精品解析：2026年度山东省职教高考教学质量提升摸底诊断分析数学试题

2026年度山东省职教高考教学质量提升 摸底诊断分析数学 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，二次函数与对数函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则实数（ ） 0 1 2 3 0.2 0.4 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 9. 已知圆心坐标为的圆与轴相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 某职业学校职教活动周中有6件学生作品排成一排展出，其中1号作品和3号作品必须相邻，且4号和5号作品不能相邻，那么不同展出方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 108 D. 144 11. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 与 13. 已知数列为正项等比数列，若，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. D. 14. 在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 15. 函数的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 16. 已知函数（且），（且），若对于任意，满足，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 17. 一个袋子里装有4个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.现从袋中不放回地依次取出两个小球，记录第一次取出的小球上的数字为，第二次取出的小球上的数字为，则事件“为偶数”的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 下列说法正确的是（ ） A. 若角的终边上一有点，则 B. 若是第三象限角，则为第二象限角 C. 若，，则 D. 若，，则角为第二象限角 19. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知向量，，且，则实数__________. 22. 在中，内角，，的对边分别是，，，若的面积为，，，则__________. 23. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________. 24. 某中职学校派出名学生参加社会实践活动.为了解学生的社会实践情况，该校将这名学生随机编号为，再利用系统抽样的方法等距抽取一个容量为的样本进行问卷调查，若抽取的最小编号为，则抽取的最大编号为__________. 25. 已知抛物线，的焦点分别为和，现有一条平行于轴的直线，交两抛物线于，两点，且，则四边形的周长为__________. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数，且，设. （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上是增函数. 27. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 28. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．求证： （1）平面ACM； （2）AD⊥平面PAC． 29. 已知函数.求： （1）函数的单调递增区间； （2）函数在区间上的值域. 30. 如图，设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于，两点，向量，点为椭圆上的动点，求的最大面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年度山东省职教高考教学质量提升 摸底诊断分析数学 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法以及集合的交运算即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数加法运算及复数相等的定义求解. 【详解】因为，即， 则解得所以. 故选：D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算及充分条件与必要条件的概念求解. 【详解】因为，，由，可得， 由；但由. 因此，已知，，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意可知直线的斜率为， 所以与其垂直的直线的斜率为2， 由点斜式可知所求直线方程为，即. 故选：B. 5. 在同一坐标系中，二次函数与对数函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数和对数函数的图像和性质，分别讨论和两种情况，即可判断求解. 【详解】由题意，若对数函数有意义，则，且， 故二次函数图像开口向上，故选项C和D不符合题意； 当时，二次函数图像开口向上，与轴交点为， 对数函数在定义域上为单调减函数，故图像如图所示： 故选项B不符合题意； 当时，二次函数图像开口向上，与轴交点为， 对数函数在定义域上为单调增函数，故图像如图所示： 故选项A符合题意； 故选：A. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得， 可转换为，解得， 所以不等式的解集是， 故选：A. 7. 已知是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数为奇函数与二次函数为偶函数的性质求解. 【详解】因为一次函数是奇函数，所以，即； 因为二次函数是偶函数，所以，即， 所以. 故选：D. 8. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则实数（ ） 0 1 2 3 0.2 0.4 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求解. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质，得， 因为，所以，即，则，. 故选：C. 9. 已知圆心坐标为的圆与轴相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与轴相切,求得半径，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】因为圆心坐标为，且与轴相切，所以半径， 则圆的标准方程为. 故选：B. 10. 某职业学校职教活动周中有6件学生作品排成一排展出，其中1号作品和3号作品必须相邻，且4号和5号作品不能相邻，那么不同展出方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 108 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解. 【详解】先利用捆绑法将相邻的1号和3号作品看成一个元素，再与2号和6号作品进行排列共有种结果， 然后将不能相邻的4号和5号利用插空法进行排列共有种结果， 因此共有种不同的展出方法. 故选：D. 11. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式，向量的内积即可求解. 【详解】 . 故选：D. 12. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断各选项. 【详解】对于选项A，因为，， 对应法则不一样，所以与不是同一函数； 对于选项B，因为与的定义域均为， 且对应法则相同，所以与表示同一函数； 对于选项C，由得，所以的定义域为， 由，得或，所以的定义域为， 定义域不同，所以与不是同一函数； 对于选项D，因为的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以与不是同一函数. 故选：B. 13. 已知数列为正项等比数列，若，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算和等比数列的性质求值即可. 【详解】因为，是方程的两个解， 所以，即， 解得， 又数列为正项等比数列， 所以. 故选：B. 14. 在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数最大的项只有第6项得出的值，再列二项展开式的通项，最后使的指数为求出的值即可. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以，解得， 则， 令，解得， 所以含的项的系数为. 故选：A. 15. 函数的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，正弦函数的性质即可求解. 【详解】，因为， 所以当时，函数取得最大值，即. 故选：D. 16. 已知函数（且），（且），若对于任意，满足，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得出与的关系，再利用对数运算法则计算的值. 【详解】因为，所以， 即，得到， 所以. 故选：A. 17. 一个袋子里装有4个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.现从袋中不放回地依次取出两个小球，记录第一次取出的小球上的数字为，第二次取出的小球上的数字为，则事件“为偶数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可求得答案. 【详解】从4个标号不同的小球中不放回地依次取出2个，总共有种取法， “为偶数”的情况有，，，，共4种情况， 所以事件“为偶数”的概率为. 故选：B. 18. 下列说法正确的是（ ） A. 若角的终边上一有点，则 B. 若是第三象限角，则为第二象限角 C. 若，，则 D. 若，，则角为第二象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、三角函数在象限内的符号，同角三角函数的基本关系和诱导公式对选项逐项分析即可求解. 【详解】对A：由题可得，，， 故，即当时，，当，，故A错误； 对B：若是第三象限角，则，即， 故当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角，故B错误； 对C：因为，则，即， 所以，因为，所以，，即， 所以，故C错误； 对D：由得，得，所以为第二象限角，故D正确. 故选：D. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程求出的值，然后根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】设为双曲线的半焦距， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 则，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 20. 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过取中点构造平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再利用余弦定理求解. 【详解】如图，连接，取的中点，连接，. 因为点，分别为，的中点，所以且， 则（或其补角）为异面直线与所成角. 因为点分别为，的中点，且， 所以， 在中，， 在中，， 在中，， 则，, 在中，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知向量，，且，则实数__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为向量，，所以， 又，所以，解得. 故答案为：5. 22. 在中，内角，，的对边分别是，，，若的面积为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知的面积为，，， 可得，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 23. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程与焦点位置的关系列不等式求解即可. 【详解】已知椭圆方程， 因为是焦点在轴上的椭圆，所以 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 24. 某中职学校派出名学生参加社会实践活动.为了解学生的社会实践情况，该校将这名学生随机编号为，再利用系统抽样的方法等距抽取一个容量为的样本进行问卷调查，若抽取的最小编号为，则抽取的最大编号为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法即可求解. 【详解】由题意得，将名学生分为组，则每组间距为， 因为抽取的最小编号为8，即第一组抽取的编号， 则抽取的最大编号为，所以抽取的最大编号为. 故答案为：. 25. 已知抛物线，的焦点分别为和，现有一条平行于轴的直线，交两抛物线于，两点，且，则四边形的周长为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义和已知条件求出相关线段的长度，最后计算四边形的周长. 【详解】由题可得的焦点，准线方程为， 的焦点，准线方程为. 设直线的方程为，得，. 由抛物线定义得，， 由，得，解得，即，， 所以， 故四边形的周长为. 故答案为：12. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数，且，设. （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上是增函数. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，可得解析式，进而得的解析式； （2）利用单调性的定义证明. 【小问1详解】 因为，所以，则， 故. 【小问2详解】 设任意的实数，且， 则， 因为当时，，，，即， 所以，即， 故函数在区间上为增函数. 27. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出的表达式，再利用与的关系求解； （2）先根据的通项公式求出的通项公式，再利用分组求和法求解. 【小问1详解】 由，得解得 所以. 当时，； 当时，. 经验证，当时，满足. 因此，数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以 . 因此，数列的前项和. 28. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．求证： （1）平面ACM； （2）AD⊥平面PAC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据结合线面平行的判定定理证明即可. （2）根据并结合线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 连接BD，MO，在平行四边形ABCD中， ∵O为AC的中点， ∴O也是BD的中点； 在中，M为PD的中点， ∴； ∵平面ACM，平面ACM， ∴平面ACM； 【小问2详解】 在中，∵，且， ∴，即； 又平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又，平面PAC， ∴平面PAC． 29. 已知函数.求： （1）函数的单调递增区间； （2）函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式、二倍角的正余弦公式及正弦型函数的性质求解即可； （2）根据正弦型函数的性质分析求解即可. 【小问1详解】 ， 令， 解得：， 即函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 则当，即时，函数取最大值，最大值为； 当，即时，函数取最小值，最小值为， 所以函数在区间上的值域为. 30. 如图，设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于，两点，向量，点为椭圆上的动点，求的最大面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，再由椭圆的定义和焦距列方程求解即可. （2）首先设直线，将直线方程代入椭圆方程中，并由韦达定理得出，，再由向量的垂直的条件列方程解出的值，再由点落在与直线平行的直线且与椭圆相切的切点时最大，设直线，并根据直线与椭圆相切，求出的值，再由三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 由焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为. 由椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，焦距为2， 得解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得上焦点， 则可设直线，代入椭圆方程得， 设，，由韦达定理得，. 由，则， 即，解得， 由椭圆的对称性，可取， 则， 为使最大，则点落在与直线平行的直线且与椭圆相切的切点， 故可设直线，联立 整理得， 由于直线与椭圆相切，则，解得， 则点到直线的最大距离， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $