17.1平行四边形的性质（6知识点+7大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

17.1 平行四边形的性质 （6知识点+7大题型+过关检测） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 2 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 5 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 10 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 16 【题型5 平行四边形的其他应用】 24 【题型6 求平行线间的距离】 30 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 35 1. 知识与技能：理解平行四边形的定义，牢记平行四边形的边、角、对角线及对称性相关性质，能准确表述性质内容；掌握平行线间距离的概念及特点。 2. 过程与方法：能运用平行四边形的性质，解决角度计算、线段长度求解、面积计算及几何证明等问题；学会利用平行线间距离解决实际相关问题，提升几何推理和运算能力。 3. 情感态度与价值观：经历平行四边形性质的推导与应用过程，体会数形结合、转化的数学思想；感受平行四边形在生活中的广泛应用，培养几何直观素养和严谨的数学思维习惯。03 知识•梳理 核心知识点 知识点 具体内容 补充说明（易错点/关键点） 1.平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，记作“▱ABCD”（顶点字母按顺序书写）。 1. 定义既是性质也是判定依据；2. 必须满足“两组对边分别平行”，缺一不可；3. 顶点字母顺序不可随意颠倒。 2.边的性质 1. 平行四边形的对边平行（AB∥CD，AD∥BC）；2. 平行四边形的对边相等（AB=CD，AD=BC）。 易错点：混淆“对边相等”与“邻边相等”，普通平行四边形邻边不一定相等（特殊平行四边形除外）。 3.角的性质 1. 平行四边形的对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；2. 平行四边形的邻角互补（∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等）。 关键点：邻角互补可由“两直线平行，同旁内角互补”推导得出，可快速求未知角度数。 4.对角线性质 平行四边形的对角线互相平分（设对角线AC与BD交于点O，则AO=OC，BO=OD）。 易错点：误认为“对角线互相平分”就是“对角线相等”，平行四边形对角线不一定相等（矩形除外）。 5.对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点（绕交点旋转180°后与自身重合）。 注意：平行四边形不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形除外）。 6.平行线间距离 1. 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离；2. 性质：平行线间的距离处处相等。 关键点：距离是“垂线段的长度”，不是线段本身；平行四边形的对边平行，因此对边间的距离处处相等。 04 题型•汇总 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【典例1】．在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质与四边形内角和定理，利用平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和为，即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且四边形内角和满足， ∵， ∴， ∴． 跟随训练1-1．在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练1-2．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练1-3．在平行四边形中，若，则____，____． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补得到与的数量关系，结合已知的角度差联立方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 跟随训练1-4．如图，点E在的边上，．若，，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 跟随训练1-5．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）对顶角相等得到，证明，再根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【典例2】．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 跟随训练2-1．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义，推导出和均为等腰三角形，从而求出和的长，最后利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ． 跟随训练2-2．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 跟随训练2-3．如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质可知的长度，然后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：在▱中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 跟随训练2-4．已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为_____________． 【答案】或 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义，结合平行线的性质得到，由等角对等边得到，同理得出，分两种不同位置情况计算的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 跟随训练2-5．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长，的周长， ∴，即， ∴； （2）解：，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 【典例3】．如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 【详解】解：如图，连接： 四边形是平行四边形， ， ，， 又点O为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 跟随训练3-1．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 跟随训练3-2．如图，E为平行四边形边上一点，F、G分别为、的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是（    ）    A．6 B．5.5 C．4.5 D．4 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可知，结合，，可得，连接，由F、G分别为、的中点，可得，，进而可得四边形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 连接，    ∵F、G分别为、的中点， ∴，， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 跟随训练3-3．如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键． 过E作，交于M，交于N，的面积+的面积=，即可得出平行四边形的面积，再根据和的面积之和是平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∵阴影部分的面积是3， ∴， 和的面积之和是． 故答案为：3． 跟随训练3-4．如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积，三角形的面积，过点作于点，由面积是8，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵面积是8， ∴， ∴， ∴平行四边形面积是， 故答案为：． 跟随训练3-5．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 【典例4】．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 跟随训练4-1．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 跟随训练4-2．如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及，可得，根据平行线的性质和等边对等角可得，即可判断①，延长，交的延长线于M，证明，可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，以及三角形的面积和即可判断③，设，则，根据角度关系的计算即可求得． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故③错误 ④设，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 跟随训练4-3．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 跟随训练4-4．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， 设点C到的距离为， ∴，， ∴， 故①错误； ②∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③延长，交延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ④设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故答案为：②③④． 跟随训练4-5．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型5 平行四边形的其他应用】 【典例5】．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 跟随训练5-1．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 跟随训练5-2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 跟随训练5-3．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 跟随训练5-4．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 跟随训练5-5．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 【题型6 求平行线间的距离】 【典例6】．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 跟随训练6-1．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 跟随训练6-2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 跟随训练6-3．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论直线的位置，分别计算得到与之间的距离. 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线在，的外侧时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 当直线在，之间时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 综上，与之间的距离是或. 跟随训练6-4．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 跟随训练6-5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 【材料阅读】 古希腊数学家欧几里得的《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理化方法建立起的演绎体系的最早典范．小婷是一个数学爱好者，她在学习完平行线的概念后，研究发现：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．如下图：，是上的任意两点，，垂足为，垂足为，则有． 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，，则的面积为___________；若点是的中点，则的面积为___________． （2）如图2，在中，点是平面内一动点，且始终满足，，当最小时，求的度数，并请在图中画出的最短路径．（保留画图痕迹） 【问题解决】 （3）如图3，，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．请探究是否存在满足要求的点，若存在，请在图中画出点，并简要描述你得到点的方法（保留画图痕迹，不必写完整作法）． 【答案】（1）9；； （2）；（3）见解析 【分析】（1）根据两个三角形同底等高求出的面积即可； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，求出点A在到距离为2的直线上运动，得到，当点A和点重合时，最小，证明出是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴点和点到的距离相等， ∵，， ∴； ∵点是的中点， ∴； （2）∵在中，点是平面内一动点，且始终满足，， ∴设边上的高为h ∴ ∴ ∴点A在到距离为2的直线上运动 过点作，作点关于的对称点，连接交于点D，连接交于点，如下图：    ∴， ∴当点A和点重合时，最小， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，，如下图：    则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分， 理由：∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，平行线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 【典例7】．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】由，可得，即，由是的平分线，是的平分线，可得，，由，可得，即平分，可判断①的正误；由，可知与的面积相等，可判断②的正误；由，可证，则与互余的角有，，，共4个，可判断③的正误；由，可得，则，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴平分，①正确，故符合要求； ∵， ∴与的面积相等，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与互余的角有，，，共4个，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 综上，①②④正确，A选项符合题意． 跟随训练7-1．我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，，，那么图中与面积相等的三角形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，，，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高，∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高，∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高，∴与面积相等， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、，共3个． 跟随训练7-2．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 跟随训练7-3．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 跟随训练7-4．如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． （1）根据“距离坐标”定义解答即可； （2）根据距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0解答即可； （3）根据代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，求解即可；通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上，解答即可． 【详解】解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和． 故答案为： （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为：． （3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”． 故答案为：2，4． 跟随训练7-5．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等腰直角三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并求出所画等腰直角三角形的面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图所示：在直线上任取一点，作于点，作，在上截取，过点作交于点，连接，作，交直线于点，连接，即可得到等腰直角三角形． (1)请你回答：图中等腰直角三角形的面积等于______． (2)参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等边三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并直接写出所画等边三角形的面积（保留画图痕迹）． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）过点作于点，过点作于点，根据等角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而求得的面积； （2）如图，作等边三角形，延长交于点，在上截取，连、，然后利用“边角边”证明，可得，，再根据等边，可得，故为等边三角形．连接，利用可求得，过点作垂直于点，过点作垂直于点，，，，，，在中，根据勾股定理，，求得，等边的面积． 【详解】（1）如图，过点作于，过点作于， 则， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ，之间的距离为，，之间的距离为， ，， 在中，， ，， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：5； （2）作等边三角形，延长交于点，在上截取，连、， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中， ， ， ∴，， 即 ∴为等边三角形． 