专题01 曲线运动（运动的合成与分解、平抛运动、抛体与斜面曲面结合、平面和斜面内圆周运动、圆周运动中的经典模型、竖直平面内的圆周运动）（期中复习知识清单）高一物理下学期人教版

专题01曲线运动 【清单01】曲线运动的基本概念与处理思想 一、曲线运动 1.概念：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在同一直线上（即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上）。 3.处理思想：运动的合成与分解。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动：速度方向时刻改变（必然），速度大小可能改变（如平抛）也可能不变（如匀速圆周）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在：曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度，但加速度不一定变化。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”（或理解为与合外力方向一致）。 （3）瞬时性：某点的速度方向沿该点的切线方向；加速度方向由该点所受合外力决定。 【注意】：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 5.轨迹：曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等. 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 二、运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 3.合运动与分运动的关系：等时性（时间相同）；等效性（效果相同）；同体性（同一物体）；独立性（分运动之间互不影响）。 注意：两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【清单02】小船渡河模型和关联速度模型 一、小船渡河模型 1.核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度v水） 2.运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短(d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 二、关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆）或直接接触等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解+约束条件： 【注意】：分解依据：将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动：体现约束（绳不可伸长→沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动→法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动：通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cosθ v物′＝v∥＝v物cosθ v∥＝v∥′ 即v物cosθ＝v物′cosα v∥＝v∥′ 即v物cosα＝v物′cosβ 【清单03】抛体运动的规律及其应用 一、平抛运动 1.基本概念：物体以一定初速度v0水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3.产生条件 （1）初速度v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4.核心处理思想：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 二、平抛运动的规律和应用 1.核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角α与位移偏角θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 三、类平抛运动的分析与处理 1.定义： 物体受恒定的合外力作用，且初速度方向与合外力方向垂直的运动。 2.本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3.与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 【注意】：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度v0=0且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 四、斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3.关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5.应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程y=v0sinθt−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 【清单04】平抛运动的临界问题 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解v0范围。 2.斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面→vx与vy满足tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行→tanβ=y/x=gt2/v0。 关键： 几何约束：画轨迹图，找切点或边界条件； 瞬时状态分析：利用速度/位移方向与临界线（斜面、障碍）的关系列方程。 【清单05】平抛运动与斜面和曲面的结合 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tanθ＝＝→t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tanθ＝＝→t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tanφ＝＝＝＝2tanθ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tanθ＝＝→t＝ 离斜面最远 角度关系 tanθ＝＝→t＝ 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tanθ＝＝→t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tanθ＝＝→t＝ 【清单06】圆周运动的基础概念和规律 一、圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力、动量是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 二、向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。 （2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 （3）大小：=== 注意：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小=== 三、线速度、角速度等基本量的关系 1.圆周运动的相关物理量 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体位置变化的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体转动的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体转动一周所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 2. 圆周运动各物理量间的关系 【清单07】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【清单08】圆周运动的经典模型和应用 一、水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 二、斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 三、圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 四、汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 五、汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【清单09】圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【清单10】水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 【清单11】绳球模型、杆球模型两类经典模型中的临界条件——情景分析 两类模型对比分析 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【考点题型一】曲线运动的基本概念和规律（共4小题） 1．如图，在羽毛球比赛中，羽毛球被斜向上击出，经过轨迹的最高点O后落至右边的A点。若羽毛球可视为质点，则在实际比赛过程中，下列说法正确的是（　　） A．羽毛球击出后只受重力作用 B．羽毛球在最高点O处的速度方向一定水平向右 C．羽毛球在最高点O处的加速度方向一定竖直向下 D．只要测出最高点O的离地高度与OA间的水平距离，就可以测出羽毛球的初速度大小 【答案】B 【详解】A．羽毛球击出后受重力和空气阻力作用，A错误； B．羽毛球在最高点O处的速度方向一定水平向右，B正确； C．羽毛球在最高点O处受向下的重力和向左的空气阻力，合力方向斜向左下方向，可知加速度方向沿左下方向，C错误； D．因羽毛球受空气阻力作用，则其运动不是平抛运动，可知只测出最高点O的离地高度与OA间的水平距离，不可以测出羽毛球的初速度大小，D错误。 故选B。 2．一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经M、N、P、Q位置时的速度v和所受合力F，方向如图所示，其中可能正确的是（　　） A．M位置 B．N位置 C．P位置 D．Q位置 【答案】B 【详解】AD．做曲线运动的物体合外力不为0，且合外力与速度方向不共线，故AD错误； BC．做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，受力方向指向轨迹的里侧（轨迹的凹面侧），故B正确，C错误。 故选B。 3．质点在竖直平面内运动，其水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为匀加速直线运动。则该质点的合运动是（　　） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀速圆周运动 D．加速度恒定的曲线运动 【答案】D 【详解】质点水平方向的分运动为匀速直线运动，水平加速度为0，竖直方向的分运动为匀加速直线运动，竖直加速度为a不变，则合加速度为a不变且沿竖直方向；因合初速度与合加速度不共线，可知合运动为曲线运动，即质点做加速度恒定的曲线运动。 故选D。 4．如图甲所示，有两互相垂直动摩擦因数为的水平传送带，物块以的速度从一传送带垂直滑向另一速度大小为的传送带上，并最终与传送带共速，情景简化成乙图所示。则物块从滑上的传送带到共速的过程中，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．物块速度一直减小 B．物块运动过程中最小速度是 C．物块做匀变速曲线运动 D．物块加速度大小为 【答案】C 【详解】ACD．物块的速度可以分解为y轴正方向和x轴正方向，滑动摩擦力f可以分解为x轴正方向和y轴的负方向，运动轨迹为图中曲线，如图所示： 物块在传送带上运动的前阶段，合摩擦力方向与速度方向的夹角为钝角，物块的速度一直减小，当摩擦力方向与速度方向垂直时，物体的速度最小；后阶段，摩擦力方向与速度方向的夹角为锐角，物块的速度增加，物块受传送带的摩擦力大小 解得 加速度不变，所以物块做匀变速曲线运动，故AD错误，C正确； B．以传送带为参考，物块速度大小为 方向和摩擦力方向如图所示 则 最小速度为，故B错误； 故选C。 【考点题型二】关联速度模型（共4小题） 5．如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 【答案】C 【详解】如图所示 将小环水平运动的速度v正交分解，可知人拉细线的速度 由于v不变，θ增大，cosθ减小，则v1逐渐减小。 故选C。 6．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着质量为的实心球（轻绳的延长线过球心），另一端连在水平台上的小车上，小车以大小为的初速度向左做匀加速直线运动，球沿足够高的光滑竖直墙面上升，经过一段时间，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．该时刻球的速度大于 B．该过程球做匀加速直线运动 C．该时刻绳对球的拉力小于 D．该时刻竖直墙面对球的弹力大小为 【答案】A 【详解】A．设绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示将球的速度v分解，可知球沿绳方向的分速度大小等于该时刻小车的速度，即 小车以大小为的初速度向左做匀加速直线运动，经过一段时间，所以该时刻球的速度大于，故A正确； BCD．因，球在上升过程中随时间均匀变大，变大，变小但不随时间均匀变化，所以球向上做加速运动但不是匀加速直线运动； 设绳对球的拉力大小T、墙对球的弹力大小N，该时刻球加速度为，有 解得，，故BCD错误。 故选A。 7．航空母舰上的舰载机在降落时速度非常快，为了使飞机快速降落在航母甲板上，这就需要航母的拦阻系统。该系统的原理是先用飞机尾钩钩住航母上的拦阻绳，再通过拦阻绳系统让飞机快速停止。若飞机沿垂直于拦阻绳的方向，钩住其中点后与之相互作用，如图所示，某时刻拦阻绳夹角为，此时拦阻系统后台显示绳的移动速度为，由此可知飞机的移动速度大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】飞机沿绳方向的速度分量等于拦阻绳移动的速度大小，即 故选B。 8．如图所示，物块放在水平面上，物块上固定一轻质动滑轮，用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，当绕过动滑轮的两绳间的夹角为θ时，施加拉力的绳端速度为v，则此时物块的速度大小为（　　） A．vcosθ B．v（1+cosθ） C． D． 【答案】D 【详解】设物块的速度为，则 解得 故选D。 【考点题型三】抛体运动（共4小题） 9．如图所示，倾角正切值的斜面固定于水平地面，钢球从斜面顶端以初速度平抛，恰好落在斜面的中点。若初速度变为，则钢球（　　） A．末速度方向不变 B．水平位移变为倍 C．在空中运动的时间变为2倍 D．末速度的竖直分量变为2倍 【答案】B 【详解】钢球以抛出时落在斜面中点，根据平抛运动规律可知，水平位移   竖直位移 位移偏角等于斜面倾角，因此    解得 斜面的总高度为 初速度变为，若仍落在斜面上，则 竖直位移为 因此钢球会落在水平地面上，下落总高度为 A．第一次落在斜面上，速度偏角 第二次落在水平地面，速度偏角 则末速度方向改变，故A错误； BC．第二次落在水平面的时间满足     解得 第一次的水平位移为 第二次的水平位移为 解得，故B正确，C错误； D．根据竖直方向速度与时间的关系可知， 则故D错误； 故选B。 10．如图甲所示，敌军汽艇在河中沿河岸以的速度向下游匀速行驶，河岸上埋伏在高处的我军战士用土炮垂直河岸以、与水平面成的速度斜向上发射炮弹，恰好在点击中汽艇，炮弹出射点与点的高度差为，其侧视图如图乙所示。已知，，重力加速度大小，空气阻力忽略不计。求： (1)炮弹在最高点的速度大小？ (2)炮弹在空中飞行的时间？ (3)炮弹射出瞬间，汽艇距点的距离？ (4)炮弹击中汽艇时的速度大小？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）炮弹做斜抛运动，在最高点时竖直方向速度为0，只有水平速度 （2）设空中运动时间为，规定向下为正方向，则 解得 （3）汽艇在河中沿河岸匀速行驶， （4）炮弹击中汽艇时的竖直分速度为 故合速度大小 11．足球运动员训练罚点球，足球放置在球门正前方O点，两次射门，足球分别水平垂直门框的横梁和门柱击中其上a点和b点，如图所示。不考虑足球的旋转，不计空气阻力，比较球的两次飞行过程（　　） A．球的飞行时间可能相等 B．球的速度变化量可能相等 C．球射出时速率可能相等 D．球击门的速度可能相同 【答案】C 【详解】A．将足球击中a点和b点的过程看作是逆向的平抛运动，则根据 因可知，A错误； B．根据，可知，即球速度变化量不相等，B错误； CD．根据，因a球水平位移较小，而运动时间较长，可知，即a球击门的速度较小；射出时的速率 因而，可知球射出时速率v可能相等，C正确，D错误。 故选C。 12．2025年暑假，“浙BA”在浙江全省火爆开打。某运动员两次投篮的轨迹如图所示，两次均从O点投出，且均击中篮板上的P点，第一次以速度水平击中P点，第二次以速度斜向下击中P点，不计空气阻力。关于篮球在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．篮球两次从O到P的运动时间相等 B．篮球两次从O到P的平均速度，第二次较大 C．篮球两次从O到P的速度变化量相等 D．篮球在第二次最高点时的速度小于 【答案】D 【详解】AC．由题意知，篮球第一次运动的最高点是P点，第二次运动的最高点高于P点，故篮球第二次抛出时竖直方向的速度比第一次大，篮球第二次到达P点时，竖直方向的速度向下，则篮球两次从O到P的过程中，第二次速度变化量较大（水平方向的速度均不变），根据可知，第二次的运动时间比第一次长，故AC错误； B．篮球两次从O到P的位移相同，第二次的运动时间比第一次长，而平均速度等于位移与所用时间的比值，故第二次的平均速度较小，故B错误； D．篮球到达最高点时，竖直方向速度为零，则此时的速度等于水平方向的速度，两次篮球水平方向的位移相等，第二次从O到P所用时间较长，根据可知，篮球在第二次最高点时的速度小于，故D正确。 故选D。 【考点题型四】平抛运动的临界问题（共4小题） 13．运动员将质量为的网球（网球视为质点）从高度为1.8m处以的速度水平向右击出，假设网球与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向击中距地面高度为0.8m中间隔离网某位置。取重力加速度，设小球和地面碰撞时间极短。求： (1)网球落地时的速度大小和方向； (2)网球从击出到触网的时间； (3)运动员击球处距隔离网的水平距离。 【答案】(1)，速度与水平方向夹角为， (2)1s (3)3m 【详解】（1），，，根据 代入数值得 网球落地时的速度大小 设速度与水平方向夹角为， （2）根据 得 故网球从击出到触网的时间 （3）运动员击球处距隔离网的水平距离 14．如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．玻璃珠在竖直方向做自由落体运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的竖直位移之比为，则，故A错误； B．玻璃珠在水平方向做匀速直线运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的水平位移之比为，则，故B错误； C．由得，故C正确； D．玻璃珠落在点时的速度大小，可得，故D错误。 故选C。 15．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 16．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，速度与水平方向的夹角为 【详解】（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有 解得 （2）网球在水平方向上有 解得 （3）竖直方向上，根据速度公式， 根据速度的合成有 ，速度与水平方向的夹角为。 【考点题型五】抛体运动与斜面和曲面结合（共4小题） 17．如图所示，在水平面放置的截面半径为R的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度沿垂直圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为，那么小球完成这段飞行的时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，如图所示，有 由 解得，故选B。 18．如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，现同时从A、B两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为、，且均落在轨道上的C点，已知OC与竖直方向的夹角，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B．两者初速度关系为 C．整个下落过程，甲球速度变化量大于乙球速度变化量 D．甲球可沿半径方向垂直打在轨道上C点 【答案】B 【详解】AC．由图可知，两个物体下落的高度是相等的，根据 又 可知甲乙两球下落到轨道的时间相等，即甲、乙两球同时落到轨道上，甲乙两球下落到轨道的速度变化量相同，故AC错误。 B．设圆形轨道的半径为R，则甲水平位移为 乙水平位移为 可得 小球水平方向做匀速直线运动，则有 故B正确。 D．由平抛运动推论，速度反向延长线过水平位移中点，由题图可知若甲球垂直打在轨道上，由几何关系，其速度方向延长线应过O点，与推论矛盾，则甲球不可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上，故D错误。 故选B。 19．跳台滑雪是冬奥会项目，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处以速度v0=10m/s沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，斜坡与水平方向夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)运动员在空中的时间及A、B间的距离； (2)运动员落到B处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 【答案】(1)2s， (2) (3) 【详解】（1）设A、B间的距离为L，根据平抛运动规律，竖直方向 水平方向Lcos45°=v0t 联立代入数据解得t=2s， （2）竖直速度vy = gt = 10×2s = 20m/s 落地速度的大小 （3）初速度沿垂直斜面方向的分量为，加速度沿垂直斜面的分量为，沿垂直斜面方向运动员做匀减速运动，则运动员在空中离坡面的最大距离 20．如图所示，以10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3m，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。 (1)物体在空中飞行的时间； (2)物体撞击斜面时的速度大小； (3)抛出点距斜面底端A的水平距离。 【答案】(1)0.75s (2)12.5m (3)3.5m 【详解】（1）将B点速度进行分解，由几何关系得速度方向与水平方向夹角 由三角函数得竖直方向速度为 由平抛运动竖直方向为自由落体运动则有 解得 （2）设物体撞击斜面时的速度大小为 由勾股定理得 （3）从抛出点到B点的距离 解得 B点到斜面底端A的水平距离根据几何关系得 抛出点距斜面底端A的水平距离 d 等于从抛出点到B点的水平位移减去B点到A点的水平距离 【考点题型六】圆周运动基本概念（共4小题） 21．做匀速圆周运动的物体，若角速度为ω，轨道半径为r，线速度的大小为v，则下列关系式正确的是（　　） A．v=ωr B． C． D． 【答案】A 【详解】物体做匀速圆周运动，根据角速度与线速度的关系有 故选A。 22．如图，小球在橡皮筋的牵引下，在光滑水平面上绕固定点O做匀速圆周运动。提供小球做圆周运动所需的向心力是（　　） A．重力G B．支持力N C．橡皮筋弹力F D．重力G和支持力N的合力 【答案】C 【详解】根据题图可知，小球所受水平面的支持力与所受重力相互平衡，所受橡皮筋弹力F提供向心力。 故选C。 23．“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中、两点的运动，下列说法正确的有（　　） A．点的角速度比点的大 B．点的线速度比点的大 C．点的周期比点的小 D．点的向心加速度比点的小 【答案】BD 【详解】A．篮球就在指尖上稳定旋转，P、Q两点相同时间转过相同的角度，角速度相同，A错误； B．由，，可知，B正确； C．由，可知P、Q周期相同，C错误； D．由，，可知，D正确。 故选BD。 24．图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 【答案】B 【详解】AB．石块A和重物B的转动角速度大小相同，有，石块A和重物B的转动半径不同，根据可得线速度大小不同，故A错误，B正确； CD．石块A的转动半径大于重物B的转动半径，根据可得二者的向心加速度大小不相等，有，故CD错误。 故选B。 【考点题型七】几种传动装置（共4小题） 25．如图所示，、是自行车后轮边缘上的两点，后轮悬空转动时，这两点的线速度（　　） A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同 C．大小不等，方向相同 D．大小不等、方向不同 【答案】B 【详解】后轮悬空转动时，、两点为同轴转动，角速度相等，且、两点到轴心的距离相等，由可知，两点的线速度大小相等；、两点的线速度方向为两点的切线方向，两点的切线方向不同，线速度方向不同。 故选B。 26．如图，当篮球在指尖上绕竖直轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的周期分别为TP、TQ， 线速度大小分别为vP、vQ，则（　　） A．TP>TQ B．TP<TQ C．vP>vQ D．vP<vQ 【答案】C 【详解】AB．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，根据可知，故AB错误； CD．根据 因为 可知，故C正确，D错误。 故选C。 27．如图为多级减速装置示意图，每一级减速装置都是由固定在同一转动轴上、绕同一转动轴转动的大小两个轮子组成，各级之间用皮带相连。如果每级减速装置中大轮的半径为，小轮的半径为。则当第一级的大轮外缘线速度大小为时，第六级的大轮外缘线速度大小为（　　） A．2.5m/s B．5m/s C．10m/s D．15m/s 【答案】B 【详解】第一级大轮与小轮的角速度相等，根据，可知第一级大轮与小轮边缘的线速度大小之比为 可得第一级小轮的线速度大小为 通过皮带传动，所以第二级大轮外缘线速度大小为 同理可得第二级小轮的线速度大小为 第三级大轮外缘线速度大小为 以此类推可知，第六级的大轮外缘线速度大小为 故选B。 28．如图所示，左边是一组塔轮，半径不同，同轴传动，点C、D分别是中轮B和大轮D边缘上的点，其半径之比为。右边是小轮A，点A是小轮边缘上的点，小轮的半径是中轮半径的一半，小轮与中轮通过皮带传动（不打滑）。则A、C、D三点在运动过程中的（    ）    A．角速度大小之比为 B．线速度大小之比为 C．转速大小之比为 D．周期大小之比为 【答案】B 【详解】AB．通过皮带传动，边缘线速度大小相等，同轴转动，角速度相等，由，可知，的线速度之比为，故三点的线速度大小之比为，由，可知，的角速度之比为，故三点的角速度之比为，故A错误，B正确。 C．根据公式可知，转速与角速度成正比，故转速之比为，故C错误。 D．由于周期与转速互为倒数关系，则周期大小之比为，故D错误。 故选B。 【考点题型八】圆周运动中的经典模型（共4小题） 29．如图所示，拱形桥半径为r。一质量为m的汽车以速度v通过拱形桥最高点时，汽车对拱形桥的压力大小为（　　） A．mg B． C． D． 【答案】D 【详解】汽车在拱形桥最高点时，根据牛顿第二定律 可得 根据牛顿第三定律可知，汽车对拱形桥的压力大小为 故选D。 30．如图所示，一圆锥摆的摆线长L＝2m，重力加速度，摆角θ可在0°到90°之间变化（0°＜θ＜90°）。不计摆线质量和空气阻力，则此圆锥摆的角速度可能的值为（　　） A．1rad/s B．2rad/s C．3rad/s D．4rad/s 【答案】CD 【详解】小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力由绳子张力的水平分量提供。根据牛顿第二定律，可得角速度与摆角的关系式， 联立可得 结合，解得，故CD项正确。 故选CD。 31．如图所示，小球质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动。已知绳长为L=0.5m，水平杆长为d=0.2m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，要使绳子与竖直方向成θ=37°角，求： (1)小球的向心加速度大小； (2)该装置转动的角速度； (3)此时绳子的张力大小。 【答案】(1)7.5m/s2 (2) (3)3.75N 【详解】（1）小球绕竖直轴做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示 对小球，由牛顿第二定律可得 解得 （2）小球做圆周运动的半径为 根据向心加速度公式，有 解得 （3）绳子的张力大小为 32．如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为处的点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是（　　） A．小强在点不动，因此不受摩擦力作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在点受到的摩擦力不变 【答案】C 【详解】ABC．小强随圆盘做匀速圆周运动，竖直方向重力和支持力平衡，水平方向圆盘对他的摩擦力充当向心力，故AB错误，C正确； D．若使圆盘以较小的转速转动时，即角速度减小，根据 可知小强在点受到的摩擦力减小，故D错误。 故选C。 【考点题型九】圆周运动中的绳球和杆球模型（共4小题） 33．如图所示，一人在进行“水流星”杂技表演，盛有水的碗在绳子拉力作用下在竖直面内做半径为的圆周运动，绳子能够承受的最大拉力是碗和碗内水的重力的8倍。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．碗通过最高点时速度的最小值为0 B．碗通过最高点时速度的最小值为 C．碗通过最低点时速度的最大值为 D．碗通过最低点时速度的最大值为 【答案】BD 【详解】AB．为了确保碗做完整的圆周运动，当在最高点由重力提供向心力时，最高点速度达到最小值，则有 解得，故A错误，B正确； CD．绳子能够承受的最大拉力是碗和碗内水的重力的8倍，在最低点，当绳子拉力最大时，最低点的速度达到最大，则有 解得，故C错误，D正确。 故选BD。 34．如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度是0 B．小球过最高点时，绳子拉力为零时，小球的速度是 C．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度为0，则轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时的速度大于时，则轻杆对小球的作用力是竖直向上的支持力 【答案】BC 【详解】 AB．小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，则有 当轻绳拉力变小时，小球速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度为 故A错误，B正确； C．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反，此时满足 即小球过最高点的速度为零，故C正确；D错误。 D．根据上述分析可知，若将轻绳OA换成轻杆，当小球在最高点只受重力时，则有 解得 当小球过最高点的速度时，则有 解得 此时杆对小球的力为竖直向下的拉力，故D错误。 故选BC。 35．如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．图乙中和的面积不相等 B．图乙中和的面积相等 C．时刻的杆中弹力一定为推力 D．时刻的杆中弹力一定为0 【答案】BCD 【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的是最高点，面积表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，故和的面积相等，故A错误，B正确； C．由于t1时刻小球通过最高点，在到达最高点之前在减小，说明杆上给的力水平分量沿半径向外，为推力，故C正确； D．因为时刻处于水平速度由增大变为减小的最高点，水平加速度为0，故水平合力为0，而此时的小球处于轨迹的右上方，对小球受力分析，小球应只受到重力，故杆的弹力一定为0，故D正确。 故选BCD。 36．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径且远大于小球的直径，，当地的重力加速度。 (1)若小球运动到最高点时的速度大小，求小球在点时对管道的弹力的大小； (2)若小球在最低点时的速度大小，求此时管道对小球的弹力的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在点时，根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 在垂直斜面方向，小球受管道弹力大小为 根据牛顿第三定律可知小球在点时对管道的弹力的大小为。 （2）最低点时，根据牛顿第二定律可得 解得 管道对小球的弹力 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01曲线运动 【清单01】曲线运动的基本概念与处理思想 一、曲线运动 1.概念：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在同一直线上（即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上）。 3.处理思想：运动的合成与分解。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动：速度方向时刻改变（必然），速度大小可能改变（如平抛）也可能不变（如匀速圆周）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在：曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度，但加速度不一定变化。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”（或理解为与合外力方向一致）。 （3）瞬时性：某点的速度方向沿该点的切线方向；加速度方向由该点所受合外力决定。 【注意】：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 5.轨迹：曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等. 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 二、运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 3.合运动与分运动的关系：等时性（时间相同）；等效性（效果相同）；同体性（同一物体）；独立性（分运动之间互不影响）。 注意：两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【清单02】小船渡河模型和关联速度模型 一、小船渡河模型 1.核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度v水） 2.运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短(d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 二、关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆）或直接接触等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解+约束条件： 【注意】：分解依据：将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动：体现约束（绳不可伸长→沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动→法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动：通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cosθ v物′＝v∥＝v物cosθ v∥＝v∥′ 即v物cosθ＝v物′cosα v∥＝v∥′ 即v物cosα＝v物′cosβ 【清单03】抛体运动的规律及其应用 一、平抛运动 1.基本概念：物体以一定初速度v0水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3.产生条件 （1）初速度v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4.核心处理思想：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 二、平抛运动的规律和应用 1.核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角α与位移偏角θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 三、类平抛运动的分析与处理 1.定义： 物体受恒定的合外力作用，且初速度方向与合外力方向垂直的运动。 2.本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3.与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 【注意】：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度v0=0且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 四、斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3.关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5.应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程y=v0sinθt−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 【清单04】平抛运动的临界问题 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解v0范围。 2.斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面→vx与vy满足tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行→tanβ=y/x=gt2/v0。 关键： 几何约束：画轨迹图，找切点或边界条件； 瞬时状态分析：利用速度/位移方向与临界线（斜面、障碍）的关系列方程。 【清单05】平抛运动与斜面和曲面的结合 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tanθ＝＝→t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tanθ＝＝→t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tanφ＝＝＝＝2tanθ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tanθ＝＝→t＝ 离斜面最远 角度关系 tanθ＝＝→t＝ 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tanθ＝＝→t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tanθ＝＝→t＝ 【清单06】圆周运动的基础概念和规律 一、圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力、动量是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 二、向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。 （2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 （3）大小：=== 注意：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小=== 三、线速度、角速度等基本量的关系 1.圆周运动的相关物理量 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体位置变化的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体转动的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体转动一周所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 2. 圆周运动各物理量间的关系 【清单07】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【清单08】圆周运动的经典模型和应用 一、水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 二、斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 三、圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 四、汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 五、汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【清单09】圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【清单10】水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 【清单11】绳球模型、杆球模型两类经典模型中的临界条件——情景分析 两类模型对比分析 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【考点题型一】曲线运动的基本概念和规律（共4小题） 1．如图，在羽毛球比赛中，羽毛球被斜向上击出，经过轨迹的最高点O后落至右边的A点。若羽毛球可视为质点，则在实际比赛过程中，下列说法正确的是（　　） A．羽毛球击出后只受重力作用 B．羽毛球在最高点O处的速度方向一定水平向右 C．羽毛球在最高点O处的加速度方向一定竖直向下 D．只要测出最高点O的离地高度与OA间的水平距离，就可以测出羽毛球的初速度大小 2．一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经M、N、P、Q位置时的速度v和所受合力F，方向如图所示，其中可能正确的是（　　） A．M位置 B．N位置 C．P位置 D．Q位置 3．质点在竖直平面内运动，其水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为匀加速直线运动。则该质点的合运动是（　　） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀速圆周运动 D．加速度恒定的曲线运动 4．如图甲所示，有两互相垂直动摩擦因数为的水平传送带，物块以的速度从一传送带垂直滑向另一速度大小为的传送带上，并最终与传送带共速，情景简化成乙图所示。则物块从滑上的传送带到共速的过程中，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．物块速度一直减小 B．物块运动过程中最小速度是 C．物块做匀变速曲线运动 D．物块加速度大小为 【考点题型二】关联速度模型（共4小题） 5．如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 6．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着质量为的实心球（轻绳的延长线过球心），另一端连在水平台上的小车上，小车以大小为的初速度向左做匀加速直线运动，球沿足够高的光滑竖直墙面上升，经过一段时间，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．该时刻球的速度大于 B．该过程球做匀加速直线运动 C．该时刻绳对球的拉力小于 D．该时刻竖直墙面对球的弹力大小为 7．航空母舰上的舰载机在降落时速度非常快，为了使飞机快速降落在航母甲板上，这就需要航母的拦阻系统。该系统的原理是先用飞机尾钩钩住航母上的拦阻绳，再通过拦阻绳系统让飞机快速停止。若飞机沿垂直于拦阻绳的方向，钩住其中点后与之相互作用，如图所示，某时刻拦阻绳夹角为，此时拦阻系统后台显示绳的移动速度为，由此可知飞机的移动速度大小是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，物块放在水平面上，物块上固定一轻质动滑轮，用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，当绕过动滑轮的两绳间的夹角为θ时，施加拉力的绳端速度为v，则此时物块的速度大小为（　　） A．vcosθ B．v（1+cosθ） C． D． 【考点题型三】抛体运动（共4小题） 9．如图所示，倾角正切值的斜面固定于水平地面，钢球从斜面顶端以初速度平抛，恰好落在斜面的中点。若初速度变为，则钢球（　　） A．末速度方向不变 B．水平位移变为倍 C．在空中运动的时间变为2倍 D．末速度的竖直分量变为2倍 10．如图甲所示，敌军汽艇在河中沿河岸以的速度向下游匀速行驶，河岸上埋伏在高处的我军战士用土炮垂直河岸以、与水平面成的速度斜向上发射炮弹，恰好在点击中汽艇，炮弹出射点与点的高度差为，其侧视图如图乙所示。已知，，重力加速度大小，空气阻力忽略不计。求： (1)炮弹在最高点的速度大小？ (2)炮弹在空中飞行的时间？ (3)炮弹射出瞬间，汽艇距点的距离？ (4)炮弹击中汽艇时的速度大小？ 11．足球运动员训练罚点球，足球放置在球门正前方O点，两次射门，足球分别水平垂直门框的横梁和门柱击中其上a点和b点，如图所示。不考虑足球的旋转，不计空气阻力，比较球的两次飞行过程（　　） A．球的飞行时间可能相等 B．球的速度变化量可能相等 C．球射出时速率可能相等 D．球击门的速度可能相同 12．2025年暑假，“浙BA”在浙江全省火爆开打。某运动员两次投篮的轨迹如图所示，两次均从O点投出，且均击中篮板上的P点，第一次以速度水平击中P点，第二次以速度斜向下击中P点，不计空气阻力。关于篮球在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．篮球两次从O到P的运动时间相等 B．篮球两次从O到P的平均速度，第二次较大 C．篮球两次从O到P的速度变化量相等 D．篮球在第二次最高点时的速度小于 【考点题型四】平抛运动的临界问题（共4小题） 13．运动员将质量为的网球（网球视为质点）从高度为1.8m处以的速度水平向右击出，假设网球与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向击中距地面高度为0.8m中间隔离网某位置。取重力加速度，设小球和地面碰撞时间极短。求： (1)网球落地时的速度大小和方向； (2)网球从击出到触网的时间； (3)运动员击球处距隔离网的水平距离。 14．如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 15．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 16．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 【考点题型五】抛体运动与斜面和曲面结合（共4小题） 17．如图所示，在水平面放置的截面半径为R的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度沿垂直圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为，那么小球完成这段飞行的时间是（　　） A． B． C． D． 18．如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，现同时从A、B两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为、，且均落在轨道上的C点，已知OC与竖直方向的夹角，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B．两者初速度关系为 C．整个下落过程，甲球速度变化量大于乙球速度变化量 D．甲球可沿半径方向垂直打在轨道上C点 19．跳台滑雪是冬奥会项目，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处以速度v0=10m/s沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，斜坡与水平方向夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)运动员在空中的时间及A、B间的距离； (2)运动员落到B处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 20．如图所示，以10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3m，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。 (1)物体在空中飞行的时间； (2)物体撞击斜面时的速度大小； (3)抛出点距斜面底端A的水平距离。 【考点题型六】圆周运动基本概念（共4小题） 21．做匀速圆周运动的物体，若角速度为ω，轨道半径为r，线速度的大小为v，则下列关系式正确的是（　　） A．v=ωr B． C． D． 22．如图，小球在橡皮筋的牵引下，在光滑水平面上绕固定点O做匀速圆周运动。提供小球做圆周运动所需的向心力是（　　） A．重力G B．支持力N C．橡皮筋弹力F D．重力G和支持力N的合力 23．“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中、两点的运动，下列说法正确的有（　　） A．点的角速度比点的大 B．点的线速度比点的大 C．点的周期比点的小 D．点的向心加速度比点的小 24．图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 【考点题型七】几种传动装置（共4小题） 25．如图所示，、是自行车后轮边缘上的两点，后轮悬空转动时，这两点的线速度（　　） A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同 C．大小不等，方向相同 D．大小不等、方向不同 26．如图，当篮球在指尖上绕竖直轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的周期分别为TP、TQ， 线速度大小分别为vP、vQ，则（　　） A．TP>TQ B．TP<TQ C．vP>vQ D．vP<vQ 27．如图为多级减速装置示意图，每一级减速装置都是由固定在同一转动轴上、绕同一转动轴转动的大小两个轮子组成，各级之间用皮带相连。如果每级减速装置中大轮的半径为，小轮的半径为。则当第一级的大轮外缘线速度大小为时，第六级的大轮外缘线速度大小为（　　） A．2.5m/s B．5m/s C．10m/s D．15m/s 28．如图所示，左边是一组塔轮，半径不同，同轴传动，点C、D分别是中轮B和大轮D边缘上的点，其半径之比为。右边是小轮A，点A是小轮边缘上的点，小轮的半径是中轮半径的一半，小轮与中轮通过皮带传动（不打滑）。则A、C、D三点在运动过程中的（    ）    A．角速度大小之比为 B．线速度大小之比为 C．转速大小之比为 D．周期大小之比为 【考点题型八】圆周运动中的经典模型（共4小题） 29．如图所示，拱形桥半径为r。一质量为m的汽车以速度v通过拱形桥最高点时，汽车对拱形桥的压力大小为（　　） A．mg B． C． D． 30．如图所示，一圆锥摆的摆线长L＝2m，重力加速度，摆角θ可在0°到90°之间变化（0°＜θ＜90°）。不计摆线质量和空气阻力，则此圆锥摆的角速度可能的值为（　　） A．1rad/s B．2rad/s C．3rad/s D．4rad/s 31．如图所示，小球质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动。已知绳长为L=0.5m，水平杆长为d=0.2m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，要使绳子与竖直方向成θ=37°角，求： (1)小球的向心加速度大小； (2)该装置转动的角速度； (3)此时绳子的张力大小。 32．如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为处的点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是（　　） A．小强在点不动，因此不受摩擦力作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在点受到的摩擦力不变 【考点题型九】圆周运动中的绳球和杆球模型（共4小题） 33．如图所示，一人在进行“水流星”杂技表演，盛有水的碗在绳子拉力作用下在竖直面内做半径为的圆周运动，绳子能够承受的最大拉力是碗和碗内水的重力的8倍。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．碗通过最高点时速度的最小值为0 B．碗通过最高点时速度的最小值为 C．碗通过最低点时速度的最大值为 D．碗通过最低点时速度的最大值为 34．如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度是0 B．小球过最高点时，绳子拉力为零时，小球的速度是 C．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度为0，则轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时的速度大于时，则轻杆对小球的作用力是竖直向上的支持力 35．如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．图乙中和的面积不相等 B．图乙中和的面积相等 C．时刻的杆中弹力一定为推力 D．时刻的杆中弹力一定为0 36．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径且远大于小球的直径，，当地的重力加速度。 (1)若小球运动到最高点时的速度大小，求小球在点时对管道的弹力的大小； (2)若小球在最低点时的速度大小，求此时管道对小球的弹力的大小。 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $