第16章《一次函数的应用》 考点专题复习清单 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版第16章《一次函数的应用》考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：分配方案问题 例1、在2026年春晚舞台，宇树科技的G1与号H2两款机器人表演《武BOT》。松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相。某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务。已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元。 （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【同步练习】 1、学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品、已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元。 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用。 2、某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣。购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元。 （1）求每台甲型、乙型机器人各多少万元、 （2）甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 3、随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买A、B两种型号的额温枪。经市场调查发现：购买2个A种额温枪和3个B种额温枪共需1300元，购买3个A种额温枪和4个B种额温枪共需1850元。 （1）求每个A种额温枪和B种额温枪各多少元； （2）该企业准备购买A、B两种型号的额温枪共40个，其中购买种额温枪不少于10个。请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用。 例2、《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐。已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同。 （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【同步练习】 1、花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今。洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼。某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品。已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同。 （1）求花生糕和牡丹饼每盒的单价； （2）学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍、此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠、则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 2、近年来光伏建筑一体化广受关注、朝阳社区拟修建A，B两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍。 （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元? 3、为迎接六安市第九中学建校50周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包。现有两种道具包：A（乐器+舞具）和B（戏服+头饰）。已知每个B道具包的单价比A道具包的单价高5元，且用1200元购买A道具包的数量是用650元购买B道具包数量的2倍。 （1）求A、B两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过6200元，计划购买A、B两种道具包共100个，且A道具包数量不高于B道具包数量的3倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？ 考点2：最大利润问题 例3、某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满。设装运苹果的货车有x辆，总利润为y元。 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； （2）求y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示。 【同步练习】 1、水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康。某水果店计划购进A，B两种水果共800kg进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元/kg） 售价（元/kg） A 10 18 B 15 25 设购进A种水果x（kg），其中，两种水果全部售出所获得的利润为y（元），请回答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）该商店全部售出这两种水果是否能获得7450元的利润？请说明理由。 2、商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉。小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃x盒，销售核桃和茶叶的总利润为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数。 3、防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地。已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等。 （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走。M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量（吨/车） 运货费用（元/车） M 型 2 50 N型 1.5 40 例4、随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026—2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强。某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳。据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低10元，用120元购买A型计数跳绳的数量和用180元购买B型计数跳绳的数量相同。 （1）求A、B两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买A、B两种型号的计数跳绳共25根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍、购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【同步练习】 1、2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求。某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆。已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元。 （1）求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ （2）若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元。 ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用。 2、某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物。已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍。 （1）求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？ （2）该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？ 3、济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜。某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元。已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元。 （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元？ （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元、A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元。请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润。 考点3：行程问题 例5、同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地。两车距C地路程y（km）与两车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）乙车行驶速度是_____km/h，B、C两地相距________千米； （2）求线段EF所表示的甲车距C地的路程y（km）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出两车出发多长时间相距240千米。 ( y （ km ） O 260 6 3 D E F 500 x （ h ） ) 【同步练习】 1、已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600m，公园离家1800m.小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，用相同速度匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离。图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系。 ( 55 73 30 y （ m ） O 600 6 18 1800 x （ min ） ) 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/m 600 ②填空：当小华离家的距离为800m时，他离开家的时间为 min； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）小华的妹妹比哥哥迟2min到书店，在书店待了15min后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）。 2、为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校。 （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值。 ( 甲 30 25 y （ m ） O 1500 5 2000 x （ min ） 乙 ) 3、已知A、B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时； （2）求甲车停车休息一段时间后至到达B地的过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米。 ( 1 50 2.5 y （ km ） O 100 5 x （ h ） ) 考点4：梯度计价问题 例6、某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 （1）若某外卖小哥一个月送餐x单（），所得工资y元，求y与x的函数关系式； （2）若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【同步练习】 1、某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B ( b 129 y （ 元 ） O 159 x （ GB ） ) 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） a a 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量x（GB）的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合。 请你根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）请分别求出，关于x的函数解析式； （3）该通信公司决定推出一个免费流量为60GB的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A.若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 2、某市采用分档计费的方式计算电费。下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW.h） 单价/【元/（kW.h）】 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）小明家10月用电量是180kW.h，求小明家10月的电费； （3）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量。 3、某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元。 （1）写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数x（）的函数表达式； （2）如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ （3）若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 考点5：其他问题 例7、某小区需要为一段路面重新铺设地砖，由A、B两个小组共同完成。A小组先单独铺设路面，一段时间后，B小组也赶来和A小组一起铺设路面。A、B两个小组每小时铺设路面的长度不变，B小组每小时铺设路面40米。A、B两小组铺设路面的总长度y（米）与A小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示。 （1）A小组每小时铺设路面______米，m的值为______； （2）求B小组加入后，y与x之间的函数关系式； ( 8 3 m y （ 米 ） O 600 x （ 时 ） )（3）当铺设完路面总长度的一半时，求A小组铺设路面的长度。 【同步练习】 1、某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费。甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示。 （1）甲厂的制版费为________千元，甲厂的印刷费为________元/个； （2）当时，求乙厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）之间的函数关系式； （3）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ ( 甲 2 乙 1 4 2 3 y （ 千元 ） O 6 x （ 千个 ） ) 2、我校计划采购A、B两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：B型号文件柜的单价是A型号文件柜单价的1.5倍，用2400元购买A型号文件柜的数量比用2400元购买B型号文件柜的数量多4个。 （1）A、B两种型号文件柜的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购这两种文件柜共40个，要求B型号文件柜的数量不少于A型号文件柜数量的1.5倍，且A型号文件柜的数量不少于8个。请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 3、鞍山南果梨远近闻名，深受广大消费者喜爱。某超市每天购进一批成本价为每千克5元的南果梨，以不低于成本价且不超过每千克9元的价格销售。当每千克售价为6元时，每天售出南果梨800kg；当每千克售价为8元时，每天售出南果梨600kg。通过分析销售数据发现：每天销售南果梨的质量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系。 （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当南果梨每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ ( 探究应用 ) 1、“如果你有时间，一定要来一趟西安，吹吹城墙根的晚风，尝尝地道的肉夹馍，看看气势宏伟的兵马俑”。春节期间，古都西安这座城市吸引了很多游客，大雁塔附近商店的文创产品也深受喜爱。据了解购买2个A款文创产品和1个B款文创产品需要21元，购买1个A款文创产品和2个B款文创产品需18元。 （1）求A、B两种文创产品的单价分别为多少元？ （2）某旅游团客人决定购买A，B两款文创产品共50个，且购买A款文创产品的数量不少于购买B款文创产品数量的一半，问旅游团购买A种和B种文创产品各多少个时花费最少？ 2、固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景。南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片。一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售。已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元。 （1）求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价； （2）该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用。 3、蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意。某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷。若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元。 （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 4、2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个。 （1）求两款航空模型每个进价分别是多少元？ （2）若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ （3）在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案。 5、某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件、在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件。工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线OAB表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系。 （1）分别求OA段和AB段所对应的函数解析式； ( A B y / 件 18 300 O 340 17 22 30 x / 天 )（2）试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 6、某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用10.5万元购买A型的台数与用7.5万元购买B型的台数相等。 （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 7、随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展。杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台A种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元。 （1）求A、B两种型号智能机器人的销售单价； （2）某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且A种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 8、为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同。 （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 9、内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴。某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能、已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等。 （1）求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ （2）该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元、设采购A型设备a台，每月总获利为w万元，求w的最大值。 10、快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多200件。甲种型号机器人分拣10000件快递的时间与乙种型号机器人分拣8000件快递的时间相同、 （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台5万元，乙种型号机器人每台3万元。该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，且这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件。求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 11、M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳、根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元。 （1）求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？ （2）该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根。已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和1.1元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为0.9元和1.3元、求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？ 12、“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期。某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元。 （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少。 13、某品牌手机专卖店销售3台A型号手机和1台B型号手机可获得利润1700元，销售2台A型号手机和3台B型号手机可获得利润2300元。该专卖店计划购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不低于B型号手机的3倍，设购进A型号手机x台，这100台手机售完后获得的利润为w元。 （1）求w关于x的函数解析式； （2）购进A，B两种型号的手机各多少台时，售完获得的利润最大？ （3）实际进货时，代理商对A型号手机的出厂价下调了m（）元，且限定该专卖店最多购进A型号手机90台，若专卖店对A，B两种型号手机的售价保持不变，请你设计出销售完这100台手机后总利润最大的进货方案。 14、2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元。 （1）写出w与x之间的函数表达式； （2）若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ （3）实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降m（）元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个。在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大。求购进小号“巳升升”玩偶的数量。 15、某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库。甲平均每小时扫描200件快递入库，乙平均每小时送150件快递出库。某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作。当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示。 （1）该天仓库里原有_____件快递，点A的坐标为_____； （2）分别求和时，y与x之间的函数解析式； ( A 2 y （ 件 ） O 200 x （ 小时 ） )（3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值。 华东师大版第16章《一次函数的应用》考点专题复习清单（原卷版）——————第 20 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第16章《一次函数的应用》考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：分配方案问题 例1、在2026年春晚舞台，宇树科技的G1与号H2两款机器人表演《武BOT》。松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相。某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务。已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元。 （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元。 （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人（）台 依题意，得 解得 设6台机器人每天服务客人的人数为w， 则 ∵ ∴w随m的增大而增大 ∴当时，w取得最大值，此时 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大、 【点评】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出m的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可。 【同步练习】 1、学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品、已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元。 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用。 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元， 由题意可得： 解得： 故甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元； （2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（）件，设购买两种奖品的总费用为w元， 依题意可得：， 解得： ， ∵ ∴w随m的增大而增大 ∵且m为正整数 ∴当时，，（元） 答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元。 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键。 2、某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣。购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元。 （1）求每台甲型、乙型机器人各多少万元、 （2）甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ，解得： 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元。 （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人（）台，根据题意得 ，解得： 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ∵ ∴w随着a的增大而增大 ∴当时，w最小，最小值 此时 ∴购买甲型机器人3台、乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元。 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答。 3、随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买A、B两种型号的额温枪。经市场调查发现：购买2个A种额温枪和3个B种额温枪共需1300元，购买3个A种额温枪和4个B种额温枪共需1850元。 （1）求每个A种额温枪和B种额温枪各多少元； （2）该企业准备购买A、B两种型号的额温枪共40个，其中购买种额温枪不少于10个。请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用。 【详解】（1）解：设每个种额温枪元，每个种额温枪元， 根据题意可得，解得 ∴每个A种额温枪350元，每个B种额温枪200元。 （2）解：设购买A种额温枪m个，则购买B种额温枪（）个，总费用为w元， 根据题意可得总费用为 ∵购买A种额温枪不少于10个 ∴ ∵ ∴总费用w随m的增大而增大 ∴当时，总费用w取得最小值 总费用w的最小值为（元） 此时，（个） ∴最省钱的购买方案为购买种额温枪10个，购买B种额温枪30个，最低费用为9500元。 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键。 例2、《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐。已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同。 （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【详解】（1）解：设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为（）元， 由题意可得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意 则（元） 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； （2）解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣（）个 根据题意可得不等式组： 解得： ∵m为正整数 ∴m可以为35，36，37 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个 设总费用为W元，则 ∵ ∴W随m的增大而减小 所以当时，W最小 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少。 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键。 【同步练习】 1、花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今。洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼。某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品。已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同。 （1）求花生糕和牡丹饼每盒的单价； （2）学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍、此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠、则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 【详解】（1）解：设花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为x元，y元， 由题意得，，解得， 答：花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为25元，15元。 （2）解：设购买花生糕a盒，则购买牡丹饼（）盒，总花费为W元， 由题意得， 又∵购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍 ∴，解得， ∵ ∴W随a的增大而增大 ∴当时，W取得最小值 此时，， 答：应购买花生糕5盒，牡丹饼15盒，才能使总花费最少，最少花费为305元。 2、近年来光伏建筑一体化广受关注、朝阳社区拟修建A，B两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍。 （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为x元，则乙种光伏板的单价为（）元， 由题意得 解得： 经检验，为原方程的根 ∴甲种光伏板的单价为700元。 （2）解：设甲种光伏板的数量为m块，则乙种光伏板的数量为（）块， 由题意得：， 解得， ∵m为正整数 ∴满足条件的m有11种取值，所以一共有11种购买方案 设总费用为w元， 则 ∵ ∴w随m的增大而增大 ∴m越小，总费用越低 ∴当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低 最低费用为元 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式。 3、为迎接六安市第九中学建校50周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包。现有两种道具包：A（乐器+舞具）和B（戏服+头饰）。已知每个B道具包的单价比A道具包的单价高5元，且用1200元购买A道具包的数量是用650元购买B道具包数量的2倍。 （1）求A、B两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过6200元，计划购买A、B两种道具包共100个，且A道具包数量不高于B道具包数量的3倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？ 【详解】（1）解：设A道具包的单价为x元，则B道具包的单价为（）元， 解得： 经检验：是原方程的解 ∴ 答：A道具包的单价为60元，B道具包的单价为65元； （2）解：设购买总成本为w元，购买A道具包a个，B道具包（）个 得： ∵ ∴w随a的增大而减小， 由题意得：，解得： ∴当时，w最小， ∴ 答：购买A道具包75个，B道具包25个，总采购成本最低，最低成本是6125元。 考点2：最大利润问题 例3、某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满。设装运苹果的货车有x辆，总利润为y元。 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； （2）求y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示。 【详解】（1）解：（辆） （2）解：由题知，； （3）解：∵装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数， ∴，且为正整数， ∴，9，12 ∵ ∴y随x的增大而减小 ∴当时，利润最大 即安排装运苹果的货车的辆数为6时，利润最大为： （元）． 【点评】根据题意列出函数关系式是解题的关键。 （1）根据题意先算出橘子的总吨数，再结合每辆车橘子装载量，进行计算，即可解题； （2）分别表示出苹果的利润和橘子的利润，再求和，即可解题； （3）根据“装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数”建立不等式求出x的取值范围，再结合一次函数性质求解，即可解题。 【同步练习】 1、水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康。某水果店计划购进A，B两种水果共800kg进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元/kg） 售价（元/kg） A 10 18 B 15 25 设购进A种水果x（kg），其中，两种水果全部售出所获得的利润为y（元），请回答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）该商店全部售出这两种水果是否能获得7450元的利润？请说明理由。 【详解】（1）解：根据题意，购进A种水果x（kg），则购进B种水果（）（kg）， 可得 故y与x的函数关系式为． （2）解：由 当时，代入表达式得，解得 故不能获得7450元的利润。 2、商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉。小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃x盒，销售核桃和茶叶的总利润为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数。 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：当时，解得； 答：他2月份销售核桃50盒。 3、防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地。已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等。 （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走。M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量（吨/车） 运货费用（元/车） M 型 2 50 N型 1.5 40 【详解】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查（）户， 根据题意得 解得 经检验，是原方程的解， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； （2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车（）辆，总费用为w元， 由题意得，解得 由题意得 ∵ ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小，w最小值（元） 此时 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元。 例4、随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026—2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强。某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳。据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低10元，用120元购买A型计数跳绳的数量和用180元购买B型计数跳绳的数量相同。 （1）求A、B两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买A、B两种型号的计数跳绳共25根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍、购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【详解】（1）解：设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为（）元， 根据题意，得： 解得 经检验是原方程的解． 此时 答：A型计数跳绳单价为20元，B型计数跳绳单价为30元． （2）解：设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为（）根，即，，且a为非负整数， 根据题意，得 由，得w随a增大而减小 ∵，且a为非负整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为（元） 答：购买A型计数跳绳16根时采购费用最少，最少采购费用为590元。 【点评】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键。 【同步练习】 1、2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求。某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆。已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元。 （1）求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ （2）若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元。 ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用。 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得，解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元。 （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车（）辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数 ∴，且a为整数，，7，8，9，故共有4种购买方案 在中 ∵， ∴W随a的增大而减小 ∴当a取最大值9时，W最小，（万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元。 2、某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物。已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍。 （1）求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？ （2）该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？ 【详解】（1）解：设一个钥匙挂件的售价为x元，则一套伴手礼的售价为（）元， 根据题意列方程得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 此时（元） 答：一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元； （2）解：设购买钥匙挂件m个，则购买伴手礼套装（）套，商场总利润为W元， 根据总费用不超过540元，可得： 解得：， 由题意可知，m为非负整数，且，即， ∴ 计算单个利润：每个钥匙挂件利润为（元） 每套伴手礼利润为（元） 因此总利润： ∵ ∴W随m的增大而减小 ∴当m取最小值15时，W取得最大值，此时 答：当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润。 3、济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜。某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元。已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元。 （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元？ （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元、A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元。请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润。 【详解】（1）解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为（）元 由题意得 解得 经检验是所列方程的根，且符合题意． ∴ 答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元。 （2）解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃（）千克 由题意得 解得． 设总利润为w元， 由题意得 ∵ ∴w随m增大而减小． ∴当时，，此时． ∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元。 考点3：行程问题 例5、同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地。两车距C地路程y（km）与两车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）乙车行驶速度是_____km/h，B、C两地相距________千米； （2）求线段EF所表示的甲车距C地的路程y（km）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出两车出发多长时间相距240千米。 【详解】（1）解：乙车行驶速度是； ( y （ km ） O 260 6 3 D E F 500 x （ h ） )∴乙车后半段行驶路程为 ∴B、C两地相距； （2）解：由图象结合（1）可知D表示100， ∴甲车行驶速度为 ∴甲车行驶500km用时 即E表示 ∴E（1，0） 设线段EF的函数关系式为，则 由图象可知函数经过E（1，0），F（6，500） ∴，解得： ∴线段EF的函数关系式为（）； （3）解：设两车出发th相距240千米． ∵两车出发前相距，且甲车速度比乙车快 ∴DE段不存在两车相距240千米的情况； 在DE段：当乙车休息前， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为（）千米，甲车距C地路程为千米 此时 解得：，在范围内； 当乙车休息后， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米， 此时 解得：，在范围内； 由图可知乙车休息时两车距离小于乙车行驶时，即此时不存在两车相距240千米的情况； 综上所述，两车出发或相距240千米． 【点评】（1）用乙车前半段行驶路程除以前半段行驶时间即可求出乙车行驶速度，求出乙车后半段行驶路程，即可求出B、C两地距离； （2）先求出甲车行驶速度，进而求出E表示的数，可知自变量的取值范围，设线段EF的函数关系式为，将E（1，0），F（6，500）代入计算即可； （3）设两车出发th相距240千米，分情况列方程求解即可。 【同步练习】 1、已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600m，公园离家1800m.小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，用相同速度匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离。图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系。 ( 55 73 30 y （ m ） O 600 6 18 1800 x （ min ） ) 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/m 600 ②填空：当小华离家的距离为800m时，他离开家的时间为 min； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）小华的妹妹比哥哥迟2min到书店，在书店待了15min后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）。 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为 2分钟时小华离家的距离为200m； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为600m； 52分钟时，小华离家的距离为1800m； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/m 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中：min 小华从公园返回的过程中：min， 综上，当小华离家的距离为800m时，他离开家的时间为20或65min； ③由①得小华去书店的速度为 ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100m/min，妹妹的速度：200m/min 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6min，妹妹迟2min，即到达书店； 妹妹在书店停留15min，离开书店的时间：． 哥哥在23min时的位置：18min离开书店，到23min走了 距离为． 设妹妹离开书店后经过tmin追上哥哥： 解得， 此时总时间为 小于哥哥到达公园的30min，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有200m． 【点评】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可；③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可；（2）求出相关解析式，列出等式求解即可。 2、为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校。 （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值。 【详解】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟 乙骑车的速度为米/分钟 ∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米 ∴学校门口和操场的距离为：米； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入（30，1500）， ( 甲 30 25 y （ m ） O 1500 5 2000 x （ min ） 乙 )∴ ∴ ∴ 设乙的函数解析式为： 代入（5，0），（25，2000） ∴ 解得： ∴ 由题意， 解得： 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口 ∴乙返回时的行驶距离为（米） ∴乙到达学校门口时x的值为，y的值为 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入（30，2000），（45，3500） ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为45． 【点评】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为45，y的值为3500，进而待定系数法求解析式，即可求解。 3、已知A、B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时； （2）求甲车停车休息一段时间后至到达B地的过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米。 【详解】（1）解：根据甲的图像可知前1小时走了（千米） 故甲的速度为（千米/小时）； ∵甲走100千米需要（小时），而他到达终点的时间是2.5小时 ∴休息了（小时）． （2）解：（小时） ( 1 50 2.5 y （ km ） O 100 5 x （ h ） )设甲车休息后至到达B地过程中的函数关系式为， 将（1.5，50）和（2.5，0）代入解析式，得， 解得 ∴所求函数关系式为； （3）解：设乙车路程与时间的关系式为，将（1，0）和（5，100）代入得： ，解得 ∴， 当时，，此时两车相距（千米） ∴相距15千米时间段为之间 依题意得， 解得：或 ∴甲出发小时或小时两车相距15千米． 【点评】（1）由图像可知，甲在前1小时走了50千米，据此计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要2小时，而图像可知用了2.5小时，相减即可求出休息时间；（2）设甲休息后的解析式为，将图像上两点（1.5，50）和（2.5，0）代入即可求出解析式；（3）先算出乙路程与时间的关系式，再根据列出方程求解即可。 考点4：梯度计价问题 例6、某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 （1）若某外卖小哥一个月送餐x单（），所得工资y元，求y与x的函数关系式； （2）若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上，当时，；当时，． （2）解：∵（元，（元）； ∵5650元元 ∴； ∴当时，得：，解得， ∴他2月份外卖送餐950单． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【同步练习】 1、某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B ( b 129 y （ 元 ） O 159 x （ GB ） ) 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） a a 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量x（GB）的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合。 请你根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）请分别求出，关于x的函数解析式； （3）该通信公司决定推出一个免费流量为60GB的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A.若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 【详解】（1）解：3；40． 根据图象可知，，． （2）解：当时， 故 由题意，得当时，， 故 （3）解：设套餐C的基础费为m元， 根据题意，得 解得． 答：套餐C的基础费应该定为189元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据表中数据画出函数图象并求出函数解析式。 2、某市采用分档计费的方式计算电费。下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW.h） 单价/【元/（kW.h）】 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）小明家10月用电量是180kW.h，求小明家10月的电费； （3）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量。 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：当时，（元） ∴小明家10月的电费91元； （3）解：当时， 当时， ∵ ∴该户月用电量属于第二档 当时，，解得 ∴该户12月的用电量为240kW.h． 【点评】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； 3、某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元。 （1）写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数x（）的函数表达式； （2）如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ （3）若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【详解】（1）解：． （2）解：将代入，得． 故购买门票的费用为1350元． （3）解：由题意知，该单位组织去该风景区游览的人数超过30． 将代入，得， 解得． 故该单位组织了60人去该风景区游览。 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握分段收费问题需先判断区间，再代入对应表达式计算是解题的关键。 考点5：其他问题 例7、某小区需要为一段路面重新铺设地砖，由A、B两个小组共同完成。A小组先单独铺设路面，一段时间后，B小组也赶来和A小组一起铺设路面。A、B两个小组每小时铺设路面的长度不变，B小组每小时铺设路面40米。A、B两小组铺设路面的总长度y（米）与A小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示。 （1）A小组每小时铺设路面______米，m的值为______； （2）求B小组加入后，y与x之间的函数关系式； （3）当铺设完路面总长度的一半时，求A小组铺设路面的长度。 【详解】（1）解：由图象可知：A小组每小时铺设路面米． ( 8 3 m y （ 米 ） O 600 x （ 时 ） )， 解得：， ∴A小组每小时铺设路面米． 故答案为：50，150； （2）解：设y与x之间的函数关系式为． 将点（3，150），（8，600）代入，得 由题意，得．解得． ∴y与x之间的函数关系式为． （3）解：当时， ∴（米） ∴A铺设路面的长度为米。 【同步练习】 1、某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费。甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示。 （1）甲厂的制版费为________千元，甲厂的印刷费为________元/个； （2）当时，求乙厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）之间的函数关系式； （3）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ 【详解】（1）解：根据图象可得，当时， ∴甲厂的制版费为1千元． 根据图象可得甲厂的印刷单价为：（元/个）． （2）解：当时，设与x间的函数解析式为 将点（2，3），（6，4）代入中，得： ( 甲 2 乙 1 4 2 3 y （ 千元 ） O 6 x （ 千个 ） )，解得： ∴． （3）解：当时， 当时， ∵，且千元元． ∴当印制证书8千个时，选择乙厂，节省费用500元． 2、我校计划采购A、B两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：B型号文件柜的单价是A型号文件柜单价的1.5倍，用2400元购买A型号文件柜的数量比用2400元购买B型号文件柜的数量多4个。 （1）A、B两种型号文件柜的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购这两种文件柜共40个，要求B型号文件柜的数量不少于A型号文件柜数量的1.5倍，且A型号文件柜的数量不少于8个。请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 【详解】（1）设A型号文件柜单价为x元，则B型号文件柜单价为元 ， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（元）； 答：A型号文件柜单价200元，B型号文件柜单价300元． （2）设购买A型号文件柜a个，总费用为w元，则购买B型号文件柜（）个， 由题意得， ∴ ∴ ∴不等式组的解集为，a为整数 总费用 ∵ ∴w随a的增大而减小，当a取最大值16时，w最小 ∴（元），（个）； 答：购买A型号16个、B型号24个时费用最少，最少费用为10400元． 【点评】（1）根据“数量=总价÷单价”，结合A型号数量比B型号多4个的等量关系列分式方程求解；（2）先根据题意列出关于A型号数量的不等式组，得到A的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解最少费用即可； 3、鞍山南果梨远近闻名，深受广大消费者喜爱。某超市每天购进一批成本价为每千克5元的南果梨，以不低于成本价且不超过每千克9元的价格销售。当每千克售价为6元时，每天售出南果梨800kg；当每千克售价为8元时，每天售出南果梨600kg。通过分析销售数据发现：每天销售南果梨的质量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系。 （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当南果梨每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 将（6，800），（8，600）代入，得 ，解得 ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：设每天获得的利润为w元． 根据题意，得 当时，w有最大值，此时， 答：当南果梨每千克售价定为9元时，每天获利最大，最大利润为2000元。 ( 探究应用 ) 1、“如果你有时间，一定要来一趟西安，吹吹城墙根的晚风，尝尝地道的肉夹馍，看看气势宏伟的兵马俑”。春节期间，古都西安这座城市吸引了很多游客，大雁塔附近商店的文创产品也深受喜爱。据了解购买2个A款文创产品和1个B款文创产品需要21元，购买1个A款文创产品和2个B款文创产品需18元。 （1）求A、B两种文创产品的单价分别为多少元？ （2）某旅游团客人决定购买A，B两款文创产品共50个，且购买A款文创产品的数量不少于购买B款文创产品数量的一半，问旅游团购买A种和B种文创产品各多少个时花费最少？ 【详解】（1）解：设A种文创产品单价为x元，B种文创产品单价为y元， ，解得 答：A种文创产品单价为8元，B种文创产品单价为5元； （2）解：设购买A种文创产品m个，则购买B种文创产品（）个， 由题意可知：，解得： 设旅游团购买这两种文创产品所需总费用为w元，则 即 ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵m为正整数，且 ∴m的最小值为17 ∴当时，w取得最小值，此时 ∴购买17个A种文创产品，33个B种文创产品时花费最少。 2、固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景。南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片。一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售。已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元。 （1）求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价； （2）该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用。 【详解】（1）解：设固始鹅块的单价为a元，南湾鱼每箱的单价为b元，根据题意得， ，解得： 答：固始鹅块的单价为60元，南湾鱼每箱的单价为36元； （2）解：设购买固始鹅块x箱，则南湾鱼购买（）箱，根据题意， 解得： 设总费用为y元，根据题意， ∵，y随x的增大而增大， ∴当时，y最小 此时，购买固始鹅块30箱，南湾鱼购买20箱 ∴最少总费用为（元） 答：购买固始鹅块30箱，南湾鱼购买20箱，最少总费用为：2520元。 3、蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意。某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷。若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元。 （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元 根据题意列方程组为 解得： 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元。 （2）解：设购买A种型号帐篷m顶，则购买B种型号帐篷（）顶，总费用为w元 由题意，得 其中，解得 又∵两种型号的帐篷均需购买 ∴ 解得： 综上，m的取值范围是且m为整数 ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取最小值，即当购买A种型号帐篷5顶时，总费用最低 总费用为（元） ∴ 故应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元。 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式。 4、2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，多15个。 （1）求两款航空模型每个进价分别是多少元？ （2）若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ （3）在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案。 【详解】（1）解：设“天宫”模型每个进价x元，则“神舟”模型每个进价（）元，根据题意得： 经检验：，均是原方程的解，但不符合题意 此时 答：“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元； （2）解：设购买“天宫”模型的数量为m个，则购买“神舟”模型的数量为（）个 根据题意得： 解得： ∵购进两款航空模型的数量都是10的整数倍 ∴m取140，150，160， 此时分别为60，50，40 答：有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个； （3）解：设有a个“天宫”模型作为奖品，所获的利润为w元，则有（）个“神舟”模型作为奖品，则，根据题意得： 方案一： ∵ ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1210；当时，w最大，为1255 ∵仍获利1140元 ∴方案一不符合题意； 方案二： ∵ ∴w随a的增大而增大 当时，w最小，为1160；当时，w最大，为1205 ∵仍获利1140元 ∴方案二不符合题意； 方案三： ∵， ∴w随a的增大而增大 当时，w最小，为1110；当时，w最大，为1155 ∵仍获利1140元 ∴方案三符合题意； 答：购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个。 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程。 5、某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件、在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件。工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线OAB表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系。 （1）分别求OA段和AB段所对应的函数解析式； （2）试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 【详解】（1）解：设OA段所对应的函数解析式为 将（17，340）代入中，得．解得， ∴OA段所对应的函数解析式为 设AB段所对应的函数解析式为． ( A B y / 件 18 300 O 340 17 22 30 x / 天 )∵直线AB段经过点（22，340），（30，300） ∴，解得 ∴AB段所对应的函数解析式为． （2）解： ∴当日销售利润为1280元时，销售量为320件 ∵日销售利润（售价进价）销售量，且售价进价 ∴销售量越大，日销售利润越大 在OA段，当时，，解得． 在AB段，当时，，解得， ∴当时，日销售利润不低于1280元，（天）． ∴试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有11天． 6、某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用10.5万元购买A型的台数与用7.5万元购买B型的台数相等。 （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 【详解】（1）解：设A型号的平板电脑的购进单价为x元，则B型号的平板电脑的购进单价为（）元， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：A型号的平板电脑的购进单价为3500元，则B型号的平板电脑的购进单价为2500元； （2）解：设购进A型号的平板电脑m台，获得的总利润为W元， 由题意得， ∵ ∴W随m的增大而增大 ∵购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍 ∴ ∴ 又∵m为整数 ∴m的最大值为66 ∴当时，W有最大值，最大值为 此时， 答：购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台时总利润最高，最高总利润为63200元。 7、随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展。杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台A种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元。 （1）求A、B两种型号智能机器人的销售单价； （2）某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且A种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得 ∴A、B两种型号的智能机器人的销售单价分别为12万元、9.5万元。 （2）解：设购买A型号智能机器人a台，利润为w，根据题意得： ∵，w随a的增大而增大 ∴当时，w的值最大，最大值为 ∴该科技公司此笔订单最多可获利192.5万元。 8、为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同。 （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【详解】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为（）元， 由题意得： 解得 经检验，是原分式方程的解， 共享电动车单价：（元） 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． （2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车（）辆 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取得最小值，（元） 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元。 9、内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴。某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能、已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等。 （1）求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ （2）该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元、设采购A型设备a台，每月总获利为w万元，求w的最大值。 【详解】（1）解：设每台A型发酵设备的采购费用为x万元，则每台B型发酵设备的采购费用为（）万元． 根据题意得：，解得 经检验是原分式方程的解，且符合实际意义 ∴每台B型发酵设备的采购费用（万元） 答：每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元． （2）解：根据题意得：，解得 由实际意义设备数量为非负整数，即： ∴ ∴a的取值范围是：（a为整数） 由题意知： ∵ ∴w随a的增大而减小， ∴当时， 答：w的最大值为14.4万元。 10、快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多200件。甲种型号机器人分拣10000件快递的时间与乙种型号机器人分拣8000件快递的时间相同、 （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台5万元，乙种型号机器人每台3万元。该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，且这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件。求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【详解】（1）解：设甲种型号机器人每小时分拣x件快递，则乙种型号机器人每小时分拣（）件快递， 根据题意得： 解得 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义 ∴（件） 答：甲种型号机器人每小时分拣1000件快递，乙种型号机器人每小时分拣800件快递； （2）解：设购买m台甲种型号机器人，则购买（）台乙种型号机器人，总费用为w万元， 根据题意得：，解得 总费用 ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵m为整数， ∴m的最小值为3，此时w最小值为：（万元） 答：购买3台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是36万元。 11、M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳、根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元。 （1）求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？ （2）该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根。已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和1.1元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为0.9元和1.3元、求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？ 【详解】（1）解：设A，B两种型号的跳绳单价分别是x元，y元，依题意得： ，解方程组得： 答：A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元； （2）解：设运输A型跳绳到甲校为n根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为w元，则运输A型跳绳到乙校为（）根，运输B型跳绳到甲校为（）根，运输B型跳绳到乙校为根， 依题意得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴w值随n值的增大而增大 ∴时，w有最小值为： 答：该体育器材公司在此项目投入的最少总费用是23012元。 12、“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期。某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元。 （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少。 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则，解得： 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”（ ）套，花费为w元． 则 ∵ ∴解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套 ∴且为整数 ∵ ∴w随m的增大而减小 ∵m为整数， ∴当时，w最小，此时 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 13、某品牌手机专卖店销售3台A型号手机和1台B型号手机可获得利润1700元，销售2台A型号手机和3台B型号手机可获得利润2300元。该专卖店计划购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不低于B型号手机的3倍，设购进A型号手机x台，这100台手机售完后获得的利润为w元。 （1）求w关于x的函数解析式； （2）购进A，B两种型号的手机各多少台时，售完获得的利润最大？ （3）实际进货时，代理商对A型号手机的出厂价下调了m（）元，且限定该专卖店最多购进A型号手机90台，若专卖店对A，B两种型号手机的售价保持不变，请你设计出销售完这100台手机后总利润最大的进货方案。 【详解】（1）解：设销售1台A型号手机的利润为a元，销售1台B型号手机的利润为b元， 根据题意，可得： 解得： 则． （2）解：根据题意，可得：，解得 ∵， ∴w随x的增大而减小 ∴当时，w取最大值，最大值为． 此时 答：购进A型号手机75台，B型号手机25台，w取最大值，最大值为42500． （3）解：设出厂价调整后，销售完这100台手机获得的利润为元， 则 当，即时，随x的增大而增大 故当时，售完这100台手机获得的利润最大； 当，即时，随x的增大而减小 故当时，售完这100台手机获得的利润最大 当时，． 综上所述，当时，购进A型号手机75台，B型号手机25台，可获得最大总利润； 当时，购进A型号手机90台，B型号手机10台，可获得最大总利润； 当时，获得的总利润不变． 【点评】本题考查了一次函数与不等式组的综合应用，掌握列方程组求参数，根据函数单调性求最值，对参数分类讨论是解题的关键。 14、2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元。 （1）写出w与x之间的函数表达式； （2）若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ （3）实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降m（）元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个。在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大、求购进小号“巳升升”玩偶的数量。 【详解】（1）解：根据题意（，x为整数）； （2）解：由（1）知， ∵ ∴w随x的增大而减小 ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即 ∴当时，w有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为1630元； （3）解： ∵，且x为整数， ∴当时，，与x的取值无关 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则w随x的增大而增大 此时，时，w取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则w随x的增大而减小 此时，时，w取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 15、某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库。甲平均每小时扫描200件快递入库，乙平均每小时送150件快递出库。某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作。当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示。 （1）该天仓库里原有_____件快递，点A的坐标为_____； （2）分别求和时，y与x之间的函数解析式； （3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值。 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， ∴仓库里原有200件快递． 甲工作2小时，入库快递数量为（件） ∴点A的纵坐标为，横坐标为2 ∴ 点A的坐标为（2，600）． 故答案为：200；（2，600）． （2）解：当时，甲、乙同时工作，每小时净入库数量为（件） 设函数解析式为， ( A 2 y （ 件 ） O 200 x （ 小时 ） )将（2，600）代入，且，则，解得 ∴ 当时，． 当时，仅乙工作，每小时出库150件 设函数解析式为， 将（5，750）代入，且， ，解得， ∴． （3）解：∵第一段时，y的最大值为600；第二段时，y从600上升到750；第三段时，y从750下降到0 ∴若“半饱和”状态持续小时，则，仅与第二段（上升段）、第三段（下降段）各有一个交点 设上升段交点横坐标为，下降段交点横坐标为，则 由，得； 由，得 ∴ 解得：． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意分析不同时间段快递数量的变化规律，结合函数图象求解。 （1） 由图象直接读取原有快递数量，再根据甲的工作效率计算点A坐标； （2） 分时间段根据数量变化规律求函数解析式； （3） 结合“半饱和”状态的持续时间列方程求解。 华东师大版第16章《一次函数的应用》考点专题复习清单（解析版）——————第 30 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $