题号猜押09 天津卷19题数列5大考点（解答题）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押0919题数列（解答题） ONE PART1命题溯源 溯源：近5年真题.第19题为必考解答题，位于试卷后部，难度较高。题月常以等差、等比数列为载 体，综合考查通项公式、前项和及多种求和方法。2024年：由递推关系研究数列性质，涉及等比数列基 本量计算、裂项相消法求和；2023年：等差数列与等比数列综合，求通项公式与前项和；2022年：等差 数列与等比数列基本量计算，错位相减法和分组求和法；2021年：等差数列前n项和基本量计算、错位相 减法求和及数列不等式：2020年：等差数列与等比数列通项公式基本量计算，分组求和法。 预测：2026年第19题延续“基本量计算+数列求和”结构。第(1)问仍为等差/等比数列通项公式求解；第 (2)问可能考查裂项相消法或错位相减法求和、分组求和，并可能结合不等式证明、恒成立问题，或出现新 定义数列问题。命题注重思维层次区分，通过递推关系或新情境考查学生的综合应用能力。· 备考核心：熟练掌握等差、等比数列的基本量法（通项公式与前项和）；强化数列求和四大方法： 公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法；关注递推数列求通项的常见模型（累加、累乘、构造法）； 注意从函数角度理解数列，提升分类讨论与代数变形能力。 TWO PART2押题预测 一考点1错位相减与裂项相助加的综合应用 1.(2025天津·二模)从数列{an}中选取第k项，第k+1项，，第k+m-1项(k∈N,m≥2)，并按原顺 序构成的新数列称为数列{an}的(k,m)连续子列.已知数列an}中，a,=0,a2=1,对Vk∈N,数列an} 的(2k,3)连续子列是公比为+的等比数列 k (1)求a4,a的值； (2)求a2mneN）； (3)证明： a+e2m<neN)】 2i+3 2.(2025·天津和平.三模)已知neN,等差数列an}的前项和S,=n2+n,正项等比数列(bn}的前项和 为Tn,T2=12,T4=120. 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)若cn=(bn-1(b1-1. (i)不等式空-旷（丝儿小-旷4：N)恒政立，求实数：钓吸长花： (ⅱ)证明： 12b, 3.(2025·天津武清模拟预测)已知各项均为正数的等差数列a}的公差d不等于0，a,=2,设a、4、 4,是公比为q的等比数列{b,}的前三项 (I)求数列ab,}的前n项和An; (②)将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，{an}中剩下的项依次构成新的数列{cn},设其前n项和为Sn,求 S1-22+32-的值： (3)设4，=1 aa。,数列d,的前n项和为工，是否存在正整数m、n且1<m<,使得T、T。、工依次 成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 (2026天津一模)已知数列{an}满足41=1，an+1= log2an,n为奇数 2,+2,n为偶数 (I)证明：求a2,a3的值，并证明数列a2m-}为等比数列； (②)设b,=a,求数列{b,的前项和T； (a,求证：9+G+G++c,<n+1- 8 (3)设cn= n+1 5. （2025天津南开.二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S,=28. (I)求{an}的通项公式： (2)记b,=】 a,C,其中C(k=0,12,,川为二项式系数. (i)求数列 的前项和T,; @n+2 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (i)求-2(k2+8k+14) bb 考点2分段数列的拼项求和 1.(2025·天津·二模)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，a2=2a,b=a2,b2=a4,且 {bn}的公比是{an}公差的2倍. (1)求数列{an},{b.}的通项公式： (2)若数列{cn}满足C=b,,c2=a,且当k≥2，Cn= be,n=ak+b an-k,ak+bi<n<ag+b (i)求证： C,>b+2; (ii)求数列{cn}的前an+bn项的和Sn. 2.(25-26高三上·天津南开·月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N,2Sn=3an-1, (I)证明：{an}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式 2k,n=ag (2)设数列b.= b-+4k,ag <n<a ，其中k∈N,设Tn=b (i)求T的值： (i)设cn= 8n-1 +1 8T-1 求使得∑[c]≤2026成立的最大正整数n的值.（其中符号[冈表示不超过 n+1 x的最大整数) 3.(25-26高三上·天津滨海新区·月考)已知等差数列{an},等比数列{bn},a2=2a1,b=a2,b2=a4,且 {bn}的公比是{an}公差的2倍. (I)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)若数列{cn}满足c=b,C2=41,且当k≥2，Cn= axbi,n=ax+b an-k,ax-1+b-i<n<ag+b' (i)求∑c; i=+b 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (ii)求数列{cn}的前an+bn项的和Sn. 4.（25-26高三上天津·月考)Sn是正项数列an}的前n项和，a1=1,2Sn=a1-a+1,{b,}是等比数列，么=S ,b4+8ag=S17 (1)求数列{an},b,}的通项公式， ②数列c}满足：G=hG,=21og,4-，n=54+1 k≥2 2cn-ySs-1+1<n≤Ss ①求 i=S+ m求】 5.(25-26高三下·天津河西·开学考试)己知等差数列an}的前项和为Sn,{b}是公比大于0的等比数列， a3=3,S,=2S,b=2,且b2,a6,b成等差数列. (I)求数列{an}与{bn}的通项公式： a:n=2k-1 (2)设cn= 24,02"mn=2k（k∈N),求c8 (6a。-7）b a,n2keN),求2 an=2 (3)设dn= 考点3奇偶项分组求和与相聆项并项求和 1. (2025·天津北辰·三模)已知等差数列an}的前n项和为Sn,满足：a4=3,公差d为整数且满足 S<9a,+27,正项等比数列{bn}满足：b2=2,b+b2=2a1 (I)求数列{an},{bn}的通项公式： an n=2k-1 (2)设cn= n an+n+3 2 cos 3,n=2k,其中keN,求数列{c}的前2n项和为I; Sn·bn (3)定义y=dn为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：d(1=1,d(4)=3,记 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以，-，吧，++Ae,R画，点MeN bb, bba bsbo banbn 4 16 2.(2025天津河西.一模)已知数列an}为等差数列，数列b}为等比数列，且a=1，a4=7，a,+b=a a2b3 =4a3 +b2,nEN". (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (3n-1(n-3) n为奇数 (2)已知Cn= bn+i ,求数列{cn}的前2n项和Tm; a bn2 n为偶数 (3)当n≥1时，设集合Mn={b,+b320<b,+b,<3·2m,1≤i<j,i,jeN},集合Mn中元素的个数记为dn, 求数列{dn}的通项公式 3.(2025·天津河北二模)设数列an}是等差数列，{bn}是等比数列.己知 b1=2a1=2,b2=a2+2,b3=2a3+2. (I)求{a}和(bn}的通项公式： 30n+2+2 ,n为奇数， (2)设Cn= anan2b (n∈N,求数列{cn}的前2n项和S2n; am-b,n为偶数， (3)设dn= eN,数列d的前n项只为只，证明：B名 4.(2026天津东丽一模)已知数列a}是等比数列，数列{bn}为正项等差数列，其前n项和为 Sn,a1=b=1,a2b=1,(S2+S3)a=1. (I)求{a}和bn}的通项公式； (2)若cn=(-1)·b(n∈N),记数列{cn}的前4n项和Tn. (i)求Tn: (ⅱ)证明： Tai 4b2 5.(2026天津河西一模)已知数列an}是等差数列，前n项和为Sn,数列{bn}是递增等比数列，且 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b=a1+1=3,S3=b,+b2,S3=b+b. (I)求{an}、{bn}的通项公式； ②求[a-lfa]b; (3)将数列an}的前2k项(k∈N)重新排列后，得到新数列G，c2,…,c2,设 G-C2+S2-C+C-c+…+c2k1-C2k的最大值为T4,求证： 111 < 后T416 考点4重构数列的求和 1.（2025·天津.一模)己知等差数列{an}满足a2+a;=16,a4=3a1,记数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式： (②)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”.例 如，对于数列1,2,3，一阶“H拓展”得到数列1,3,2,5,3；二阶“H拓展”得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3；…设n 阶“H拓展”得到数列1，x,x2,…,xm,3m∈N),设bn=1+x+x2+…+xm+3,则b=1+3+2+5+3=14, b2=1+4+3+5+2+7+5+8+3=38. (i)求数列{bn}的通项公式； an（bn-2),n=2k-1, (i)设数列{cn}满足cn= a+jn--2”=2北，求数到列c的前2项和7 12(4n+5) 2.(2025天津河西模拟预测)已知数列a的前项和S.1-a,数列6满足2+b=30g!4, nEN'. (1)求数列{an}和b}的通项公式： ②数列c,满足c=4,么，若c,≤对m+m-对于一切neN恒成立，求实数m的取值范围： (3)设dn=2、an,在d和d2之间插入1个数x1,使d,x1,d2成等差数列；在d和d之间插入2个数x21, x2,使d2,x21,x2,成等差数列；以此类推，在dn和dn1之间插入n个数xn1,xn2,,xm,使dn, xn1,xn2,,Xm,dn+1成等差数列.若Pn=d1+x1+d2+x21+x2+d3+…+dn+xn1+…+xm,求Pn 3.(2025·天津·二模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a,=2,a4=64.对于任意k∈N,在 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a和a1之间插入k个数x1,x2,,,使得ak,x1,xk2,…,x:,a+1这k+2个数构成等差数列， 记新得到的数列为{b}. (1)求数列{an}的通项公式： (②)记cn=bn1-b,,证明对于任意的n∈N,Cn≤Cn+1: n(n+l) 3)求立（其中n∈N) 台 4.(2025天津滨海新区三模)已知等差数列{an}与正项等比数列b}满足：a2=b=2,a,+a;=b=ag· (I)求{an}、{bn}通项公式； (②)若对数列an}、{b,},在a与a+1之间插入b个2(k∈N),组成一个新数列{cn},求数列{cn}前100项 和Ti0; -a b,n=2k-1 (3)若dn 1 a-1'n-2k (其中k∈N),证明： 24<- 18 5. (2025天津和平.二模)已知n∈N°，数列{an}为等差数列，公差为d,且d>1,若anb,=n2+n.记数 列{an},{b.}的前n项和分别为Sn,Tn (1)若2a4=3a2+2a1,S4+T=33,求d; (2)若数列{b}为等差数列，S4-T,=4. (i)求数列{b}的通项公式； (ii)若数列cn}满足5log2cn=7bn,将数列{an},{cn}中的项按如下规律组成数列hn}：a,G,a2,4, 2”+-1 G’a4,,a,G,a,,01s,C4,,a,041,01’C1…(keN)，求∑h (ieN) 考点5数列新定义 1.(2025·天津滨海新区·模拟预测)已知{an}是公比为q的等比数列.对于给定的k（k=1,2,3…n), 7/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设T是首项为a,公差为2a4-1的等差数列，记T的第i项为b.若b+b2=b,2,且b=b2。 (I)求{an}的通项公式： 2)设c.= +求c的前项和M. 2an·3m 3)若d,=6”+n-1-1 n2 0 n+1(n+10(2”+3’ 求使得[d]+[d]+[d]+…+[d]≤2025成立的最大整数的值. (其中[x表示不超过x的最 大整数) 2.（2026天津红桥一模)在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作.为 生成密钥序列A,现定义一个简单的加密算法H,它的作用是在第k(k∈N)轮对密钥片段进行一次变换， 具体变换规则如下：若k为奇数，则H,将在第k轮变换中让序列A-的奇数项的值增加1，偶数项的值减少 k;若k为偶数，则H,将在第k轮变换中让序列A-的奇数项的值增加2k,偶数项的值减少2.若初始密钥 序列A=[0,0,0,0,0,0,0,0,An=Hn（An)n∈N),则加密序列A,的所有项之和为an,已知数列{bn}的前 项和T,且满足3T=4b。-1. (1)写出A,并求出数列{bn}的通项公式： (2)求数列{an}的通项公式： (3)证明： azx azk +2) <66 台V 3.(2026天津河北一模)对于数列{an},如果存在一个正整数m,使得对任意的nn∈N)都有an+m=an成 立，那么就把这样一类数列an}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列an}的最小正周期，以下 简称周期， (1)设数列an}满足an+2=元a1-ann∈N),a=1,a=2,且数列an}是周期为3的周期数列，求常数元的 值； (2)设数列an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1.若ana1<0,试判断数列an}是否为周期数列，并说明 理由； (3)设数列{an}满足aa=-a1-a,(neN),a=1,a=2,bn=an+1,数列{b,}的前n项和为Sn,试问是 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 否存在P,g,使对任意的nN,都有p≤≤9成立，若存在，求出，g的取值范围，若不存在，说明 n 理由 4.（25-26高三上·天津南开·月考)在数列{an}中，按照下面方式构成次生数列” {bn}:b=a,b2=min{a,a2},b=min(a,a2,a},…,bn=min{a,a2,…,an}(n≥2)，其中min {a1,a2,…,a}(2≤i≤n表示数列a,a2,…,a,中最小的项. (1)若数列{an}中各项均不相等且只有4项，a2=1,an∈{2,3,4(n=1,3,4),请写出{an}的所有“次生数列” {bn}; (2)若{an}满足a1=-2,a4=64,且 为等比数列，{an}的“次生数列为{bn}. n (i)求b+bo的值： (i》设6}的前项和S,若对任意的neN,不等式元27-10-18 、9S2m+20 恒成立，求实数1的取 n 值范围. 5. (25-26高三上·天津·期中)对于n∈N,若数列{xn}满足x-xn>1,则称这个数列为“K数列” (1)己知各项均为正数的数列an}的前n项和为Sn,且满足2S。=an+1,求数列{an}的通项公式，并判断 an}是否为“K数列”； (②)已知各项均为正整数的等比数列{b}是“K数列”，数列 不是“K数列，若数列 是K数小 (i)求{bn}的通项公式； (i)记数列{bn}中不超过正整数的项的个数为Cn,设数列{cn}的前项和为Tn,求T,(k∈N) THREE PART3通关特训 1.(2026天津和平一模)已知neN,等比数列a的前顶和为S,-3-3,正项等差数列6，的首 2 项为5，且b,b-1,b。成等比数列. (I)求数列{an}与数列{bn}的通项公式： 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)设P,=(b,-3n)3，T,= k=i (i,j∈N).求证：若m,,S,teN,满足m≤r,s≤1，且有序实数 Pi,i=j 对(m,r)≠(s,t,则Tm,≠T· (3)设An={1,2,…,n,H={tt=a,-a,0i,j∈An},求集合H的所有元素之和M. 2.(2025·天津·二模)已知公差不为零的等差数列an}和等比数列{bn}满足a1=b=1,且a,2a2,4a4成等比 数列，4b2,2b,b成等差数列 (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)令cn=3,去掉数列{c}中的第3n项n∈N),余下的项顺序不变，构成新数列}，求数列n}的前 项和Sn; ⑧令d-受，记数对d的前项和为，数列 的前项和为A,若数列pn}满足p=d,且对 n≥2，n∈N,都有pn=g+A,dn,设{pn}的前n项和为E,若对任意n∈N都有m>En成立，求正整数 n2 m的最小值.（参考值： ≈1.59616， 2*3.9996) 3. (2025天津.一模)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn,满足a=1，且S=2a2+2. (1)求{an}的通项公式： bn1-a1,n为奇数， (2)设数列{bn}满足bn a,n为偶数， 其中neN.记Cn=bm-,n∈N. (i)证明： 是等差数列； (i求2a+2a-C(neN). 2 4. (2026天津南开一模)已知等差数列{n}的公差为2，正项等比数列{bn}的首项为2，且 a2+a3=b3-10,b2+3=a5. (1)求{an}和b.}的通项公式： (2)若cn-9,+a 2,记数列an},{cn}的前n项和分别为Sn,T,求使S2m+Tn>112(n∈N)成立的n的 （ana+ 10/12命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押0919题数列（解答题） 参考答案 押题预测 考点1错位相减与裂项相助加的综合应用 1. 【答案】(1)a4=4,a5=6 (2)a2m+1=n(n+1)(n∈N） (3)证明见解析 a-对keN恒成立，代入计算可得， 【分析】(1)依题意u=2=+1 (2) 河得中kN,再利用累乘法求出a,再结合出=中，计算 a2n n 2n+3 1 (3)由2)知a,=n(neN,则7a.+2< (2n-2▣(2n+2,利用裂项相消法计算可得 【详解】(1)由题意知a,4,4是公比为中的等比数列， k :a1=022=k+ -对k∈N恒成立，又a,=0,a2=1, =224=2.号-22a=4,总-3 a, a=亏，所以a5=,×4=6: (2)因为02L=022=k+1 akak对keN恒成立， a=a×2x叠x…x=1×(=a≥2列， a2m-2 当n=1时a2n=n2也成立， .a2n=n2(neN）, 又21=n+L .a=Ixd=(n+l)(nEN): n 1/57 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)由(2)知an=n2(neN), 2n+3 2n+3 2n+3 2n+3 故7a.+2m2n+22n2m+2<72n-2n+12 Γ(2n-1）2(2n+12"' 当n=1时， 含。2品： 2i+3 当n≥2时， 5 11 1 立+3x25×2+…+72n-22n+2 7 1 7 =五2n+12<五： 综上可字ai2aeN) 2i+3 3. 【答案】(1)an=2n,bn=3” (2)(iD 617 、13'2 (ii)证明见解析 [S,n=1 【分析】(1)由an= Sn-Sn,n≥2 可求出数列{an}的通项公式，设等比数列{bn}的公比为q,则q>0, 根据已知条件求出b、9的值，结合等比数列的通项公式可求得{b}的通项公式： (2)()利用裂项求和法求出 可将所求不等式变形为-1+（一” 23(-,然后 对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求出入的取值范围； a(c+4,-1 12b 立（一，利用错淡相减法可证得结论成立 【详解】(1)对任意的neN‘,Sn=n2+n,当n=1时，a,=S,=2, 当n≥2时，a,=S,-S=(+m-(n-l)2+(n-=2n a1=2也满足an=2n,故对任意的neN'，an=2n, 2157 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a1-an=2(n+1-2n=2,即数列{an}为等差数列，合乎题意， 设等比数列{b}的公比为9，则q>0,T=b+b,=b(1+q=12, 工，=b+b,+b+b,=b(1+9+g2+g）=b(1+qj1+g2)=120, 所以b=3,9=3,因此，b,=bg"=3×3-=3”. ar22可rg可旷高 -r(2-）rd -分片改服不等式化为-子小以： 23*1-1 当内奇数，分以，即以<机陵立 显然行与}为递减数刘，且>0，所以1分： 当为程爱时，及小红成立，思公分} 为递减数列， 13 因此，实数入的取值范围是 611 132] 到-9- 12×3 设Mn=∑(2.3）=12x3+22x32+32×32+…+n2×3, 所以3Mn=12×3+22×33+…+(n-1)2×3+n2×3+1, 上述两个等式作差可得-2M,=3+[3x32+5×3+7×3+…+(2n-1)×3]-n2×3+①， 设Nn=3×32+5×33+7×3+…+(2n-1)×3”, 所以3Wn=3×33+5×3+…+(2n-3)×3”+(2n-)×3m1, 两式作差得-2N。=3x32+2(33+3++3”）-(2n-1)×3+=27+2× 1-3-2n-1x3 1-3 3/57 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(2-2n×3+1,即N,=(n-1)×31, 代入①式可得-2Mn=3+(n-1)×31-n2x31=3-(n2-n+1×31, 故Mn= n2-n+1×3-3 故结论得证 2 3. 【答案】（①）4=n2+ (2)1 (3)存在，m=2 【分析】(1)由等比中项的性质，等差数列和等比数列的通项公式，以及错位相减法可得结果； (2)利用等差数列和等比数列的前项和公式可得结果； (3)先利用裂项求和法得到工，再结合等差中项的性质可得2。=T+T,化简得到上-2m,根据m,n的 n4m-1 取值范围分析可得结果 【详解】(1)由己知a、4、a,成等比数列，则a=a,a,,即(2+2d)=2(2+6d, 整理可得d-d=0,d≠0，∴d=1, 所以，an=a,+n-1d=n+1, ÷q=8=2,b=4=2,b=bg-1=2", a 所以，ab,=n+12”, An=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2", 2An=2×22+3×23+…+n×2”+(n+1×2m+1, 上述两个等式作差得-A,=2×2+22+23+…+2”-(n+)×2” =2+21-2 -(n+1)×21=-n×2+1, 1-2 所以，A。=n21 (2)因为新的数列cn}的前2”-n-1项和为数列{an}的前2”-1项的和减去数列{b,}前n项的和， 4/57 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以5 (2”-102+2"）2(2”-1 2 2-1 =(2-2-1=221-321+1 所以S,-41-22-1+3.2-1. 1 -0-g04 假设存在正整数m、n且1<m<n,使得T、Tm、工，依次成等差数列， 则有亚=+，即片所以片-0，解务 n4m-1 又因为meN',m>1,所以m=2,此时n=7, 所以存在满足题设条件的m、n,m=2 4. 【答案】(1)a2=0,a=4,证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据递推公式及等比数列的定义证明即可； (2)由(1)求出a2-1,即可求出a2m,从而得到b,=(n-1)4”，利用错位相减法计算可得； (3)由数列的通项公式可得C,=， 1+ (n+1)3 利用放缩法即可得到C,<1+ nn+’再利用裂项相消法即 可证明. 【详解】(1)当n=1时，可得a2=log2a1=log21=0, 当n=2时，可得a=2+2=22=4, 因为421=20.+2=2,4+2=2a2nm1=4a2n-1n21）,a=1, 所以2u=4,n≥1）， 2m-1 所以数列a-}为首项为1，公比为4的等比数列 5157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由(1)得am1=4,(n21, 则an=log241=log,4--2n-2,(n21）, 所以6=0=4(2n-2=n-14, 2 2 所以Tn=0×4+1×42+…+n-1×4, 则47n=0×42+1×43+…+(n-1)×4, 所以-37=4华+4++4-a-4_40-4）-a-4=4-16-a-4 1-4 33 /4-3n4-1_16 3 3 9； (3)因为cn 8 =,+,2 2 2 1 1+ V(a V++1+ 1+ 1+一 (n+1) (n+1)n(n+1) /1+1 3 1 =1+ 11 =1+ n(n+1 n(n+l）nn+1 所以+e*6+*6+--+g-台+日4】 =n+1- n+, 即命题得证 【答案】(1)an=n ②(i)T= 3(i) 4"- (n+6(-1°4 (3n+9）23 【分析】(1)根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； (2)(1)根据己知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解 【详解】(1)设首项为a,公差为d, 由题意得 a2=a1+d=2, ,=7a+21d=28解得a,=l,d=1, 所以an=n. 6/57 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)(i)由(1)知bn= a,C=C+2C.+3C:+…+(n+1Ca, 因为C=CW(k=0,1,2,…,n), 所以2b,=224,C =[c+(n+1C]+(2C+nCg）+[3C+(n-l)C2]+…+[(n+C:+C] =(n+2)C9+(n+2)C,n+(n+2)C%+…+(n+2)C =(n+2(C+C,+C2+…+C）=(n+2:2", 所以bn=(n+22”-. 所拟情号 (i)因为-2k2+8张+14 （-2)(k2+8k+142(-1(k2+8k+14 beb (k+2)·21.(k+3)·2(k+2(k+3)·2 -1) k+32 2-可 (-1)1 b·b+l - 。考点2分段数例的并项求和 1. 【答案】(1)an=n;b,=2" (2)(1)证明见解析；(ii)S。=7×2-+22m--2 【分析】(1)根据等差、等比数列通项公式直接构造方程组求解即可； （2)①根据已知得到岂 G=b+a+a1+a2+…+a+b1,结合等比数列求和公式可化简得 7157 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 到 C,采用作差法即可证得结论； i=ax-1+bx-1 (i)分别求出S,S2,当n≥3时，Sn=C+C2+M2+M3+…+Mn-(b+b,++b,),结合等比数列求和公 式整理，验证S,S,即可得到最终结论 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则等比数列{bn}的公比为2d, a2=2a,.d=a2-a1=a1, 么-4=8+3=2d,2d=4+3d=2,解得：d=1, b az a+d d+d a1=d=1,b=a2=a,+d=2,.an=1+(n-1=n,b,=2×2"-=2" (2)(i)由(1)得：G=2,c2=1, =b+a+a1+a42++a41+b=2+[2+(2+1+(2-+2++(2-l]+2 ak-1+b-1 =32,21-2+2+-到-x2+32--3x2+3x2-2-2+景. 2 11 C,-b2= 2+3x4-2=3x4- ×2, i=ax-1+b-1 4 8 8 4 令1=25，又k22,1≥4，则-5≥×16-x4=1, 8 4-8 大45 3 即c-h24x2>0, c,>b+2 i=ar-1+h-1 i=a-1+b- (ii)记Mk=） i=ax-1+bx-1 则S1=G+C+b,=2+1+4=7,S2=G+c2+M2=2+1+11+6=20; 当n23时，Sn=C+C2+M2+M3+…+Mn-(b+b,+…+bn), .=2*1+22+2++2r+4+4++列-2+2++2到 =3+2产×-2+3x×1-4.2心×-2）-3+×2-4到+2×4"-16-2…+8 41-2 81-4 1-2 4 8”3 =7×21+22m-1-2; 8157 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 经检验：S=7,S2=20满足S,=7×2-+22m--2, 综上所述：Sn=7×2-+22-1-2neN） 【点晴】关键点点晴：本题考查数列中的分段数列问题，解题关键是能够根据分段条件，确定各个区间的 边界，从而利用对应的通项公式和求和公式进行化简求解。 2. 【答案】(1)证明见详解，a,=3 ②(i)T=1+(8n-9」 ;(i)64 8 【分析】(1)根据题设定义分析求解即可； (2)(1)先求得5，=3”，，结合题设分析可得数列b是以2张为首项，以4为公差，项数为2：3的 2 等差数列，可得 三6=9一[8-9--99]，结合务项相消法求解即可， （）先由题设可得6，+3+1-山，利用作差法及二项式定理可证得当≥1时，0< n2+3" n+1)3<1,进 而得到[c.=n-1,进而求得公c1=n-少，再解不等式即可。 【详解】(1)任意neN,2Sn=3an-1①， 当n=1时，2S=3a1-1,解得a=1: 当n≥2时，2Sn-1=3am-1-1②， 由①.②得25，-251=3a,--3a1-,即a,=3a1→a=3, an-1 故数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 则an=1×3”-1=3"-1 (2)(1)由10可得3.=11”1，则=4， 1-3 当3-≤i≤3-1k∈N）时，b,-b-1=4k,b,4=2k, 可知数列{b,}的对应项构成以2弘为首项，以4为公差的等差数列， 9157 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22 3[2k+2k+4k(23-] =8k.9-1, 2 8kg41=8[8t-9-(8k-9列9]， -2t-j9-t-99] =专[7.9+19+15.g-7.9+239-15.92+…+8m-9-a-9y9] 1+(8n-19 n2 (ii)c,= n2 1 n2+3” n+l3+n+i十 -+n-1= (n+1030+n-1, 下证当n≥1时，0<”+3” <1: (n+13” ①显然 n2+3” n+1)3" >0恒成立， ②n2+3”-(n+1)3”=n(n-3"）, 3"=(2+1”=C01".2°+C1-1.2+C21-2.22+…+Cm1°.2"≥1+2n>n, .n2+3”-(n+13”=nn-3<0, 0<n2+30 n+13<1,故c.=m-1, ÷2c1=2i-=01+2*3*+n-=a-小. i=1 24n-1≤2026，即nm-1)≤4052， 又64×63=4032,65×64=4160， 因此满足不等式的最大正整数n=64 【答案】(1)an=;bn=2” a+2+:及=2+-2+2aeN) 10/57 题号猜押09 19题数列（解答题） 溯源：近5年真题．第19题为必考解答题，位于试卷后部，难度较高。题目常以等差、等比数列为载体，综合考查通项公式、前n项和及多种求和方法。2024年：由递推关系研究数列性质，涉及等比数列基本量计算、裂项相消法求和；2023年：等差数列与等比数列综合，求通项公式与前n项和；2022年：等差数列与等比数列基本量计算，错位相减法和分组求和法；2021年：等差数列前n项和基本量计算、错位相减法求和及数列不等式；2020年：等差数列与等比数列通项公式基本量计算，分组求和法。 预测：2026年第19题延续“基本量计算+数列求和”结构。第(1)问仍为等差/等比数列通项公式求解；第(2)问可能考查裂项相消法或错位相减法求和、分组求和，并可能结合不等式证明、恒成立问题，或出现新定义数列问题。命题注重思维层次区分，通过递推关系或新情境考查学生的综合应用能力。． 备考核心：熟练掌握等差、等比数列的基本量法（通项公式与前n项和）；强化数列求和四大方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法；关注递推数列求通项的常见模型（累加、累乘、构造法）；注意从函数角度理解数列，提升分类讨论与代数变形能力。 考点1错位相减与裂项相加的综合应用 1．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依题意对恒成立，代入计算可得； （2）依题意可得，，再利用累乘法求出，再结合，计算可得； （3）由（2）知，则，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列， 对恒成立，又，， ，，又，所以； （2）因为对恒成立， 所以，， ， 当时也成立， ， 又， ； （3）由（2）知， 故 ， 当时，； 当时， ； 综上可得. 2．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由可求出数列的通项公式，设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式； （2）（i）利用裂项求和法求出，可将所求不等式变形为，然后对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求出的取值范围； （ii）求得，利用错误相减法可证得结论成立. 【详解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然为递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 3．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)1 (3)存在， 【分析】（1）由等比中项的性质，等差数列和等比数列的通项公式，以及错位相减法可得结果； （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式可得结果； （3）先利用裂项求和法得到，再结合等差中项的性质可得，化简得到，根据的取值范围分析可得结果. 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. （3）∵， ∴， 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 4．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 5．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）（ⅰ）根据已知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 考点2 分段数列的并项求和 1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式直接构造方程组求解即可； （2）（i）根据已知得到，结合等比数列求和公式可化简得到，采用作差法即可证得结论； （ii）分别求出，当时，，结合等比数列求和公式整理，验证即可得到最终结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）由（1）得：，， ， ， 令，又，，则， 即，. （ii）记， 则，； 当时，， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的分段数列问题，解题关键是能够根据分段条件，确定各个区间的边界，从而利用对应的通项公式和求和公式进行化简求解. 2．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前n项和为，对任意，， (1)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. (2)设数列，其中，设. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数） 【答案】(1)证明见详解，. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题设定义分析求解即可； （2）（ⅰ）先求得，结合题设分析可得数列是以为首项，以为公差，项数为的等差数列，可得，结合裂项相消法求解即可； （ⅱ）先由题设可得，利用作差法及二项式定理可证得当时，，进而得到，进而求得，再解不等式即可. 【详解】（1）任意，①， 当时，，解得； 当时，②， 由①-②得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则. （2）（ⅰ）由（1）可得，则， 当时，， 可知数列的对应项构成以为首项，以为公差的等差数列， ， ， . （ⅱ） ， 下证当时，: ①显然恒成立， ②， ， ， ，故， ， ，即， 又， 因此满足不等式的最大正整数. 3．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知等差数列，等比数列，，且的公比是公差的2倍． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且当，． （i）求； （ii）求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式直接构造方程组求解即可； （2）（i）根据已知得到，结合等比数列求和公式可化简得到；（ii）分别求出，当时，，结合等比数列求和公式整理，验证即可得到最终结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）由（1）得：，， ， （ii）记， 则， ； 当时，， 记， 易知， 所以 ， ， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 4．（25-26高三上·天津·月考） 是正项数列的前项和， 是等比数列， ， . (1)求数列 的通项公式; (2)数列 满足: . (i) 求 ; (ii) 求 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）时，，再作差整理得，再根据等差等比基本量运算即可求解； （2）（i）根据分段可知，当时，为等比数列，再根据等比数列求和即可； （ii）设，则，再根据错位相减法及分组求和求解即可． 【详解】（1）当时，，解得或（舍去）， 当时，，， ， 整理得， 又为正项数列，所以，则，即 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， ， 为等比数列，， ，即，解得， ，解得， ， 故，； （2）（i）由（1）， ， ，， 且，为等比数列， ； （ii）由（i）知可设，（也符合）， 则 ， 设， ， ， 解得， 又， 所以. 5．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求； (3)设（），求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用基本量法可求数列与的通项公式； （2）利用分组求和和裂项相消法可求； （3）根据等差数列的前项和公式可求，再根据分组求和可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知条件得 ，，整理得，代入得， 即，故， 设等比数列的公比为，，故， 由成等差数列得，即， 解得（舍去），故. （2）由题设有 故 . 故 . （3）由题设可得，且为等差数列，且公差为，首项为， 故 ， 故 . 考点3 奇偶项分组求和与相邻项并项求和 1．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，其中，求数列的前项和为； (3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知不等式及等差数列的通项公式得，进而有，即可得的通项公式，由已知及等比数列的通项公式求公比，即可得的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求； （3）根据新定义有，首先确定，再应用放缩法及等比数列前n项和公式证明时不等式成立，即可得. 【详解】（1）由题设，解得， 公差为整数，则，又，故， 正项等比数列满足， （负值舍），故. （2）， 当时，， 令. 当时， ， 令， 综上，； （3）除数函数的函数值等于的正因数的个数， ， ， ，， 当时 ， ， 综上，. 2．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 3．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）为奇数时，求得，为偶数时，利用错位相减法得，最后相加即可； （3），利用作差法得其单调性，即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． （2）为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． （3），， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 4．（2026·天津东丽·一模）已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前4n项和． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）直接根据题意列方程组求公比和公差即可； （2）（i）先求的表达式，再结合等差数列求和公式求解即可；（ii）利用错位相减法求出的表达式后直接比较即可． 【详解】（1）设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 由题意可得，也即，解得， 所以． （2）（i）由题意得，， ， 显然数列是等差数列，． （ⅱ）证明：，记， ，， 两式相减，得， ， ， ，得证． 5．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解， （2）先利用并项求和可得，进而利用错位相减法求和即可， （3）先用反证法证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减，进而得，即可利用放缩法以及裂项相消法求证. 【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且，所以， 所以，． （2）因为 所以 设 所以 所以 （3）由已知得，，2，3，…，，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以 此时 则将调换到之前 因此时，取最大值必有，，…， 此时 所以取最大值时， 并且， 此时 当时， 当时， 因为 所以． 综上． 考点4 重构数列的求和 1．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式 （2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式； （ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为， 则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 2．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用与对数运算可得出数列的通项公式； （2）分析数列的单调性，可得出最大项的值，结合题意可得出关于的不等式，解之即可； （3）求得，设，利用错位相减法可求出，利用等比数列的求和公式可求出，由此可得出. 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以， 所以数列的最大项为和，且， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． （3）因为， 设， 则 设， 所以， 两式相减得， 所以，故， 设， 所以． 3．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明对于任意的，； (3)求（其中）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式. （2）求出插入区间内项后的等差数列公差，再按数列的相邻3项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明. （3）求出数列中项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式及错位相减法求和. 【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，， 因为，， 所以，解得，而，则公比， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得等差数列的公差， 当时，，则； 当时，则，， ，因此， 所以. （3）依题意，在内的数列的所有项和为， 数列中，项及前面的项数和为， 当时， 令， 则， 两式相减得， 解得，而， 因此， 当时，满足上式， 所以. 4．（2025·天津滨海新区·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 【答案】(1)； (2)209 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，，由数列是等差数列，数列是等比数列求解； （2）设，从而在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，再验证得到k求解； （3）当时，由，利用错位相减法求解；当时，由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，所以， 又因为，所以，； （2）设， 在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ， 当时，；当时，， 所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； （3）当时，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 因为，， 所以， 即. 5．（2025·天津和平·二模）已知，数列为等差数列，公差为d，且，若.记数列，的前n项和分别为，. (1)若，，求d； (2)若数列为等差数列，. （i）求数列的通项公式； （ii）若数列满足，将数列，中的项按如下规律组成数列：，，，，，，…，，，，…，，，…，，…，，…（），求（）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和定义计算即可求解； （2）由题意得或，（），则或.（i）结合题意根据等差数列的前项和公式计算即可；（ii）结合已知及对数运算可得，数列共n项，数列共项，利用等差、等比数列的前项和公式及分组求和法即可求解. 【详解】（1），所以， 可得，故， 因为， ， 所以，， 即，解得或（舍），所以. （2）由，两个等差数列及，， 则有或，（）. 证明：设，，所以有， 整理得，所以，，， 若，则，，所以，所以，， 若，则，，所以，所以，. （ⅰ）①若（），，则，， ，， 由整理得，，解得或，因为，所以. ②（），， 则，，，， 由整理得，，解得或，因为，所以舍去. 综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为. （ⅱ）因为，由（ⅰ）有，即， 求和式中，数列共n项，数列共项， 所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：分组求和法： 若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法，利用等差、等比数列的前项和公式对、分别求和，然后再合并，从而得到的前项和. 考点5 数列新定义 1．（2025·天津滨海新区·模拟预测）已知是公比为的等比数列．对于给定的（，，⋯），设是首项为，公差为的等差数列，记的第项为．若，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和 (3)若，求使得成立的最大整数的值．（其中表示不超过的最 大整数） 【答案】(1) (2) (3)满足不等式的最大正整数 【分析】（1）根据给定定义，可得，进而列出的方程组，求解即可； （2）由（1）求得，进而求得，利用错位相减法求得； （3）由（1）求得，进而求得，进一步可证明，从而可得，计算可得满足不等式的最大正整数. 【详解】（1）依题意可得， ， ， 由，且，得，解得，于是， 所以的通项公式是； （2）由题意可得， 所以， 所以 可得， 两式相减得， 令， 则有， 两式相减得 ， 所以， 所以， 所以； （3）根据题意可得， 所以 。 下证当时，， ， 因为，当时，， 所以 所以当时，， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以，满足不等式的最大正整数. 【点睛】关键点点睛：正确理解数列新定义，进而得到的关系式，求得数列的通项公式，在此基础上，进一步求解后面的问题，第三问关键在于证明，从而可得，从而求解问题. 2．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . （2）经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令，则， ， ； 综上，. （3），， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 3．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由见解析 (3)存在，，． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）先利用求得或，由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列； （3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围. 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 4．（25-26高三上·天津南开·月考）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，其中表示数列，中最小的项． (1)若数列中各项均不相等且只有4项，，请写出的所有“次生数列”； (2)若满足，且为等比数列，的“次生数列”为． （i）求的值； （ii）设的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2，1，1，1或3，1，1，1或4，1，1，1． (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据次生数列的定义得到，从而得到有3个，分别为或或. （2）（i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值； （ii）由错位相减法求和，求出．由，令，求出数列的单调性求解． 【详解】（1）因为，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为2，1，1，1， 若，此时“次生数列”为3，1，1，1， 若，此时“次生数列”为4，1，1，1， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为2，1，1，1或3，1，1，1或4，1，1，1． （2）（i）设数列的公比为， 因为为等比数列，且，所以，即，解得， 所以，则． 由“次生数列”的定义，可知 ，故． （ii）由（i） ，，① ，② 由①②得 所以． ∵ ∴ 令，则 当时，；当时，，即． ∴，故的取值范围为． 5．（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. (1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； (2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 【答案】(1)，是“数列” (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用与的关系求出的通项公式，再根据定义判断是否为“数列”； （2）（i）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到或再分类讨论去验证即可得到答案； （ii）发现规律当时，，，因此，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，得①，则②， ②－①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 由于，所以是“数列” （2）（ⅰ）设数列的公比为，则. 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即. 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即. 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，. 当，时，，设. ， 又， 所以为递增数列，因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”. 当，时，，则. 因为，所以数列不是“数列”. 综上， （ⅱ），，，，…，，， 当时，，， 所以 ， 记， ， 两式相减得， 化简得，所以. 1．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 2．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）设出公差和公比，根据题意得到方程组，结合，，求出公差和公比，得到通项公式； （2），先考虑，分组求和，利用等比数列求和公式得到答案，再考考，利用进行求解，得到答案； （3）方法一：推出，错位相减得到，又时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值； 方法二：推出，错位相减得到，又时，时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时， ， 当时， ， 综上； （3）方法一：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为； 方法二：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时，， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为 3．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中．记，． （i）证明：是等差数列； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出，即可求出通项公式； （2）（i）由（1）可得其中，当为奇数时，，即可求出的通项公式，即可得证；（ii）令，则，利用分组求和法与裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii）令， 而， ， 所以. 4．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， （3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 5．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2) (3)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即得通项，再利用等差数列求和公式计算即得； （2）经分析可知只有当时，在单调递增，满足题意，再利用裂项相消法可得结果； （3）由（2）可知当时为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求得结果. 【详解】（1）当数列为等差数列时，设其公差为， 由题意得，所以， 所以， . （2）若数列为等差数列，由（1）知，显然在不单调； 故数列为等比数列，设公比为，则，解得或， 当 ， 时，，，易知在单调递增； 当 ， 时，，，易知在不单调， 所以， 由， 可得. （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，故当时取得最大值1，且， 当为偶数时，单调递增，当时取得最小值，且， 所以的最大值为1，最小值为. 6．（25-26高三上·天津南开·周测）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为．例如：时， (1)写出，，并求； (2)判断88是否为数列中的项．若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)判断2026是否数列中的某一项，若是，求，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)88是数列的第30项 (3)，， 【分析】(1)当时，此时，由集合新定义中的规则代入计算即可； (2)根据集合新定义，由，再列举出比它小的项即可； (3)由可得，再列举出比它小的项分别有8种情况即可求解. 【详解】（1）因为，此时， ， . （2）当时，， 是数列中的项， 比它小的项分别有个， 有个， 有个， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项. （3）是数列中的项，故， 则当时，， 比它小的项分别有以下8种情况： ①个数字任取8个得个， ②，得个， ③，得个， ④，得个， ⑤，得个， ⑥，得个， ⑦，得个， ⑧，得个， 所以比小的项共有个， 故2026是数列的第160项，即. 7．（25-26高三上·天津西青·月考）已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)求，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列基本量运算可得的通项公式，由等差数列的基本量运算结合条件可得的通项公式； （2）利用错位相减法及等比数列求和公式结合条件即得； （3）利用裂项相消法即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，数列的公差为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以，即，解得， 所以， 又，即， 解得（舍）或， 所以 （2）因为，所以 则， 所以， ， （3）由，可得， 所以 8．（25-26高三上·天津河西·期末）已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）设公比为，由题意得，，根据等差中项的性质，可得q值，即可得通项； （2）（ⅰ）根据条件，整理计算，可得恒成立，利用分析法和反证法，即可得的通项公式； （ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【详解】（1）因为数列是各项都为正数的等比数列，且， 设公比为，所以，， 因为是，的等差中项， 所以，即，解得（舍）或， 所以. （2）（ⅰ）由题意任意，，且， 令，可得，解得. 因为存在，，使得对任意的，恒成立， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，其中； 由，则当时，，且， 因为，则数列单调递增，可知当，. 由题意任意的，， 可得，即， 则，所以， 则，故恒成立. 假设当时，， 由，，可知， 这与恒成立矛盾，故当时，. 令，则. ①假设，则， 当，，则， 这与当时，矛盾； ②假设，则， 故同理可知，当， ，这也与当时，矛盾； 由①②可知， 故当时，，即. 又为递增数列，且当，，所以， 即恒成立，故由， 可得对任意，成立， 由，可得， 任意，，则成立， 固定，当，，则，要使成立， 所以对任意，成立， 即； （ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，，， 所以， 所以. 9．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ； (3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到或. 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，符合题意； 当时，，所以不成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 如图，结合函数图像可知有三个解，（舍去）， ，，此时， ，符合题意， 又， 所以，又因为，故不符合题意， 即当时，时，； 综上所述，或． 10．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）证明见解析. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $