第六章 直线与圆的方程（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 直线与圆的方程 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点 A(2,3)， B(−1,4)，则线段AB 的中点坐标为（　　） A.  (0.5,3.5)  B.  (1.5,−0.5)  C.  (0.5,7)  D.  (−0.5,3.5) 2. 点 P(1,−2) 到直线 3x+4y−5=0 的距离为（　　） A. 2  B. 3  C. 4  D. 5 3. 直线 l1​:2x+y−1=0 与 l2​:x−2y+3=0 的位置关系是（　　） A. 平行  B. 垂直  C. 相交但不垂直  D. 重合 4. 圆 x2+y2−2x+4y−4=0 的圆心坐标和半径分别为（　　） A.  (1,−2),3  B.  (−1,2),3  C.  (1,−2),9  D.  (−1,2),9 5. 直线 x−y+2=0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长为（　　） A.  2​  B. 2  C.   D. 4 6. 过点A(1,2) 且与直线2x−3y+1=0 平行的直线方程为（　　） A. 2x−3y+4=0  B. 2x−3y−4=0  C. 3x+2y−7=0  D. 3x+2y+7=0 7. 若直线 l 经过点 (2,1) 且与直线 y=2x+3 垂直，则 l 的方程为（　　） A. x+2y−4=0  B. x−2y=0  C. 2x+y−5=0  D. 2x−y−3=0 8. 已知两点 A(1,2),B(4,6)，则∣AB∣ 等于（　　） A. 5  B.    C. 2  D. 25 9. 圆 (x−2)2+(y+1)2=16 上的点到直线 x−y+1=0 的最大距离为（　　） A.  4+2​  B.  4−2​  C.  4+  D.  4− 10. 若直线 ax+2y+6=0 与直线x+(a−1)y+2=0 平行，则 a 的值为（　　） A. −1 或 2  B. 1 或 −2  C. −1  D. 2 11. 若点 P(2,3) 在圆x2+y2−4x−2y+k=0 的内部，则实数 k 的取值范围是（　　） A.  k<1  B.  k>1  C.  k<5  D.  k>5 12. 过圆 x2+y2=5 上一点 P(1,2) 的切线方程为（　　） A.  x+2y−5=0  B.  x−2y+3=0  C.  2x+y−4=0  D.  2x−y=0 13. 已知直线l:y=kx+2 与圆 x2+y2=1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是（　　） A. (−3​,3​)  B.  (−∞,−3​)∪(3​,+∞)  C. (−3​,3​) 且 k0  D.  (−2,2) 14. 过点 P(0,1) 且与圆 (x−1)2+(y−2)2=1 相切的直线方程为（　　） A.  x=0  B.  y=1  C. x=0 或 y=1  D.  3x−4y+4=0 15. 已知圆C:x2+y2−2x−4y+1=0，直线 l:x−y−1=0，则直线 l 被圆 C 截得的弦中点坐标为（　　） A. (1,3)  B. (1,2)  C.  (0,2)  D.  (2,1) 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知点 A(2，−1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线方程为__________。 17. 直线 l 过点 P(2，3) 且与圆 x2+y2=4 相切，则切线方程为__________。 18. 圆x2+y2−2x−4y−20=0 上到直线x+y−10=0 的距离为 3​ 的点共有__________个。 19. 若直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 有且仅有一个公共点，则实数 b 的取值范围是__________。 20. 已知直线 l:3x+4y+1=0 与圆C:(x−1)2+(y+2)2=25 相交于 A,B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程为__________。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知△ABC 的顶点 A(1，2)，B(3,4)，C(5，0)。 （1）求 BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求 BC 边上的高所在直线的方程； （3）求 △ABC 的面积。 22. （本题 10 分）已知圆 C 经过点 A(2,1)，B(0,3)，且圆心在直线x+y−1=0 上。 （1）求圆 C 的标准方程； （2）过点 P(4，5) 作圆 C 的切线，求切线方程。 23. （本题 10 分）已知直线l:(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0(m∈R)。 （1）求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若直线 l 与圆 C:x2+y2−2x+4y−4=0 相交，求实数 m 的取值范围。 24. （本题 10 分）已知圆C:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:(2m+1)x+(m−1)y−5m−1=0(m∈R)。 （1）求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点坐标； （2）判断直线 l 与圆 C 的位置关系； （3）当 m 为何值时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最小，并求最小弦长。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 直线与圆的方程 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点 A(2,3)， B(−1,4)，则线段AB 的中点坐标为（　　） A.  (0.5,3.5)  B.  (1.5,−0.5)  C.  (0.5,7)  D.  (−0.5,3.5) 【答案】A 【分析】考查中点坐标公式。 【详解】中点坐标为 (，​)=(0.5,3.5)，故选 A。 2. 点 P(1,−2) 到直线 3x+4y−5=0 的距离为（　　） A. 2  B. 3  C. 4  D. 5 【答案】A 【分析】考查点到直线的距离公式。 【详解】d=​=​==2，故选 A。 3. 直线 l1​:2x+y−1=0 与 l2​:x−2y+3=0 的位置关系是（　　） A. 平行  B. 垂直  C. 相交但不垂直  D. 重合 【答案】B 【分析】根据斜率乘积是否为 −1 判断垂直。 【详解】l1​ 的斜率 k1​=−2，l2​ 的斜率k2​=，因为k1​⋅k2​=−1，所以两直线垂直，故选 B。 4. 圆 x2+y2−2x+4y−4=0 的圆心坐标和半径分别为（　　） A.  (1,−2),3  B.  (−1,2),3  C.  (1,−2),9  D.  (−1,2),9 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程。 【详解】配方得 (x−1)2+(y+2)2=9，所以圆心为 (1,−2)，半径 r=3，故选 A。 5. 直线 x−y+2=0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长为（　　） A.  2​  B. 2  C.   D. 4 【答案】A 【分析】利用弦长公式 l=2。 【详解】圆心 (0,0) 到直线的距离d==​，半径r=2，半弦长​=​=​，故弦长 2，故选 A。 6. 过点A(1,2) 且与直线2x−3y+1=0 平行的直线方程为（　　） A. 2x−3y+4=0  B. 2x−3y−4=0  C. 3x+2y−7=0  D. 3x+2y+7=0 【答案】A 【分析】平行直线斜率相等，设出方程代入点坐标求常数。 【详解】设所求方程为2x−3y+C=0，代入A(1,2) 得 2−6+C=0，解得 C=4，故选 A。 7. 若直线 l 经过点 (2,1) 且与直线 y=2x+3 垂直，则 l 的方程为（　　） A. x+2y−4=0  B. x−2y=0  C. 2x+y−5=0  D. 2x−y−3=0 【答案】A 【分析】垂直直线斜率乘积为 −1。 【详解】已知直线斜率为 2，则 l 的斜率为 −​，由点斜式得 y−1=−​(x−2)，整理得 x+2y−4=0，故选 A。 8. 已知两点 A(1,2),B(4,6)，则∣AB∣ 等于（　　） A. 5  B.    C. 2  D. 25 【答案】A 【分析】考查两点间距离公式。 【详解】∣AB∣===5，故选 A。 9. 圆 (x−2)2+(y+1)2=16 上的点到直线 x−y+1=0 的最大距离为（　　） A.  4+2​  B.  4−2​  C.  4+  D.  4− 【答案】A 【分析】最大距离为圆心到直线的距离加上半径。 【详解】 圆心 (2,−1) 到直线 x−y+1=0 的距离d===2​，半径 r=4，故最大距离为 4+2​，故选 A。 10. 若直线 ax+2y+6=0 与直线x+(a−1)y+2=0 平行，则 a 的值为（　　） A. −1 或 2  B. 1 或 −2  C. −1  D. 2 【答案】A 【分析】平行条件 A1​B2​=A2​B1​，且不重合。 【详解】由 a(a−1)−2×1=0 得a2−a−2=0，解得a=2 或 a=−1。验证均不重合，故选 A。 11. 若点 P(2,3) 在圆x2+y2−4x−2y+k=0 的内部，则实数 k 的取值范围是（　　） A.  k<1  B.  k>1  C.  k<5  D.  k>5 【答案】A 【分析】点在圆内部等价于点到圆心距离小于半径。 【详解】圆方程配方得 (x−2)2+(y−1)2=5−k，圆心 (2,1)，半径平方 5−k>0 即 k<5。点 P(2,3) 到圆心距离为 2，由 22<5−k 得 4<5−k，解得k<1，综合得 k<1，故选 A。 12. 过圆 x2+y2=5 上一点 P(1,2) 的切线方程为（　　） A.  x+2y−5=0  B.  x−2y+3=0  C.  2x+y−4=0  D.  2x−y=0 【答案】A 【分析】圆上一点 (x0​,y0​) 的切线方程为 x0​x+y0​y=r2。 【详解】切线方程为 1⋅x+2⋅y=5，即 x+2y−5=0，故选 A。 13. 已知直线l:y=kx+2 与圆 x2+y2=1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是（　　） A. (−3​,3​)  B.  (−∞,−3​)∪(3​,+∞)  C. (−3​,3​) 且 k0  D.  (−2,2) 【答案】B 【分析】直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径。 【详解】圆心(0，0) 到直线 kx−y+2=0 的距离d =​<1，平方得 4<k2+1，解得∣k∣>3​，故选 B。 14. 过点 P(0,1) 且与圆 (x−1)2+(y−2)2=1 相切的直线方程为（　　） A.  x=0  B.  y=1  C. x=0 或 y=1  D.  3x−4y+4=0 【答案】C 【分析】分斜率存在与不存在讨论，利用圆心到直线距离等于半径。 【详解】圆心 C(1,2)，半径 r=1。 当斜率不存在时，直线为 x=0，圆心到其距离 1=r，相切。 当斜率存在时，设 y−1=kx，即 kx−y+1=0，圆心到直线距离 ​=​=1，平方得 (k−1)2=k2+1，解得 k=0，此时直线为 y=1。故切线方程为 x=0 或 y=1，故选 C。 15. 已知圆C:x2+y2−2x−4y+1=0，直线 l:x−y−1=0，则直线 l 被圆 C 截得的弦中点坐标为（　　） A. (1,3)  B. (1,2)  C.  (0,2)  D.  (2,1) 【答案】D 【分析】弦中点与圆心连线垂直于弦，联立直线与垂线方程求解。 【详解】圆方程配方得 (x−1)2+(y−2)2=4，圆心 O(1,2)。直线 l 斜率 k=1，则过圆心且与 l 垂直的直线斜率为−1，方程为 y−2=−(x−1)，即y=−x+3，与 l:x−y−1=0 联立得 ​，解得 x=2,y=1，故弦中点坐标为 (2,1)，故选 D。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知点 A(2，−1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线方程为__________。 【答案】 x−2y+1=0 【分析】先求中点，再求斜率，利用垂直关系得垂直平分线斜率。 【详解】中点 M(1，1)，AB 斜率 kAB​ =​=−2，故垂直平分线斜率 k =​，方程为 y−1=​(x−1)，即 x−2y+1=0。 17. 直线 l 过点 P(2，3) 且与圆 x2+y2=4 相切，则切线方程为__________。 【答案】x=2 或 5x−12y+26=0 【分析】分斜率存在与不存在，利用圆心到直线距离等于半径。 【详解】圆心 O(0，0)，半径 r=2。斜率不存在：直线 x=2，距离2=r，相切。 斜率存在：设 y−3=k(x−2)，即 kx−y+3−2k=0，圆心距 ​=2，平方得 (3−2k)2=4(k2+1)， 解得k=​，直线为 y−3=​(x−2)，即 5x−12y+26=0。故切线方程为 x=2 或 5x−12y+26=0。 18. 圆x2+y2−2x−4y−20=0 上到直线x+y−10=0 的距离为 3​ 的点共有__________个。 【答案】2 【分析】先求圆心到直线距离，再判断与半径的关系，结合平行线距离确定交点个数。 【详解】圆方程配方得 (x−1)2+(y−2)2=25，圆心 C(1，2)，半径r=5。 圆心到直线x+y−10=0 的距离 d =​ =​。 到直线距离为 3的直线有两条，与已知直线平行。计算 d−3​>0，d+3​>r=5，故其中一条直线与圆相交（2个交点），另一条与圆相离，所以共有 2 个点。 19. 若直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 有且仅有一个公共点，则实数 b 的取值范围是__________。 【答案】b=−2 或 b=2 【分析】曲线为上半圆，数形结合判断临界位置。 【详解】曲线 y=​ 表示圆心 ( (0，0)、半径 2 的上半圆（含端点）。 当直线过点  (2，0) 时，b=−2，此时直线与半圆交于一点 (2，0)。 当直线与半圆相切时，圆心到直线 x−y+b=0 的距离 d =​=2，解得b=±2。其中 b=2​ 时，切点 (−2​，2​) 在上半圆；b=−2​ 时切点在下半圆，舍去。故 b=−2 或 b=2​。 20. 已知直线 l:3x+4y+1=0 与圆C:(x−1)2+(y+2)2=25 相交于 A,B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程为__________。 【答案】4x−3y−10=0 【分析】弦的垂直平分线过圆心且与直线 l 垂直。 【详解】圆心C(1,−2)，直线 l 的斜率kl​ = −​，则垂直平分线的斜率 k =​， 方程为 (x1)y+2=​(x−1)，即4x−3y−10=0。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知△ABC 的顶点 A(1，2)，B(3,4)，C(5，0)。 （1）求 BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求 BC 边上的高所在直线的方程； （3）求 △ABC 的面积。 【答案】（1）y=2；（2）x−2y+3=0；（3）6 【分析】综合考查中点坐标、直线方程、点到直线距离。 【详解】（1）BC 中点 D(​，​)=(4，2)，中线 AD 过A(1，2) 和 D(4,2)，斜率 0，方程为 y=2。 （2）BC 斜率kBC​ =​ =−2，则高线斜率​，过 A(1,2)，方程为y−2=​(x−1)，即x−2y+3=0。 （3）∣BC∣==2​。直线 BC 方程：由两点式得2x+y−10=0。 点 A 到BC 的距离 d=​ ==​​。面积 S=​×2×=6。 22. （本题 10 分）已知圆 C 经过点 A(2,1)，B(0,3)，且圆心在直线x+y−1=0 上。 （1）求圆 C 的标准方程； （2）过点 P(4，5) 作圆 C 的切线，求切线方程。 【答案】（1）x2+(y−1)2=4；（2）y−5=​​(x−4) 【分析】（1）设圆心坐标，利用到两点距离相等及在直线上求解； （2）分斜率存在与否，利用圆心到直线距离等于半径。 【详解】（1）设圆心 C(a，b)，由题意 ​ 化简第二式得−4a−2b+5=−6b+9，即−a+b−1=0，与第一式联立解得 a=0,b=1。 半径r=∣CA∣=(0−2)2+(1−1)2​=2，故圆的标准方程为 x2+(y−1)2=4。 （2）点 P(4,5) 到圆心距离​=4​>2，故有两条切线。当斜率存在时， 设切线方程为 y−5=k(x−4)，即kx−y+5−4k=0。圆心 (0,1) 到直线距离 d=​=​=2， 平方得 16(1−k)2=4(k2+1)，化简得3k2−8k+3=0，解得 k =。 斜率不存在时直线 x=4，圆心到其距离4>2，不满足。故切线方程为y−5=​​(x−4)。 23. （本题 10 分）已知直线l:(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0(m∈R)。 （1）求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若直线 l 与圆 C:x2+y2−2x+4y−4=0 相交，求实数 m 的取值范围。 【答案】（1）定点 (−1,−2)；（2）m∈R 【分析】（1）整理成关于 m 的方程，令系数为零；（2）将定点坐标代入圆方程判断位置，或利用圆心到直线距离恒小于半径。 【详解】（1）直线方程化为 (x−2y−3)m+(2x+y+4)=0。 令 ，解得 x=−1,y=−2，故直线恒过定点 (−1,−2)。 （2）圆 C 方程配方得 (x−1)2+(y+2)2=9，圆心O(1,−2)，半径r=3。 定点 (−1,−2) 到圆心距离d0​=​=2< 3，即定点在圆内。 因为直线 l 过圆内一点，所以无论 m 取何值，直线与圆总相交于两点，故 m∈R。 24. （本题 10 分）已知圆C:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:(2m+1)x+(m−1)y−5m−1=0(m∈R)。 （1）求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点坐标； （2）判断直线 l 与圆 C 的位置关系； （3）当 m 为何值时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最小，并求最小弦长。 【答案】（1）定点  (2,1)；（2）直线与圆总相交于两点；（3）m=1，最小弦长为2​ 【分析】（1）整理成关于 m 的方程，令系数为零；（2）判断定点与圆的位置关系；（3）弦长最小即圆心到直线距离最大，此时直线垂直于圆心与定点的连线。 【详解】（1）直线方程化为  (2x+y−5)m+(x−y−1)=0。 令 ​，解得 x=2,y=1，故直线恒过定点Q(2,1)。 （2）圆 C 方程配方得  (x−1)2+(y−1)2=4，圆心 O(1,1)，半径 r=2。 定点 Q(2,1) 到圆心距离∣OQ∣=1<2，即 Q 在圆内，故直线 l 与圆总相交于两点。 （3）设圆心到直线 l 的距离为 d，弦长l=2​=2​。 当 d 最大时弦长最小。因为直线过定点 Q，所以d≤∣OQ∣=1，当l⊥OQ 时取等号。 此时直线垂直于OQ，而 OQ 斜率为 0，故直线斜率不存在，即 x=2。 令直线方程中 y 的系数m−1=0，得 m=1，此时直线为 (2×1+1)x+(1−1)y−5×1−1=3x−6=0，即 x=2。 最大距离 dmax​=1，最小弦长 lmin​=2​=2​。故当 m=1 时，弦长最小，最小值为 2​。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $