第七章 简单几何体（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 简单几何体 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（　　） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 棱锥的侧面都是等边三角形 C. 棱台的侧面都是等腰梯形 D. 棱柱的底面一定是正方形 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为2的正方形，则原图形的面积是（　　） A. 4  B. 4​  C. 8  D. 8 3. 已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（　　） A. 12π  B. 16π  C. 8π  D. 4π 4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其侧面积为 8π，则该圆锥的底面半径为（　　） A. 1  B. 2  C. 3  D. 4 5. 一个圆柱的侧面展开图是边长为 4π 的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. 4π2  B. 8π2  C. 16π2  D.  32π2 6. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球的表面积为（　　） A. 17π  B. 34π  C. 68π  D. 136π 7. 一个圆柱的底面半径为3，高为4，其内部有一个与圆柱同底等高的圆锥，则剩余部分的体积为（　　） A. 12π  B. 24π  C. 36π  D. 48π 8. 已知球O的半径为2，则球O的内接正方体的棱长为（　　） A. ​​  B. ​​  C. ​​  D. 9. 一个圆锥的底面半径为1，高为​，则其侧面展开图的圆心角为（　　） A. π  B. π​  C. ​  D.  10. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该棱锥的体积为（　　） A. ​  B.   C. 4  D.  11. 已知一个圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为216，则该圆锥的底面半径为（　　） A. 3  B. 4  C. 6  D. 8 12. 已知一个球与一个圆柱的底面和侧面均相切，若圆柱的底面半径为1，则球的体积为（　　） A. π​  B. π​  C. 4π  D. π​ 13. 若某几何体的三视图如图所示（正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是圆），则该几何体的表面积为（　　） A. 2π  B. 3π  C. 4π  D. 5π 14. 已知一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5，且它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A. 50π  B. 100π  C. 150π  D. 200π 15. 一个直三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长为3，则其外接球的半径为（　　） A. ​  B. ​​  C.   D.  二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，则其侧面积为__________。 17. 已知一个球的表面积为 16π，则它的内接正方体的棱长为__________。 18. 一个圆柱的侧面展开图是长和宽分别为4和2的矩形，则该圆柱的体积可能为__________（写出一个值即可，若有两个可能，请都填）。 19. 已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 2​，则该棱锥的高为__________。 20. 已知一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的体积为__________。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知一个圆锥的底面半径为3，高为4。 （1）求圆锥的母线长和侧面积； （2）求圆锥的体积； （3）若该圆锥内有一个内切球，求球的半径。 22.（本题 10 分）一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为3和4，侧棱长为5。 （1）求该三棱柱的表面积； （2）求该三棱柱的体积； （3）求该三棱柱外接球的表面积。 23.（本题 10 分）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3。 （1）求该棱台的高； （2）求该棱台的体积； （3）求该棱台的侧面积。 24. （本题 10 分） 一个球与一个圆柱的底面和侧面都相切，且圆柱的底面半径为2。 （1）求球的体积； （2）求圆柱的表面积； （3）若将球取出，在圆柱内注满水，求水的体积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 简单几何体 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（　　） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 棱锥的侧面都是等边三角形 C. 棱台的侧面都是等腰梯形 D. 棱柱的底面一定是正方形 【答案】A 【分析】考查棱柱、棱锥、棱台的定义与性质。 【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A正确；棱锥的侧面是三角形，但不一定是等边三角形，B错误；棱台的侧面是梯形，但不一定是等腰梯形，C错误；棱柱的底面是多边形，不一定是正方形，D错误。故选A。 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为2的正方形，则原图形的面积是（　　） A. 4  B. 4​  C. 8  D. 8 【答案】D 【分析】斜二测画法下，直观图面积与原图形面积的关系为 S′=S×​​。 【详解】直观图面积 S′=2×2=4，设原图形面积为S，则 4=S×​​，解得 S=8​。故选D。 3. 已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（　　） A. 12π  B. 16π  C. 8π  D. 4π 【答案】A 【分析】正方体外接球直径等于体对角线长。 【详解】体对角线长 l=​=2​，球半径 R=​，表面积 S=4πR2=12π。故选A。 4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其侧面积为 8π，则该圆锥的底面半径为（　　） A. 1  B. 2  C. 3  D. 4 【答案】B 【分析】轴截面等边三角形，则母线 l=2r，侧面积公式 S侧​=πrl。 【详解】S侧​=πr⋅2r=2πr2=8π，解得 r=2。故选B。 5. 一个圆柱的侧面展开图是边长为 4π 的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. 4π2  B. 8π2  C. 16π2  D.  32π2 【答案】C 【分析】侧面展开图正方形边长等于底面周长和高。 【详解】设底面半径为 r，高为 h，则2πr=4π，得 r=2；h=4π。体积 V=πr2h=π×4×4π=16π2。故选C。 6. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球的表面积为（　　） A. 17π  B. 34π  C. 68π  D. 136π 【答案】A 【分析】正四棱柱外接球直径等于体对角线。 【详解】体对角线长 ​=​，半径 R=，表面积4πR2=4π×​=17π。故选A。7. 一个圆柱的底面半径为3，高为4，其内部有一个与圆柱同底等高的圆锥，则剩余部分的体积为（　　） A. 12π  B. 24π  C. 36π  D. 48π 【答案】B 【分析】圆柱体积减去圆锥体积。 【详解】圆柱体积 V1​=π×32×4=36π，圆锥体积 V2​=​π×32×4=12π，剩余体积 36π−12π=24π。 故选B。 8. 已知球O的半径为2，则球O的内接正方体的棱长为（　　） A. ​​  B. ​​  C. ​​  D. 【答案】A 【分析】正方体体对角线等于球直径。 【详解】设棱长为 a，则 ​a=4，解得a=​ =​​。故选A。 9. 一个圆锥的底面半径为1，高为​，则其侧面展开图的圆心角为（　　） A. π  B. π​  C. ​  D.  【答案】A 【分析】先求母线长，再利用弧长等于底面周长求圆心角。  【详解】 母线 l==2，底面周长 2π×1=2π，侧面展开图扇形弧长=2π，半径=l=2，圆心角α=π​=π。故选A。 10. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该棱锥的体积为（　　） A. ​  B.   C. 4  D.  【答案】A 【分析】 先求高，再求体积。 【详解】底面正方形对角线长 2，半对角线长2​，高h=​==1， 底面积 S=4，体积 V=​×4×1=​。故选A。 11. 已知一个圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为216，则该圆锥的底面半径为（　　） A. 3  B. 4  C. 6  D. 8 【答案】C 【分析】 圆心角弧度制下，弧长等于母线乘以圆心角，且等于底面周长。 【详解】θ=216=216×​=56π​，弧长10×π​=12π，即 2πr=12π，得 r=6。故选C。 12. 已知一个球与一个圆柱的底面和侧面均相切，若圆柱的底面半径为1，则球的体积为（　　） A. π​  B. π​  C. 4π  D. π​ 【答案】A 【分析】球与圆柱底面和侧面相切，则球直径等于圆柱底面直径且等于圆柱高。 【详解】圆柱底面半径1，则球半径 R=1，体积V=​π×13=π​。故选A。 13. 若某几何体的三视图如图所示（正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是圆），则该几何体的表面积为（　　） A. 2π  B. 3π  C. 4π  D. 5π 【答案】B 【分析】由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为1，高为，母线为2。  【详解】底面半径 r=1，母线 l=2，侧面积 πrl=2π，底面积πr2=π，表面积 2π+π=3π。故选B。 14. 已知一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5，且它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A. 50π  B. 100π  C. 150π  D. 200π 【答案】A 【分析】长方体体对角线为球直径。 【详解】体对角线 d==​=5，半径R=，表面积S=4πR2=4π×​=50π。故选A。 15. 一个直三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长为3，则其外接球的半径为（　　） A. ​  B. ​​  C.   D.  【答案】B 【分析】直三棱柱外接球球心在上下底面中心连线的中点。 【详解】 底面正三角形外接圆半径r ==​，球心到底面距离为， 球半径R==​​ =​​ =​​。故选B。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，则其侧面积为__________。 【答案】8π  【分析】 先求母线，再求侧面积。 【详解】母线l=​==4，侧面积 S=πrl=π×2×4=8π。 17. 已知一个球的表面积为 16π，则它的内接正方体的棱长为__________。 【答案】 【分析】由球的表面积求半径，再根据正方体体对角线等于球直径求棱长。 【详解】由 4πR2=16π 得 R=2，球直径 4。设正方体棱长为 a，则 a=4，解得a=​=​​。 18. 一个圆柱的侧面展开图是长和宽分别为4和2的矩形，则该圆柱的体积可能为__________（写出一个值即可，若有两个可能，请都填）。 【答案】​ 或 【分析】分两种情况：底面周长为4、高为2；或底面周长为2、高为4。 【详解】① 当 2πr=4，r=，h=2，体积 V=πr2h=π×​×2=​。 ② 当 2πr=2，r=​，h=4，体积V=π×​×4=​。 19. 已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 2​，则该棱锥的高为__________。 【答案】2​ 【分析】利用底面中心到顶点的距离（半对角线）与侧棱、高构成直角三角形。 【详解】 底面正方形对角线长4​，半对角线长2​，高h===​=2​。 20. 已知一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的体积为__________。 【答案】 3​ 【分析】先求底面正三角形面积，再求高，最后求体积。 【详解】底面正三角形面积S=×62=9​。底面外接圆半径r==2​，高 h===，体积 V=​×9​×​=3​。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知一个圆锥的底面半径为3，高为4。 （1）求圆锥的母线长和侧面积； （2）求圆锥的体积； （3）若该圆锥内有一个内切球，求球的半径。 【答案】（1）母线长为5，侧面积为15π；（2）体积为12π；（3）球的半径为。 【分析】（1）利用勾股定理求母线，侧面积公式 πrl；（2）体积公式 ​πr2h；（3）圆锥轴截面三角形内切圆半径等于球半径。 【详解】（1）母线 l=​=5，侧面积S侧​=π×3×5=15π。（2）体积 V=π×32×4=12π。 （3）圆锥轴截面为等腰三角形，底边长6，腰长5，高4。三角形面积=​×6×4=12，半周长s==8，内切圆半径r=​ =​ =，即球半径为​。 22.（本题 10 分）一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为3和4，侧棱长为5。 （1）求该三棱柱的表面积； （2）求该三棱柱的体积； （3）求该三棱柱外接球的表面积。 【答案】（1）表面积为72；（2）体积为30；（3）外接球表面积为 50π。 【分析】（1）先求底面斜边长，再计算侧面积和底面积；（2）体积等于底面积乘高；（3）外接球球心在上下底面斜边中点连线的中点。 【详解】（1）底面直角三角形斜边=​=5，底面面积 S底​=​×3×4=6，底面周长=3+4+5=12，侧面积=12×5=60，表面积=2×6+60=72。（2）体积 V=S底​×h=6×5=30。 （3）直角三角形外接圆半径等于斜边一半，即 r=​=2.5，球心到底面距离为侧棱的一半，即 2.5，外接球半径 R==2.5，表面积 S=4πR2=4π×(2.52×2)=4π×12.5=50π。 23.（本题 10 分）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3。 （1）求该棱台的高； （2）求该棱台的体积； （3）求该棱台的侧面积。 【答案】（1）高为 ​；（2）体积为 ；（3）侧面积为 24。 【分析】（1）利用侧棱、高、上下底面半对角线差构成直角三角形；（2）台体体积公式；（3）侧面为等腰梯形，求斜高后计算面积。 【详解】（1）上底面对角线长 2，半对角线​；下底面对角线长 4​，半对角线 2​。侧棱在底面的投影长度差为2​−​=2​，高h=​=​=​。 （2）上底面积S1​=4，下底面积S2​=16，体积V=​h(S1​+S2​+​​)=​​(4+16+8)=。 （3）侧面梯形的高（斜高）h′=​=​=2​，一个侧面面积=​(2+4)×2​=6​，侧面积=4×6​=24​。 24. （本题 10 分） 一个球与一个圆柱的底面和侧面都相切，且圆柱的底面半径为2。 （1）求球的体积； （2）求圆柱的表面积； （3）若将球取出，在圆柱内注满水，求水的体积。 【答案】（1）球的体积为π​；（2）圆柱的表面积为 24π；（3）水的体积为π​。 【分析】（1）球半径等于圆柱底面半径；（2）圆柱高等于球直径，再求表面积； （3）水的体积等于圆柱体积减去球的体积。 【详解】（1）由题意，球半径R=2，体积V球​=π×23=π​。 （2）圆柱高 h=2R=4，底面半径r=2，表面积S柱​=2πr2+2πrh=2π×4+2π×2×4=8π+16π=24π。 （3）圆柱体积 V柱​=πr2h=π×4×4=16π，水的体积 V水​=V柱​−V球​=16π−π​=π−π​=π​。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $