【解答题专项】04 圆锥曲线 2026年湖南省对口招生考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （四）解析几何 一、解答题 1．直线l经过两点(2，1)、(6，3)． (1)求直线l的方程； (2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2，0)点，求圆C的方程． 【答案】（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1 【分析】（1）根据两点斜率公式求得直线的斜率，再根据点斜式方程求得直线的方程； （2）设圆心的坐标，再根据相切的条件求参数求得圆心进一步求得圆的方程． 【解析】　(1)直线l的斜率k＝＝，∴直线l的方程为y－1＝（x－2)，即x－2y＝0． (2)由题意可设圆心坐标为(2a，a)，∵圆C与x轴相切于(2，0)点， ∴圆心在直线x＝2上，∴a＝1． ∴圆心坐标为(2，1)，半径r＝1．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1． 2．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程． 【答案】焦点在x轴上：椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1． 焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1． 【分析】利用待定系数法求椭圆与双曲线的方程 【解析】　①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝． 设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，m＝a－4． 因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3． 因为椭圆和双曲线的半焦距为， 所以b2＝36，n2＝4．所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1． ②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1． 3．已知椭圆C的两焦点分别为F1(－2，0)、F2(2，0)，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点(0，2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长． 【答案】（1）椭圆方程为＋y2＝1．（2） |AB|＝ 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程、再利用直线与椭圆的位置关系进行计算解题 【解析】　(1)由F1(－2，0)、F2(2，0)，长轴长为6，得：c＝2，a＝3， 所以b＝1． ∴椭圆方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)可知椭圆方程为＋y2＝1．①， ∵直线AB的方程为y＝x＋2② 把②代入①得化简并整理得10x2＋36x＋27＝0 ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， 又|AB|＝＝． 4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长． 【答案】（1）－＝1 （2）|AB|＝． 【分析】利用双曲线的相关性质求的标准方程、再利用直线与双曲线的位置关系进行计算解题 【解析】　(1)∵双曲线C：－＝1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点， ∴＝，a＝，解得c＝3，又c2＝a2＋b2，b＝， ∴双曲线的方程为－＝1． (2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)， ∴直线l的方程为y＝(x－3)， 联立得5x2＋6x－27＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝． 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； (2)a：c＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26． 【答案】（1）＋＝1 （2）＋＝1或＋＝1． 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程 【解析】(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12． 又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1． (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1． 6．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程． 【答案】（1）＋＝1 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程 【解析】设椭圆方程为＋＝1，(m≠n)， 则解得∴椭圆的标准方程为＋＝1． 7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a＝3b，求椭圆的标准方程． 【答案】（1）＋＝1或＋y2＝1 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程 【解析】当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3，0)， 知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1． 当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆过点P(3，0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1 故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1． 8．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点(3，3)，F为椭圆M的左焦点，直线l：y＝x与椭圆M交于P，Q两点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)求△PQF的面积． 【答案】（1）＋＝1 (2) S△PQF＝×4×＝12 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程、再利用弦长公式求三角形面积 【解析】　(1)由题意可得，解得a2＝36，b2＝12， 故椭圆M的标准方程为＋＝1． (2)因为F为椭圆M的左焦点，所以F的坐标为(－2，0)， 则点F到直线l的距离d＝＝，联立，整理得x2＝18， 则x1＝3，x2＝－3，y1＝，y2＝－，|PQ|＝＝＝4，故△PQF的面积为|PQ|·d＝×4×＝12． 9．已知椭圆与抛物线有共同的焦点， 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点． 求： （1）直线的方程和椭圆的方程； （2）△的面积． 【答案】（1） (2) 【分析】利用椭圆的相关性质求的标准方程与直线方程、再利用弦长公式求三角形面积 【解析】（1）依题意得抛物线的焦点为，所以椭圆的左焦点为， 直线的斜率，故直线的方程为，即． 由题意知椭圆焦点在轴，且，所以，因此椭圆的标准方程为． （2）由（1）知直线的方程为，点到直线的距离为 ． 设、的坐标分别为， 由解得，， ， ∴ 10．求以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程． 【答案】 【分析】利用椭圆的相关性质与双曲线的相关性质求圆的标准方程 【解析】由椭圆方程得：，所以右焦点为，此即为所求圆心． 由双曲线方程得：渐近线方程为，即为因为与圆相切，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为． 11．求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程． 【答案】实轴长2a＝2，虚轴长为2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x． 【分析】利用椭圆的相关性质求解问题 【解析】椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点． ∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上， ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(－4，0)，A2(4，0)，所以c＝4，a＝， ∴b＝＝3， 故所求双曲线的方程为－＝1．实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝6， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x． 12．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6． 【答案】（1）－y2＝1 （2）－＝1． 【分析】利用双曲线的相关性质求解问题 【解析】(1)因为c＝，且焦点在x轴上，故可设标准方程为－＝1(a2＜6)． 因为双曲线经过点(－5，2)， 所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1． (2)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5． 所以b2＝52－32＝16． 所以所求双曲线标准方程为－＝1． 13．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点，作倾斜角是的直线与双曲线交于A，B两个点， （1）求直线和双曲线的方程； （2）求的面积。 【答案】（1）双曲线方程是，直线方程是 （2）＝＝． 【分析】利用双曲线的相关性质求解问题 【解析】①由可得 所求的双曲线方程是，直线方程是 设依据题意列方程组得：消元得： 由韦达定理可得： 由弦长公式可得： 点到直线AB的距离： 所以＝＝ 14． 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程． v当m＞0时，准线方程为x＝－，由条件知1－＝3，所以m＝8． 此时抛物线方程为y2＝8x； 当m＜0时，准线方程为x＝－，由条件知－－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x． 所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x． 15． 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离是6． 【答案】（1）y2＝±6x （2）y2＝－4x或y2＝－36x． 【分析】利用抛物线的相关性质求解问题 【解析】(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′， 则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|．又|AB|＝6，则2|m|＝6． ∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x． (2)设焦点F(a，0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9．当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9，0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x．故所求抛物线方程为y2＝－4x或 y2＝－36x． 16．设抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，焦点在圆的圆心，过焦点作倾角为的直线与抛物线交于、两点．(1)求直线和抛物线的方程；（2）求的长． 【答案】（1）抛物线方程是、直线方程为 （2） 【分析】利用抛物线的相关性质求解问题 【解析】(1)圆变形为，圆心，半径， 抛物线焦点是圆心，方程是， 直线过，倾角为，方程为， （2）设、， ， 所以，，由弦长公式得，． 17．已知方程 ，求满足以下条件的m的取值范围： （1）表示焦点在x轴上的椭圆；（2）表示焦点在y轴上的椭圆；（3）表示椭圆。 【答案】（1）m＞2 （2）＜m＜2 (3)m＞， 且m≠2 【分析】利用圆锥曲线的概念求解其标准方程 【解析】（1）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则需满足条件： ； （2）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则需满足条件： ∴； （3）若方程表示椭圆，则需满足条件： 18．如图所示，已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1，B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率且与椭圆在第一象限交于点M，求线段MF1，MF2的长度。 【答案】（1） （2） 【分析】利用圆锥曲线的概念求解其标准方程，再结合图像相关知识求解弦长公式 【解析】(1)∵四边形F1B1F2B2为正方形，∴|F1F2|＝|B1B2|； ∵|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，∴c＝b； 在椭圆中，∵a2＝b2＋c2，； 因此椭圆的方程可化为； ∵椭圆经过点，将其代入方程，解得； ∴椭圆的标准方程是。 (2)由(1)可知c＝1，设双曲线的实半轴长为a′，离心率； 且双曲线与椭圆有公共的焦点， 故； 椭圆和双曲线的定义可知： ； ∴。 19．已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆的顶点分别为A1，A2，B1，B2，其中点A2为抛物线的焦点，如图所示。 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点A1的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求直线l的方程。 【答案】（1）y2＝8x （2） 【分析】利用圆锥曲线的概念求解其标准方程，再结合图像相关知识求解直线方程 【解析】(1)由椭圆可知，a2＝4，b2＝1， ∴a＝2，b＝1，则A2(2，0)； ∵抛物线的焦点为A2，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， ； ∴抛物线的标准方程为y2＝8x； (2)由椭圆方程可知A1(－2，0)，B1(0，－1)， 若直线l无斜率，则其方程为x＝－2，经检验，不符合题意； ∴直线l的斜率存在，设为k，又直线l过点A1(－2，0)， 则直线l的方程为y＝k(x＋2)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组 消去y，整理得：kx2＋(4k2－8)x＋4k2＝0 ①； ∵直线l与抛物线有两个交点， ； 由①得； ； ； ； ； ， ； ∴直线方程为。 20、如图所示，已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是； (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l经过点M(3，1)，与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程。 【答案】（1）（2）y＝2x－5 【分析】利用圆锥曲线的概念求解其标准方程，再结合图像相关知识求解直线方程 【解析】(1)依题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)， ∵Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1， ∴点Q到准线的距离是1； ∵点Q到y轴的距离是， ∴； 则抛物线的标准方程是； (2)假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，与联立： 解得交点A，B的坐标分别为； 可知直线OA与OB不垂直； ∴直线l的斜率存在， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即y＝kx－3k＋1； 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ； ； ； 由于OA⊥OB，即 ； ∴直线方程为y＝2x－5。 试卷第1页，共3页 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （四）解析几何 一、解答题 1．直线l经过两点(2，1)、(6，3)． (1)求直线l的方程； (2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2，0)点，求圆C的方程． 2．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程． 3．已知椭圆C的两焦点分别为F1(－2，0)、F2(2，0)，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点(0，2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长． 4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长． 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； (2)a：c＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26． 6．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程． 7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a＝3b，求椭圆的标准方程． 8．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点(3，3)，F为椭圆M的左焦点，直线l：y＝x与椭圆M交于P，Q两点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)求△PQF的面积． 9．已知椭圆与抛物线有共同的焦点， 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点． 求： （1）直线的方程和椭圆的方程； （2）△的面积． 10．求以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程． 11．求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程． 12．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6． 13．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点，作倾斜角是的直线与双曲线交于A，B两个点， （1）求直线和双曲线的方程； （2）求的面积。 14． 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程． 15． 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离是6． 16．设抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，焦点在圆的圆心，过焦点作倾角为的直线与抛物线交于、两点．(1)求直线和抛物线的方程；（2）求的长． 17．已知方程 ，求满足以下条件的m的取值范围： （1）表示焦点在x轴上的椭圆；（2）表示焦点在y轴上的椭圆；（3）表示椭圆。 18．如图所示，已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1，B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率且与椭圆在第一象限交于点M，求线段MF1，MF2的长度。 19．已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆的顶点分别为A1，A2，B1，B2，其中点A2为抛物线的焦点，如图所示。 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点A1的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求直线l的方程。 20、如图所示，已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是； (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l经过点M(3，1)，与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程。 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $