七 包装盒 长方体和正方体 第11课时-第七单元整合提升-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（青岛版）

5.0.15×4=0.6(米)(2.1×0.6-0.3×0.15× 6)×6=5.94(立方米) 6.50-5×2=40(厘米)30-5×2=20（厘米） 40×20×5=4000(立方厘米)4000立方厘米= 4立方分米=4升解析：根据题意，制作成的水槽 的长是50-5×2=40（厘米），宽是30-5×2= 20(厘米)，高是5厘米，利用长方体的体积计算公 式计算出结果后要记得换算单位。 第10课时 ￥ 练习课 1.(1)5(2)128(3)0.8符合 2.C 3.10X8×8=640(cm3)640cm°=640m 4.(1)12-2-2=8(cm)8×8×2=128(cm3) 128cm3=128ml (2)2.7L=2.7dm32.7÷(2.5×1.8)=0.6(dm) 5.20×10×4÷5=160(立方厘米) 30×15×8÷160=22.5(分) 第11课时相关链接一测量 不规则物体的体积 1.(1)20×20×12=4800(cm3) (2)20×20×16=6400(cm) (3)6400-4800=1600(cm3) (4)20×20×(16-12)=1600(cm3) (5)水上升部分的体积 2.(1)升毫升升20(2)8 3.300÷(15×10)=2(厘米) 4.D 5.50×25×26=32500(立方厘米) 32500-4200=28300(立方厘米) 28300立方厘米=28.3立方分米=28.3升 解析：先求出当水深为26厘米（正好淹没假山石） 时，水和假山石的总体积，再减去假山石的体积，就 是需要注入的水的体积，注意单位换算。 6.10×10×(11-10)÷2=50(cm3)10×10× (10-8)-50=150(cm3)解析：由题中第二幅图 和第三幅图可知，加入2个小正方体后，体积增加 了10×10×(11-10)=100(cm3),除以2后先求 出1个小正方体的体积，然后由题中第一幅图和第 二幅图可知，1个大正方体与1个小正方体的体积 和是10×10×(10一8)=200(cm3),最后减去1个 小正方体的体积就是1个大正方体的体积。 第12课时综合练习(1) 1.(1)立方米立方厘米毫升立方厘米 (2)4.0524024013001.3 2.(1)A(2)A (3)D解析：将正方体截成三个完全相同的长方 体，增加了正方体的四个面，表面积增加了2X2× 4=16(平方分米)。 3.28.5立方分米=28500立方厘米28500÷ (38×15)=50(厘米)50<5538<4015< 204.8<5这个礼盒不需要托运 4.答案不准一，如选择信息1和540÷4=10（厘米） 10-3=7(厘米)10×10×7=700（立方厘米） 解析：先算出长方体的长、宽和高，再算出长方体的 体积。 5.36÷4=9(cm)9×9×24=1944(cm) 解析：先算出长方体的底面边长，再算出长方体的 容积。 6.晶晶：6×6×6+2×2×2=224(cm) 月月：6×6×6=216(cm) 窑：6×6×6+2×2×4=232(cm2) 216<224<232表面积不一样 解析：晶晶的正方体是从一条棱的中间挖去了一个 小正方体，表面积比原来增加了小正方体的2个面 的面积；月月的正方体是从一个角上挖去了一个小 正方体，表面积不变；鑫鑫的正方体是从一个面的 中间挖去了一个小正方体，表面积比原来增加了小 正方体的4个面的面积。 第13课时综合练习(2) 1.(1)5×2.5×4=50(dm2) (2)(2.5+5)×2.5×5=93.75(dm3) 2.C 3.14×9.5×3÷1.2=332.5(平方厘米) 解析：先算出长方体铁块的体积，再除以水面上升 的高度就是这个长方体水箱的底面积。 4.20×20×(20-18)=800(cm°) 137+358=495(cm3)495800 137+454=591(cm3)591<800 358+454=812(cm3)812>800 选择②号和③号石头 解析：先算出水要上升到最上沿还差的体积是 20×20×(20一18)=800(cm3),然后算出哪两块 石头的体积大于或等于800cm3. 5.表面积：(1×1)×(15+14+11)×2=80（平方 厘米)体积：1×1×1×36=36（立方厘米） 解析：由题图可得，从前面看有14个小正方形，从 侧面看有11个小正方形，从上面看有15个小正方 形，1个小正方形的面积为1×1=1（平方厘米），所 以表面积为1×(15+14十11)×2=80（平方厘 米)。1个小正方体的体积为1×1×1=1（立方厘 米)，有36个小正方体，所以体积为1×36=36（立 方厘米)。 第14课时我学会了吗 1.(1)D(2)B 2.(1)10000(2)200(3)2(n-1) 3.醋的体积：10×8×8=640(cm) 醋和蒜瓣的总体积：10×8×10=800(cm3) 蒜瓣的体积：800-640=160(cm3) 4.120mL=120cm 40×20×(20-18.5)+120=1320(cm3) 13.86kg=13860g13860÷1320=10.5(g) 这个工艺品的材质是白银 解析：先求出工艺品的体积，再算出每立方厘米的 质量。注意单位换算。 提分真题集训 1.(1)②④(2)1754 2.(1)28÷2-10=4(cm)10×6×4=240(cm3) (2)10×12×20+(25-12)×10×10=3700(cm3) 3.(1)213(2)100 4.(1)1010dm=1m5×3÷(1×1)=15(块) (2)21000L=21000dm321000dm3=21m 2 21÷(5×3)=1.4(m) 5.10×10×(8-3)=500(cm3) 解析：先算出水面下降的高度，再算出下降的水的 体积就是铁球的体积。 第七单元整合提升 1.有三种切法，如图所示 6厘米 8厘米 10厘米 6厘米 8厘米 10厘米 6厘米 8厘米 10厘米 最多：10×8×2=160（平方厘米）最少：8×6× 2=96(平方厘米)解析：平行于最大的面切割时， 截面面积最大，增加的表面积最多；平行于最小的 面切割时，截面面积最小，增加的表面积最少。 2.2×(3-1)=4(个)2.4÷4=0.6（平方分米） 1.2米=12分米0.6×12=7.2（立方分米） 解析：把长方体平均切成3段，增加了4个横截面， 可以先求出1个横截面的面积，再乘原来这个长方 体的长就是原来这个长方体的体积。 3.(4-1)×2=6(个)2×2×6=24（平方分米） 解析：将长方体沿与侧面平行的方向切割成4段 (如图)，表面积增加得最少，增加了(4一1)×2= 6(个)面，先算出1个面的面积再乘6就是最少增 加的表面积。 2分米 少2分米 15分米 4.32÷4÷2=4(cm)4+2=6(cm)4×4X6= 96(cm)解析：根据“高减少2cm后正好变成了 一个正方体”，可知这个正方体比原来长方体少了 4个相同的长方形的面积和；根据“表面积比原来 长方体的表面积减少了32cm”,求出减少的1个 长方形的长为32÷4÷2=4(cm),也就是原来长方 体的底面边长，然后求出原来长方体的高，即可计 算出原来长方体的体积。 5.96÷4÷3=8(厘米)8-3=5（厘米） 8×8×5=320(立方厘米) 解析：根据“一个长方体，如果高增加3厘米，就变 成了一个正方体”可知，原来长方体的长和宽相等， 且比高长3厘米，因此增加的96平方厘米是4个 同样的长方形的面积和，由此可以求出原来长方体 的长和宽，再求出原来长方体的高，最后根据长方 体的体积计算公式求出原来长方体的体积。 6.小杰说得对 解析：有12条棱、8个顶点、6个面的图形不一定是 长方体。如图所示的图形就不是长方体。 7.8×6+8×1×2+6×1×2=76(平方分米) 8.包装成长17cm、宽14cm、高9cm的大长方体 最省包装纸 (17×14+17×9+14×9)×2=1034(cm2) 解析：一共有9种包装方法。 ①石 长102cm,宽7cm,高3cm (102×7+102×3+7×3)×2=2082(cm2) ② 长17cm,宽42cm,高3cm (17×42+17×3+42×3)×2=1782(cm2) ③ 长51cm,宽14cm,高3cm (51×14+51×3+14×3)×2=1818(cm) ④ 长34cm,宽21cm,高3cm (34×21+34×3+21×3)×2=1758(cm2) ⑤ 子子 长51cm,宽7cm,高6cm (51×7+51×6+7×6)×2=1410(cm2) ⑥ 长17cm,宽21cm,高6cm (17×21+17×6+21×6)×2=1170(cm) 3 ⑦ 长34cm,宽7cm,高9cm (34×7+34×9+7×9)×2=1214(cm2) ⑧ 到 长17cm,宽14cm,高9cm (17×14+17×9+14×9)×2=1034(cm) ⑨ 长17cm,宽7cm,高18cm (17×7+17×18+7×18)×2=1102(cm) 由上可知，第⑧种包装方法最省包装纸。据此 求解。 9.(1)36×25=900(升) (7.5+4.5)×10×5=600(立方分米) 600立方分米=600升900-600=300（升） 解析：先求出36分钟注水的体积，再求出水箱中水 的体积，用注水的体积减去水箱中水的体积。 (2)600÷25=24(分) 解析：先求出水位达到5分米时水箱中水的体积， 再除以每分钟注水的速度即可。 回顾整理一总复习 第1课时数与代数(1) 1.(1)53(2)907580(3)地下二层 40>≥=<(5-10 0%。增长180 (6)-3 2.(1)X(2)X(3)X(4)X(5) 3.(1)D(2)B(3)B(4)B(5)B 4.(1)+3(2)西4(3)-2 5.(1)12(2)21 (3)甲后来赢了2场解析：比赛规则是“五局三 胜”制，甲前三场只赢了1场，但最后取得一个四强 席位，说明甲后来赢了2场。 6.德州：-16.3℃枣庄：-11℃-16.3<-11 德州的气温低，两地气温相差16.3-11=5.3（℃） 7.(1)4十3+6=13（人）(2)2+5+13=20（人）拔尖特训 数学（青岛版）五年级下 第11课时 相关链接 习基础进阶 1.雨花石的体积是多少立方厘米？（玻璃容器 壁的厚度忽略不计)》 2cm 16cm 20cm/ 20 cm 20cm 20 cm (1)水的体积：( )。 (2)水和雨花石的体积：( ）。 (3)雨花石的体积：( ）。 (4)水上升部分的体积：( ）。 (5)发现：雨花石的体积就是( ）。 2.填一填。 (1)(传统文化)饺子取“更岁交子”的意思， 我国北方有过春节吃饺子的习俗。煮一锅饺 子大约需要4( )水，吃饺子需用调料醋 约10()，下入40个饺子后水和饺子的 体积为4.8()。平均每个饺子的体积是 ( )立方厘米。（填合适的容积单位或数） (2)下图中大球的体积是( )cm3。 O0000 24m 3.如图所示为一个长方体玻璃容器，从里面量， 长和宽分别是15厘米和10厘米，放入一块 体积为300立方厘米的小石头后，水面升高 了多少厘米？（小石头浸没在水中，水未溢出） 7 测量不规则物体的体积 团能力攀升 4.(生话应用)一个长方体容器，底面是正方形， 盛水高1分米。放入7个大小一样的鸡蛋 后，水面升高3厘米。要求一个鸡蛋的体积， 只需再知道下面的信息()。 A.7个鸡蛋的表面积是多少 B.长方体容器的表面积是多少 C.长方体容器的高是多少 D.长方体容器的底面周长是多少 5.一个空玻璃鱼缸内放有一块高为26厘米、体 积为4200立方厘米的假山石，如果向鱼缸内 注水，那么至少需要多少升的水才能将假山 石淹没？ 26厘米 50厘米 25厘米 6.(思维过程)如图，观察玻璃缸中水的变化情 况，计算出大正方体的体积。 8cm 10cm 11cm 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 2 第12课时 习基础进阶 1.填一填。 (1)在括号里填上合适的单位名称。 立式空调的体积约为1.5( )。 一支固体胶的体积约为16( 一个饮料瓶的容积约为600( )。 一本数学书的体积约为220( )。 (2)4050mL=( L 0.24m3=( )dm3=( L 1300cm3=( )mL=()L 2.选一选。 (1)把一根长40分米的铁丝焊成一个长方 体框架，还余4分米，这个长方体框架中相交 于一点的三条棱的长度和是()分米。 A.9B.10 C.12 D.36 (2)用规格为10cm×6cm×20cm的包装盒 装()L的饮料最合适。 A.1.1B.1.2C.1.3D.0.6 (3)把棱长为2分米的正方体截成三个完全 相同的长方体，表面积增加( 平方分米。 A.4 B.8 C.10 D.16 3.(社会生话)某飞机场登机口写着：规格超过 20厘米×40厘米×55厘米或质量超过5千 克的行李需要托运。李叔叔带了一个长 38厘米、宽15厘米、体积为28.5立方分米、 质量为4.8千克的礼盒，这个礼盒需要托 运吗？ 七包装盒一长方体和正方体 综合练习(1)》 团能力攀升 4.(推理意识)一个学习小组的四名同学观察并 测量了一个长方体，得到了下面5条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，那么它恰好是 一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这5条信息都是正确的，请从中选择需要的 信息，求出这个长方体的体积。 5.(操作探完) 我想用这 如果给这个长方体 张卡纸折 纸筒配上一个底面， 出一个长 它的容积最大是多 方体纸筒。 少立方厘米？ 24cm 6.泥塑以泥土为原料，手工捏制成形。泥塑课 上，晶晶、月月和鑫鑫分别用彩泥捏了一个棱 长为6cm的正方体，又各自挖去了一个棱长 为2cm的小正方体（如图）。剩下的图形的 表面积一样吗？ 晶晶 月月 鑫鑫 73 拔尖特训数学（青岛版）五年级下 第13课时 中能力攀升 1.(生话应用)综合实践课上，同学们用木板学 习制作艺术置物架，置物架没有前面和后面， 其余各面都是长方形，形状和规格如图所示。 (1)制作这样一个置物架，至少需要多少平 方分米木板？ 2.5dm 5dm 2.5dm 2.5dm (2)把2个这样的置物架，按照下图的方式 组合成一个置物柜，并安装上玻璃门。这个 组合好的置物柜的体积是多少立方分米？ (木板的厚度忽略不计) 2.两个长方体容器A、B的长、宽、高如图所示 (单位：厘米)。容器A中没有水，B中水深 30厘米。将容器B中的水倒一部分给A,使 两个容器中水的高度相同，这时水深为 ()厘米。 30 30 40 30 20 A B A.15B.12 C.10 D.8 综合练习(2) 因思维拓展 3.小刚把一个长14厘米、宽9.5厘米、高3厘 米的长方体铁块浸没在一个长方体水箱中。 取出铁块后，水面的高度下降了1.2厘米。 这个长方体水箱的底面积是多少平方厘米？ (水箱的厚度忽略不计) 4.(学科融合)一个正方体的水槽里装了一些水 (如图)，乌鸦只能够到水槽最上沿，在水槽的 旁边有大小不一的三块石头。你能选择其中 的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？请通过计 算解释你的做法 18cm 人、 ①号 ②号 ③号 -20cm 137cm3 358cm° 454cm 5.(空间观念)下面的图形是由若干个棱长为1 厘米的小正方体拼成的，它的表面积和体积 各是多少？ 74 第14课时 团能力攀升 1.选一选。 (1)(生活体验)下面的说法中，正确的是 ()。 A.一小袋牛奶约250升 B.体积相等的两个木箱容积一定相等 C.一瓶酱油约1.75毫升 D.一个笔袋的体积约640立方厘米 (2)在搭建长方体框架的活动中，每名同学 都用以下12根小棒进行搭建。（单位：cm) 皇兰兰 下面是四名同学未完成的作品，如果在此基 础上用他们自己手中剩余的小棒继续搭建， 一定不能搭建成长方体框架的是( )。 12 B 12 9 12 5 C D. 2.填一填。 (1)一个正方体玻璃缸，从里面量棱长是 50厘米，缸内水深22厘米。把一块石块浸 没在水中后，水面上升到26厘米，石块的体 积是( )立方厘米。 (2)从量杯中取出2个正方体橡皮泥后，杯 中水的体积是( )mL。 450mL 5cm 七包装盒一长方体和正方体 我学会了吗 (3)(探素规律)如图，用棱长为 体排成一排拼成长方体。像这样，用n个正方 体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来 n个正方体的表面积之和减少了( )cm2。 思维拓展 3.妈妈用一个长方体容器泡腊八蒜。从里面量 这个容器长10cm,宽8cm,妈妈向这个容器 里倒了一些醋，正好出现左右两个正方形的 面（如图①）。这时妈妈又将一些蒜瓣放入醋 中，恰好又出现了前后两个面是正方形（如图 ②)。这些蒜瓣的体积是多少立方厘米？ 8cm 8cm 10 cm 10cm ① ② 4.(思维过程)一个长方体容器，长40cm,宽 20cm,高20cm。该容器里原来水深18.5cm, 把一个重13.86kg的工艺品浸没在水里，这 时容器里的水溢出了120mL。这个工艺品 的材质是什么？ 材质 白金 白银 铜 白锡 每立方厘米 21.45 10.5 8.9 7.3 的质量(g 5 拔尖特训数学（青岛版）五年级下 提分真题集训 1.填一填。 4.(德州平原)光明小学修建一个长方体蓄水 (1)(滨州无棣)如左下图，淘气用棱长为 池，蓄水池从里面量得长、宽、高分别是5m、 1dm的小正方体拼成一个长方体。他要从5个 3m、2m。 有编号的小正方体中拿掉2个，使剩下图形 (1)学校计划在蓄水池的底面铺地砖，以下 的表面积比原来图形的表面积增加4dm, 三种地砖选边长是( )dm的地砖能刚好铺 他拿掉的小正方体是( )和( )。(填 满（使用的地砖都是整块），至少需要多少块？ 编号) ①②③④⑤ (2)(德州宁津)右上图是由若干个棱长为 4dm 6dm 10 dm 1厘米的小正方体搭成的，若想搭成这个大 正方体，则至少还需要( )个这样的小正 方体，这个大正方体的表面积是( )平方 厘米。 2.(德州宁津)求下面图形的体积。 (1) 10cm (2) 12cm (2)现在往水池里注入21000L水，则蓄水池 10cm 内水位高多少米？ 10cm 28cm 25 cm (长方体的展开图) 3.(青岛市北区)同学们正在用一些小棒和橡皮 5.(青岛胶州)一个长方体容器，底面是边长为 泥拼搭一个长方体框架 10cm的正方形，小健把1个铁球放入水中 (铁球浸没在水中)。现在取出这个铁球，水 4cm 面变化情况如图所示。这个铁球的体积是多 2 cm 7cm 少立方厘米？请写出你的计算过程。 (1)如图是已经拼搭好的部分，还需要 ( )根2cm长的小棒、( )根7cm长 cm 的小棒和( )根4cm长的小棒，才能搭成 一个完整的长方体框架 (2)如果给这个长方体框架的每个面都贴上 彩纸，那么至少需要( )cm的彩纸。 76 七包装盒一长方体和正方体 第七单元整合提升 )分类提优训练 类型二长方体的高增加（或减少）后变成正方 体，求原来长方体的体积 类型一长方体的切割问题 根据长方体的变化情况和正方体的特，点，找到原来长 把大长方体切成两个完全相同的小长方体，若要增加 方体的长、宽、高，再利用长方体的体积计算公式 最多的表面积，则沿平行于最大的面切割；若要增加 求解。 最少的表面积，则沿平行于最小的面切割。把大长方 体分割成小长方体，分割成n段，则增加2(n一1)个 4.如图，一个长方体，高减少2cm后正好变成 截面。 了一个正方体，表面积比原来长方体的表面 1.(空间观念)把一个长10厘米、宽8厘米、高 积减少了32cm。求原来长方体的体积。 6厘米的大长方体切割成两个完全一样的小 2 cm 长方体，有几种切法？请画一画。表面积最多 增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 6厘米 8厘米 10厘米 2.把一个长1.2米的长方体平均切成3段（如 5.(思维过程)如图，一个长方体，如果高增加3 图)，表面积比原来增加了2.4平方分米。原 厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原 来这个长方体的体积是多少立方分米？ 来增加了96平方厘米。原来长方体的体积 是多少立方厘米？ 3厘米 3.有一根长方体木料，长15分米，宽和高都是 2分米，现在要把它切割成4段。请问：表面 积最少增加多少平方分米？ 77 拔尖特训数学（青岛版）五年级下 易错点一对长方体的特征理解不全面 判断一个立体图形是不是长方体，要看这个立体图形 是否同时满足长方体的所有特征，只有全部满足的立 体图形才是长方体。 6.(模型意识)下面谁说得对？ 不对，还要有6个面都 有12条棱、8个顶 是长方形或正方形，或 点、6个面的图形 4个面是长方形，2个相 一定是长方体。 对面是正方形才可以。 憾小明 小杰 易错点二未根据实际情况计算物体的表面积 计算长方体和正方体的表面积时，要根据实际情况确 定要求哪些面的面积」 7.(生话体验)做一个长8分米、宽6分米、高 1分米的抽屉，至少需要多少平方分米的木 板？（木板的厚度忽略不计） ①素养拓展训练 素养点一包装中的数学问题 8.(生话应用)林叔叔要把6个长17cm、宽 7cm、高3cm的长方体包装成一个大长方 体，怎样包装最省包装纸？最少需要多少平 7 方厘米的包装纸？（接口处忽略不计）》 思路提示：想一想，把6个相同的长方体包装成 一个大长方体，有几种包装方法？每一种包装方 法需要的包装纸的面积分别是多少？再选出包 装纸最少的那种，最后思考，按这种包装方法包 装后的大长方体的长、宽、高有什么特点？ 素养点二体积与折线统计图的综合应用 9.(数形结合)有一个长方体容器（如图①），现 以每分钟25升的速度向这个容器注水。容 器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚 度)，将容器隔为A、B两部分。B部分的底 部有一个洞，水按每分钟10升的速度往下 漏。图②表示从注水开始A部分水的高度 变化情况。 高度（分米） 2 7.5分米4.5分米 0612 36时间（分） ① ② (1)注水36分钟共漏出水多少升？ (2)如果B部分的洞不漏水，那么只要多少 分钟就能使容器A部分的水位达到5分米？ 思路提示：把动态注水过程转化为“体积=每分钟 注水的体积×时间”的计算，再结合长方体的底面 积和长、宽、高的关系解答。