连接， ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴ ∴， 过点作垂直于点，过点作垂直于点， 则，， 设，则， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，， 即， ∴等边的面积． 05 过关•检测 1．中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 2．若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较大的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补，由此可知度数比为的两个内角为邻角，且和为，即可计算出较大内角的度数． 【详解】解：∵平行四边形对角相等，邻角互补，且两个内角的度数比为， ∴这两个内角为邻角，且和为， ∴较大的内角度数为． 3．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 4．如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　 ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】先证明、是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴平行四边形的周长． 5．如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（    ） A．点为的对称中心 B．平分 C． D．的周长是周长的一半 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点为的对称中心，故A正确；根据线段垂直平分线的性质得到，，分别表示出和的周长，即可得到的周长是周长的一半，故D正确；根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，得到，根据三角形的面积公式得到，故C正确；由于无法证明，得到不一定平分，故B错误． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴，，， ∴点为的对称中心，故A正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ，， ∵的周长 的周长 ∴的周长是周长的一半，故D正确，不符合题意； 在和中， ∴， ， ∵在四边形中，， ， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵无法证明， ∴不一定平分，故B错误，符合题意 故选：B． 6．如图，中，点E在上，且，连接，过点A作，垂足为F，若，则∠C的度数为 ______． 【答案】96° 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 7．平行四边形的周长为30厘米，、相交于点O，且的周长比的周长小5厘米，则________厘米． 【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质结合已知得出厘米，厘米，进而得出答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，、相交于点O， ∴，，， ∵平行四边形的周长为30厘米， ∴厘米，即厘米， ∵的周长比的周长小5厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米． 8．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 【答案】 18 【分析】易得垂直平分，进而推出的周长为的长，再根据平行四边形的周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线，交于点O， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴平行四边形的周长. 9．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 10．如图，在中，平分，交于点E．且，连接，延长与交于点F，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是_____ ． 【答案】①②④ 【分析】证明，，解答即可； 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故②正确； ， ，， 设平行线间的距离为h， 则， ，， 故①④正确； 无法证明， 故③错误． 11．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 12．如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 【答案】(1)或（写其中一个即可） (2) 【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线性质即可； （2）根据题意可证，进而得到，再根据求解． 【详解】（1）解：， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和坐标与图形性质得到，，，即可求解； （2）过Q作轴于H，先根据坐标与图形，结合已知得到，，，分：当时和当时两种情况分别求解即可； （3）过Q作轴于H，过C作轴于T，先证明是等腰直角三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，进而列方程求得，则，根据等底等高的三角形的面积相等得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，，则； ∵，则， ∴； （2）解：如图，过Q作轴于H，则，，， ∵，， ∴，，， 若是以为腰的等腰三角形，则分两种情况： 当时，，又， ∴，解得； 当时，则，整理，得， 解得（负值舍去）， 综上，满足条件的x值为或； （3）解：过Q作轴于H，过C作轴于T，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴． 14．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． (1)如图1，若，，则________；________； (2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点作交的延长线于点，根据平行四边形的面积，得出，勾股定理求得，，再证明，得出，求得，进而勾股定理，即可求解； （2）延长至，使得，证明，即可得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵平行四边形中，且，， ∴， ，则 ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 在中，； （2）证明：如图，延长至，使得， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 平行四边形的性质 （6知识点+7大题型+过关检测） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 2 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 3 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 4 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 6 【题型5 平行四边形的其他应用】 7 【题型6 求平行线间的距离】 10 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 11 1. 知识与技能：理解平行四边形的定义，牢记平行四边形的边、角、对角线及对称性相关性质，能准确表述性质内容；掌握平行线间距离的概念及特点。 2. 过程与方法：能运用平行四边形的性质，解决角度计算、线段长度求解、面积计算及几何证明等问题；学会利用平行线间距离解决实际相关问题，提升几何推理和运算能力。 3. 情感态度与价值观：经历平行四边形性质的推导与应用过程，体会数形结合、转化的数学思想；感受平行四边形在生活中的广泛应用，培养几何直观素养和严谨的数学思维习惯。03 知识•梳理 核心知识点 知识点 具体内容 补充说明（易错点/关键点） 1.平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，记作“▱ABCD”（顶点字母按顺序书写）。 1. 定义既是性质也是判定依据；2. 必须满足“两组对边分别平行”，缺一不可；3. 顶点字母顺序不可随意颠倒。 2.边的性质 1. 平行四边形的对边平行（AB∥CD，AD∥BC）；2. 平行四边形的对边相等（AB=CD，AD=BC）。 易错点：混淆“对边相等”与“邻边相等”，普通平行四边形邻边不一定相等（特殊平行四边形除外）。 3.角的性质 1. 平行四边形的对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；2. 平行四边形的邻角互补（∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等）。 关键点：邻角互补可由“两直线平行，同旁内角互补”推导得出，可快速求未知角度数。 4.对角线性质 平行四边形的对角线互相平分（设对角线AC与BD交于点O，则AO=OC，BO=OD）。 易错点：误认为“对角线互相平分”就是“对角线相等”，平行四边形对角线不一定相等（矩形除外）。 5.对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点（绕交点旋转180°后与自身重合）。 注意：平行四边形不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形除外）。 6.平行线间距离 1. 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离；2. 性质：平行线间的距离处处相等。 关键点：距离是“垂线段的长度”，不是线段本身；平行四边形的对边平行，因此对边间的距离处处相等。 04 题型•汇总 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【典例1】．在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 跟随训练1-3．在平行四边形中，若，则____，____． 跟随训练1-4．如图，点E在的边上，．若，，则的度数为________． 跟随训练1-5．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【典例2】．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 跟随训练2-1．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 跟随训练2-2．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 跟随训练2-3．如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 跟随训练2-4．已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为_____________． 跟随训练2-5．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 【典例3】．如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 跟随训练3-1．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，E为平行四边形边上一点，F、G分别为、的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是（    ）    A．6 B．5.5 C．4.5 D．4 跟随训练3-3．如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 跟随训练3-4．如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是__________． 跟随训练3-5．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 【典例4】．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 跟随训练4-1．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 跟随训练4-2．如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 跟随训练4-3．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 跟随训练4-4．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 跟随训练4-5．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【题型5 平行四边形的其他应用】 【典例5】．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 跟随训练5-1．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 跟随训练5-2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 跟随训练5-3．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 跟随训练5-4．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 跟随训练5-5．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【题型6 求平行线间的距离】 【典例6】．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 跟随训练6-1．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 跟随训练6-2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 跟随训练6-3．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 跟随训练6-4．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 跟随训练6-5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 【材料阅读】 古希腊数学家欧几里得的《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理化方法建立起的演绎体系的最早典范．小婷是一个数学爱好者，她在学习完平行线的概念后，研究发现：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．如下图：，是上的任意两点，，垂足为，垂足为，则有． 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，，则的面积为___________；若点是的中点，则的面积为___________． （2）如图2，在中，点是平面内一动点，且始终满足，，当最小时，求的度数，并请在图中画出的最短路径．（保留画图痕迹） 【问题解决】 （3）如图3，，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．请探究是否存在满足要求的点，若存在，请在图中画出点，并简要描述你得到点的方法（保留画图痕迹，不必写完整作法）． 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 【典例7】．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 跟随训练7-1．我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，，，那么图中与面积相等的三角形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练7-2．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-3．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 跟随训练7-4．如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 跟随训练7-5．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等腰直角三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并求出所画等腰直角三角形的面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图所示：在直线上任取一点，作于点，作，在上截取，过点作交于点，连接，作，交直线于点，连接，即可得到等腰直角三角形． (1)请你回答：图中等腰直角三角形的面积等于______． (2)参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等边三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并直接写出所画等边三角形的面积（保留画图痕迹）． 05 过关•检测 1．中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较大的内角是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 4．如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　 ） A．2 B． C．4 D．8 5．如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（    ） A．点为的对称中心 B．平分 C． D．的周长是周长的一半 6．如图，中，点E在上，且，连接，过点A作，垂足为F，若，则∠C的度数为 ______． 7．平行四边形的周长为30厘米，、相交于点O，且的周长比的周长小5厘米，则________厘米． 8．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 9．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 10．如图，在中，平分，交于点E．且，连接，延长与交于点F，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是_____ ． 11．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 12．如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 14．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． (1)如图1，若，，则________；________； (2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $