精品解析：浙江杭州地区重点中学2023-2024学年高三年级下学期3月质量检测数学试题卷

浙江省杭州地区重点中学2023年高三年级下学期3月质量检测试题卷数学试题 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则 A. B. C. D. 2. 中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是 A. 每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著 B. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关 C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上 D. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 3. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 23 B. 25 C. 28 D. 29 6. 已知函数，若存在实数，且，使，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 A. B. C. D. 9. 已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 10. 已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0，b>0)的焦点相同，则双曲线渐近线方程为 A. B. C. D. 11. 已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则的值为______. 14. 在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠C＝，则AC＝__． 15. 函数的定义域为______. 16. 已知数列的前项和为且满足，则数列的通项___________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 18. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围． 20. 如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 21. 曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； (2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值. 22. 设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点. （Ⅰ）若点在线段上，求的最小值； （Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州地区重点中学2023年高三年级下学期3月质量检测试题卷数学试题 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以为锐角，而， 所以，则， 所以. 2. 中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是 A. 每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著 B. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关 C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上 D. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项，显然正确； 对于，，选项正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错. 故选D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题 3. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】由得， 在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数， ∴由得，解得． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解． 4. 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合直线与圆的位置关系可得，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 由直线与圆相交可得直线与圆心的距离， 解得， 故所求概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 23 B. 25 C. 28 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】 由可求，再求公差，再求解即可. 【详解】解：是等差数列 ，又， 公差为， ， 故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 6. 已知函数，若存在实数，且，使，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可. 【详解】， 因为，所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 或，函数图象大致如下图所示： 因为存在实数，且，使， 所以有，或， 解得：，解得， 故选：D 【点睛】关键点睛：根据单调性画出图象大致形状，分类讨论、数形结合进行求解. 7. 设，则"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案. 【详解】，当时，，充分性； 当，取，验证成立，故不必要. 故选：. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 8. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A． 【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 9. 已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”， “”“”. 因此，“” 是“”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 10. 已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0，b>0)的焦点相同，则双曲线渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 双曲线的方程化为标准方程，利用两个曲线的焦点相同得出的关系式，求得即可得．注意双曲线的实半轴长和虚半轴长． 【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同， 可得：，即，∴，可得， ∴双曲线的渐近线方程为：， 故选：A 11. 已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点到平面的距离为，先根据体积求出，再求出即得球的半径，最后求球的表面积. 【详解】设点到平面的距离为，因为是中点， 所以到平面的距离为， 三棱锥的体积，解得， 作平面，垂足为的外心，所以，且， 所以在中，，此为球的半径， ． 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，考查球的内接几何体的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】，. 故选：A． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据的范围求出即可. 【详解】由题可知， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题. 14. 在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠C＝，则AC＝__． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据AB＝，BC＝1，∠C＝，利用余弦定理可得AC2+AC﹣2＝0求解. 【详解】∵AB＝，BC＝1，∠C＝， ∴由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC， 所以3＝AC2+1﹣2×AC×1×（﹣）， 整理得：AC2+AC﹣2＝0， 解得AC＝1，或﹣2（舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 15. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可. 【详解】对函数有意义， 即. 故答案为： 【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题. 16. 已知数列的前项和为且满足，则数列的通项___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得时；再由可得时，两式作差可得，进而求解. 【详解】当时，，解得； 由，可知当时，， 两式相减，得，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查由与的关系求通项公式，考查等比数列的通项公式的应用. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果； （2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长. 【详解】（1）由题设得. 由正弦定理得 ∵∴， 所以或. 当，（舍） 故， 解得. （2），从而. 由余弦定理得 . 解得. ∴. 故三角形的周长为. 【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题. 18. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面； （2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：设，连接，如下图所示： ∵侧面为菱形， ∴，且为及的中点， 又，则为直角三角形， ， 又， ，即， 而为平面内的两条相交直线， 平面. (2) 平面， 平面， ，即， 从而两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系 ， 为等边三角形， ， ，， ， 设平面的法向量为，则，即， ∴令，代入可得， 设平面的法向量为，则.即 令，代入可得， ， 由图示可知二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题. 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围． 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论； （2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值． 【详解】(1)当时，，于是，. 又因为，当时，且. 故当时，，即. 所以，函数为上的增函数，于是，. 因此，对，； (2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点， ①当时，为上的增函数， 注意到，， 所以，存在唯一实数，使得成立. 于是，当时，，为上的减函数； 当时，，为上的增函数； 所以为函数的极小值点； ②当时，在上成立， 所以在上单调递增，所以在上没有极值； ③当时，在上成立， 所以在上单调递减，所以在上没有极值， 综上所述，使在上存在极值的的取值范围是. 方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点. 即在上存在零点. 设，，则由单调性的性质可得为上的减函数. 即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点. 下面证明，当时，函数在上存在极值. 事实上，当时，为上的增函数， 注意到，，所以，存在唯一实数， 使得成立.于是，当时，，为上的减函数； 当时，，为上的增函数； 即为函数的极小值点. 综上所述，当时，函数在上存在极值. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题． 20. 如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解. （2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）由 由 因为是正四棱锥，故 于是， 由余弦定理，在中，设 再用余弦定理，在中， ∴是直角， 同理，而在平面上， ∴平面平面 （2）以为原点建立直角坐标系，如图： 则 设面的法向量为，的法向量为 则 ，取 于是，二面角的余弦值为： 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题. 21. 曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； (2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值. 【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2） 【解析】 【分析】(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解. (2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解； 解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解. 【详解】(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数， 可得曲线的直角坐标方程为，即， 则曲线的极坐标方程为，即， 又因为曲线的极坐标方程为，即， 根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程. (2)解法1：设直线的倾斜角为， 则直线的参数方程为（为参数，）， 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：， 解得，，， 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：， 解得，，， ， ，即，，， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 解法2：设直线的极坐标方程为）， 代入曲线的极坐标方程，得，， 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：， ，即，， 曲线的参，即， ，，， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22. 设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点. （Ⅰ）若点在线段上，求的最小值； （Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的性质，当轴时，最小；（2）设点，，分别代入抛物线方程和得到三个方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可求出的范围. 【详解】解：（1）由抛物线的标准方程，，根据抛物线的性质，当轴时，最小，最小值为，即为4. （2）由题意，设点，，其中，. 则，①，② 因为，，， 所以.③ 由①②③，得， 由，且，得， 解不等式，得点纵坐标的范围为. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $