专题1 集合（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1.了解集合的意义及其表示方法，了解空集（）、全集（U）、子集、交集、并集、补集的概念及表示方法。 2.了解符号⊊、 的含义，并能运用这些符号表示元素与集合、集合与集合的关系。 3.掌握求一个非空集合的子集。 4.掌握集合的交、并、补 基本运算。 一、知识清单 1. 集合的概念 集合中的元素具有 、 和 . 2. 常用数集及其记法 自然数集用 表示，正整数集用 表示，整数集用 表示，有理数集用 表示， 实数集用 表示. 3. 集合与元素间的关系 元素属于集合 M 用符合表示为 ，元素不属于集合 M用符合表示为 4. 集合的表示法有 、 和 . 5. 集合按照元素个数可分类为 、 以及不含任何元素的空集（ ）（用符号表示） 6. 集合间的基本关系 表示 关系　　 自然语言 符号语言 图示 基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 7. 已知集合 A 有 n(n 1) 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集， 它有 非空真子集. 8. 集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 9.集合运算常用结论 （1）交集运算：A∩∅＝ ，A∩A＝ ， A∩B B∩A， A⊆B⇔A∩B＝ 　 （2） 并集运算：A∪∅＝ ， A∪A＝ ， A∪B B∪A， A⊆B⇔A∪B＝ 　 . （3）补集运算：A∩（）＝ A∪（）＝ 　＝ .　　　 (4) 二、考点清单 考点1 集合的基本含义与表示 【典例1】下列说法中，错误的是（   ） A．某班技能操作考80分以上的学生能构成一个集合 B．集合可用列举法表示 C．由英语单词“book”的字母构成的集合有4个元素 D．空集是任何集合的子集 【典例2】集合 用列举法表示为_____． 【点拔】 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  典例： ———方程的解，即；  ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函数的值域，即；  ———函数的图像，它是个点集. 【即时训练】 1. 下列对象能构成集合的是（   ） A．高三（1）班所有帅气男生 B．我国的著名山峰 C．接近1的所有实数 D．绝对值等于2的数 2. 设集合，则下列说法正确的是 （    ） A． B． C． D． 3. （2026届·浙江温州一模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D．或 5. 已知关于的方程的解集为，则实数的值是_______________ 6. 已知集合，且，则________________ 考点2 集合间的基本关系 【典例3】（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知集合且，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，，若，则实数______． 【即时训练】 7. 已知集合，若，则实数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 8. 已知集合，则下列关系中，错误的是（   ） A． B． C． D． 9. 满足关系ÜÜ的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 10. 已知集合，集合，则__________（填“”或“”）． 11. 已知集合，集合，且，则 ____________. 考点3 集合的基本运算 【典例3】（2026届浙江省宁波市职教高考一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2025届温州市三模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 12. （2025届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知集合且，集合，则（   ） A． B． C． D． 13.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校一模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 14（2025届浙江省职教高考第五次模拟）已知集合{金，榜，题，名}，{名，列，前，茅}，则（   ） A．{金，榜，题，名，名，列，前，茅} B．{金，榜，题，名，列，前，茅} C．{金，榜，题，列，前，茅} D．{名} 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第三次联考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 16.（2026届浙江省新昌职业高级中学高三模拟）设全集，若，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 18.（2026届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试）设全集，已知，则集合（   ） A． B． C． D． 19. 已知集合，集合，且，则的值是（    ） A．–1或2 B．–1，1或2 C．1或2 D．–1或1 20.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21. 设集合，集合，且，则a的值为______. 22. 设集合，若，则集合的子集的个数为 _____． 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，1）设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （2024年浙江，1）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. （2023年浙江，1）已知集合则（ ）. A. B. C. D. 4. （2022年浙江，1）已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. （2021年浙江，1）集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 二、【考向感知】 浙江中职高考（单独考试招生）数学中，集合是每年必考的基础送分模块，考点固定、难度低、分值稳定，是必须稳拿的分数。其中集合基本运算（绝对核心，每年必考），命题风格主要有： （1）题干简洁：直接给集合，求交、并、补。 （2）背景简单：离散数集（如 {1,2,3}）或连续区间（如 {x|1<x<5}） （3）运算单一：一般只考一步运算（交集、并集、补集），极少复合运算 备考策略 必背： 交集、并集、补集补定义、符号、空集性质 必会： 离散集合：直接找公共或全部元素 区间集合：数轴法（画数轴、标区间、找重叠或覆盖） 避坑： 端点：实心（含等号）、空心（不含等号） 空集：涉及子集时勿忘 Φ 互异性：集合元素不重复 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1.了解集合的意义及其表示方法，了解空集（）、全集（U）、子集、交集、并集、补集的概念及表示方法。 2.了解符号⊊、 的含义，并能运用这些符号表示元素与集合、集合与集合的关系。 3.掌握求一个非空集合的子集。 4.掌握集合的交、并、补 基本运算。 一、知识清单 1. 集合的概念 集合中的元素具有 无序性 、 确定性 和 互异性 . 2. 常用数集及其记法 自然数集用 N 表示，正整数集用 表示，整数集用 Z表示，有理数集用 Q 表示， 实数集用 R 表示. 3. 集合与元素间的关系 元素属于集合 M 用符合表示为 ，元素不属于集合 M用符合表示为. 4. 集合的表示法有 列举法、 描述法 和 图示法 . 5. 集合按照元素个数可分类为有限集、无限集以及不含任何元素的空集（）（用符号表示） 6. 集合间的基本关系 表示 关系　　 自然语言 符号语言 图示 基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 7. 已知集合 A 有 n(n  1) 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集， 它有 2非空真子集. 8. 集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 9.集合运算常用结论 （1）交集运算：A∩∅＝ ，A∩A＝ A ， A∩B B∩A， A⊆B⇔A∩B＝ A 　 （2） 并集运算：A∪∅＝ A ， A∪A＝ A ， A∪B B∪A， A⊆B⇔A∪B＝ B 　 . （3）补集运算：A∩（）＝ A∪（）＝ U 　＝ A .　　　 (4) 二、考点清单 考点1 集合的基本含义与表示 【典例1】下列说法中，错误的是（   ） A．某班技能操作考80分以上的学生能构成一个集合 B．集合可用列举法表示 C．由英语单词“book”的字母构成的集合有4个元素 D．空集是任何集合的子集 【答案】C 【知识点】空集的概念以及判断、列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质、集合的表示法及子集的概念即可求解. 【详解】A选项：对象明确、确定，满足集合元素的确定性，能构成一个集合，A正确； B选项：集合表示大于1且小于4的整数，即，B正确； C选项：根据集合元素的互异性，“book” 的字母构成的集合是，只有3个元素，C错误； D选项：根据集合的基本性质，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，D正确. 故选：C. 【典例2】集合 用列举法表示为_____． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据列举法表示已知集合即可解得. 【详解】由题，，则将代入， 解得，即集合可表示为， 故答案为： 【点拔】 用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  典例： ———方程的解，即；  ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函数的值域，即；  ———函数的图像，它是个点集. 【即时训练】 1. 下列对象能构成集合的是（   ） A．高三（1）班所有帅气男生 B．我国的著名山峰 C．接近1的所有实数 D．绝对值等于2的数 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念即可求解. 【详解】对A，B，C，因为帅气，著名，接近不具有确定性，故不能构成集合，故ABC错误. 对D，由集合的概念可得，绝对值等于2的数可以构成集合，故D正确. 故选：D. 2. 设集合，则下列说法正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合、判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】用列举法表示集合，根据集合与元素的关系即可得解. 【详解】集合， 所以，故选项错误；，为元素，不能用“”，故选项错误； ，故选项正确， 故选：. 3. （2026届·浙江温州一模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 4. 若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】按和分类讨论，求出即可. 【详解】当时，， ，只有一个元素，符合题意， 当时，令集合只有一个元素， 即有两个相等的实数根， 所以，解得. 综上，或. 故选：. 5. 已知关于的方程的解集为，则实数的值是_______________ 【答案】 【知识点】空集的性质及应用、等式的性质与方程的解 【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值 【详解】由，得， 因为关于的方程的解集为， 所以，得， 故答案为： 6. 已知集合，且，则________________ 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合的性质即可求解. 【详解】因为集合，所以，即， 因为，即或， 当时，符合题意；， 当时，得，此时，无解； 综上，1. 故答案为：1. 考点2 集合间的基本关系 【典例3】（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知集合且，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】先将集合列举法表示出来，即可求解. 【详解】因为集合且，唯一满足这个方程的实数是，因此集合. A项，由于集合，数字0是集合A的元素，因此是正确的； B项，由于集合，集合等于集合A，因此是正确的； C项，由于集合，由子集的定义可知，任何一个集合都是它本身的子集，所以是正确的； D项，由于集合，不是空集，所以不正确. 故选：D． 【例4】已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先用列举法表示集合，再根据集合与集合的关系，即可解得. 【详解】因为集合， 又，所以集合是集合的子集， ，集合有2个元素，所以, 显然，所以. 故答案为：. 【即时训练】 7. 已知集合，若，则实数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，结合集合之间的包含关系，即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以或. 故选：D. 8. 已知集合，则下列关系中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可 【详解】因为集合，所以，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误； 故选：D 9. 满足关系ÜÜ的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据对真子集概念的理解，列举集合的情况即可. 【详解】由ÜÜ， 得，且三个元素至少一个属于，且至多两个属于. 法一：故或或或或或， 满足题意的集合共个. 法二：问题等价于集合的非空真子集的个数， 则共有个. 故选：B. 10. 已知集合，集合，则__________（填“”或“”）． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合之间的包含关系填空即可. 【详解】已知集合，集合， 则， 故答案为：. 11. 已知集合，集合，且，则 ____________. 【答案】或 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合之间的关系即可得解. 【详解】因为，，且， 所以或， 由，得， 解得，经检验，满足集合元素互异性，符合题意； 由，得，解得， 经检验，不满足集合元素互异性，不符合题意， 故或. 故答案为：或. 考点3 集合的基本运算 【技巧总结】集合运算的核心是理清集合元素的特征和集合间的关系，结合定义、韦恩图或数轴辅助分析。 （1） 关键点 集合运算的前提是判断集合的元素类型（数、点、集合等），避免因混淆元素类型出错。 例：A={x∣y=x+1} 是数集（自变量 x 的取值范围），B={y∣y=x+1} 也是数集（函数值 y 的取值范围），C={(x,y)∣y=x+1} 是点集，A、B 与 C 无法直接运算。 （2）解题步骤 第一步：化简集合（用描述法的集合，先明确元素范围）。 第二步：判断元素类型，再进行交、并、补运算 【典例3】（2026届浙江省宁波市职教高考一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的概念计算求解即可. 【详解】∵集合，集合， 则. 故选：D. 【典例4】（2025届温州市三模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据题意结合补集的定义即可得解. 【详解】全集，集合， 则， 故选：. 【即时训练】 12. （2025届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知集合且，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、常用数集或数集关系应用 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合且， 集合， 则， 故选：B. 13.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校一模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】因为集合，，则， 故选：. 14（2025届浙江省职教高考第五次模拟）已知集合{金，榜，题，名}，{名，列，前，茅}，则（   ） A．{金，榜，题，名，名，列，前，茅} B．{金，榜，题，名，列，前，茅} C．{金，榜，题，列，前，茅} D．{名} 【答案】B 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】因为集合{金，榜，题，名}，{名，列，前，茅}， 所以{金，榜，题，名，列，前，茅}. 故选：B. 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第三次联考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据不等式的性质得到集合，再集合补集和交集的概念，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即. 故选：B. 16.（2026届浙江省新昌职业高级中学高三模拟）设全集，若，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据交集、并集、补集的定义即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义及运算求解即可. 【详解】． 故选：D. 18.（2026届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试）设全集，已知，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据题意结合补集的定义即可得解. 【详解】全集，已知， 则集合， 故选：. 19. 已知集合，集合，且，则的值是（    ） A．–1或2 B．–1，1或2 C．1或2 D．–1或1 【答案】A 【知识点】子集的概念、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据等价于，可分情况列出等式，得出参数a的值. 【详解】∵，∴， ∴或， 解得或或，将代入集合不成立，即舍去. ∴的值是.–1或2 故选：. 20.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义分析求解. 【详解】依题意可知，集合表示偶数自然数，，集合表示奇数自然数， 故表示自然数. 故选：C. 21. 设集合，集合，且，则a的值为______. 【答案】0或2 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据集合补集的运算结果列出等式即可解得. 【详解】由题，，集合， 又知，则， 即，解得或. 故答案为：或. 22. 设集合，若，则集合的子集的个数为 _____． 【答案】8 【分析】根据集合交集结果列出等式，再由集合中元素的互异性求出参数，最后求出并集进而求得子集个数即可解得. 【详解】若，则或， 当时，，此时， 不符合集合中元素的互异性，故舍去， 当，即，当时同上舍去， 所以，此时，所以， 集合的子集有， 所以集合的子集的个数为8． 故答案为：8． 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，1）设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集运算的概念即可计算出结果． 【详解】∵，， ∴， 故选：B． 2. （2024年浙江，1）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】集合，集合， 则， 故选：B. 3. （2023年浙江，1）已知集合则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常用数集的定义与交集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 又，则， 故选：D. 4. （2022年浙江，1）已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的含义即可求解. 【详解】全集，集合， 是指由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合， 据此可知，， 故选：A 5. （2021年浙江，1）集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算易得答案. 【详解】根据并集的定义可知,集合A和集合B中所有的元素是–2,–1,0,1,2,4, ∴. 故选:D. 二、【考向感知】 浙江中职高考（单独考试招生）数学中，集合是每年必考的基础送分模块，考点固定、难度低、分值稳定，是必须稳拿的分数。其中集合基本运算（绝对核心，每年必考），命题风格主要有： （1）题干简洁：直接给集合，求交、并、补。 （2）背景简单：离散数集（如 {1,2,3}）或连续区间（如 {x|1<x<5}） （3）运算单一：一般只考一步运算（交集、并集、补集），极少复合运算 备考策略 必背： 交集、并集、补集补定义、符号、空集性质 必会： 离散集合：直接找公共或全部元素 区间集合：数轴法（画数轴、标区间、找重叠或覆盖） 避坑： 端点：实心（含等号）、空心（不含等号） 空集：涉及子集时勿忘 Φ 互异性：集合元素不重复 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $