/s，车对桥的压力为车重的，如果使汽车驶至桥顶时对桥面恰无压力，则汽车的速度为(g取10 m/s2)(　　) A．15 m/s　　　　　 B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 【答案】B 【详解】汽车过拱桥顶点时，竖直方向受到重力、支持力，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，根据牛顿第三定律有FN＝FN′＝mg，故mg－mg＝m，代入数据有R＝＝m＝40 m，汽车过桥顶且对桥面恰无压力时，根据牛顿第二定律有mg＝m，代入数据得v2＝＝m/s＝20 m/s，故选B。 【变式训练7-8】竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　）    A．在A点时，小球对圆轨道压力等于其重力 B．水平速度 C．经过B点时，小球的加速度方向指向圆心 D．A到B过程，小球水平加速度先增加后减小 【答案】D 【详解】AB．小球在A点时，根据牛顿第二定律得 可得 可得 可知小球受到的支持力小于其重力，即小球对圆轨道压力小于其重力，故AB错误； C．由题意可知小球在B点刚离开轨道，则此时小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，加速度方向竖直向下，故C错误； D．小球在A点时合力沿竖直方向，则此时水平方向的加速度为0；在B点时合力也沿竖直方向，则此时水平方向的加速度也为0；但在中间过程某点支持力却有水平向右的分力，则小球具有水平向右的加速度；所以A到B过程，小球水平加速度先增加后减小，故D正确。 故选D。 【变式训练7-9】有一辆质量为600kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g=10m/s2） 问∶（1）汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空？ （3）汽车对地面的压力过小是不安全的。因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？ （4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R（R=6400km）一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？ 【答案】（1）5568N；（2）10m/s；（3）拱桥圆弧半径越大，汽车行驶越安全；（4）8.0km/s 【详解】（1）汽车在桥顶部做圆周运动，重力G和支持力FN的合力提供向心力，即 故汽车所受支持力 根据牛顿第三定律得，汽车对桥顶的压力大小也是5568N （2）根据题意，当汽车对桥顶没有压力时，即 =0 对应的速度为v，有 v= =10m/s （3）汽车在桥顶部做圆周运动，重力和支持力FN的合力提供向心力，即 因此对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全 （4）根据第二问的结论，对应的速度为，有 = 即 =8.0km/s 题型08：水平转盘上的物体 【典型例题1】如图所示，质量为1kg的小物块相对圆盘静止，随圆盘一起做角速度为2rad/s的匀速圆周运动。小物块与转轴O点的距离为10cm，则小物块所受向心力大小为（　　） A．0.4N B．4N C．20N D．40N 【答案】A 【解析】根据牛顿第二定律可知，小物体的向心力的大小为 故选A。 【典型例题2】如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　） A．绳中一直有拉力，且逐渐最大 B．物体m一直受到圆盘的摩擦力 C．物体M一直受到圆盘的摩擦力 D．物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等 【答案】B 【解析】m的向心力 当角速度从0开始增大，m由静摩擦力提供向心力，且所受的静摩擦力开始增大； 当m达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时m靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时M开始受到圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和M受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大； 随着角速度继续增大，拉力越大，当拉力和M的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值。 故选B。 【变式训练8-1】如图所示，甲、乙两个相同的物体放在一水平匀速转动的圆盘上，均相对圆盘静止，对于甲、乙两物体，下列说法正确的是（　　） A．线速度相同 B．向心力相同 C．角速度相同 D．周期不相同 【答案】C 【详解】C．甲、乙两个物体均相对圆盘静止，随圆盘一起转动，角速度相同，故C正确； A．根据 两物体圆周运动角速度相等，半径不等，可知甲、乙两个物体线速度不同，故A错误； B．根据 两物体圆周运动角速度相等，半径不等，可知甲、乙两个物体向心力不同，故B错误； D．根据 两物体圆周运动角速度相等可知甲、乙两个物体周期相同，故D错误。 故选C。 【变式训练8-2】如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　） A．绳中一直有拉力，且逐渐最大 B．物体m一直受到圆盘的摩擦力 C．物体M一直受到圆盘的摩擦力 D．物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等 【答案】B 【详解】m的向心力 当角速度从0开始增大，m由静摩擦力提供向心力，且所受的静摩擦力开始增大； 当m达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时m靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时M开始受到圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和M受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大； 随着角速度继续增大，拉力越大，当拉力和M的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值。 故选B。 36．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　） A．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向为a B．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向可能为b C．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为c D．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为d 【答案】BC 【详解】AB．当转盘加速转动时，P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a方向的切向力，两方向的合力即摩擦力，可知P受的摩擦力方向可能为b。故A错误；B正确； CD．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力提供向心力，方向为c。故C正确；D错误。 故选BC。 【变式训练8-3】如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（    ）      A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．当时，a所受摩擦力的大小为kmg D．是b开始滑动的临界角速度 【答案】AD 【详解】B．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知木块所受的静摩擦力为 故 a、b未发生相对滑动前摩擦力不等，B错误； A．因为两个木块的最大静摩擦力相等，未发生相对滑动时，所以b先达到最大静摩擦，b先滑动，A正确； C．当时，a所受摩擦力的大小为 C错误； D．当b恰好开始滑动时 解得 D正确。 故选AD。 【变式训练8-4】如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑水平槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球（可以视为质点），一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O′点，其中O点为圆盘的中心，O′点为圆盘的边缘。橡皮绳的劲度系数为k（类似弹簧遵从胡克定律），原长为圆盘半径R的。现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度ω1＝与ω2＝时，小球所对应的线速度之比v1∶v2。 【答案】 【详解】当橡皮绳OO1拉伸而刚好被拉直时，设小球做匀速圆周运动的角速度为；由牛顿第二定律有 得 当时，橡皮绳拉伸，有牛顿第二定律 得 当时橡皮绳松弛，由牛顿第二定律 即 所以 【变式训练8-5】生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问： （1）物品从A处运动到B处的时间t多大？ （2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？ 【答案】（1）3.4s；（2）0.2 【详解】（1）物品在传送带上运动时，根据牛顿第二定律可得 解得 物品与传送带共速的位移为 由此可知，物品在传送带上先做匀加速运动，后做匀速运动，所以 （2）当物品在转盘上受到的最大静摩擦力刚好提供物品做圆周运动的向心力时此时物品与转盘间的动摩擦因数为最小值，则有 解得 题型09：光滑斜面上的圆周运动 【典型例题】如图所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是（　　） A．它们的角速度相等 B．A球的线速度小于B球的线速度 C．它们的向心加速度相等 D．A球的向心加速度大于B球的向心加速度 【答案】C 【解析】A．对A物体受力分析可知 设圆锥面和水平面的夹角为θ，AB质量为m，由牛顿第二定律可知 同理对B球，由牛顿第二定律可知 因，所以，故A错误； B．对A由牛顿第二定律可得 同理对B有 因，所以，故B错误； CD．由前面分析可知它们的向心加速度，说明二者的加速度大小相等，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练9-1】如图所示，在倾角为ɑ=30°的光滑斜面上，有一根长为L=0．8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0．2 kg的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最高点A的最小速度是（重力加速度g=10m/s2）（      ） A．2 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s 【答案】A 【详解】小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，刚小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有： 解得： A．2 m/s，与结论相符，选项A正确； B．2 m/s，与结论不相符，选项B错误； C．2m/s，与结论不相符，选项C错误； D．2m/s，与结论不相符，选项D错误。 题型10：有摩擦的倾斜转盘上的物体 【典型例题】如图为某型号圆锥面型娱乐设施“魔盘”的侧视图，“魔盘”可绕中心轴转动。儿童坐在锥面上，“魔盘”从静止开始转动，转速逐渐增大。最大静摩擦跟正压力成正比，儿童可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．玩乐的过程中，儿童受到的合外力方向时刻水平指向转轴 B．其他条件相同时，儿童的质量越大越容易滑动 C．当“魔盘”的转速增大到一定值时，儿童一定会向上滑动 D．“魔盘”加速转动的过程，儿童未发生滑动时，受到的摩擦力可能减小 【答案】D 【详解】A．由题意，只有在“魔盘”匀速转动且人未发生滑动时，人在做水平面上的匀速圆周运动，合外力提供向心力，人受到的合外力方向才水平指向转轴，故A错误； B．“魔盘”匀速转动且人未发生滑动时，设向心加速度为，可分解为沿盘面方向的加速度 若“魔盘”转动的角速度较小，则在沿盘面方向，由牛顿第二定律有 解得 垂直于盘面方向的加速度 在垂直于盘面方向，由牛顿第二定律有 解得 其他条件相同时，儿童的质量越大，人受到的弹力就越大、则人受到的最大静摩擦力就越大，儿童越不容易滑动，故B错误； C．当时，物块不会摩擦自锁，转速增大到一定值时，儿童一定会向上滑动；当时摩擦自锁，儿童不会向上滑动，故C错误； D．由选项B分析可知，在人受到的摩擦力沿“魔盘”向上时，有 可知在“魔盘”加速转动的过程，若儿童未发生滑动时，人受到的摩擦力反而减小，故D正确。 故选D。 【变式训练10-1】如图所示，半径为R的半球形陶罐和陶罐内的物块（视为质点）绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，当达到某一角速度时，物块受到的摩擦力减为零，此时物块和陶罐球心O点的连线与之间的夹角为，此后保持该角速度做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．物块匀速转动的周期为 B．物块匀速转动的线速度大小为 C．物块匀速转动的角速度大小为 D．若继续增大转动的速度，物块有下滑的趋势 【答案】C 【详解】ABC．物块做匀速圆周运动的半径为     由题意可知此时物块所受支持力和重力的合力恰好提供向心力，如图所示。设物块匀速转动的角速度为ω，则有     解得     则物块匀速转动的周期为     线速度大小为 故AB错误，C正确； D．若继续增大转动的速度，物块所受支持力和重力的合力不足以提供向心力，物块将受到沿内壁切线向下的摩擦力，即物块有上滑趋势，故D错误。 故选C。 【变式训练10-2】如图所示，倾角为的倾斜圆盘绕垂直盘面的轴以角速度ω匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的小物体（可视为质点）随圆盘一起转动。PQ、MN是小物体轨迹圆互相垂直的两条直径，P、Q、M、N是圆周上的四个点，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，则（　　） A．小物体所受静摩擦力最大值为 B．小物体所受静摩擦力最大值为 C．在最高点P处，小物体所受静摩擦力可能背离圆心 D．在M处，小物体所受静摩擦力大小 【答案】ACD 【详解】ABC．物体在P点受重力和静摩擦力以及支持力，沿斜面方向的合力提供向心力，所以摩擦力可能背离圆心，也可能指向圆心，所以背离指向圆心时 解得 当摩擦力指向圆心时 解得 物体在Q点时合力提供向心力，所以摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律 解得 所以小物体所受静摩擦力最大值为，故AC正确，B错误； D．小物体在M点所受的合力提供向心力，所以 解得 故D正确。 故选ACD。 题型11：圆锥摆问题 【典型例题1】天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂，点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为和的小球A、B。两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且两球始终在同一水平面内，则（　　） A．两球的向心加速度大小相等 B．两球运动的角速度大小相等 C．A、B两球的质量之比等于 D．A、B两球的线速度大小之比等于 【答案】B 【解析】A．用β泛指一个角度，由 可知 因为，所以B球加速度大于A球加速度，故A错误； B．由 可得 所以两球角速度相同，故B正确； C．绳子上的拉力大小相等，有 可得A球的质量与B球的质量之比 故C错误； D．由 可得 A、B两球的线速度大小之比等于 故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随变化关系如图2所示。重力加速度g取，由图2可知（　　） A．绳长为 B．母线与轴线之间夹角 C．小球质量为 D．小球的角速度为时，小球刚离开锥面 【答案】A 【解析】ABC．当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 则根据图乙，结合所得绳子拉力与的函数关系可知，当小球离开锥面后 当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向，根据牛顿第二定律有 竖直方向根据平衡条件有 联立可得 = 根据图乙，结合所得函数关系可得 ， 联立解得 ，， 故A正确，BC错误； D．根据图乙可知，当小球的角速度满足 小球恰好要离开锥面，此时角速度为 可知小球的角速度为时，小球刚离开锥面，故D错误。 故选A。 【变式训练11-1】旋转木马可以简化为如图所示的模型，两个完全相同的可视为质点的小球a、b分别用悬线悬于水平杆A、B两端，OB＝2OA，将装置绕竖直杆匀速旋转后，a、b在同一水平面内做匀速圆周运动，两悬线与竖直方向的夹角分别为、，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于a、b两球做圆周运动的角速度相同，设OA段长为L，OB段长为2L，对a球有 对b球有 解得 故选B。 【变式训练11-2】随着科技的发展，无人机越来越多的走进人们的生活。如图是一架无人机正在对一只趴在地上不动的小刺猬进行拍摄。无人机在刺猬的上空以刺猬所在竖直线为中轴线，在水平面内做匀速圆周运动，已知无人机的质量为m=1.6kg，飞行的角速度大小为，无人机到小刺猬的距离为r=5m，其轨道中心距小刺猬高度为h=4m，小刺猬和无人机均可看作质点，重力加速度g取10m/s²，下列说法正确的是（　　）    A．空气对无人机的作用力方向竖直向上 B．空气对无人机的作用力大小为12N C．由于无人机飞行时要消耗电能，所以其机械能是不断增加的 D．当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，不计空气阻力的影响，小物体落地时距离小刺猬为 【答案】D 【详解】A．对无人机受力分析，如图      所以空气对无人机的作用力方向与竖直向上成角，故A错误； B．因为无人机在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 由几何关系 其中 联立解得，空气对无人机的作用力大小为 故B错误； C．因为无人机在水平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势能不变，故无人机的机械能不变，故C错误； D．当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，小物体做平抛运动，则 ， 联立可得 作出物体下落过程中的俯视图，如图所示    则小物体落地时距离小刺猬为 故D正确。 故选D。 【变式训练11-3】如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是（　　） A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小 C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 D．仅增加角速度至后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力 【答案】BD 【详解】AB．当管壁对球无作用力时，绳子的拉力和球的重力合力提供向心力，所以 故，增加绳长之后，此时小球需要的向心力增大，重力与细绳的拉力不足以提供向心力，则小球将受到玻璃管斜向下方的压力；增加绳长之后，小球做圆周运动的半径增大，要保持小球与管壁之间无压力，则小球所需向心力大小不变，半径增大，则需要减小角速度，故A错误，B正确； C．增加小球质量，此时 质量可被约去，小球做圆周运动的半径不变，小球对玻璃管无压力，故玻璃管对小球也无压力，故C错误； D．仅增加角速度至后，小球需要的向心力增大，小球有离心的趋势，小球将垂直于右侧管壁挤压管壁，玻璃管会给小球一个斜向下的压力，故D正确。 故选BD。 【变式训练11-4】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，游玩者与座椅的总质量为m，将游玩者和座椅看作一质点，不计钢绳的重力和空气阻力，重力加速度为g。求： （1）游玩者与座椅的向心力大小； （2）转盘转动的角速度。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）游玩者与座椅的向心力由重力与绳子拉力的合力提供，其受力分析如图所示    根据几何关系可得 （2）根据几何关系可知游玩者与座椅一起做圆周运动的半径为 根据向心力公式可得 解得 【变式训练11-5】在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度水平转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，火车受到的 （选填“重力”“支持力”或“支持力的水平分力”）提供火车转弯的向心力。当火车质量更大时，规定的行驶速度应 v（选填“大于”“等于”或“小于”）；当火车速率大于v时，外轨 （选填“会”或“不会”）受到轮缘的侧向挤压。 【答案】 支持力的水平分力 等于 会 【详解】（1）[1] 当内、外轨均不会受到轮缘的挤压，由重力和支持力的合力或支持力的水平分力提供向心力 （2）[2] 则有 解得 则v与质量无关；当火车质量更大时，规定的行驶速度应等于v。 （3）[3] 当火车速率大于v时，支持力的水平分力不足以提供所需的向心力，则外轨将会受到轮缘的侧向挤压。 【变式训练11-6】如图所示，BC为圆心角θ=37°的粗糙圆弧轨道，半径R=2m，末端C与传送带水平相接，传送带顺时针转动，CD长度l=11.75m。一质量m=1kg的小物块自A点以速度v0=4m/s水平抛出，沿圆弧B端切向滑入轨道做匀速圆周运动，离开圆弧轨道后进入传送带运动到D点，小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2。不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos53°=0.8。求： （1）物块从A运动到B的时间t； （2）物块在圆弧轨道C端对轨道的压力大小； （3）若要使物块在2s内从C运动到D，传送带速度至少为多少？ 【答案】（1）0.3s；（2）22.5N；（3）6m/s 【详解】（1）根据题意可知，物块从A抛出后做平抛运动，恰好从B点滑入，根据几何关系可知其速度的偏向角为，设在B点时竖直方向的分速度为，有 物块从A到B，竖直方向做自由落体运动，有 联立解得 （2）物块到达B点时的速度 从B到C做匀速圆周运动，可得 在C点对物块由牛顿第二定律有 联立各式解得 根据牛顿第三定律可得物块在圆弧轨道C端对轨道的压力大小 （3）从C到D物块始终加速，根据牛顿第二定律有 若物块从C到D始终加速，则根据速度与时间的关系可得 根据速度与位移的关系可得 解得 由此可知，物块应先做匀加速直线运动，达到和传送到共速后再做匀速直线运动，所用时间恰好为2s，即可得到传送带的最小速度，设加速运动的时间为，匀速运动的时间为，则有 联立以上各式解得 ， 即经过0.5s物块和传送带达到共速后一起做匀速直线运动，所用时间恰好为2s，则传送带的速度为 因此可知，若要使物块在2s内从C运动到D，传送带速度至少为6m/s。 【变式训练11-7】如图所示，一长度为L、内壁光滑的细圆筒，其上端封闭，下端固定在竖直转轴的O点，圆筒与水平方向的夹角为θ。原长为的轻质弹簧上端固定在圆筒上端，下端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于圆筒直径。当圆筒处于静止状态时，弹簧长度为。重力加速度为g。求： （1）弹簧的劲度系数k； （2）当弹簧恢复原长时，转轴的角速度； （3）当转轴的角速度时，弹簧的形变量x。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）当圆筒处于静止状态时，对小球有 解得 （2）当弹簧恢复原长时，有 解得 （3）由于 可知，弹簧处于压缩状态，则有 联立解得 【变式训练11-8】如图所示，一滑环套在杆上，杆上A点处固定一挡板（挡板厚度不计）。长度为l=1m的轻绳一端连接滑环，另一端悬挂质量为m=1kg的小球，小球和滑环可看作质点，轻绳能承受的最大拉力为46N。水平面有一倾角为37°的固定斜面BC。初始时刻，轻绳保持竖直，滑环和小球一起水平向右以v0的速度作匀速直线运动，一段时间后滑环与水平杆上的固定挡板A碰撞，滑环即刻停止，绳子恰好断裂，小球刚好能垂直打到斜面BC上，不计空气阻力，g=10m/s2，cos37°=0.8，sin37°=0.6。求： （1）滑环和小球一起水平向右匀速的速度v0大小； （2）小球水平抛出后经过多长时间打在斜面上。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意，对小球在与挡板碰撞瞬间，由牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）小球垂直打在斜面上，将其 速度分解后研究，如图所示 根据几何关系有 可得 解得 小球竖直方向的运动为自由落体运动，则有 解得 题型12：汽车和自行车在水平面的转弯问题 【典型例题1】赛车是一项观赏性很强的运动。下面四幅俯视图中画出了赛车顺时针加速转弯时所受合力与运动轨迹的可能情况，你认为其中正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】赛车顺时针加速转弯，具有垂直速度和沿速度方向的加速度，故赛车所受合力指向右前方。 故选A。 【典型例题2】如图为场地自行车比赛的圆形赛道。某运动员骑自行车在赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为R，路面与水平面的夹角为，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当自行车的速度大小为时，自行车不受侧向摩擦力作用 B．当自行车的速度大小为时，自行车不受侧向摩擦力作用 C．当自行车的速度大小为时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向上 D．当自行车的速度大小为时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向下 【答案】AC 【解析】AB．设人和自行车的总质量为m，若不受摩擦力作用则由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 故B错误，A正确； CD．当自行车的速度大小为<时，支持力与重力的合力大于所需向心力，自行车有近心运动的趋势，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向上，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练12-1】十四届全运会铁人三项赛在汉中市天汉文化公园和天汉湿地公园拉开帷幕.某同学观看自行车比赛时发现运动员骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒。查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒。若该运动员骑自行车时的速率为，转弯的半径为，重力加速度g取。则自行车与竖直方向的夹角的正切值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】摩擦力提供向心力，摩擦力大小等于 支持力与重力大小相等，支持力大小为 自行车与竖直方向的夹角的正切值 联立解得 故选A。 【变式训练12-2】摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它（　　） A．受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 B．所受的地面作用力恰好与重力平衡 C．所受的合力可能不变 D．所受的合力始终变化 【答案】D 【详解】A．摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、弹力和摩擦力的作用，向心力是合力的效果，不是实际受力，故A错误； B．地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，方向不沿竖直方向，故与重力不平衡，故B错误； CD．摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练12-3】汽车在水平路面上转弯时，若速度过大将做离心运动而造成事故。已知汽车质量为m，转弯半径为R，最大静摩擦力为f，则最大安全转弯速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，汽车以最大安全速度转弯时，最大静摩擦力提供做圆周运动的向心力，则有 解得 故选B。 【变式训练12-4】在水平路面上骑自行车转弯时容易发生侧滑或侧翻，所以除了控制速度外，车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面的径向静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身（过重心）。如图所示，设自行车和人的总质量M=80kg，自行车轮胎与路面的动摩擦因数μ=0.4。设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，水平弯道可看成一段圆弧，半径r=100m，取g=10m/s2。 （1）自行车受到地面沿半径方向的最大静摩擦力fm是多少； （2）自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm是多少； （3）设转弯过程中车身与水平地面间的夹角为θ，当转弯速度增大时，θ角将随之减小。请选择合适的坐标参量，在图乙坐标系中定量画出自行车转弯时角θ与速度大小v的线性关系图象。    【答案】（1）320N；（2）20m/s；（3）   【详解】（1）设自行车受到地面的弹力为N，则有 由平衡条件有 代入数据解得 （2）根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （3）地面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，则 联立解得 图像如下    题型13：火车和飞机倾斜转弯模型 火车转弯问题的两点注意 （1）合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。 （2）规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。 【典型例题1】如图所示，当列车以恒定速率v通过一段半径为r的水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面上的质量为m的小物块。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车转弯时的速率v= B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用 C．小物块受到指向桌面外侧的静摩擦力 D．小物块受到桌面的支持力的大小为mgtanθ 【答案】B 【解析】AB．设玩具小熊的质量为m1，受力如图所示 由牛顿第二定律，有 m1gtanθ=m1a 可得加速度 a=gtanθ 对列车整体（设其质量为m2），路面的支持力和重力的合力恰好等于m2a，且 a=gtanθ= 列车转弯时的速率为 v= 故A错误； B．列车的向心加速度 a=gtanθ 由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，则列车与轨道均无侧向挤压作用，故B正确； C．小物块的向心加速度 a=gtanθ 由小物块的重力与桌面的支持力的合力提供，小物块与桌面间的静摩擦力为零，故C错误； D．小物块受力如图所示 受到桌面的支持力的大小为 故D错误。 故选B。 【典型例题2】火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是(　　) A．仅内轨对车轮有侧压力 B．仅外轨对车轮有侧压力 C．内、外轨对车轮都有侧压力 D．内、外轨对车轮均无侧压力 【答案】A　 【解析】火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮均无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车有做近心运动趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A项正确。 【典型例题3】有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) （1）试计算铁轨受到的侧压力大小； （2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 【解析】（1）v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有： FN＝m＝ N＝1×105 N 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。 （2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m 由此可得tan θ＝＝0.1。 【变式训练13-1】汽车在水平路面上转弯，地面的摩擦力已达到最大，当汽车的速率增大为原来的2倍时，为了保证行车安全，汽车转弯的轨道半径必须(　　) A．至少增大到原来的4倍 B．至少增大到原来的2倍 C．至少增大到原来的倍 D．减小到原来的 【答案】A　 【解析】汽车在水平路面上转弯时，地面对汽车的摩擦力提供汽车转弯时所需的向心力，根据牛顿第二定律可得＝m。当汽车转弯时的速率增大为原来的2倍时，要保证行车安全，则汽车转弯的轨道半径应至少增大为原来的4倍，汽车才不会侧滑，A项正确。 【变式训练13-2】列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为（很小，可近似认为），下列说法正确的是（　　） A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小角，可提高列车安全过转弯处的速度 【答案】B 【解析】A．列车转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误； B．当重力和支持力的合力提供向心力时，则 解得 列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确； C．列车过转弯处的速度时，转弯所需的合力 故此时列车内轨受挤压，C错误； D．若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，D错误。 故选B。 【变式训练13-3】近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产机车总质量为m，如图已知两轨间宽度为L，内外轨高度差为h，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，请问，该弯道处的设计速度最为适宜的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】转弯过程，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，由火车重力mg和支持力N的合力作为向心力，受力示意图如图所示 由牛顿第二定律得 其中 联立解得 故选A。 【变式训练13-4】2023年9月28日中国首条时速350公里跨海高铁——福厦高铁正式开通运营，福州至厦门两地间形成“一小时生活圈”。如图甲，一满载旅客的复兴号列车以大小为v的速度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图乙为该段铁轨内、外轨道的截面图。下列说法正确的是（    ） A．列车受到重力、轨道的支持力和向心力 B．若列车以大于v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨 C．若列车空载时仍以v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨 D．若列车以不同的速度通过该圆弧轨道，列车对轨道的压力大小不变 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，列车受重力、轨道的支持力，由这两个力的合力提供列车做圆周运动的向心力，故A错误； B．设轨道的倾角为，圆弧轨道半径为，则可知，当列车以速度v通过圆弧轨道时，由牛顿第二定律有 当速度大于v时，重力与轨道的支持力不足以提供火车转弯时的向心力，此时火车车轮将侧向挤压外轨，使外轨产生弹力，以补足火车转弯所需的向心力，则有 （） 故B正确； C．若列车以v的速度通过该圆弧轨道，由 可得 即只要满足转弯时的速度为，列车就不会对内外轨产生挤压，与列车是否空载无关，故C错误； D．根据以上分析可知，若列车速度大于v，列车车轮将挤压外轨，根据 （） 可知，速度越大，外轨对火车的弹力越大，即火车对外轨的弹力越大，则根据平行四边形定则可知，火车在垂直轨道方向的压力与对侧向轨道的压力的合力将随着速度的增加而增加；同理，当火车速度小于v时，重力与支持力的合力将大于其转弯所需的向心力，此时火车车轮将挤压内轨，有 （） 显然速度越小对内侧轨道的压力越大，根据平行四边形定则可知，火车对整个轨道的压力越大，故D错误。 故选B。 【变式训练13-5】如图所示，质量为m的飞机以角速度在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为。则空气对飞机的作用力大小为（　　） D．当火车速率小于v时，内轨都将受到轮缘的挤压 【答案】D 【详解】AD．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力    由图可以得出 合力等于向心力，故 当转弯的实际速度小于规定速度v时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故A错误，D正确； B．由，知规定行驶的速度与质量无关，当火车质量改变时，规定的行驶速度不变，故B错误； C．当转弯的实际速度大于规定速度v时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误。 故选D。 【变式训练13-6】如图甲为某汽车在环形线路上做匀速圆周运动的场景，司机前方悬挂的小球向右发生了偏移，其悬线与竖直方向的偏角稳定，乘客拍摄了当时的照片，事后在照片上附上了刻度尺，如图乙所示，拍照时看见汽车速度表盘上显示的车速为54km/h。如果认为路面是水平的，可估算该汽车运动轨迹的半径，实际上汽车向左拐弯时，外侧路面比内侧略高一点，因此，根据照片估算的半径和真实半径不同。下列说法正确的是（    ） A．若路面水平则估算的半径约为60m B．若路面水平则估算的半径约为90m C．若路面略微内倾，则其真实半径略大于估算半径 D．若路面略微内倾，则其真实半径略小于估算半径 【答案】BD 【详解】AB．车速为，设悬线与竖直方向夹角为，则 根据牛顿第二定律 得估算的半径约为 A错误，B正确； CD．若路面略微内倾，则悬线与竖直方向夹角的真实值偏大，由AB选项可知，则其真实半径略小于估算半径，C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练13-7】如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    【答案】（1），；（2） 【详解】（1）小圆柱体在直轨道上做匀速直线运动，所受合力为零，则根据平衡条件可得 解得 当小圆柱体在半圆形轨道上运动时，其受力分析如所示    竖直方向根据平衡条件有 水平方向由牛顿第二定律有 联立解得 （2）设小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨的最大速度为，分析可知，小圆柱体恰好不脱轨时小圆柱体的重力与外侧导轨对小圆柱体的支持力恰好提供小圆柱体做圆周运动的向心力，对小圆柱体受力分析如图所示    则有 解得 即为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过。 题型14：航天器中的失重现象 1．航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力。反而是因为受到地球引力作用才使航天器连同其中的宇航员能环绕地球转动。 2．物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力消失。 3．物体的速度不断变化，具有加速度，处于非平衡状态。 【典型例题1】在天宫二号中工作的景海鹏和陈东可以自由飘浮在空中，宇航员处于失重状态。下列分析正确的是（　　） A．失重就是航天员不受力的作用 B．失重的原因是航天器离地球太远，从而摆脱了地球的引力 C．失重是航天器独有的现象，在地球上不可能有失重现象的存在 D．正是由于引力的存在，才使航天器和航天员有可能做环绕地球的圆周运动 【答案】D 【解析】AB．失重时航天员仍受地球引力的作用，只是弹力为零而已，故AB错误； C．失重在地球上也很普遍，它只是视重（即弹力）小于重力的现象，故C错误； D．正是由于地球引力的存在，才使航天器和航天员有可能做环绕地球的圆周运动，D正确。 故选D。 【典型例题2】“神舟十号”飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，“神舟十号”航天员在“天宫一号”中展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四幅图中的行为可以在“天宫一号”舱内完成的有(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D A．用台秤称量重物的质量 B．用水杯喝水 C．用沉淀法将水与沙子分离 D．给小球一个很小的初速度，小球就能在竖直面内做圆周运动 【答案】D 【解析】重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。 【变式训练14-1】未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　) A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 【答案】B 【详解】零重力状态，说明宇航员处于完全失重状态，宇航员在旋转舱内受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，等于自身的重力，即＝mg，且此支持力提供宇航员绕旋转舱的轴线做匀速圆周运动的向心力，有＝mr，所以mg＝mr，即g＝r，旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小，B正确，A错误；角速度的大小与宇航员的质量无关，C、D错误。 【变式训练14-2】(多选)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．可以用天平测量物体的质量 B．可以用水银气压计测舱内的气压 C．可以用弹簧测力计测拉力 D．在卫星内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力 【答案】CD　 【详解】卫星内物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零，因此不能用天平测物体的质量，故A错误；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；物体处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了物体做圆周运动的向心力，故D正确。 【变式训练14-3】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，将质量为m的物体挂在一个弹簧秤上，若轨道处的重力加速度为g'，则下面说法中正确的是( 　　) A．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为零 B．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为mg' C．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为零 D．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为mg' 【答案】A 【分析】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体处于完全失重状态，根据牛顿第二定律分析弹簧秤的读数。 【详解】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体所受的合外力等于重力mg′，根据牛顿第二定律，物体的加速度为g′，物体处于完全失重状态，弹簧秤的读数为零，A正确，BCD错误。 【点睛】在轨道运动的航天飞机处于完全失重状态，在地面上由于重力产生的现象消失，弹簧称不能用来测量物体的重力。 题型15：由轨道半径变化引起的向心力变化 【典型例题1】某个物体做匀速圆周运动时，下列有关说法正确的是（　　） A．如果物体受到的合力大小不变，则物体一定不会做远离圆心的运动 B．如果物体受到的合力大小不变，则物体一定不会做靠近圆心的运动 C．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定不足以提供所需的向心力 D．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定大于所需的向心力 【答案】C 【解析】AB．如果物体受到的合力大小不变，大于所需向心力，则做靠近圆心的运动，小于所需向心力，则做远离圆心的运动，故AB错误； CD．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定不足以提供所需的向心力，故C正确D错误。 故选C。 【变式训练15-1】在光滑水平面上相距20cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示。已知小球质量为0.4kg，某时刻小球开始从图示位置以2m/s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为3.2N，则从开始运动到绳被拉断历时为（　　） A．2.4πs B．1.4πs C．1.2πs D．0.9πs 【答案】C 【详解】当绳子拉力为3.2N时，由 可得 小球每转半个圆周，其半径就减小0.2m。由分析知，小球分别以半径为1m、0.8m和0.6m各转过半个圆周后绳子就被拉断了，所以时间为 故选C。 题型16：物体做离心或向心运动的条件 【典型例题1】关于离心运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动 B．在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 C．只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动 D．当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 【答案】D 【解析】做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力不足以提供物体做匀速圆周运动的向心力时，物体将做离心运动。 A．当物体一直不受外力作用时，做匀速直线运动或静止，A错误； BC．当外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做近心运动，当外界提供的向心力突然变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动，BC错误； D．当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动，D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（　　） A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹OP做离心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动 【答案】B 【解析】光滑水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力 A．若拉力突然变大，则小球将沿轨迹Pc做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，故A错误； BD．若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，小球将做曲线运动，故B正确，D错误； C．若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线Pa运动，故C错误； 故选B。 【变式训练16-1】（多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则(　　) A．旋转越快，试管的高度越低 B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象 C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显 D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显 【答案】BC 【详解】对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mgtan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，选项A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，选项B正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔粉末分层越明显，选项C正确，D错误。 【变式训练16-2】雨天在野外骑车时，自行车的后轮轮胎上常会黏附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”，如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来，如图示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则（　　） A．泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来 B．泥巴在图中的b位置时最容易被甩下来 C．泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来 D．泥巴在图中的d位置时最容易被甩下来 【答案】C 【详解】图中a、b、c、d四点共轴转动，角速度相同，半径也相同，可得所需的向心力相同 在a位置时，附着力与重力的合力作为向心力，合力为 同理可得，在c位置时，合力为 在b、d位置，附着力作为向心力，对比可知，在c点所需得附着力F2最大，最容易做离心运动被甩下来。 故选C。 【变式训练16-3】有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为(　　) A．游客受到离心力的作用 B．游客处于失重状态 C．游客受到的摩擦力大小等于重力 D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势 【答案】C 【详解】游客受三个力的作用，分别为重力、与筒壁垂直的弹力和向上的静摩擦力，故A错误。因为游客的加速度位于水平方向，不存在超重或失重现象，故B错误。游客在竖直方向上受重力和静摩擦力，二力平衡，则知静摩擦力的大小等于重力的大小，故C正确。当转速增大时，弹力增大，静摩擦力不变，游客没有沿筒壁向上滑动的趋势，故D错误。 【变式训练16-4】图甲和乙分别是两种不同规格的洗衣机图片，二者的脱水筒内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物(可理想化为质点)紧贴着滚筒壁分别在竖直或水平面内做匀速圆周运动，如图丙、丁所示，图丙中，A、C分别为最高和最低位置，B、D与脱水筒圆心等高。将同一衣物分别放入两筒中脱水，在脱水过程中某一极短时间内，不考虑脱水引起的质量变化，下列说法中正确的是(　　) 甲　　　　乙　　　 　丙　　　丁 A．图丙中衣物在A、B、C、D四个位置的加速度相同 B．图丙中衣物在B、D位置和图丁中衣物在脱水筒各处受到的摩擦力均相同 C．图丁中衣物对筒壁的压力保持不变 D．图丁中脱水筒转动的角速度越大，衣物对筒壁的摩擦力越大 【答案】B 【详解】衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中的加速度a＝，故加速度大小相等，但方向不同，故A错误；题图丙中衣物在B、D位置和题图丁中衣物在脱水筒各处均是由弹力提供向心力，竖直方向摩擦力与重力大小相等、方向相反，与角速度大小无关，故B正确，D错误；题图丁中筒壁对衣物的弹力提供向心力，由于是匀速圆周运动，则向心力大小不变，但是方向时刻变化，即衣物对筒壁的压力大小保持不变，但是方向变化，故C错误。 【变式训练16-5】小明同学很喜欢玩旋转木马，如图所示，假设旋转木马以恒定角速度在水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大 B．坐在同一木马上，小明同学的加速度不变 C．小明同学所受的合外力总是为零 D．小明同学有向外飞的趋势，是因为受到离心力的作用 【答案】A 【详解】A．所有木马同轴转动，角速度相等，最外侧的木马圆周运动的半径最大，根据v=ωr，坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大，故A正确； B．坐在同一木马上，小明同学的加速度大小不变，方向不断变化，故B错误； C．小明同学做圆周运动的向心力由合外力提供，小明同学所受的合外力不为零，故C错误； D．小明同学有向外飞的趋势，是因为所受的合外力不足以提供所需的向心力，小明并不受离心力，故D错误。 故选A。 【变式训练16-6】如图所示为洗衣机脱水桶，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上有一件湿衣服与圆桶一起运动，衣服相对于圆桶壁静止，则（　　）    A．衣服受到重力、弹力、摩擦力、向心力四个力的作用 B．洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大 C．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动 D．衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时，水滴做离心运动 【答案】BC 【详解】A．衣服受到重力、弹力、摩擦力三个力的作用，其中弹力充当做圆周运动的向心力，选项A错误； B．根据 可知，洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大，选项B正确； CD．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动，选项C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练16-7】如图所示，游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当“魔盘”转动时，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动。“魔盘”中两位游客a、c其中。下列说法正确的是（　　） A．游客受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．线速度 C．若“魔盘”在电机带动下角速度缓慢增加游客a、c同时被甩出 D．向心加速度 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动，游客受重力、支持力和摩擦力，故A错误； B．根据题意可知，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动，游客转动的角速度相等，由公式可知，由于，则有 故B正确； C．根据题意可知，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动，游客转动的角速度相等，由牛顿第二定律有 可知，由于，则角速度缓慢增加游客c先被甩出，故C错误； D．根据题意可知，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动，游客转动的角速度相等，由公式可知，由于，则有 故D错误。 故选B。 题型17：离心运动的应用和防止 【典型例题1】关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（　　） A．图甲：轻质细杆一端固定小球在竖直面内做圆周运动，在最高点细杆对小球的力一定是拉力 B．图乙：汽车过拱形桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小 C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，火车通过弯道的规定行驶速度也要改变 D．图丁：洗衣机脱水筒工作时能将衣服脱水是因为衣服受到离心力的作用 【答案】B 【解析】A．在最高点细杆对小球的力可能是拉力，也可能是支持力，故A错误； B．汽车在最高点 得 根据牛顿第三定律，压力为 速度越大，对桥面的压力越小，故B正确； C．设倾角为 ，根据 当火车的质量改变时，规定的行驶速度不改变，故C错误； D．洗衣机脱水时，衣服上的水因受到的吸附力不足以提供向心力而做离心运动，故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示是杭州第19届亚运会链球比赛的场景。运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出，把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ）    A．链球圆周运动过程中受到的拉力不指向圆心 B．链球运动中，掷出瞬间的速度一定最大 C．链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D．链球掷出瞬间的速度越大，运动的水平距离越远 【答案】A 【解析】A．链球做加速圆周运动，链球的速度越来越大，则拉力沿切线方向有分力，则拉力的方向并不是指向圆心，故A正确； B．链球运动中，落地瞬间的速度最大，故B错误； C．链球掷出后运动过程中，只受重力作用，加速度为重力加速度，方向不变，故C错误； D．运动的水平距离与速度的大小和方向都有关，故D错误； 故选A。 【变式训练17-1】图1是离心机的工作原理图，离心机工作时离心管绕转轴高速转动，每分钟所转圈数称为rpm值，离心管中的微粒做圆周运动所需向心力与其重力的比值称为rcf值。图2是差速离心法分离肝组织匀浆液的流程图，图中“1000×g”指的是细胞匀浆液中微粒的向心力需要达到1000倍自身重力。已知实验室某一型号的离心机在完成此实验时，第一步沉淀细胞核时设置的rpm为2000，则最后一步沉淀核糖体时，rpm应该设置为（　　）    A．4000 B．10000 C．20000 D．100000 【答案】C 【详解】由题意，第一步沉淀细胞核时设置的rpm为2000，即转速为 由图2知，此时细胞匀浆液中微粒的向心力满足 由图2知最后一步沉淀核糖体时，有 可求得 即rpm应该设置为20000。 故选C。 【变式训练17-2】如图甲所示， 滚筒洗衣机脱水时， 衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动。可简化为图乙所示模型，一件小衣物质量为m， A、B分别为小衣物经过的最高位置和最低位置，测得小衣物过A 点线速度大小为 v， 做圆周运动的周期为T。已知重力加速度为g，小衣物可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．转筒半径为 B．衣物在A 点受到滚筒壁的压力为 C．衣物转到 B 位置时的脱水效果最好 D．要使衣物过A 点不掉下， 转筒的周期不能大于 【答案】ACD 【详解】A．根据 可得转筒半径为 选项A正确； B．衣物在A 点时 解得衣物在A点受到滚筒壁的压力为 选项B错误； C．衣物转到 B 位置时由牛顿第二定律 可知在B位置的脱水效果最好，选项C正确； D．要使衣物过A 点不掉下， 则 解得 即转筒的周期不能大于，选项D正确。 故选ACD。 【变式训练17-3】如图所示是杭州第19届亚运会链球比赛的场景。运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出，把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ）    A．链球圆周运动过程中受到的拉力不指向圆心 B．链球运动中，掷出瞬间的速度一定最大 C．链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D．链球掷出瞬间的速度越大，运动的水平距离越远 【答案】A 【详解】A．链球做加速圆周运动，链球的速度越来越大，则拉力沿切线方向有分力，则拉力的方向并不是指向圆心，故A正确； B．链球运动中，落地瞬间的速度最大，故B错误； C．链球掷出后运动过程中，只受重力作用，加速度为重力加速度，方向不变，故C错误； D．运动的水平距离与速度的大小和方向都有关，故D错误； 故选A。 【变式训练17-4】伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。图中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如右图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触，电路连通，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（　　）    A．停车时也会发光，只是灯光较暗 B．骑行达到一定速度值时灯才会亮 C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 【答案】B 【详解】A．停车时，车轮未转动，重物不能做离心运动，从而使M点与N点不接触，不能发光，故A错误； B．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当骑行达到一定速度值时，转速达到一定值，触点M与触点N接触，气嘴灯可以发光，故B正确； C．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当转速足够大时，触点M可以始终与触点N接触，气嘴灯可以一直发光，故C错误； D．离心现象是指做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，感应装置的原理正是利用离心现象，使两触点接触而点亮LED灯，故D错误。 故选B。 一、单选题 1．关于离心运动，下列说法中正确的是(　　) A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动 B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动 C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动 【答案】D　 【详解】物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在。D正确。 2．俗话说，养兵千日，用兵一时。近年来我国军队进行了多种形式的军事演习。如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　) A．A点，B点　 B．B点，C点 C．B点，A点 D．D点，C点 【答案】C　 【详解】战车在B点时，由FN－mg＝m知，FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大；在C和A点时，由mg－FN＝m知，FN＝mg－m，则FN<mg，且RC>RA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故C正确。 3．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　) A．小汽车通过桥顶时处于失重状态 B．小汽车通过桥顶时处于超重状态 C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 【答案】A　 【详解】由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝m，FN≥0解得v1≤，D错误。 4．滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是（　　） A．衣物运动到最低点B点时处于失重状态 B．衣物运动的过程中洗衣机对地面的压力不变 C．衣物运动到最高点A点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好 D．衣物运动到最低点B点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好 【答案】D　 【详解】 A．依题意，衣物运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A错误； B．依题意，由于衣物在运动的过程中加速度方向总是指向洗衣机圆筒的圆心，根据牛顿第二定律可知，衣物对洗衣机圆筒的作用力发生变化；对洗衣机受力分析，由于洗衣机静止不动，可推知洗衣机对地面的压力也会发生变化，故B错误； CD．依题意，衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态；运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，根据牛顿第二定律可得在B点时，衣物受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好，故C错误，D正确。 故选D。 5．如图所示，质量相同的质点A、B被用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面上做匀速圆周运动，则（　　） A．A的线速度一定比B的线速度大 B．A的角速度一定比B的角速度大 C．A的加速度一定比B的加速度小 D．A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力小 【答案】A 【详解】ABC．设绳与竖直方向的夹角为，根据圆锥摆的向心力为 得 A球细线与竖直方向的夹角较大，则A的加速度比B球的加速度大，两球Lcosθ相等，则两球的角速度相等，A球的轨道半径较大，细线与竖直方向的夹角较大，则线速度较大，即A的线速度比B的线速度大，故A正确，BC错误； D．根据竖直方向上平衡有 A球与竖直方向的夹角较大，则A所受细线的拉力较大，故D错误。 故选A。 6．“墙里秋千墙外道。墙外行人，墙里佳人笑。笑渐不闻声渐悄。”（苏轼《蝶恋花·春景》）看见荡秋千，总会勾起儿时的美好，已跨进高中物理大门的你，不能只沉浸在遐想或“佳人笑”中，应习惯用物理的眼光审视荡秋千。如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg，两根绳平行。当该同学荡到秋千支架的正下方时，加速度的大小为6m/s2、方向竖直向上，此时每根绳子平均承受的拉力约为（　　） A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N 【答案】B 【详解】秋千支架的正下方时，根据 解得 故选B。 7．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处（　　） A．路面外侧低内侧高 B．车速只要低于，车辆便会向内侧滑动 C．当路面结冰时，与未结冰时相比，的值变小 D．车速虽然高于，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 【答案】D 【详解】A．路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力，故A错误； B．车速低于，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动，故B错误； C．当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则的值不变，故C错误； D．当速度为时，侧向静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于时，摩擦力指向内侧，只有速度不超出最高限度，车辆不会侧滑，故D正确。 故选D。 8．如图所示，铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨组成的轨道平面与水平面的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（　　） A． B．若火车速度大于v时，火车将受到外轨侧压力作用，其方向平行轨道平面向外 C．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可以适当增大弯道半径或适当增加内外轨的高度差 D．无论火车以何种速度行驶，对内侧轨道都有侧压力 【答案】C 【详解】A．火车做圆周运动的向心力由重力及轨道对它的支持力的合力提供 根据牛顿第二定律得 联立得 故A错误； B．若火车速度大于v时，火车有做离心运动的趋势，火车将受到外轨侧压力作用，压力方向平行轨道平面向内，故B错误； C．根据可知，要提高速度，一方面可以增大半径，另一方面可以增大θ，即内外轨的高度差，故C正确。 D．如果火车以的速度经过弯道，则对内外轨都没有侧向压力，故D错误。 故选C。 9．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．公路在通过小型水库泄洪闸的下游时，常常用修建凹形桥，也叫“过水路面”，汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力小于汽车的重力 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压 C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 【答案】B 【详解】 A．对汽车，根据牛顿第二定律得 则得 即车对桥的压力大于汽车的重力，故A错误； B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故B正确； C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于失重状态，但仍受到重力作用，此时重力和拉力的合力提供“水流星”做圆周运动的向心力，故C错误； D．离心力与向心力并非物体实际受力，衣服对水的吸附力小于水做圆周运动所需要的向心力时，产生离心运动，故D错误。 故选B。 10．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有（　　） A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心 B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心 C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力 D．圆盘对B的摩擦力和向心力 【答案】B 【详解】 AB．物体A、B在匀速转动过程中所需的向心力均指向圆心，且均由摩擦力提供，所以物体B所受圆盘对其的摩擦力指向圆心，物体A所受B对其的摩擦力也指向圆心，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力背离圆心，A错误，B正确； CD．物体B受到圆盘和A对其的摩擦力，两个摩擦力的合力提供向心力。由于向心力是效果力，它必须是由性质力来提供，所以不能说A受到摩擦力和向心力，CD错误。 故选B。 11．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态 B．图b所示是一圆锥摆，减小，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度增大 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 【答案】A 【详解】 A．汽车通过拱桥的最高点时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，故A正确； B．图b所示是一圆锥摆，重力和拉力的合力提供向心力，有 知 可得减小，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变，故B错误； C．小球靠重力和支持力的合力提供向心力，重力不变，根据平行四边形定则，支持力相等，所以向心力相等，由于转动半径不等，所以角速度不等，故C错误； D．火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用，故D错误。 故选A。 12．有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用 B．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 C．如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力大于重力 D．如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力等于重力 【答案】B 【详解】 AB．火车刚好由重力和支持力的合力提供向心力时，受力分析如图所示 解得 当速度小于此速度时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，则火车做近心运动的趋势，所以车轮的轮缘对内轨有挤压，A错误B正确； CD．汽车通过拱桥的最高点时，受力如图所示 其所受合力方向指向圆心，所以汽车有竖直向下的加速度，处于失重状态，支持力小于重力，CD错误。 故选B。 二、多选题 1．(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是(　　) A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差 C．减小弯道半径 D．增大弯道半径 【答案】AC　 【详解】当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtan θ，而Fn＝m，故v＝。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。 2．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱形桥最高点时对桥的压力大于自身重力 B．如图b所示是一圆锥摆模型，增大θ，但保持圆锥摆的高度不变，则小球的角速度变大 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力与在B位置时所受支持力大小相等 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨和轮缘间会有挤压作用 【答案】CD 【详解】 A．题图a中，汽车通过拱形桥最高点时，重力和支持力的合力提供向心力，即 可见，由牛顿第三定律知此时汽车对桥的压力小于自身重力，故A错误； B．题图b中，设小球的角速度为ω，圆锥摆高度为h，则根据牛顿第二定律有 mg tan θ=mh tan θ 所以当增大θ且h不变时，ω不变，故B错误； C．题图c中，A、B与圆锥顶点连线和竖直方向的夹角大小相同，支持力的竖直分力平衡重力 所以在A位置小球所受筒壁的支持力与在B位置时所受支持力大小相等，故C正确； D．题图d中，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和轨道支持力的合力不足以提供火车所需向心力，所以外轨和轮缘之间会存在挤压作用，故D正确。 故选CD。 3.如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转弯时车不发生侧滑的最大速度为 B．转弯时车受到地面的静摩擦力方向一定垂直于速度方向指向轨迹内侧 C．转弯时车受到地面的静摩擦力大小定为μMg D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小 【答案】AD 【详解】 A．转弯过程中不发生侧滑，即不会发生离心运动，此时合力应该不小于向心力，为 解得 A正确； B．转弯时车匀速转弯时，所受地面摩擦力垂直速度直线轨迹内侧，如果转弯的速度变化，地面摩擦力沿前进方向的分量与速度方向相同，地面摩擦力指向轨迹内侧与前进方向成锐角，地面摩擦力沿前进方向的分量与速度方向相反，地面摩擦力指向轨迹内侧与前进方向成钝角，B错误； C．转弯过程中，向心力来源于摩擦力，又车与地面发生相对运动趋势，其中的静摩擦力最大值应为μMg，C错误； D．面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，设车所在平面与地面的夹角为θ，则 又 解得 转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小，D正确。 故选AD。 4．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向下 D．若小球过最高点的速度时，速度v越小，杆对球的作用力越大 【答案】ACD 【详解】 A．当小球过最高点时速度，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，故A正确； B．因为杆可以对小球提供向上的支持力，故小球过最高点时最小速度为0，故B错误； C．若小球过最高点时速度，重力比所需要的向心力小，杆对球的作用力竖直向下，故C正确； D．若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向上，此时有 v越小，杆对球的作用力F越大，故D正确。 故选ACD。 5．有一种叫“飞椅”的游乐项目。如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为。不计钢绳的重力。以下说法正确的是（　　） A．若座椅与乘坐人员的总质量为m，则两根钢绳对座椅的总拉力大小为 B．若座椅与乘坐人员的总质量为m，则两根钢绳对座椅的总拉力大小为 C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直 D．两个体重不同的人，摆开的夹角一样大 【答案】BD 【详解】 AB．对座椅受力分析，如图所示 竖直方向 解得 故B正确，A错误； C．因钢绳拉力的竖直分量等于人的重力，则即使角速度足够大，也不可以使钢绳成水平拉直，故C错误； D．水平方向，根据 可得 两边可消掉m，即两个体重不同的人，摆开的夹角一样大，故D正确。 故选BD。 6．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动．有一质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半．已知重力加速度为g，则（　　） A．小球A做匀速圆周运动的角速度ω＝ B．小球A受到重力、支持力和向心力三个力作用 C．小球A受到的合力大小为 D．小球A受到的合力方向垂直于筒壁斜向上 【答案】AC 【详解】 小球A受到重力、支持力两个力作用，合力的方向水平且指向转轴，则 （设漏斗内壁倾角为θ），半径 解得小球A受到的合力大小为 角速度 AC正确，BD错误。 故选AC。 7．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．地面受到的压力始终大于 B．小球到达与圆心等高的B点时对铁块的作用力可能为0 C．经过最低点A时地面受到的压力可能等于 D．小球在圆轨道最高点C点时，地面受到的压力可能为0 【答案】BD 【详解】AD．如果小球能在上半圆运动，则小球会对铁块有向上的弹力，这样铁块对地面的压力就小于自身重力，如果小球在圆轨道最高点C点时，对铁块的弹力恰好等于铁块重力，铁块对地面正好为0，故A错误，D正确； B．如果小球刚好达到B点，则此时到达B点时速度为零，则铁块对小球无作用力，根据牛顿第三定律可知，此时，小球对铁块的作用力为零，故B正确； C．小球经过最低点A时，因为需要向心力，所以铁块对小球的支持力大于小球重力，根据牛顿第三定律，小球对铁块的压力大于自身重力，所以，铁块对地面的压力大于，故C错误。 故选BD。 8．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为R C．v2=c时，杆对小球弹力方向向下 D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，当时，对小球在最高点由牛顿第二定律得 可得当地的重力加速度大小为 故A错误； B．当时，在最高点有 可得小球的质量 故B正确； C．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得 可得 则杆对小球弹力方向向下，故C正确； D．在最高点对小球由牛顿第二定律得 解得 则杆对小球的弹力大小为，故D错误。 故选BC。 9．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　） A．线速度突然增大 B．角速度突然减小 C．向心加速度突然增大 D．悬线的拉力突然增大 【答案】CD 【详解】A．悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变，A正确； B．当半径减小时，由知，线速度不变，可得角速度变大，B错误； C．由知，线速度不变，半径突然变小，向心加速度突然增大，C正确； D．在最低点，受力分析得 由向心力变大可知，悬线的拉力变大，D正确。 故选CD。 10．如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当转台以角速度匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则（    ） A．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的a方向运动 B．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的b方向运动 C．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的b方向运动 D．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的c方向运动 【答案】BD 【详解】AB．由题意知，当转台以角速度匀速转动时，A恰能随光滑转台一起做匀速圆周运动，绳的拉力等于A所需要的向心力，等于B的重力大小；当转台的角速度变为时，A所需向心力大于B的重力，A将做离心运动，由于绳子拉力不为零，故不可能做匀速直线运动，故轨迹可能为b，A错误，B正确； CD．当转台的角速度变为时，A所需向心力小于B的重力，A将做近心运动，木可能将沿图乙中的c方向运动，C错误，D正确。 故选BD。 11．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【答案】ACD 【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得 可得 故A正确； B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误； C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确； D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律 由位移公式可知 水平方向 故D正确。 故选ACD。 12．如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为2d和d，两物块与盘面的动摩擦因数相同，盘面与水平面夹角为。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止，且当物块A转到最高点时，A所受绳子拉力刚好减小到零而B所受摩擦力刚好增大到最大静摩擦力。已知重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为 D．运动过程中B所受摩擦力最小值为 【答案】ABD 【详解】A．对A、B受力分析，A在最高点由牛顿第二定律有 B在最低点，由牛顿第二定律有 联立解得 故A正确； B．由向心力公式可得 代入 解得 故B正确； C．运动过程中，当A到最低点时，所需的拉力最大设为，由牛顿第二定律有 代入数据解得 故C错误； D．运动过程中，当B到最高点时，所需的摩擦力最小设为，由牛顿第二定律有 联立解得 故D正确。 故选ABD。 三、解答题 1．如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小； （3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。 【详解】 （1）依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有 代入数据可得小球经过最高点的速度大小为 （2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为 设此时小球的速度大小为v1。小球在最低点时由牛顿第二定律有 解得 （3）此后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球有在竖直方向上 代入数据求得 在水平方向上水平射程为 =4m 2．如图所示两根长度不同的细线下分别悬挂甲、乙两小球，细线上端固定在天花板上同一点M。两个小球绕共同的竖直轴MN在水平面内做匀速圆周运动且处于同一水平面内，两球距圆心O距离比为1：3，求： （1）甲、乙两小球角速度之比； （2）甲、乙两小球向心加速度之比。 【详解】 （1）设细线与竖直方向夹角为θ，MO的距离为h。对小球受力分析，有 Tsinθ=mr，Tcosθ=mg，r=htanθ 解得 ω= 因h相同，故角速度比值为1：1。 （2）由公式 =r 又 ：=1：3 解得 ：=1：3 3.如图所示，质量m=0.2kg的小球（可视为质点）从粗糙斜面AB的顶端A点由静止开始滚下，通过一小段光滑圆弧面（不计大小）后运动到足够长的光滑水平地面BC上，之后又从C点滚上一个半径R=40cm的半圆弧形轨道，最后刚好通过轨道的最高点D并从D点水平飞出。已知斜面AB长为L=0.4m、其与水平面的夹角为，小球在半圆弧形轨道区域时会受到一个大小为F=2N、方向竖直向上的恒力作用。取g=10m/s2，不计空气阻力，求： （1）小球通过C点时对轨道的压力大小； （2）平抛后小球落地点到C点的距离多远； （3）斜面AB的动摩擦因数为多少。 【详解】 （1）小球刚好通过D点，说明重力刚好提供小球做圆周运动所需的向心力。设小球在D点的速度为vD，由牛顿第二定律有 代入数据可得 由题意知，小球从C到D的过程 F=mg 受力平衡，因此速度大小不变，即大小上有 设小球在C点受到轨道的支持力为FNC，于是小球在C点做圆周运动时由牛顿第二定律有 代入数据可得 由牛顿第三定律知，小球通过C点时对轨道的压力大小与小球受到轨道的支持力FNC的大小相等，即小球通过C点时对轨道的压力大小为4N； （2）设小球从D点平抛之后经时间t落到水平地面，落地点到C点的距离为x，由平抛运动的规律知： 水平方向有 竖直方向有 代入数据可得 （3）设小球在B点的速度为vB，由题意知，由于水平地面BC光滑。因此小球从B运动到C的过程中在B点的速度与C点的速度大小相同。即，从A到B，设小球的加速度为a，选择沿斜面向下的方向为正方向。由牛顿第二定律有 由运动学规律有 代入数据可得 4．如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求细绳被拉断后小球运动的水平位移。    【答案】（1）；（2）x= 4m 【详解】（1）依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有 代入数据可得小球经过最高点的速度大小为 （2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为，设此时小球的速度大小为v1。小球在最低点时由牛顿第二定律有 解得 =4m/s 此后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球在竖直方向上 代入数据求得 t=1s 在水平方向上水平位移为 x= 4m 5．抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示。支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一质量为m的石块，B端固定质量为20m的重物，，。为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动。硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度为，石块直接击中前方倾角为的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成角。重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： （1）石块抛出时的速度大小； （2）石块击中斜坡时的速度大小及石块抛出后在空中运动的水平距离； （3）石块抛出前的瞬间，重物和石块分别受到硬杆（包括凹槽）的作用力的大小和方向。    【答案】（1）；（2），81L；（3）220mg，方向竖直向上，89mg，方向竖直向下 【详解】（1）已知重物转至最低点的速度为 设石块转至最高点的速度大小为，根据同轴转动角速度相同，由公式，有 又 联立解得，石块抛出时的速度大小为 （2）设石块击中斜坡时的速度为，将分解如下图所示    根据几何知识可得 解得 根据几何知识可得 根据运动学公式得 ， 联立解得 （3）设重物转至最低点时受到杆的作用力为，石块转至最高点时受到杆的作用力为，以竖直向上为力的正方向，对重物和石块分别进行受力分析如图所示    根据牛顿第二定律可得 其中 ， 联立解得 ， 则石块抛出前的瞬间，重物受到硬杆的作用力大小为220mg，方向竖直向上，石块受到硬杆的作用力大小为89mg，方向竖直向下。 6．如图，水平传送带以一定速度匀速运动，将质量m=1kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，物块运动到A点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，B、C为圆弧上的两点，其连线水平，已知圆弧对应圆心角θ=106°，R=1.0m，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块到达C点时的速度大小与B点相等，并沿固定斜面向上滑动，圆弧与斜面相切于C点，小物块从C点到第二次经过D点的时间间隔为0.8s，已知小物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2，取sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： （1）小物块从A到B的运动时间； （2）小物块经过圆弧最低点O的速度为，此时小球对轨道的压力； （3）斜面上C、D点间的距离。    【答案】（1）0.4s；（2）43N；（3）0.98m 【详解】（1）A到B做平抛运动 故 （2）物块在O点时，由牛顿第二定律 得 =43N 由牛顿第三定律，物块对轨道的压力为43N； （3）于B点竖直速度为 过B、C两点速度为 由几何关系可知，斜面的倾角 沿斜面上滑的过程： 解得 C点上滑至最高点的时间 上滑的最大距离 沿斜面下滑的过程 解得 从最高点下滑至D点的时间 从最高点下滑至D点的位移大小 所以斜面上C、D点间的距离 7．一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为，AE、BD都在竖直方向，AE距离20m。运动员的圆轨道半径，运动员及其装备质量为60kg。BC与水平面夹角为θ，且。已知重力加速度，，，运动员可看成质点。求： （1）速度v大小。 （2）BD及EC的距离。 （3）若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？    【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）对运动员在倾斜圆轨道上受力分析，如图所示    其做匀速圆周运动，可得向心力为 解得 （2）在A点以做平抛运动，进入B点相切于BC方向进入，其中 解得 根据平抛运动规律可得 解得 水平方向上做匀速直线运动故 根据竖直方向上做自由落体运动可得 其中 故 （3）若恰好落在C点，则 解得 故运动员离开A点速度大小是可以恰好落在C点。 8．如图所示，半径为R内壁粗糙的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且它和O点的连线与之间的夹角θ为，重力加速度大小为g。求： （1）若开始时转台静止不动，小物块从和球心O等高处沿圆弧下滑，经过如图所示位置时小物块速率为，求在该点时小物块向心力的大小以及对陶罐壁的压力大小。 （2）若转台以角速度（未知）匀速转动时，小物块在图示位置处随容器一起转动，且所受摩擦力恰好为0，求小物块角速度。    【答案】（1），；（2） 【详解】（1）由公式 解得 其中 解得 由牛顿第二定律可得对陶罐壁的压力大小为是。 （2）根据 又因为 解得 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 生活中的圆周运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 8 题型01：判断哪些力提供向心力及有关向心力的简单计算 8 题型02：通过牛顿第二定律求解向心为 10 题型03：绳球类模型及其临界条件 13 题型04：杆类模型 20 题型05：轨道模型 26 题型06：管道模型 30 题型07：拱桥和凹桥模型 33 题型08：水平转盘上的物体 37 题型09：光滑斜面上的圆周运动 40 题型10：有摩擦的倾斜转盘上的物体 41 题型11：圆锥摆问题 42 题型12：汽车和自行车在水平面的转弯问题 48 题型13：火车和飞机倾斜转弯模型 50 题型14：航天器中的失重现象 54 题型15：由轨道半径变化引起的向心力变化 56 题型16：物体做离心或向心运动的条件 57 题型17：离心运动的应用和防止 60 巩固提升 63 生活中的圆周运动是高考物理必修2圆周运动的实际应用核心考点，属于基础中档必拿分内容，是圆周运动规律在生活场景的直接迁移，常与水平面/竖直面圆周运动模型结合考查，既是高考高频考点，也是衔接天体、磁场圆周运动的重要过渡。 1. 考查形式与分值：全国卷/新高考卷以选择题（4-6分） 为主，极少作为计算题小问（2-3分），不单独出大题；常与圆周运动基本规律、牛顿运动定律结合，分值占比4-6分，属于基础送分/低区分度考点。 2. 考查重点：聚焦水平面圆周运动应用（汽车转弯、转盘、火车过弯道），少量涉及竖直面圆周运动应用（过山车、摩天轮、水流星）；核心考查向心力来源分析、临界条件判断、公式直接应用，不考复杂计算，侧重“模型化提取生活场景中的圆周运动核心条件”。 3. 命题特点：情境均为常见生活现象，题干描述贴近实际，需排除无关干扰（如汽车转弯的路面粗糙程度、火车弯道的倾角），提取“圆心、半径、向心力来源”核心要素；新高考更注重实际问题与物理模型的转化，要求能将生活场景对应到经典圆周运动模型。 4. 关联考点：直接关联圆周运动基本公式、静摩擦力/弹力的受力分析，间接关联万有引力（天体圆周）、离心现象，考查内容不延伸，仅为基础规律的应用。 一 核心目标 1. 能将常见生活圆周场景精准对应到经典模型：汽车/火车转弯→水平面匀速圆周运动，过山车/摩天轮→竖直面非匀速圆周运动，转盘/洗衣机脱水→水平面离心现象相关圆周运动。 2. 掌握各类生活圆周运动的向心力具体来源，能明确判断：静摩擦力、弹力（支持力/压力）、重力与弹力的合力分别对应哪种生活场景的向心力。 3. 熟记圆周运动基本公式，能直接套用解决生活场景中的速度、角速度、倾角、摩擦力等物理量计算，无需复杂推导。 二 能力目标 1. 能对生活圆周运动场景画受力分析图，沿径向列牛顿第二定律方程，快速找到“合外力=向心力”的对应关系。 2. 掌握生活圆周运动的临界条件（如汽车转弯不打滑、火车转弯无侧压力），能根据临界条件求解极值（最大速度、临界倾角）。 3. 能区分圆周运动与离心现象，理解生活中离心现象的本质（向心力不足/消失），能解释脱水、甩泥等生活现象。 三 基础要求 1. 熟练掌握水平面匀速圆周运动的受力分析和公式应用，这是生活圆周运动的核心基础。 2. 能准确判断生活场景中圆周运动的圆心和半径，避免几何关系错误。 3. 理解静摩擦力的大小和方向判断，掌握弹力的分解方法（如火车弯道的支持力分解）。 知识点一：铁路的弯道 1．火车弯道转弯问题：一切做圆周运动的物体必然受到向心力的作用。火车转弯时，也是在做圆周运动，必然有某些力提供向心力。为了保证火车不脱轨，车轮的内部设有轮缘，如图所示。在火车转向右弯且两个轨道没有高度差时，如图所示，火车做圆周运动需要的向心力由外侧道轨对轮缘指向圆心的弹力提供，根据可知，在转动半径一定的情况下，速度越大，轨道与轮沿间的挤压力越大，当速度过大时，有可能损坏道轨，甚至有脱轨的危险。 2．火车弯道设计速度：为了解决这个问题，在火车转弯处，让外轨略高于内轨，如图所示，由重力mg和支持力FN的合力提供向心力，不需要外轨对外侧车轮的 弹力提供向心力了。根据可知，，在转动半径r、倾 斜角度θ一定的情况下，速度v是一定的值，也就是设计速度，火车在此处转弯时，必须是该速度。 3．火车速度对内、外轨道的影响： （1）当火车的速度时，向心力正好由重力和支持力的合力提供，火车对 外轨和内轨都没有压力，不会损坏内轨或外轨，如图所示。 （2）当火车的速度时，火车需要的向心力大于，重力和支持力 的合力不足以提供向心力，此时需要外轨对车轮指向圆心的弹力F提供剩余的向心力，如图6-4-4所示。所以，如果火车速度过大，仍然可能损坏外轨。 （3）当火车的速度时，火车需要的向心力小于，重力和支持力 的合力大于向心力，此时内轨对车轮向外的弹力F与重力和支持力的合力Fn提供向心力，如图6-4-5所示。所以，如果火车速度过小，可能损坏内轨。 4．弯道处火车的运动轨迹：火车的轨道虽然是倾斜的，但火车的运动轨迹却是水平面上圆周运动，如图所示，轨迹平面并不平行于倾斜轨道。 规律方法火车转弯时的铁轨应外轨高于内轨，当火车速度时，向心力正好由重力和支持力的合力mgtanθ提供，火车对外轨和内轨都没有压力，不会损坏内轨或外轨；当时，火车对外轨有压力，可能损坏外轨；当时，火车对内轨有压力，可能损坏内轨。 知识点二：汽车过水平弯道 汽车在水平弯道转弯时，由摩擦力提供向心力，汽车就有沿半径方向向外滑动的趋势。当汽车速度过大，汽车所需要的向心力大于汽车与地面的最大静摩擦力时，汽车就会沿半径方向向外滑动，造成交通事故。 汽车在水平路面转弯时： （1）汽车受到地面的静摩擦力提供向心力； （2）不能说汽车“受到”向心力的作用，只能说某个力、某个力的分力或哪些力的合力等“提供”向心力； （3）汽车加速、匀速转弯时，地面对汽车的静摩擦力是动力，指向圆心的分力提供向心力，沿轨迹切线方向的分力提供动力，静摩擦力实际指向内前方； （4）汽车刹车转弯时，地面对汽车的静摩擦力是阻力，指向圆心的分力提供向心力，沿轨迹切线方向的分力提供动力，静摩擦力实际指向内后方。 知识点三：汽车过倾斜弯道 汽车在水平弯道转弯时，由摩擦力提供向心力，汽车就有沿半径方向向外滑动的趋势。当汽车速度过大，汽车所需要的向心力大于汽车与地面的最大静摩擦力时，汽车就会沿半径方向向外滑动，造成交通事故。为了解决该问题，在公路的弯道处，一般都设计成外侧高内侧低的斜面，如图6-4-9所示，当汽车以设计速度通过弯道时，汽车的重力与支持力的合力提供向心力。设斜面与水平面间的夹角为θ，弯道半径为r，当只有重力与支持力的合力提供向心力 时，，整理得：，该速度就是该弯道处的设计速度，当汽车的速度时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，汽车有向外滑动的趋势，就有地面的摩擦力补充，此时摩擦力的方向应向内；当汽车的速度时，重力与支持力的合力大于汽车所需要的向心力，汽车有向内滑动的 趋势，此时摩擦力的方向应向外。 规律方法 （1）公路弯道应为外侧高于内侧的斜面； （2）当汽车速度时，向心力正好由重力和支持力的合力mgtanθ提供，汽车在沿半径方向上正好不受摩擦力的作用，汽车也正好没有向内、向外滑动的趋势； （3）轨道的设计速度与地面的粗糙程度无关； （4）当时，汽车有向外滑动的趋势，汽车在沿半径方向上受到的摩擦力指向内侧； （5）当时，汽车有向内滑动的趋势，汽车在沿半径方向上受到的摩擦力指向外侧。 （6）当时，汽车有向外滑动的趋势，但不会向外滑动，当汽车达到最大静摩擦力时，汽车才会向外滑动。 知识点四：拱形桥 1．汽车过拱形桥的动力学方程：如图所示，当汽车通过拱形桥的顶端时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，即，整理得，所以，故当汽车通过拱形桥的顶端时，压力小于重力，汽车通过拱形桥的顶端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越小，对桥面的压力就越小。 2．汽车的速度对压力的影响： （1）如图所示，当向心力完全由重力提供时，，整理得，当汽车的速度为时，汽车对桥面恰无压力。此时物体的加速度为，属于完全失重状态。 （2） 当汽车的速度时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，此时汽车对桥面有压力，且小于重力，如图所示。 （3）当汽车的速度时，重力也不足以提供向心力，汽车将不再做圆周运动，而是做平抛运动，汽车对桥面无压力，如图6-4-15所示。 规律方法当汽车通过拱形桥的顶端时，当汽车的速度等于时，汽车对桥面恰好无压力，此时汽车及其中所有物体都处于完全失重状态；当汽车的速度小于时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，此时汽车对桥面有压力，且小于重力，此时汽车及其中所有物体都处于失重状态；当汽车的速度大于时，汽车将不再做圆周运动，而是做平抛运动，汽车对桥面无压力，此时汽车及其中所有物体都处于完全失重状态。 知识点五：凹形桥 如图6-4-17所示，当汽车通过凹形桥的底端时，向心力由重力mg和支持力FN的合力来提供，即，整理得，所以，故当汽车通过凹形桥的底端时，压力一定大于重力，此时汽车及其中的物体都处于超重状态，汽车通过凹形桥的底端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越大，对桥面的压力就越大。 规律方法当汽车通过凹形桥的底端时，压力一定大于重力，此时汽车及其中的物体都处于超重状态，汽车通过凹形桥的底端的速度越大，需要的向心力就越大，支持力就越大，对桥面的压力就越大。 汽车过拱形桥和凹形桥的比较 类型 受力分析 运动学方程 压力表达式 压力与重力的关系 压力与速度的关系 拱形桥 压力小于重力 速度越大压力越小 凹形桥 压力大于重力 速度越大压力越大 知识点六：航天器中的失重现象 1．航天器中的失重现象：当航天器在空中以速度v做半径为r的匀速圆周运动时，航天员受到重力mg的作用，还可能受到支持力FN的作用，如图所示，根据向心 力公式有：，，故，所以当航天器在空中做匀 速圆周运动时，其中的所有物体都处于失重状态。 2． 航天器中的完全失重现象：当航天器的速度为时，，即航天器对宇航员的支持力为0，向心力完全由自身重力提供，处于完全失重状态，此时，宇航员就像漂浮在航天器中一样，如图所示。 3． 航天器中的失重现象的特点：航天器中的物体处于失重状态，并不是不受重力，而是支持力小于重力，或没有支持力，物体所受到的重力大小是不变的。 规律方法 （1）航天器在空中做匀速圆周运动时，其中的所有物体都处于失重状态； （2）航天器中的物体处于失重状态，并不是不受重力，而是支持力小于重力，或没有支持力，物体所受到的重力大小是不变的； （3）当航天器的速度为时，航天器对其中所有物体的支持力为0，物体做圆周运动的向心力完全由自身重力提供，物体都处于完全失重状态。 知识点七：离心运动和近心运动 1． 概念：物体做圆周运动时沿切线方向飞出或做远离圆心的运动叫做离心运动。离心运动的实质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来。一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。 2． 向心力的大小对圆周运动的影响：物体之所以做圆周运动是因为受到向心力的作用，设某时刻物体正以速度大小v做圆周运动，物体所需要的向心力大小为，则指向圆心的合力F对物体运动的影响如下： 图6-4-23 图6-4-24 图6-4-25 图6-4-26 （1）当时，加在物体上的指向圆心的合力F正好等于物体维持圆周运动所需要的向心力，物体将继续做圆周运动，如图6-4-23所示； （2）当时，向心力突然消失，物体将沿切线方向飞出，如图6-4-24所示。例如水滴离开旋转的雨伞，雨滴将沿雨伞的切线飞出。 （3）当时，加在物体上的指向圆心的合力F小于物体所需要的向心力，物体将逐渐远离圆心，做离心运动，不再做圆周运动，如图6-4-25所示； （4）当时，加在物体上的指向圆心的合力F大于物体所需要的向心力，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动，也不再做圆周运动，如图6-4-26所示。 3．离心运动的应用和防止 （1）应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 （2）防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 题型01：判断哪些力提供向心力及有关向心力的简单计算 【典型例题1】如图是重庆市某游乐园的摩天轮，假设某乘客坐在座椅上随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，整个过程座椅始终保持水平，则（　　） A．座舱匀速转动过程中，乘客受力平衡 B．座舱在最低点时，乘客处于失重状态 C．座舱在最高点时，乘客处于超重状态 D．座舱在转动过程中，乘客所受合力方向始终指向转轴 【答案】D 【解析】A．座舱匀速转动过程中，乘客合力提供向心力，不为零，不是平衡状态，故A错误； BCD．根据题意可知，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，转动过程中，乘客的加速度方向指向圆心，所受合力方向始终指向转轴；则乘客在圆心所在水平线之上具有向下的加速度，处于失重状态，即座舱在最高点时，乘客处于失重状态，乘客在圆心所在水平线之下具有向上的加速度，处于超重状态，即座舱在最低点时，乘客处于超重状态，故BC错误D正确。 故选D。 【典型例题2】甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，角速度之比4：3，则它们的向心力之比为（　　） A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．9：16 【答案】C 【解析】根据匀速圆周运动向心力公式 F=mr 两个物体向心力之比为 ：=4：9. 故选C。 【变式训练1-1】如图所示，一辆汽车加速通过水平弯道时，路面对汽车的摩擦力f的示意图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图所示是“感受向心力”实验。在绳子的点拴一个小沙袋，点握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时可认为“沙袋所受的向心力近似等于绳子对沙袋的拉力”。下列分析正确的是（　　） A．沙袋做匀速圆周运动的圆心一定在点 B．由于空气阻力的作用，拉力与沙袋速度方向不垂直 C．若不考虑空气阻力的影响，沙袋速度越小，向心力与拉力越接近 D．若在完全失重条件下做上述实验，空气阻力越小，向心力与拉力越接近 【变式训练1-3】如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C处系一质量的小球，其中，两绳能承受的最大拉力均为40N，小球随转轴AB以一定的角速度转动，细绳AC和BC均拉直，此时，细绳BC与竖直轴AB垂直，ABC能绕竖直轴AB匀速转动，小球在水平面内做匀速圆周运动，取重力加速度大小，。 （1）当小球转动的角速度增大时，通过计算判断AC和BC哪条绳先断？ （2）一条绳被拉断后，小球转动的角速度继续增加，为了让小球能够做圆周运动，则小球的最大线速度为多少？    题型02：通过牛顿第二定律求解向心为 【典型例题1】如图所示为某港口大型起重装置，缆车下吊一重物正匀速运动，速度为，所吊重物（可视为质点）的质量为m，吊重物的缆绳长为L，不计缆绳的重量，重力加速度为g，当缆车突然停止时，缆绳所承受的拉力为（　　）    A．4mg B．3mg C．2mg D．mg 【答案】B 【解析】由题意知，缆车突然停车的瞬间，重物开始做圆周运动，其所受合力提供向心力，即 其中 可得 故选B。 【典型例题2】如图所示，一圆筒固定在水平地面上，圆筒底面光滑，侧面粗糙。一物块紧贴圆筒内壁开始滑动。在物块滑动过程中，其速率随时间变化的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】物块紧贴圆筒内壁开始滑动，竖直方向受力平衡，水平方向圆筒侧面的弹力提供向心力，则有 由于圆筒侧面粗糙，所以物块滑动过程受到侧面的滑动摩擦力作用，物块做减速运动，则有 可知随着物块速度的减小，滑动摩擦力逐渐减小，则滑动摩擦力产生的加速度大小逐渐减小，可知速率随时间变化的图像的切线斜率绝对值逐渐减小。 故选C。 【典型例题3】一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起。如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均看作质点）（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当m以最大角速度转动时，以M为研究对象 F＝μMg 以m为研究对象 F＋μmg＝mL 可得 ω＝ 故选D。 【变式训练2-1】如图所示，在光滑的水平面上质量为的小球甲与质量为的小球乙用长为的轻质细线连接，两小球均视为质点，现让两小球以相同的角速度互相环绕共同的圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）    A．甲、乙的向心加速度之比为 B．甲、乙的轨道半径之比为 C．若甲、乙的角速度为，则细线的拉力为 D．若细线的拉力为，则甲的线速度为 【变式训练2-2】如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环一直相对杆不动，下列判断正确的是（　　） A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大 B．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的弹力不变 C．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力不变 D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等 【变式训练2-3】如图，摩天轮在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，座舱的运动周期为 ；某时刻，座舱A与摩天轮圆心在同一高度，此时座舱A受摩天轮的作用力大小为 。 【变式训练2-4】如图所示，长L的轻杆两端分别固定着小球A、B，杆中心O有水平方向的固定转轴，杆绕转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动。小球A的质量为m，重力加速度为g。 （1）小球A运动到水平位置时，求杆对球A的作用力大小F1； （2）小球A运动到最高点时，求杆对球A的作用力大小F2； （3）若轻杆角速度为2ω，小球A运动到最低点时，杆对转轴的作用力刚好为零，求小球B的质量mB。 【变式训练2-5】如图甲所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动，二面体的二面角为，截面图如图乙所示．面ABCD和面CDEF的长和宽均为，取重力加速度。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离。    题型03：绳球类模型及其临界条件 【典型例题1】如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子P，小球从左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。已知小球经过最低点时，速度大小不变，则下列说法中正确的是（　　）    A．在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力 B．小球经过最低点时，加速度不变 C．钉子位置离O点越远，绳就越容易断 D．钉子位置离O点越近，绳就越容易断 【答案】C 【解析】A．根据题意可知，在摆动过程中，小球所受重力沿着半径方向分力和绳子拉力的合力始终等于向心力，故A错误； B．根据公式可知，由于小球经过最低点时，速度大小不变，半径变小，则变大，故B错误； CD．根据牛顿第二定律有 解得 可知，由于小球经过最低点时，速度大小不变，则越小，越大，绳就越容易断，由图可知，钉子位置离O点越远，越小，绳就越容易断，故D错误，C正确。 故选C。 【典型例题2】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 【答案】D 【解析】设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误． 【典型例题3】杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 【答案】B 【解析】“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B. 【变式训练3-1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳的拉力大小为 D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 【变式训练3-2】（多选）如图所示，质量为m的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间作用力大小恰为mg，则（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的周期等于2π B．该盒子做匀速圆周运动的周期等于π C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小等于2mg D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小等于3mg 【变式训练3-3】（多选）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法正确的是(　　) A.v的最小值为 B.v由零逐渐增大，向心力也增大 C.当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D.当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 【变式训练3-4】（多选）如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则(　　) A．小球运动到最高点的速度v＝ B．小球运动到最高点的速度v＝ C．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m D．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m 【变式训练3-5】（多选）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．x＝2.5 B．y＝40 C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm 【变式训练3-6】如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直．当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直．重力加速度为g，则(　　) A．a绳的拉力可能为零 B．a绳的拉力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳中拉力不为零 D．当角速度ω>时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平 【变式训练3-7】细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　　) A. B．2π C. D. 【变式训练3-8】（多选）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5 kg的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着一质量为m2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N．圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5 m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大 B．当角速度ω＝ rad/s时，BC绳刚好被拉直 C．当角速度ω＝3 rad/s时，AC绳刚好被拉断 D．当角速度ω＝4 rad/s时，BC绳刚好被拉断 【变式训练3-9】（多选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 【变式训练3-10】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：（g取10m/s2） （1）当恰好只有AC绳拉紧，而BC绳拉直但无拉力时，球的角速度大小； （2）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ （3）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？ 【变式训练3-11】如图所示，一长为L的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质量为m的小球相连接．现使小球在一水平面上做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方向的夹角为θ．不计空气阻力． (1)求维持小球做圆周运动的向心力的大小； (2)求小球做圆周运动线速度的大小； (3)某同学判断，若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角θ也将增大，  但角θ不能等于90º，试证明角θ趋近90º时，细绳对小球的拉力将趋近无穷大． 【变式训练3-12】如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重力加速度为g) (1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大； (2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大； (3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力FN2各为多大． 【变式训练3-13】如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求细绳被拉断后小球运动的水平位移。    题型04：杆类模型 【典型例题1】如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若两小球经过O点正下方时，B的速度大小为，重力加速度为g，轻杆AB段和OB段的拉力大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A在最低点时，A与B角速度一样，则A的速度为2，对A: 对B : 解得 故选B。 【典型例题2】如图所示，长度为的轻杆两端分别固定质量为的A小球和质量为的B小球，杆上距A球处的O点套在光滑的水平转轴上，杆可绕水平转轴在竖直面内转动。当A球在最高点，B球在最低点静止时，O点受杆的作用力大小为；当A球转动至最高点时，杆OA部分恰好不受力，此时O点受杆的作用力大小为。已知重力加速度，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当A球在最高点，B球在最低点静止时，OA部分受到A球的压力 OB部分受到B球的拉力 则O点受杆的作用力大小为 当A球转动至最高点时，杆OA部分恰好不受力，有 转动过程中A、B小球角速度相等，对B球根据牛顿第二定律有 此时O点受杆的作用力大小为 几何关系知， 代入数据解得 故C正确，ABD错误。故选C。 【典型例题3】如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C．若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D．小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 【答案】C 【详解】AC．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有 解得 可知，若小球运动的角速度 杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度杆对球的作用力向上，故A错误，C正确； B．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形法则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误； D．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。故选C。 【典型例题4】如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是(　　) A.mg的拉力 B.mg的压力 C.零 D.mg的压力 【答案】B 【解析】当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<，故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误. 【典型例题5】“太极球”运动是一项较流行的健身运动，做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，太极球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让小球在竖直面内始终不脱离平板且做匀速圆周运动，则（　　） A．在B、D两处小球运动的加速度一定相同 B．只要平板与水平面的夹角合适，小球在B、D两处可能不受平板的摩擦力作用 C．平板对小球的作用力在A处最大，在C处最小 D．小球运动过程中速度不变 【答案】B 【解析】A．加速度是矢量，在B、D两处小球运动的加速度方向都指向圆心，方向不同，所以加速度不相同，故A错误； B．只要平板与水平面的夹角合适，使得小球在B、D两处时受重力和平板的弹力的合力充当向心力，则此时平板不受摩擦力作用，B正确； C．在A处满足 在C处满足 可知平板对小球的作用力在A处最小，在C处最大，故C错误； D．速度是矢量，小球做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向不断变化，故D错误。 故选B。 【典型例题6】轻杆与F－v 2图像)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v，O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v 2(v为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　) A．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s B．小球在最高点的速度大小为 m/s时，杆对球的作用力为支持力 C．小球的质量为3 kg D．O轴到小球的距离为0.5 m 【答案】　D 【解析】由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A错误；当小球通过最高点的速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3 N，即质量为0.3 kg，C错误；由题图乙可知，当小球以v2＝5 m2/s2通过最高点时，恰好对杆没有作用力，此时重力提供向心力，设O轴到小球的距离为L，根据mg＝m，得L＝0.5 m，故D正确；当小球以 m/s的速度通过最高点时，根据mg＋F＝m，可得F＝6 N，此时杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6 N，故B错误． 【变式训练4-1】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【变式训练4-2】(多选）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是（　　） A．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 B．v的最小值为 C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 【变式训练4-3】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【变式训练4-4】如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球在最高点时，小球的速度大小为 B．小球在最低点时，小球的速度大小为 C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为 D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为 【变式训练4-5】(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　) A．方向一定竖直向上 B．方向可能竖直向下 C．大小可能为0 D．大小不可能为0 【变式训练4-6】(多选)如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是(　　) A.利用该装置可以得出重力加速度，且g＝ B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大 C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变 【变式训练4-7】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如乙图所示。则（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 【变式训练4-8】如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动． (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小． 【变式训练4-9】如图所示，轻杆长2l，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕转O轴做圆周运动，已知重力加速度取g。 （1）若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力大小和方向； （2）若B球到最高点时的速度等于第（1）问中A球到达最高点时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和方向又如何？ （3）在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，则求出此时A、B球的速度大小。 题型05：轨道模型 【典型例题1】如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为的圆轨道。质量为的游客随过山车一起运动，当游客以速度经过圆轨道最高点时（    ） A．处于超重状态 B．加速度方向竖直向下 C．速度大小一定为 D．对座椅的作用力为 【答案】B 【解析】AB．游客在最高点，合力竖直向下，加速度方向竖直向下，处于失重状态，A错误B正确； C．在最高点，根据牛顿第二定律，有 因为时，所以C错误； D．在最高点，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律，可知游客对座椅的作用力为D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(　　) A.0 B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确. 【典型例题3】（多选 ）如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v0＝3.5 m/s的初速度进入轨道，g＝10 m/s2，则(　　) A．小球不会脱离圆轨道 B．小球会脱离圆轨道 C．小球脱离轨道时的速度大小为 m/s D．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 【答案】BCD 【解析】若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg＝m，解得v＝＝ m/s，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得mv0′2＝mg·2R＋mv2，解得v0′＝ m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故A错误，B正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示． 在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mgsin θ＝m，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得mv02＝mgR(1＋sin θ)＋mv12，联立解得sin θ＝，即θ＝30°，则v1＝＝ m/s，故C、D正确． 【典型例题4】（如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与在最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．管道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D．小球在以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】B 【解析】A．由图乙可知，当在最高点时，，则在最高点重力提供小球做圆周运动的向心力，此时代入得A错误； B．由图乙知，当时，在最高点重力等于下管道对小球向上的弹力，此时 代入得B正确； C．小球在水平线以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误； D．小球在水平线以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力。D错误； 故选B。 【变式训练5-1】一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．物块所受合外力为零 B．物块所受合外力越来越大 C．物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变 D．物块所受摩擦力大小不变 【变式训练5-2】如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小球对圆环的压力大小等于mg B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g 【变式训练5-3】如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示．质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转．陀螺的质量为m，其余部分质量不计．陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg.不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g. (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度； (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小； 【变式训练5-4】抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示。支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一质量为m的石块，B端固定质量为20m的重物，，。为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动。硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度为，石块直接击中前方倾角为的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成角。重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： （1）石块抛出时的速度大小； （2）石块击中斜坡时的速度大小及石块抛出后在空中运动的水平距离； （3）石块抛出前的瞬间，重物和石块分别受到硬杆（包括凹槽）的作用力的大小和方向。    【变式训练5-5】如图甲所示，竖直面内有一光滑轨道，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角，圆弧轨道半径为，与水平轨道相切于点C.现将一小滑块（可视为质点）从空中的A点以的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，滑块在圆弧末端C点速度为，对轨道的压力，之后继续沿水平轨道滑动，经过D点滑到质量为，长为的木板上.图乙为木板开始运动后一段时间内的图像，滑块与地面、木板与地面间的动摩擦因数相同，重力加速度g取，不计空气阻力和木板厚度。求： （1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小； （2）小滑块的质量； （3）全过程中木板的位移。 题型06：管道模型 【典型例题1】如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)．它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg.某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零．则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 【答案】　B 【解析】　对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下为28 N，设B球对管的力为FB′，由管的受力平衡可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B. 【典型例题2】（多选)(图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB水平、OA竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B点以某一初速度v0进入细管，之后从管内的A点以大小为vA的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0> B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0> C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为v0＝ D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足vA>，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点 【答案】BC 【解析】小球能从A点飞出，则在A点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有mv02>mgR，则小球在B点的初速度必须满足v0>，选项A错误，B正确；为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则R＝vAt，R＝gt2，联立解得vA＝，mv02＝mgR＋mvA2，小球在B点的初速度应为v0＝，选项C正确；要使小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度为，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误． 【变式训练6-1】（多选）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　）    A．小球的质量为 B．圆形管道内侧壁半径为 C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为 D．小球在最低点的最小速度为 【变式训练6-2】（多选）如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)．MN为通过圆心的一条水平线．不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g.则下列说法中正确的是(　　) A．管道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【变式训练6-3】（多选）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是(　　) A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0 <v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 【变式训练6-4】（多选）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是(　　) A．铁球可能做匀速圆周运动 B．铁球绕轨道转动时机械能守恒 C．铁球在A点的速度一定大于或等于 D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg 题型07：拱桥和凹桥模型 【典型例题1】汽车以某一速度经过拱桥顶端的瞬间（　　） A．处于超重状态，重力增大 B．处于超重状态，重力不变 C．处于失重状态，重力减小 D．处于失重状态，重力不变 【答案】D 【解析】汽车以某一速度经过拱桥顶端的瞬间，汽车竖直方向的加速度向下，则竖直方向的合力向下，汽车受到的支持力小于重力，处于失重状态，但重力不变。 故选D。 【典型例题2】一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．若，则物体对半球顶点压力为mg B．若，则物体对半球顶点的压力为 C．若，则物体对半球顶点的压力为 D．若，则物体对半球顶点的压力为零 【答案】B 【解析】A．根据题意，在最高点有 若解得 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为0，故A错误； B．同理可得，若则有 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为 故B正确； CD．若，物体处于平衡状态，则有 由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，质量的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为，如果桥面承受的压力不超过，g取。则（　　）    A．汽车驶至凹形桥面的底部时处于失重状态 B．汽车驶至凸形桥面的顶部时处于失重状态 C．汽车允许的最大速率为 D．汽车对桥面的最小压力为 【答案】BC 【解析】A．汽车驶至凹形桥面的底部时，由地面的支持力与重力的合力提供圆周运动的向心力，可知有竖直向上的加速度，即汽车处于超重状态，故A错误； B．汽车驶至凸形桥面的顶部时，由地面的支持力与重力的合力提供圆周运动的向心力，则有竖直向下的加速度，即汽车处于失重状态，故B正确； C．汽车驶至凹形桥面的底部时，为了避免桥梁损坏，则有 解得 汽车驶至凸形桥面的顶部时，为了避免飞车现象发生，则有 解得 可知为了行车安全与桥梁避免损坏，汽车允许的最大速率为，故C正确； D．汽车驶至凸形桥面的顶部时，当取最大速率，汽车对桥面的压力最小，此时有 解得 故D错误。 故选BC。 【变式训练7-1】如图所示，拱桥可以视为半径为40m的圆弧面，如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，，则汽车通过桥顶的速度应为（　　） A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s 【变式训练7-2】如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（　　） A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1 【变式训练7-3】如图所示，当汽车以一定的速度过拱形桥和凹形路面时，下列说法正确的是（　　） A．图甲中汽车对桥面的压力大于车的重力 B．图乙中汽车对路面的压力小于车的重力 C．图甲中汽车的速度越大、汽车对桥面的压力越大 D．图乙中汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大 【变式训练7-4】如图，一辆质量的小汽车驶上一座半径的圆弧形拱桥。（取） （1）汽车以的速度经过拱桥的顶部时，圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？ （2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 【变式训练7-5】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　） A．向心力为 B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为 D．受到的合力方向斜向右上方 【变式训练7-6】如图所示，从宇宙角度，地球可以看成一个巨人的拱形桥，桥面半径km，地面上行驶的汽车中驾驶员的质量kg，，在汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是（　　） A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大 B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于 C．只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力 D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉 【变式训练7-7】汽车通过拱桥顶点时的速度为10 m/s，车对桥的压力为车重的，如果使汽车驶至桥顶时对桥面恰无压力，则汽车的速度为(g取10 m/s2)(　　) A．15 m/s　　　　　 B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 【变式训练7-8】竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　）    A．在A点时，小球对圆轨道压力等于其重力 B．水平速度 C．经过B点时，小球的加速度方向指向圆心 D．A到B过程，小球水平加速度先增加后减小 【变式训练7-9】有一辆质量为600kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g=10m/s2） 问∶（1）汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空？ （3）汽车对地面的压力过小是不安全的。因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？ （4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R（R=6400km）一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？ 题型08：水平转盘上的物体 【典型例题1】如图所示，质量为1kg的小物块相对圆盘静止，随圆盘一起做角速度为2rad/s的匀速圆周运动。小物块与转轴O点的距离为10cm，则小物块所受向心力大小为（　　） A．0.4N B．4N C．20N D．40N 【答案】A 【解析】根据牛顿第二定律可知，小物体的向心力的大小为 故选A。 【典型例题2】如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　） A．绳中一直有拉力，且逐渐最大 B．物体m一直受到圆盘的摩擦力 C．物体M一直受到圆盘的摩擦力 D．物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等 【答案】B 【解析】m的向心力 当角速度从0开始增大，m由静摩擦力提供向心力，且所受的静摩擦力开始增大； 当m达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时m靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时M开始受到圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和M受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大； 随着角速度继续增大，拉力越大，当拉力和M的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值。 故选B。 【变式训练8-1】如图所示，甲、乙两个相同的物体放在一水平匀速转动的圆盘上，均相对圆盘静止，对于甲、乙两物体，下列说法正确的是（　　） A．线速度相同 B．向心力相同 C．角速度相同 D．周期不相同 【变式训练8-2】如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　） A．绳中一直有拉力，且逐渐最大 B．物体m一直受到圆盘的摩擦力 C．物体M一直受到圆盘的摩擦力 D．物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等 36．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　） A．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向为a B．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向可能为b C．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为c D．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为d 【变式训练8-3】如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（    ）      A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．当时，a所受摩擦力的大小为kmg D．是b开始滑动的临界角速度 【变式训练8-4】如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑水平槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球（可以视为质点），一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O′点，其中O点为圆盘的中心，O′点为圆盘的边缘。橡皮绳的劲度系数为k（类似弹簧遵从胡克定律），原长为圆盘半径R的。现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度ω1＝与ω2＝时，小球所对应的线速度之比v1∶v2。 【变式训练8-5】生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问： （1）物品从A处运动到B处的时间t多大？ （2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？ 题型09：光滑斜面上的圆周运动 【典型例题】如图所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是（　　） A．它们的角速度相等 B．A球的线速度小于B球的线速度 C．它们的向心加速度相等 D．A球的向心加速度大于B球的向心加速度 【答案】C 【解析】A．对A物体受力分析可知 设圆锥面和水平面的夹角为θ，AB质量为m，由牛顿第二定律可知 同理对B球，由牛顿第二定律可知 因，所以，故A错误； B．对A由牛顿第二定律可得 同理对B有 因，所以，故B错误； CD．由前面分析可知它们的向心加速度，说明二者的加速度大小相等，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练9-1】如图所示，在倾角为ɑ=30°的光滑斜面上，有一根长为L=0．8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0．2 kg的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最高点A的最小速度是（重力加速度g=10m/s2）（      ） A．2 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s 题型10：有摩擦的倾斜转盘上的物体 【典型例题】如图为某型号圆锥面型娱乐设施“魔盘”的侧视图，“魔盘”可绕中心轴转动。儿童坐在锥面上，“魔盘”从静止开始转动，转速逐渐增大。最大静摩擦跟正压力成正比，儿童可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．玩乐的过程中，儿童受到的合外力方向时刻水平指向转轴 B．其他条件相同时，儿童的质量越大越容易滑动 C．当“魔盘”的转速增大到一定值时，儿童一定会向上滑动 D．“魔盘”加速转动的过程，儿童未发生滑动时，受到的摩擦力可能减小 【变式训练10-1】如图所示，半径为R的半球形陶罐和陶罐内的物块（视为质点）绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，当达到某一角速度时，物块受到的摩擦力减为零，此时物块和陶罐球心O点的连线与之间的夹角为，此后保持该角速度做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．物块匀速转动的周期为 B．物块匀速转动的线速度大小为 C．物块匀速转动的角速度大小为 D．若继续增大转动的速度，物块有下滑的趋势 【变式训练10-2】如图所示，倾角为的倾斜圆盘绕垂直盘面的轴以角速度ω匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的小物体（可视为质点）随圆盘一起转动。PQ、MN是小物体轨迹圆互相垂直的两条直径，P、Q、M、N是圆周上的四个点，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，则（　　） A．小物体所受静摩擦力最大值为 B．小物体所受静摩擦力最大值为 C．在最高点P处，小物体所受静摩擦力可能背离圆心 D．在M处，小物体所受静摩擦力大小 题型11：圆锥摆问题 【典型例题1】天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂，点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为和的小球A、B。两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且两球始终在同一水平面内，则（　　） A．两球的向心加速度大小相等 B．两球运动的角速度大小相等 C．A、B两球的质量之比等于 D．A、B两球的线速度大小之比等于 【答案】B 【解析】A．用β泛指一个角度，由 可知 因为，所以B球加速度大于A球加速度，故A错误； B．由 可得 所以两球角速度相同，故B正确； C．绳子上的拉力大小相等，有 可得A球的质量与B球的质量之比 故C错误； D．由 可得 A、B两球的线速度大小之比等于 故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随变化关系如图2所示。重力加速度g取，由图2可知（　　） A．绳长为 B．母线与轴线之间夹角 C．小球质量为 D．小球的角速度为时，小球刚离开锥面 【答案】A 【解析】ABC．当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 则根据图乙，结合所得绳子拉力与的函数关系可知，当小球离开锥面后 当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向，根据牛顿第二定律有 竖直方向根据平衡条件有 联立可得 = 根据图乙，结合所得函数关系可得 ， 联立解得 ，， 故A正确，BC错误； D．根据图乙可知，当小球的角速度满足 小球恰好要离开锥面，此时角速度为 可知小球的角速度为时，小球刚离开锥面，故D错误。 故选A。 【变式训练11-1】旋转木马可以简化为如图所示的模型，两个完全相同的可视为质点的小球a、b分别用悬线悬于水平杆A、B两端，OB＝2OA，将装置绕竖直杆匀速旋转后，a、b在同一水平面内做匀速圆周运动，两悬线与竖直方向的夹角分别为、，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】随着科技的发展，无人机越来越多的走进人们的生活。如图是一架无人机正在对一只趴在地上不动的小刺猬进行拍摄。无人机在刺猬的上空以刺猬所在竖直线为中轴线，在水平面内做匀速圆周运动，已知无人机的质量为m=1.6kg，飞行的角速度大小为，无人机到小刺猬的距离为r=5m，其轨道中心距小刺猬高度为h=4m，小刺猬和无人机均可看作质点，重力加速度g取10m/s²，下列说法正确的是（　　）    A．空气对无人机的作用力方向竖直向上 B．空气对无人机的作用力大小为12N C．由于无人机飞行时要消耗电能，所以其机械能是不断增加的 D．当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，不计空气阻力的影响，小物体落地时距离小刺猬为 【变式训练11-3】如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是（　　） A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小 C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 D．仅增加角速度至后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力 【变式训练11-4】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，游玩者与座椅的总质量为m，将游玩者和座椅看作一质点，不计钢绳的重力和空气阻力，重力加速度为g。求： （1）游玩者与座椅的向心力大小； （2）转盘转动的角速度。    【变式训练11-5】在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度水平转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，火车受到的 （选填“重力”“支持力”或“支持力的水平分力”）提供火车转弯的向心力。当火车质量更大时，规定的行驶速度应 v（选填“大于”“等于”或“小于”）；当火车速率大于v时，外轨 （选填“会”或“不会”）受到轮缘的侧向挤压。 【变式训练11-6】如图所示，BC为圆心角θ=37°的粗糙圆弧轨道，半径R=2m，末端C与传送带水平相接，传送带顺时针转动，CD长度l=11.75m。一质量m=1kg的小物块自A点以速度v0=4m/s水平抛出，沿圆弧B端切向滑入轨道做匀速圆周运动，离开圆弧轨道后进入传送带运动到D点，小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2。不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos53°=0.8。求： （1）物块从A运动到B的时间t； （2）物块在圆弧轨道C端对轨道的压力大小； （3）若要使物块在2s内从C运动到D，传送带速度至少为多少？ 【变式训练11-7】如图所示，一长度为L、内壁光滑的细圆筒，其上端封闭，下端固定在竖直转轴的O点，圆筒与水平方向的夹角为θ。原长为的轻质弹簧上端固定在圆筒上端，下端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于圆筒直径。当圆筒处于静止状态时，弹簧长度为。重力加速度为g。求： （1）弹簧的劲度系数k； （2）当弹簧恢复原长时，转轴的角速度； （3）当转轴的角速度时，弹簧的形变量x。 【变式训练11-8】如图所示，一滑环套在杆上，杆上A点处固定一挡板（挡板厚度不计）。长度为l=1m的轻绳一端连接滑环，另一端悬挂质量为m=1kg的小球，小球和滑环可看作质点，轻绳能承受的最大拉力为46N。水平面有一倾角为37°的固定斜面BC。初始时刻，轻绳保持竖直，滑环和小球一起水平向右以v0的速度作匀速直线运动，一段时间后滑环与水平杆上的固定挡板A碰撞，滑环即刻停止，绳子恰好断裂，小球刚好能垂直打到斜面BC上，不计空气阻力，g=10m/s2，cos37°=0.8，sin37°=0.6。求： （1）滑环和小球一起水平向右匀速的速度v0大小； （2）小球水平抛出后经过多长时间打在斜面上。 题型12：汽车和自行车在水平面的转弯问题 【典型例题1】赛车是一项观赏性很强的运动。下面四幅俯视图中画出了赛车顺时针加速转弯时所受合力与运动轨迹的可能情况，你认为其中正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】赛车顺时针加速转弯，具有垂直速度和沿速度方向的加速度，故赛车所受合力指向右前方。 故选A。 【典型例题2】如图为场地自行车比赛的圆形赛道。某运动员骑自行车在赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为R，路面与水平面的夹角为，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当自行车的速度大小为时，自行车不受侧向摩擦力作用 B．当自行车的速度大小为时，自行车不受侧向摩擦力作用 C．当自行车的速度大小为时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向上 D．当自行车的速度大小为时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向下 【答案】AC 【解析】AB．设人和自行车的总质量为m，若不受摩擦力作用则由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 故B错误，A正确； CD．当自行车的速度大小为<时，支持力与重力的合力大于所需向心力，自行车有近心运动的趋势，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向上，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练12-1】十四届全运会铁人三项赛在汉中市天汉文化公园和天汉湿地公园拉开帷幕.某同学观看自行车比赛时发现运动员骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒。查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒。若该运动员骑自行车时的速率为，转弯的半径为，重力加速度g取。则自行车与竖直方向的夹角的正切值为（    ）    A． B． C． D．1 【变式训练12-2】摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它（　　） A．受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 B．所受的地面作用力恰好与重力平衡 C．所受的合力可能不变 D．所受的合力始终变化 【变式训练12-3】汽车在水平路面上转弯时，若速度过大将做离心运动而造成事故。已知汽车质量为m，转弯半径为R，最大静摩擦力为f，则最大安全转弯速度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练12-4】在水平路面上骑自行车转弯时容易发生侧滑或侧翻，所以除了控制速度外，车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面的径向静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身（过重心）。如图所示，设自行车和人的总质量M=80kg，自行车轮胎与路面的动摩擦因数μ=0.4。设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，水平弯道可看成一段圆弧，半径r=100m，取g=10m/s2。 （1）自行车受到地面沿半径方向的最大静摩擦力fm是多少； （2）自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm是多少； （3）设转弯过程中车身与水平地面间的夹角为θ，当转弯速度增大时，θ角将随之减小。请选择合适的坐标参量，在图乙坐标系中定量画出自行车转弯时角θ与速度大小v的线性关系图象。    题型13：火车和飞机倾斜转弯模型 火车转弯问题的两点注意 （1）合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。 （2）规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。 【典型例题1】如图所示，当列车以恒定速率v通过一段半径为r的水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面上的质量为m的小物块。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车转弯时的速率v= B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用 C．小物块受到指向桌面外侧的静摩擦力 D．小物块受到桌面的支持力的大小为mgtanθ 【答案】B 【解析】AB．设玩具小熊的质量为m1，受力如图所示 由牛顿第二定律，有 m1gtanθ=m1a 可得加速度 a=gtanθ 对列车整体（设其质量为m2），路面的支持力和重力的合力恰好等于m2a，且 a=gtanθ= 列车转弯时的速率为 v= 故A错误； B．列车的向心加速度 a=gtanθ 由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，则列车与轨道均无侧向挤压作用，故B正确； C．小物块的向心加速度 a=gtanθ 由小物块的重力与桌面的支持力的合力提供，小物块与桌面间的静摩擦力为零，故C错误； D．小物块受力如图所示 受到桌面的支持力的大小为 故D错误。 故选B。 【典型例题2】火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是(　　) A．仅内轨对车轮有侧压力 B．仅外轨对车轮有侧压力 C．内、外轨对车轮都有侧压力 D．内、外轨对车轮均无侧压力 【答案】A　 【解析】火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮均无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车有做近心运动趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A项正确。 【典型例题3】有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) （1）试计算铁轨受到的侧压力大小； （2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 【解析】（1）v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有： FN＝m＝ N＝1×105 N 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。 （2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m 由此可得tan θ＝＝0.1。 【变式训练13-1】汽车在水平路面上转弯，地面的摩擦力已达到最大，当汽车的速率增大为原来的2倍时，为了保证行车安全，汽车转弯的轨道半径必须(　　) A．至少增大到原来的4倍 B．至少增大到原来的2倍 C．至少增大到原来的倍 D．减小到原来的 【变式训练13-2】列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为（很小，可近似认为），下列说法正确的是（　　） A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小角，可提高列车安全过转弯处的速度 【变式训练13-3】近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产机车总质量为m，如图已知两轨间宽度为L，内外轨高度差为h，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，请问，该弯道处的设计速度最为适宜的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】2023年9月28日中国首条时速350公里跨海高铁——福厦高铁正式开通运营，福州至厦门两地间形成“一小时生活圈”。如图甲，一满载旅客的复兴号列车以大小为v的速度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图乙为该段铁轨内、外轨道的截面图。下列说法正确的是（    ） A．列车受到重力、轨道的支持力和向心力 B．若列车以大于v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨 C．若列车空载时仍以v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨 D．若列车以不同的速度通过该圆弧轨道，列车对轨道的压力大小不变 【变式训练13-5】如图所示，质量为m的飞机以角速度在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为。则空气对飞机的作用力大小为（　　） D．当火车速率小于v时，内轨都将受到轮缘的挤压 【变式训练13-6】如图甲为某汽车在环形线路上做匀速圆周运动的场景，司机前方悬挂的小球向右发生了偏移，其悬线与竖直方向的偏角稳定，乘客拍摄了当时的照片，事后在照片上附上了刻度尺，如图乙所示，拍照时看见汽车速度表盘上显示的车速为54km/h。如果认为路面是水平的，可估算该汽车运动轨迹的半径，实际上汽车向左拐弯时，外侧路面比内侧略高一点，因此，根据照片估算的半径和真实半径不同。下列说法正确的是（    ） A．若路面水平则估算的半径约为60m B．若路面水平则估算的半径约为90m C．若路面略微内倾，则其真实半径略大于估算半径 D．若路面略微内倾，则其真实半径略小于估算半径 【变式训练13-7】如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    题型14：航天器中的失重现象 1．航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力。反而是因为受到地球引力作用才使航天器连同其中的宇航员能环绕地球转动。 2．物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力消失。 3．物体的速度不断变化，具有加速度，处于非平衡状态。 【典型例题1】在天宫二号中工作的景海鹏和陈东可以自由飘浮在空中，宇航员处于失重状态。下列分析正确的是（　　） A．失重就是航天员不受力的作用 B．失重的原因是航天器离地球太远，从而摆脱了地球的引力 C．失重是航天器独有的现象，在地球上不可能有失重现象的存在 D．正是由于引力的存在，才使航天器和航天员有可能做环绕地球的圆周运动 【答案】D 【解析】AB．失重时航天员仍受地球引力的作用，只是弹力为零而已，故AB错误； C．失重在地球上也很普遍，它只是视重（即弹力）小于重力的现象，故C错误； D．正是由于地球引力的存在，才使航天器和航天员有可能做环绕地球的圆周运动，D正确。 故选D。 【典型例题2】“神舟十号”飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，“神舟十号”航天员在“天宫一号”中展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四幅图中的行为可以在“天宫一号”舱内完成的有(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D A．用台秤称量重物的质量 B．用水杯喝水 C．用沉淀法将水与沙子分离 D．给小球一个很小的初速度，小球就能在竖直面内做圆周运动 【答案】D 【解析】重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。 【变式训练14-1】未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　) A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 【变式训练14-2】(多选)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．可以用天平测量物体的质量 B．可以用水银气压计测舱内的气压 C．可以用弹簧测力计测拉力 D．在卫星内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力 【变式训练14-3】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，将质量为m的物体挂在一个弹簧秤上，若轨道处的重力加速度为g'，则下面说法中正确的是( 　　) A．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为零 B．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为mg' C．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为零 D．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为mg' 题型15：由轨道半径变化引起的向心力变化 【典型例题1】某个物体做匀速圆周运动时，下列有关说法正确的是（　　） A．如果物体受到的合力大小不变，则物体一定不会做远离圆心的运动 B．如果物体受到的合力大小不变，则物体一定不会做靠近圆心的运动 C．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定不足以提供所需的向心力 D．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定大于所需的向心力 【答案】C 【解析】AB．如果物体受到的合力大小不变，大于所需向心力，则做靠近圆心的运动，小于所需向心力，则做远离圆心的运动，故AB错误； CD．如果物体做远离圆心的运动，则物体受到的合力一定不足以提供所需的向心力，故C正确D错误。 故选C。 【变式训练15-1】在光滑水平面上相距20cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示。已知小球质量为0.4kg，某时刻小球开始从图示位置以2m/s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为3.2N，则从开始运动到绳被拉断历时为（　　） A．2.4πs B．1.4πs C．1.2πs D．0.9πs 题型16：物体做离心或向心运动的条件 【典型例题1】关于离心运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动 B．在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 C．只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动 D．当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 【答案】D 【解析】做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力不足以提供物体做匀速圆周运动的向心力时，物体将做离心运动。 A．当物体一直不受外力作用时，做匀速直线运动或静止，A错误； BC．当外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做近心运动，当外界提供的向心力突然变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动，BC错误； D．当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动，D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（　　） A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹OP做离心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动 【答案】B 【解析】光滑水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力 A．若拉力突然变大，则小球将沿轨迹Pc做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，故A错误； BD．若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，小球将做曲线运动，故B正确，D错误； C．若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线Pa运动，故C错误； 故选B。 【变式训练16-1】（多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则(　　) A．旋转越快，试管的高度越低 B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象 C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显 D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显 【变式训练16-2】雨天在野外骑车时，自行车的后轮轮胎上常会黏附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”，如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来，如图示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则（　　） A．泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来 B．泥巴在图中的b位置时最容易被甩下来 C．泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来 D．泥巴在图中的d位置时最容易被甩下来 【变式训练16-3】有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为(　　) A．游客受到离心力的作用 B．游客处于失重状态 C．游客受到的摩擦力大小等于重力 D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势 【变式训练16-4】图甲和乙分别是两种不同规格的洗衣机图片，二者的脱水筒内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物(可理想化为质点)紧贴着滚筒壁分别在竖直或水平面内做匀速圆周运动，如图丙、丁所示，图丙中，A、C分别为最高和最低位置，B、D与脱水筒圆心等高。将同一衣物分别放入两筒中脱水，在脱水过程中某一极短时间内，不考虑脱水引起的质量变化，下列说法中正确的是(　　) 甲　　　　乙　　　 　丙　　　丁 A．图丙中衣物在A、B、C、D四个位置的加速度相同 B．图丙中衣物在B、D位置和图丁中衣物在脱水筒各处受到的摩擦力均相同 C．图丁中衣物对筒壁的压力保持不变 D．图丁中脱水筒转动的角速度越大，衣物对筒壁的摩擦力越大 【变式训练16-5】小明同学很喜欢玩旋转木马，如图所示，假设旋转木马以恒定角速度在水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大 B．坐在同一木马上，小明同学的加速度不变 C．小明同学所受的合外力总是为零 D．小明同学有向外飞的趋势，是因为受到离心力的作用 【变式训练16-6】如图所示为洗衣机脱水桶，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上有一件湿衣服与圆桶一起运动，衣服相对于圆桶壁静止，则（　　）    A．衣服受到重力、弹力、摩擦力、向心力四个力的作用 B．洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大 C．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动 D．衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时，水滴做离心运动 【变式训练16-7】如图所示，游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当“魔盘”转动时，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动。“魔盘”中两位游客a、c其中。下列说法正确的是（　　） A．游客受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．线速度 C．若“魔盘”在电机带动下角速度缓慢增加游客a、c同时被甩出 D．向心加速度 题型17：离心运动的应用和防止 【典型例题1】关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（　　） A．图甲：轻质细杆一端固定小球在竖直面内做圆周运动，在最高点细杆对小球的力一定是拉力 B．图乙：汽车过拱形桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小 C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，火车通过弯道的规定行驶速度也要改变 D．图丁：洗衣机脱水筒工作时能将衣服脱水是因为衣服受到离心力的作用 【答案】B 【解析】A．在最高点细杆对小球的力可能是拉力，也可能是支持力，故A错误； B．汽车在最高点 得 根据牛顿第三定律，压力为 速度越大，对桥面的压力越小，故B正确； C．设倾角为 ，根据 当火车的质量改变时，规定的行驶速度不改变，故C错误； D．洗衣机脱水时，衣服上的水因受到的吸附力不足以提供向心力而做离心运动，故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示是杭州第19届亚运会链球比赛的场景。运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出，把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ）    A．链球圆周运动过程中受到的拉力不指向圆心 B．链球运动中，掷出瞬间的速度一定最大 C．链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D．链球掷出瞬间的速度越大，运动的水平距离越远 【答案】A 【解析】A．链球做加速圆周运动，链球的速度越来越大，则拉力沿切线方向有分力，则拉力的方向并不是指向圆心，故A正确； B．链球运动中，落地瞬间的速度最大，故B错误； C．链球掷出后运动过程中，只受重力作用，加速度为重力加速度，方向不变，故C错误； D．运动的水平距离与速度的大小和方向都有关，故D错误； 故选A。 【变式训练17-1】图1是离心机的工作原理图，离心机工作时离心管绕转轴高速转动，每分钟所转圈数称为rpm值，离心管中的微粒做圆周运动所需向心力与其重力的比值称为rcf值。图2是差速离心法分离肝组织匀浆液的流程图，图中“1000×g”指的是细胞匀浆液中微粒的向心力需要达到1000倍自身重力。已知实验室某一型号的离心机在完成此实验时，第一步沉淀细胞核时设置的rpm为2000，则最后一步沉淀核糖体时，rpm应该设置为（　　）    A．4000 B．10000 C．20000 D．100000 【变式训练17-2】如图甲所示， 滚筒洗衣机脱水时， 衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动。可简化为图乙所示模型，一件小衣物质量为m， A、B分别为小衣物经过的最高位置和最低位置，测得小衣物过A 点线速度大小为 v， 做圆周运动的周期为T。已知重力加速度为g，小衣物可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．转筒半径为 B．衣物在A 点受到滚筒壁的压力为 C．衣物转到 B 位置时的脱水效果最好 D．要使衣物过A 点不掉下， 转筒的周期不能大于 【变式训练17-3】如图所示是杭州第19届亚运会链球比赛的场景。运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出，把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力。下列说法正确的是（    ）    A．链球圆周运动过程中受到的拉力不指向圆心 B．链球运动中，掷出瞬间的速度一定最大 C．链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D．链球掷出瞬间的速度越大，运动的水平距离越远 【变式训练17-4】伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。图中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如右图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触，电路连通，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（　　）    A．停车时也会发光，只是灯光较暗 B．骑行达到一定速度值时灯才会亮 C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 一、单选题 1．关于离心运动，下列说法中正确的是(　　) A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动 B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动 C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动 2．俗话说，养兵千日，用兵一时。近年来我国军队进行了多种形式的军事演习。如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　) A．A点，B点　 B．B点，C点 C．B点，A点 D．D点，C点 3．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　) A．小汽车通过桥顶时处于失重状态 B．小汽车通过桥顶时处于超重状态 C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 4．滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是（　　） A．衣物运动到最低点B点时处于失重状态 B．衣物运动的过程中洗衣机对地面的压力不变 C．衣物运动到最高点A点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好 D．衣物运动到最低点B点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好 5．如图所示，质量相同的质点A、B被用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面上做匀速圆周运动，则（　　） A．A的线速度一定比B的线速度大 B．A的角速度一定比B的角速度大 C．A的加速度一定比B的加速度小 D．A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力小 6．“墙里秋千墙外道。墙外行人，墙里佳人笑。笑渐不闻声渐悄。”（苏轼《蝶恋花·春景》）看见荡秋千，总会勾起儿时的美好，已跨进高中物理大门的你，不能只沉浸在遐想或“佳人笑”中，应习惯用物理的眼光审视荡秋千。如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg，两根绳平行。当该同学荡到秋千支架的正下方时，加速度的大小为6m/s2、方向竖直向上，此时每根绳子平均承受的拉力约为（　　） A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N 7．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处（　　） A．路面外侧低内侧高 B．车速只要低于，车辆便会向内侧滑动 C．当路面结冰时，与未结冰时相比，的值变小 D．车速虽然高于，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 8．如图所示，铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨组成的轨道平面与水平面的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（　　） A． B．若火车速度大于v时，火车将受到外轨侧压力作用，其方向平行轨道平面向外 C．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可以适当增大弯道半径或适当增加内外轨的高度差 D．无论火车以何种速度行驶，对内侧轨道都有侧压力 9．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．公路在通过小型水库泄洪闸的下游时，常常用修建凹形桥，也叫“过水路面”，汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力小于汽车的重力 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压 C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 10．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有（　　） A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心 B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心 C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力 D．圆盘对B的摩擦力和向心力 11．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态 B．图b所示是一圆锥摆，减小，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度增大 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 12．有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用 B．如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 C．如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力大于重力 D．如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力等于重力 二、多选题 1．(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是(　　) A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差 C．减小弯道半径 D．增大弯道半径 2．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱形桥最高点时对桥的压力大于自身重力 B．如图b所示是一圆锥摆模型，增大θ，但保持圆锥摆的高度不变，则小球的角速度变大 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力与在B位置时所受支持力大小相等 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨和轮缘间会有挤压作用 3.如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转弯时车不发生侧滑的最大速度为 B．转弯时车受到地面的静摩擦力方向一定垂直于速度方向指向轨迹内侧 C．转弯时车受到地面的静摩擦力大小定为μMg D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小 4．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向下 D．若小球过最高点的速度时，速度v越小，杆对球的作用力越大 5．有一种叫“飞椅”的游乐项目。如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为。不计钢绳的重力。以下说法正确的是（　　） A．若座椅与乘坐人员的总质量为m，则两根钢绳对座椅的总拉力大小为 B．若座椅与乘坐人员的总质量为m，则两根钢绳对座椅的总拉力大小为 C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直 D．两个体重不同的人，摆开的夹角一样大 6．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动．有一质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半．已知重力加速度为g，则（　　） A．小球A做匀速圆周运动的角速度ω＝ B．小球A受到重力、支持力和向心力三个力作用 C．小球A受到的合力大小为 D．小球A受到的合力方向垂直于筒壁斜向上 7．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．地面受到的压力始终大于 B．小球到达与圆心等高的B点时对铁块的作用力可能为0 C．经过最低点A时地面受到的压力可能等于 D．小球在圆轨道最高点C点时，地面受到的压力可能为0 8．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为R C．v2=c时，杆对小球弹力方向向下 D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a 9．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　） A．线速度突然增大 B．角速度突然减小 C．向心加速度突然增大 D．悬线的拉力突然增大 10．如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当转台以角速度匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则（    ） A．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的a方向运动 B．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的b方向运动 C．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的b方向运动 D．当转台的角速度变为时，木块A将沿图乙中的c方向运动 11．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 12．如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为2d和d，两物块与盘面的动摩擦因数相同，盘面与水平面夹角为。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止，且当物块A转到最高点时，A所受绳子拉力刚好减小到零而B所受摩擦力刚好增大到最大静摩擦力。已知重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为 D．运动过程中B所受摩擦力最小值为 三、解答题 1．如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小； （3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。 2．如图所示两根长度不同的细线下分别悬挂甲、乙两小球，细线上端固定在天花板上同一点M。两个小球绕共同的竖直轴MN在水平面内做匀速圆周运动且处于同一水平面内，两球距圆心O距离比为1：3，求： （1）甲、乙两小球角速度之比； （2）甲、乙两小球向心加速度之比。 3.如图所示，质量m=0.2kg的小球（可视为质点）从粗糙斜面AB的顶端A点由静止开始滚下，通过一小段光滑圆弧面（不计大小）后运动到足够长的光滑水平地面BC上，之后又从C点滚上一个半径R=40cm的半圆弧形轨道，最后刚好通过轨道的最高点D并从D点水平飞出。已知斜面AB长为L=0.4m、其与水平面的夹角为，小球在半圆弧形轨道区域时会受到一个大小为F=2N、方向竖直向上的恒力作用。取g=10m/s2，不计空气阻力，求： （1）小球通过C点时对轨道的压力大小； （2）平抛后小球落地点到C点的距离多远； （3）斜面AB的动摩擦因数为多少。 4．如图所示，质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力=42N，转轴离地高度h=5.5m，不计阻力，g=10m/s2。 （1）小球经过最高点的速度是多少？ （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求细绳被拉断后小球运动的水平位移。    5．抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示。支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一质量为m的石块，B端固定质量为20m的重物，，。为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动。硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度为，石块直接击中前方倾角为的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成角。重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： （1）石块抛出时的速度大小； （2）石块击中斜坡时的速度大小及石块抛出后在空中运动的水平距离； （3）石块抛出前的瞬间，重物和石块分别受到硬杆（包括凹槽）的作用力的大小和方向。    6．如图，水平传送带以一定速度匀速运动，将质量m=1kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，物块运动到A点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，B、C为圆弧上的两点，其连线水平，已知圆弧对应圆心角θ=106°，R=1.0m，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块到达C点时的速度大小与B点相等，并沿固定斜面向上滑动，圆弧与斜面相切于C点，小物块从C点到第二次经过D点的时间间隔为0.8s，已知小物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2，取sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： （1）小物块从A到B的运动时间； （2）小物块经过圆弧最低点O的速度为，此时小球对轨道的压力； （3）斜面上C、D点间的距离。    7．一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为，AE、BD都在竖直方向，AE距离20m。运动员的圆轨道半径，运动员及其装备质量为60kg。BC与水平面夹角为θ，且。已知重力加速度，，，运动员可看成质点。求： （1）速度v大小。 （2）BD及EC的距离。 （3）若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？    8．如图所示，半径为R内壁粗糙的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且它和O点的连线与之间的夹角θ为，重力加速度大小为g。求： （1）若开始时转台静止不动，小物块从和球心O等高处沿圆弧下滑，经过如图所示位置时小物块速率为，求在该点时小物块向心力的大小以及对陶罐壁的压力大小。 （2）若转台以角速度（未知）匀速转动时，小物块在图示位置处随容器一起转动，且所受摩擦力恰好为0，求小物块角速度。    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $