精品解析：安徽六安市叶集皖西当代中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

安徽六安市叶集皖西当代中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 若，，，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（   ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 14. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式. （2）设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 19. 已知为奇函数，且． （1）求实数的值； （2）求的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽六安市叶集皖西当代中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可得答案. 【详解】, 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合， 由，十字相乘可得， 二次函数开口向上，解得，即集合. 已知集合， 由，可得，解得，即集合， 所以，即. 3. 已知平面向量，若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，又因为与平行， 所以，即，解得． 4. 若，，，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于：因为，所以指数函数在定义域内是减函数，所以，即； 对于：因为对数函数在定义域内是增函数，所以，即； 对于：因为指数函数在定义域上是增函数，所以，即. 所以 5. 函数的图象大致为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故函数为偶函数， 函数的图象关于轴对称，排除AC选项， 当时，，则，此时，排除B选项， 选项D满足以上特点. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用两角和与差的正弦展开公式求解即可 【详解】由， 得， 所以． 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解. 【详解】因， 由定义可知，， 则， . 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍. 即，即， 又，则， 故， 当时，， 则在上单调递减， 由，得，即， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由图形结合向量加减法法则即可运算求解. 【详解】由题可得， ， ， . 故选：AC 10. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角公式，两角和的正切公式化简即可求解. 【详解】对于A,，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，根据三角函数的性质判断选项. 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 13. 已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 14. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 因为在区间上恰有3个最小值点，所以， 解得． 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式求得，再利用同角三角函数关系，结合，即可求得和. （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入相应数值即可求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 . 又因为 且 ， 所以 ， 所以 . 【小问2详解】 . 16. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 【答案】（1）； （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . 【小问2详解】 因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式. （2）设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案； （2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案； （ii）利用换元法即可求得函数在上的最大值和最小值， 【小问1详解】 设的最小正周期为，则，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 （i） ， 由，解得， 故的单调递减区间为. （ii）设， 因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 故在上的最大值和最小值分别为和. 19. 已知为奇函数，且． （1）求实数的值； （2）求的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质和已知条件列方程组，并进行验证即可求解； （2）根据函数解析式分析时的值域，再由奇函数对称性得整体值域即可； （3）利用函数单调性和奇偶性将不等式转化为，求在上的最大值即可得解. 【小问1详解】 由题可知的定义域为． 因为为奇函数，所以，即， 又，所以，则． 所以， 验证可知，为奇函数． 【小问2详解】 由（1）可知． 当时，，所以， 则，，所以， 即时，． 又为奇函数，所以当时，， 所以的值域为． 【小问3详解】 因为单调递增，则单调递增，单调递减，单调递增， 所以既是奇函数又是增函数， 所以不等式即， 等价于，即，即， 所以原问题等价于在时有解． 因为，当时，， 所以，则， 所以，即，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $